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几种常见数列求和方法的归纳

1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）

（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)

1(1)1()1(11q q

q a q na S n

n （切记：公比含字母时一定要讨论）

（3）222221(1)(21)

1236n

k n n n k n =++=++++=∑L （不作要求，但要了解）

例：（1）求=2+4+6+ (2)

（2）求=x+++…+(x )

2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）22

2

2

sin 1sin 2sin 3sin 89++++o

o

o

o

L L .

3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 例：（1）求和：(1)321ΛΛ个

n n S 111111111++++=

81

10

9101--+n n

（2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++

=Λ

当1±≠x 时，n x x x x S n n n n 2)

1()

1)(1(2

2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）

常见的拆项公式：

111)1(1+-=+n n n n ，)121

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111

()(2)22

n n n n =-++，

)

12)(12(1

1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ，

=

例：（1）求和：1111,,,,,132435(2)

n n ⨯⨯⨯+L L

.

（2）求和)12)(12()2(5343122

22+-++⋅+⋅=n n n S n Λ

1

2)

1(2++=

n n n S n

5．错位相减法：比如{}{}.

,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ(适用于：等差数列乘

以等比数列的通项求和)

例：求和：2

3

,2,3,,,n

a a a na L L

当1a =时，123n S =+++ (1)

2

n n n ++=

， 当1a ≠时，212

(1)(1)

n n n na n a a

S a ++-++=-

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 5050

练：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n

2

，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式； a n ＝n .

(2)设2(1)n a

n

n n b a =+-，求数列{b n }的前2n 项和． T 2n ＝22n ＋

1＋n －2

7．分类讨论求和

（1）分奇偶项：奇数项是一个数列，偶数项又是一数列。（分组求和法的变通）。

例：已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩

为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．

21324(21)

()23

(35)4(21)()23n n n

n n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数

（2）分正负：数列中一些项为正，一些项为负。

例：已知公差为d 的等差数列{}n a ，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列，（1）求d ，n a ，（2）若0d <，求123n a a a a ++++L 。

4,46n d a n ==+或1,11n d a n =-=-+

(21)11

2

(10)(11)11

2

n n n

n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨

--⎪>⎪⎩