十梁的应力习题答案

习题

10−1一工字型钢梁，在跨中作用集中力F，已知l=6m，F=20kN，工字钢的型号为20a，求梁中的最大正应力。

解：梁内的最大弯矩发生在跨中kN.m

30

max

=

M

查表知20a工字钢3

cm

237

=

z

W

则MPa

6.

126

Pa

10

6.

126

10

237

10

306

6

3

max

max

=

⨯

=

⨯

⨯

=

=

-

z

W

M

σ

10−2一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。

解：梁的弯矩方程为()2

2

1

2

1

qx

qlx

x

M-

=

则曲率方程为()

()

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

=

=2

2

1

2

1

1

1

qx

qlx

EI

EI

x

M

x z

z

ρ

梁下边缘的线应变()()⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

=

=2

2

1

2

1

2

2

qx

qlx

EI

h

x

h

x

z

ρ

ε

下边缘伸长为()

3

2

02

2

1

2

1

2Ebh

ql

dx

qx

qlx

EI

h

dx

x

l

l

z

l

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

=

=

∆⎰

⎰ε

10−3已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。

解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。

b

h

10−4 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m ,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。

解：

1、设截面的形心到下边缘距离为y 1 则有 cm 33.74

108410

4104841=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=

y

则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y 于是截面对中性轴的惯性距为

4

2323cm 0.86467.24101241033.3841284=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图

设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面

MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.16

8

231max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.910

0.8641067.410778.168

2

32max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ 在E 截面上

MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.16

8

232max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.810

0.8641033.7100.168

2

31max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa 61.9max c,=σ

C

10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F ，已知l =4m ，b =120mm ，h =180mm ，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa ，求梁能承受的最大荷载F max 。

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4

max Fl M =

矩形截面梁 6

2

bh W z =

则由 []σσ≤=z

W M max max

得 []

642

bh Fl σ≤ 即 []N 64804

318.012.021*******

2=⨯⨯⨯⨯⨯=≤l bh F σ 10−6 由两个28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ，求梁的许可荷载[F ]。

解：作弯矩图

梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max =

矩形截面梁 3'max

'

max cm 656.6802====z z z z W y I y I W

则由 []σσ≤=

z

W M max

max 得 []z W F σ≤4 即 []N 289274

10656.680101704

66=⨯⨯⨯=≤

-z

W F σ

b

h