第4章 模型参数辨识方法 - 方程误差辨识方法_56950744
参数辨识算法
参数辨识算法
参数辨识算法是一种用于确定未知系统参数的算法，其主要应用于控制系统、信号处理、通讯系统等领域。
该算法通过输入输出数据的分析，推导出系统的参数，以便更好地理解和控制系统行为。
常见的参数辨识算法包括极大似然估计法、最小二乘法、系统辨识工具箱等。
极大似然估计法是一种基于统计学的参数辨识算法，其原理是通过观察到的数据，计算一组最有可能的参数值，使得该参数下的系统输出数据和观察到的数据尽可能接近。
最小二乘法是另一种常用的参数辨识算法，其原理是通过最小化模型输出与实际输出之间的误差，推导出最优参数值。
系统辨识工具箱是一种集成各种参数辨识方法的软件工具，可快速方便地进行系统辨识。
参数辨识算法在控制系统中的应用非常广泛，例如，用于飞机、汽车、机器人等机械系统的运动控制，以及用于噪声控制、降噪处理等领域。
在通讯系统中，参数辨识算法可用于信道估计、信号跟踪、调制识别等方面。
总之，参数辨识算法在现代科技中扮演着重要的角色，它对于提高系统控制和信号处理的精度和可靠性具有重要意义。
- 1 -。
第8讲——第4章.ppt
(1)数值积分法
• 特点：
– 可以求任意频率下的频率响应，但一
次只能求一个 – 普通输入信号 – 没有考虑噪声
(2) FFT法
L
U ( jr) u(k )W rk
k 1
Y ( jr) L y(k )W rk
k 1
W
j 2
eL
,
• 实际情况下的问题（系统的非线性畸变z(t)中的高次
谐波， z(t)中含噪声 ），如何确定B1和1
• 解决思路：利用输入和输出的互相关函数去除噪声和 高次谐波的影响
(2) z(t)与sin(t)和cos(t)的互相关函数
• z(t)与sin(t)在=0时的互相关函数
1 时间自相关
Zs Rz(t ),sint (0) T
(
)e
j
d
1
j n
w(
)
ane n1
M
,
0, M
M
1
Su,L (r ) an Sˆu,L (rn ) n1 1
Luz,L (r ) an Lˆuz,L (rn ) n1 1
Quz,L (r ) anQˆuz,L (rn ) n1
4.2.1 利用Y(j)=G(j)U(j)辨识G(j)
• 基本步骤
– 依据：Y(j)=G(j)U(j)
– 施加输入信号u(t)，记录输出y(t)
– 任意给定，根据u(t)和y(t)计算U(j)和Y(j) – G(j)= Y(j)/ U(j)
4.2.1 利用Y(j)=G(j)U(j)辨识G(j)
4.2.2 利用Suy(j)= G(j)Su(j)辨识G(j)
第四讲 模型识别和残差检验
ˆ *)2 ( y i xi' ˆ2 h i 1
N i
6）
' x x ˆ *) ˆ ( ˆ 2 ( i i ) 1 V ˆ2 i 1 h N i
自相关
导致自相关出现的原因
– – –
动态识别错误 忽略相关解释变量 函数形式错误
例如 Yt= xt+ t, t = t-1 +ut 冰激凌消费模型，解释变量收入，价格，温度，模型存在 自相关，但是如果增加前一期的温度，模型自相关消失 y=0.5logt+ 把模型错误的设定为y=c+at+u
模型识别－如何选择解释变量
根据经济理论选择解释变量，
例如工资的决定：人力资源理论，影响生产效率的因素会影响工 资；工作特征，蓝领还是白领；一般工作环境，行业失业率等
数据挖掘data mining(snooping) 由简单到一般 由一般到特殊 根据t检验不那同时去掉两个检验不显著的变量 根据指标：调整后的拟合优度，AIC,BIC 检验是否忽略掉重要解释变量RESET检验
模型识别
检验线性模型还是对数线性模型合适PE检验 首先分别用OLS法估计线性和对数线性模型，得 到拟和值 ˆ ~
y i , log( y i )
yi= xi+ LIN( log( y ˆ i ) log( ~ yi )) + uI H0: LIN =0
ˆ i exp{log( ~ yi )}) + uI log yi= (logxi ) + LOG( y H0: LOG =0
i i i 1 1i
3 3i
)
异方差
变换
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ log(labour i ) / hi c / hi 1 log(output i ) / hi 2 log(wage i ) / hi 3 log(capital i ) / hi u i
