高中数学--条件概率与独立事件二项分布
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＝C5151453410， 从而易知 P(X＝3)＝P(X＝4)>P(X＝5)．
• 【答案】 D
5．(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点 P 按
下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或
向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质 点 P 移动五次后位于点(1,0)的概率是______________
PA
利用条件概率的计算公式 P(B|A)＝
【尝试解答】 P(A)＝C23＋C25C22＝140＝52，P(A∩B)＝CC2225＝
1
10.
1
由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝PPA∩AB＝140＝14.
10
• 【答案】 B
【归纳提升】(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A) ＝PPABA.这是通用的求条件概率的方法．
【规范解答】 (1)设：“至少有一个系统不发生故障” 为事件 C，那么
1－P(C)＝1－110P＝4590，解得 P＝51， (2)由题意，P(ξ＝0)＝C03(110)＝10100， P(ξ＝1)＝C13(110)2(1－110)＝120070， P(ξ＝2)＝C23(110)(1－110)2＝1204030， P(ξ＝3)＝C33(110)0(1－110)3＝1702090.
【解析】 依题意得，质点 P 移动五次后位于点(1,0)，
则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因
此所求的概率等于 C25·132·233＝28403.
【答案】
80 243
• 1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
• 提示：P(B|A)是在A发生条件下B发生的概 率．
第 7 节 条件概率与独立事件二项分布
• 1．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球
决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就 获冠A.34军，乙队需要再赢B.23两局才能得冠 军．3若两队胜每局的概1率相同，则甲队获 得冠C.5军的概率为( D).2
【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其 概率 P1＝12；第二类，需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲 赢，其概率 P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为 P1＋P2＝ 3 4.
• ●考情全揭密●
• 二项分布是高中概率中最重要的概率分布 模型，是近年高考非常重要的一个考 点．二项分布概率模型的特点是“独立性” 和“重复性”，事件的发生都是独立的、 相互之间没有影响，事件又在相同的条件 之下重复发生．但在试题中，有的问题是 局部的二项分布概率模型问题，解题时要 注意这种特殊情况．
• 预测2014年高考，相互独立事件的概率和 n次独立重复试验仍然是考查的重点，同时
• ●命题新动向●
• 二项分布及其应用
• 二项分布及其应用的综合性强，涉及排列、 组合、二项式定理和概率．将是近几年高 考的一个新热点，成为新增内容的重点考 查内容．独立重复试验要从三个方面考虑： (1)每次试验是在同条件下进行；(2)各项试 验中的事件是相互独立的；(3)每次试验都 只有两种结果，即事件要么发生，要么不 发生．
＝34×23×(1－32)×2＝31， P(X＝4)＝P( B CD)＝(1－43)×23×23＝19， P(X＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13， 故 X 的分布列为
X0 1 2345
1 1 1111 P 36 12 9 3 9 3
• 【归纳提升】 相互独立事件的概率通常 和互斥事件的概率综合在一起考查，这类 问题具有一个明显的特征，那就是在题目 的条件中已经出现一些概率值，解题时先 要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)， 再选择相应的公式计算求解.
• (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、
【尝试解答】 (1)每个人参加甲游戏的概率为 P＝13，
• 【思路点拨】 参加后乙对游应戏的求概解率．为
1－准p＝确23. 判断分布的类型，然
这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为
C24p2(1－p)2＝287.
(2)X～B(4，p)⇒P(X＝k)＝Ck4pk(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)， 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人
•
(2012·天津高考)现有4个人去参加
某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可
供参加者选择．为增加趣味性，约定：每
个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己
去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去
参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙
游戏．
• (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概 率；
• (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于 去参加乙游戏的人数的概率；
机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在
正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在
扇形OHE(阴影部分)内”，则
• (1)P(A)＝__________；(2)P(B|A)＝
__________.
【尝试解答】 圆的面积是 π，正方形的面积是 2，扇
形• 的【面思积路是4π点，根拨据】几何概分型清的是概率随计机算事公式件得的P概(A)率＝2π还，根
P(A)＝P(B CD ＋ B C D ＋ BC D)＝P(B CD )＋P( B C D ) ＋P( BC D)
＝34×(1－32)×(1－23)＋(1－34)×32×(1－32)＋(1－34)×(1 －23)×23
＝376.