参数辨识方法
参数辨识方法指通过实验数据或观测结果，推断或估计系统或模型的参数值的一类方法。
这些方法通常用于建立数学模型、探索系统行为、优化控制策略等领域。
以下是几种常见的参数辨识方法：
1. 最小二乘法（Least Squares Method）：最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
它适用于线性和非线性模型，并可考虑测量误差。
2. 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：极大似然估计是一种统计方法，用于通过最大化观测数据的似然函数来估计参数。
它适用于概率模型和随机过程的参数辨识。
3. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种优化算法，可以用于参数辨识问题。
它模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，通过迭代搜索来找到最优参数组合。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种启发式优化算法，模拟鸟群或鱼群的行为，通过协作和信息共享来寻找最优参数组合。
5. 系统辨识理论（System Identification Theory）：系统辨识理论提供了一系列数学和统计方法，用于从实验数据中推断系统的结构和参数。
它涵盖了许多方法，包括参数估计、频域分析、时域分析等。
这些方法的选择取决于具体的应用和问题领域。
不同方法有不同的假设和适用条件，需要根据实际情况选择合适的参数辨识方法来获得准确的参数估计。
参数辨识的过程
参数辨识的过程一、引言参数辨识是指根据已知的输入输出数据，通过建立数学模型，对系统的未知参数进行估计和辨识的过程。
在科学研究和工程实践中，参数辨识对于系统建模、控制与优化等问题具有重要意义。
本文将介绍参数辨识的基本概念、方法和应用。
二、参数辨识的基本概念1. 参数：在数学模型中，描述系统特性的未知量被称为参数。
参数可以是物理量、几何参数或统计参数等。
2. 辨识：辨识是指根据已知的输入输出数据，对系统的未知参数进行估计和推断的过程。
3. 数学模型：数学模型是对系统行为进行描述的数学表达式，可以是线性或非线性、时变或时不变的。
三、参数辨识的方法1. 参数估计法：参数估计是指通过最小二乘法或极大似然估计等方法，利用已知的输入输出数据，对系统的未知参数进行估计。
2. 信号处理法：信号处理方法通过对输入输出信号进行滤波、频谱分析等处理，提取系统的频率响应特性，进而推断系统的参数。
3. 优化方法：优化方法通过调整系统参数，使得系统输出与实际观测值之间的误差最小化，从而得到最优参数估计。
4. 神经网络方法：神经网络是一种模仿生物神经网络结构和功能的数学模型，可以通过训练神经网络，得到系统的参数估计。
四、参数辨识的应用1. 控制系统设计：参数辨识可以用于建立系统的数学模型，从而设计出有效的控制算法，实现系统的自动控制。
2. 机器学习：在机器学习领域，参数辨识可以用于训练模型，对大数据进行分析和预测。
3. 信号处理：参数辨识可以用于信号处理领域中的滤波、频谱分析等问题。
4. 物理实验：在物理实验中，参数辨识可以用于对物理系统的特性进行分析和实验验证。
五、参数辨识的挑战和发展方向1. 噪声干扰：在实际应用中，系统输入输出数据往往受到噪声的影响，这给参数辨识带来了挑战。
2. 非线性系统：大多数实际系统都是非线性的，参数辨识方法需要考虑非线性系统的特性。
3. 多参数辨识：往往一个系统存在多个参数需要辨识，参数辨识方法需要考虑多参数辨识的问题。
控制系统设计中的模型鉴别方法综述
控制系统设计中的模型鉴别方法综述在控制系统设计中，模型鉴别方法是一项关键性工作。
模型鉴别方法可以帮助工程师准确地识别出待控系统的数学模型，为后续的控制器设计和性能优化提供基础。
本文将对控制系统设计中常用的模型鉴别方法进行综述。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常见的模型鉴别方法，它通过最小化误差的平方和来拟合实际测量数据和理论模型之间的差异。