(2)根据题意，X 的所以可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X＝0)＝P( B C D )＝(1－34)×(1－32)×(1－23)＝316， P(X＝1)＝P(B CD )＝43×1－23×1－23＝112， P(X＝2)＝P( B C D )＋P( B C D)＝ (1－34)×23×(1－23)×2＝19， P(X＝3)＝P(BC D )＋P(B C D)
• P(A|B)是在B发生条件下A发生的概率，不 一样.
• 2．“相互独立”与“事件互斥”有何不同？
• 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同 时发生，两事件相互独立是指一个事件发 生与否对另一事件发生的概率没有影 响．两事件相互独立不一定互斥.
•
如图，EFGH是以O为圆心，
半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随
(2012·四川高考)某居民小区有两个相互独立 的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和 B 在任意时刻 发生故障的概率分别为110和 p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4590，求 p 的值；
(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数 为随机变量 ξ，求 ξ 的概率分布列．
是条件概率
1
2
据条件概率的公式得 P(B|A)＝PPAAB＝2π＝14.
π
【答案】 2π，14
从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝
“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均
为偶数”，则 P(B|A)等于( )
1
1
A.8
B.4
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
C.5
D.2
【思路点拨】 PA∩B计算．
• 【【思尝路试点解答拨】】(1)记分“清该射命手中恰一好命次中的一三次”种为情事况件 A，； “根该射据手相设互计甲独靶立命事中”件为的事概件 率B；公“式该射计手算第一次射击乙
靶命中”为事件 C；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D.
由题意知，P(B)＝43，P(C)＝P(D)＝32， 由于 A＝B CD ＋ B C D ＋ BC D，根据事件的独立性与互 斥性得
• A．0.12
B．0.42
• C．0.46
D．0.88
• 【思路点拨】 准确把握“至少”与“恰” 等字眼的意义，从而借助于独立事件的的 概率知识求解．
• 【尝试解答】 由题意知，甲、乙都不被 录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.
• ∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝ 0.88.
• 【答案】 A
2．(2013·临沂模拟)小王通过英语听力测试的概率是13，
他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( )
4
2
A.9
B.9
4
2
C.27
D.27
【解析】 所求概率 P＝C13·131·1－133－1＝49.
• 【答案】 A
• 3．(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三 类不同的元件连接成一个系统，当K正常工 作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统 正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率 依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率 为( )
• 所以，随机变量ξ的概率分布列为：
• ●针对训练●
• 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的 月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
• (1)求直方图中x的值； • (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽
取【3解位】居民(1)依(看题作意及有频放率回分布的直抽方样图知)，，求月均用 水0量．0在2＋30至.1＋4x吨＋0的.37居＋0民.39数＝X1，的解分得布x＝列0.1．2.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)
因此 P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001. 故随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数， 即 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
•
甲、乙两人同时报考某一所
大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的
概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则
其中至少有一人被录取的概率为( )
• 【答案】 D
(2012·山东高考改编)现有甲、乙两个靶，某射 手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得 1 分，没有命 中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中 一次得 2 分，没有命中得 0 分．该射手每次射击的结果相互 独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分 X 的分布列．
• A．0.960 • C．0.720
B．0.864 D．0.576
• 【解析】 P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. • 【答案】 B
4．如果 X～B15，14，则使 P(X＝k)取最大值的 k 值为
() A．3
B．4
C．5
D．3 或 4
【解析】 采取特殊值法．
∵P(X＝3)＝C3151433412，P(X＝4)＝C415144·3411，P(X＝5)
数的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝19.
(3)ξ 可取 0,2,4.