最小二乘法可以用于线性和非线性模型的鉴别。
对于线性模型，最小二乘法可以通过矩阵运算求解最优解。
而对于非线性模型，最小二乘法可以通过迭代优化算法求解。
二、频域方法频域方法是一种将系统响应与频率特性相关联的模型鉴别方法。
它通常基于输入和输出信号的频谱分析，可以用于连续时间和离散时间系统。
频域方法可以采用傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学工具，通过求解传递函数或频率响应函数来获得系统模型。
频域方法适用于具有周期性输入和输出信号的系统。
三、时域方法时域方法是一种将系统响应与时间域特性相关联的模型鉴别方法。
它通常基于实际采集到的离散时间数据，通过插值、拟合等技术来获得离散时间系统的模型。
时域方法可以采用多项式插值、曲线拟合等数学工具，通过建立系统差分方程或状态空间模型来进行模型鉴别。
时域方法适用于实际工程中获得的离散时间数据。
四、系统辨识方法系统辨识方法是一种通过试验数据来识别系统动态特性的模型鉴别方法。
它可以通过对系统施加特定的输入信号，观测系统输出响应来获得系统模型。
系统辨识方法可以分为参数辨识和非参数辨识两种方法。
参数辨识方法假设系统具有某种结构，通过最小化残差的平方和来确定模型参数。
非参数辨识方法不对系统结构进行假设，通过直接拟合试验数据来获得系统模型。
五、神经网络方法神经网络方法是一种基于人工神经网络的模型鉴别方法。
它可以通过输入输出数据训练神经网络，从而获得系统的模型。
神经网络方法可以适用于非线性系统的建模和鉴别。
神经网络方法具有较强的自适应能力和非线性拟合能力，但对于网络结构和训练样本的选择具有一定的要求。
第四章-最小二乘参数辨识方法及原理
脉冲传递函数描述：
Y ( z ) b0 b1 z 1 bn z n B( z 1 ) G( z) = 1 n 1 U ( z ) 1 a1 z an z A( z )
2.随机模型
v(k )
u(k )
G (k )
x(k )
y(k )
观测值可表示为：
本章的学习目的
1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理
2、掌握常用的最小二乘辨识方法 3、熟练应用最小二乘参数辨识方法进行模型参数辨识 4、能够编程实现最小二乘参数辨识
回
顾
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。 Input
Process 目 的
Output
工程实践
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N N N N ˆ Ri 2 R a 702ti.762i ti ti i 1 i 1 a i 1 i 1 ˆ 2 N N ˆ N. t i2 t i b 3 4344 i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b i 1 ˆ R 943 .1682 N N 2 N ti ti i 1 i 1
上述N个方程可写成下列向量－矩阵形式
y (n) y (1) u (n 1) y (n 1) y (n 2) y (n 1) y (2) u ( n 2) y (n N ) y (n N 1) y ( N ) u (n N )
模型误差的诊断及半参数补偿方法
模型误差的诊断及半参数补偿方法建模过程中的各种近似求解以至于线性参数模型中不可避免地含有模型误差。
为提高解算结果的精度，先采用线性参数模型的常用假设检验法进行统计检验，检验结果不同时，再利用半参数补偿最小二乘估计法对模型误差进行补偿，并利用模拟算例进行验证，结果表明，半参数模型可以有效地处理线性参数模型中存在的模型误差。
标签：平差系统；模型误差；假设检验；半参数模型0 前言平差系统的线性模型一般可归结为高斯-马尔可夫（G-M）模型，即：，，式中，，误差方程为：。
最小二乘平差参数的估值具有最优无偏性，具有无偏性和渐进最优性，这些良好的统计性质都是基于模型中不存在模型误差[1-4]，但在实际平差系统中，由于种种原因产生的模型误差，尤其建模近似在平差模型中的表现更为突出[4]。
因此，研究模型误差诊断的识别与补偿方法，是平差系统建模最优化和参数估计最优化的前提，具有重大的理论和现实意义。