P(ξ＝0)＝P(X＝2)＝287，
P(ξ＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝4801，
P(ξ＝4)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝1871，
随机变量 ξ 的分布列为
ξ
0
2
4
P
8 27
40 81
17 81
• 【归纳提升】 独立重复试验是相互独立 事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立 事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰 好”字样的用独立重复试验的概率公式计 算更简单，就像有“至少”或“至多”字 样的题用对立事件的概率公式计算更简单 一样．
• 【答案】 D
5．(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点 P 按
下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或
向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质 点 P 移动五次后位于点(1,0)的概率是______________
PA
利用条件概率的计算公式 P(B|A)＝
【尝试解答】 P(A)＝C23＋C25C22＝140＝52，P(A∩B)＝CC2225＝
1
10.
1
由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝PPA∩AB＝140＝14.
10
• 【答案】 B
【归纳提升】(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A) ＝PPABA.这是通用的求条件概率的方法．
【规范解答】 (1)设：“至少有一个系统不发生故障” 为事件 C，那么
1－P(C)＝1－110P＝4590，解得 P＝51， (2)由题意，P(ξ＝0)＝C03(110)＝10100， P(ξ＝1)＝C13(110)2(1－110)＝120070， P(ξ＝2)＝C23(110)(1－110)2＝1204030， P(ξ＝3)＝C33(110)0(1－110)3＝1702090.
【解析】 依题意得，质点 P 移动五次后位于点(1,0)，
则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因
此所求的概率等于 C25·132·233＝28403.
【答案】
80 243
• 1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
• 提示：P(B|A)是在A发生条件下B发生的概 率．
第 7 节 条件概率与独立事件二项分布
• 1．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球
决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就 获冠A.34军，乙队需要再赢B.23两局才能得冠 军．3若两队胜每局的概1率相同，则甲队获 得冠C.5军的概率为( D).2
【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其 概率 P1＝12；第二类，需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲 赢，其概率 P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为 P1＋P2＝ 3 4.
• ●考情全揭密●
• 二项分布是高中概率中最重要的概率分布 模型，是近年高考非常重要的一个考 点．二项分布概率模型的特点是“独立性” 和“重复性”，事件的发生都是独立的、 相互之间没有影响，事件又在相同的条件 之下重复发生．但在试题中，有的问题是 局部的二项分布概率模型问题，解题时要 注意这种特殊情况．
• 预测2014年高考，相互独立事件的概率和 n次独立重复试验仍然是考查的重点，同时
• ●命题新动向●
• 二项分布及其应用
• 二项分布及其应用的综合性强，涉及排列、 组合、二项式定理和概率．将是近几年高 考的一个新热点，成为新增内容的重点考 查内容．独立重复试验要从三个方面考虑： (1)每次试验是在同条件下进行；(2)各项试 验中的事件是相互独立的；(3)每次试验都 只有两种结果，即事件要么发生，要么不 发生．
＝34×23×(1－32)×2＝31， P(X＝4)＝P( B CD)＝(1－43)×23×23＝19， P(X＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13， 故 X 的分布列为
X0 1 2345
1 1 1111 P 36 12 9 3 9 3
• 【归纳提升】 相互独立事件的概率通常 和互斥事件的概率综合在一起考查，这类 问题具有一个明显的特征，那就是在题目 的条件中已经出现一些概率值，解题时先 要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)， 再选择相应的公式计算求解.
• (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、
【尝试解答】 (1)每个人参加甲游戏的概率为 P＝13，
• 【思路点拨】 参加后乙对游应戏的求概解率．为
1－准p＝确23. 判断分布的类型，然
这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为
C24p2(1－p)2＝287.
(2)X～B(4，p)⇒P(X＝k)＝Ck4pk(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)， 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人
•
(2012·天津高考)现有4个人去参加
某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可
供参加者选择．为增加趣味性，约定：每
个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己
去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去
参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙
游戏．
• (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概 率；
• (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于 去参加乙游戏的人数的概率；
机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在
正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在
扇形OHE(阴影部分)内”，则
• (1)P(A)＝__________；(2)P(B|A)＝
__________.
【尝试解答】 圆的面积是 π，正方形的面积是 2，扇
形• 的【面思积路是4π点，根拨据】几何概分型清的是概率随计机算事公式件得的P概(A)率＝2π还，根
P(A)＝P(B CD ＋ B C D ＋ BC D)＝P(B CD )＋P( B C D ) ＋P( BC D)
＝34×(1－32)×(1－23)＋(1－34)×32×(1－32)＋(1－34)×(1 －23)×23
＝376.
(2)根据题意，X 的所以可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X＝0)＝P( B C D )＝(1－34)×(1－32)×(1－23)＝316， P(X＝1)＝P(B CD )＝43×1－23×1－23＝112， P(X＝2)＝P( B C D )＋P( B C D)＝ (1－34)×23×(1－23)×2＝19， P(X＝3)＝P(BC D )＋P(B C D)
• P(A|B)是在B发生条件下A发生的概率，不 一样.
• 2．“相互独立”与“事件互斥”有何不同？
• 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同 时发生，两事件相互独立是指一个事件发 生与否对另一事件发生的概率没有影 响．两事件相互独立不一定互斥.
•
如图，EFGH是以O为圆心，
半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随
(2012·四川高考)某居民小区有两个相互独立 的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和 B 在任意时刻 发生故障的概率分别为110和 p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4590，求 p 的值；
(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数 为随机变量 ξ，求 ξ 的概率分布列．
是条件概率
1
2
据条件概率的公式得 P(B|A)＝PPAAB＝2π＝14.
π
【答案】 2π，14
从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝
“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均
为偶数”，则 P(B|A)等于( )
1
1
A.8
B.4
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
C.5
D.2
【思路点拨】 PA∩B计算．
• 【【思尝路试点解答拨】】(1)记分“清该射命手中恰一好命次中的一三次”种为情事况件 A，； “根该射据手相设互计甲独靶立命事中”件为的事概件 率B；公“式该射计手算第一次射击乙
靶命中”为事件 C；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D.
由题意知，P(B)＝43，P(C)＝P(D)＝32， 由于 A＝B CD ＋ B C D ＋ BC D，根据事件的独立性与互 斥性得
• A．0.12
B．0.42
• C．0.46
D．0.88
• 【思路点拨】 准确把握“至少”与“恰” 等字眼的意义，从而借助于独立事件的的 概率知识求解．
• 【尝试解答】 由题意知，甲、乙都不被 录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.
• ∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝ 0.88.
• 【答案】 A
2．(2013·临沂模拟)小王通过英语听力测试的概率是13，
他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( )
4
2
A.9
B.9
4
2
C.27
D.27
【解析】 所求概率 P＝C13·131·1－133－1＝49.
• 【答案】 A
• 3．(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三 类不同的元件连接成一个系统，当K正常工 作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统 正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率 依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率 为( )
• 所以，随机变量ξ的概率分布列为：
• ●针对训练●
• 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的 月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
• (1)求直方图中x的值； • (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽
取【3解位】居民(1)依(看题作意及有频放率回分布的直抽方样图知)，，求月均用 水0量．0在2＋30至.1＋4x吨＋0的.37居＋0民.39数＝X1，的解分得布x＝列0.1．2.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)
因此 P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001. 故随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数， 即 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
•
甲、乙两人同时报考某一所
大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的
概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则
其中至少有一人被录取的概率为( )
• 【答案】 D
(2012·山东高考改编)现有甲、乙两个靶，某射 手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得 1 分，没有命 中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中 一次得 2 分，没有命中得 0 分．该射手每次射击的结果相互 独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分 X 的分布列．
• A．0.960 • C．0.720
B．0.864 D．0.576
• 【解析】 P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. • 【答案】 B
4．如果 X～B15，14，则使 P(X＝k)取最大值的 k 值为
() A．3
B．4
C．5
D．3 或 4
【解析】 采取特殊值法．
∵P(X＝3)＝C3151433412，P(X＝4)＝C415144·3411，P(X＝5)
数的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝19.
(3)ξ 可取 0,2,4.
P(ξ＝0)＝P(X＝2)＝287，
P(ξ＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝4801，
P(ξ＝4)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝1871，
随机变量 ξ 的分布列为
ξ
0
2
4
P
8 27
40 81
17 81
• 【归纳提升】 独立重复试验是相互独立 事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立 事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰 好”字样的用独立重复试验的概率公式计 算更简单，就像有“至少”或“至多”字 样的题用对立事件的概率公式计算更简单 一样．