1 参数模型检验流程图2 算例分析应用文献[1]的数据进行计算，并将模拟的系统误差引入，误差方程式为：3 结论经典G-M模型在平差系统的函数模型存在模型误差时很难发现和识别模型误差；若模型误差忽略不计，将会给参数估值带来不利影响；本文采用半参数模型补偿最小二乘估计解算，同时考虑了参数与非参数因素，对数据精度的提高起到了很好的作用。
由此说明半参数方法补偿模型误差相对来讲是处理平差模型存在的模型误差的一种较好的方法。
本文的研究还是初步涉足，尚且存在问题需进一步深入探讨。
参考文献：[1]武漢大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2003：83-85.[2]陶本藻.测量数据处理的统计理论和方法[M].北京：测绘出版社，2007.[3]张朝玉，陶本藻.平差系统模型误差及其设计方法研究[J].武汉大学学报（信息科学版），2005，30（10）：897-899.[4]张朝玉，陶本藻.平差系统的模型误差及其识别方法研究[J].武漢大学学报（信息科学版），2005，30（10）：897-899.[5]丁士俊. 测量数据的建模与半参数估计[D]. ：武汉大学，2005.作者简介：贾宁（1996-），女，安徽宿州人，在读研究生，研究方向：地理信息系统开发与应用。
第4章 模型参数辨识方法 - 梯度校正辨识方法_381307565
上，对 (k ) 作线性搜索，使准则函
ˆ (k 1 )
ˆ (k 1) (k )P (k ) (k )= arg min J L
J L ( )
T
ˆ (k 1)
ˆ (k ) 的范围，使其保持在某个预定 ● 迭代运算时有必要约束参数估计值
1
这就形成下述的牛顿迭代算法
2 J ( ) J ( ) T L ˆ ˆ (k ) (k 1) (k ) L 2 ˆ (k 1) ˆ (k 1) 2 J ( ) J ( ) T L 其中， 综合为搜索方向。 L 2 ˆ (k 1) ˆ (k 1)
i 个元素；
6
ˆ (k ) 与数据向量 h(k ) R N 1 不正交； ④ (k )= 0
ˆ (k )= 。 则 lim (k )=0 or lim 0
k k
说明： ● 写出参数误差离散方程
T (k )= I R(k )h(k )h (k ) (k 1)
J L ( )
ˆ (k 1) ˆ (k 1)) + J L ( ) J L ( ˆ (k 1)
2
1 ˆ (k 1) 2
T
2 J L ( ) ˆ (k 1) 2 ˆ (k 1)
对 极小化，考虑到上式右边第一项对 求导为零，为此可得
或
,N ,i m,k 0 ，
m (k 1) i (k 1) ,i 1,2 , ,N ,i m,k 0 ； m (k ) i (k )
模型参数辨识方法
模型参数辨识方法1.最小二乘法（Least Squares Method）最小二乘法是一种常用的参数辨识方法，它通过最小化观测数据与模型预测值之间的平方误差来确定模型的参数值。
最小二乘法可以用于线性和非线性模型。
对于线性模型，最小二乘法可以直接求解闭式解；对于非线性模型，可以使用数值优化算法进行迭代计算。
2.极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）极大似然估计是一种常用的统计推断方法，也可以用于模型参数辨识。
该方法假设观测数据满足一些统计分布，通过最大化观测数据出现的概率来估计参数值。
具体方法是构造似然函数，即给定观测数据下的参数条件下的概率密度函数，并最大化该函数。
3.贝叶斯推断（Bayesian Inference）贝叶斯推断是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，它通过先验分布和观测数据的条件概率来更新参数的后验分布。
贝叶斯推断可以通过采样方法如马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）来计算参数的后验分布，进而得到参数的估计值和置信区间。
4.参数辨识的频域方法频域方法在信号处理和系统辨识中应用广泛。
它基于信号的频谱特性和一些假设，通过谱估计方法如传递函数辨识和系统辨识，来推断模型的参数。
典型的频域方法有最小相位辨识、系统辨识的频域特性估计等。
5.信息矩阵（Information matrix）和似然比检验（Likelihoodratio test）信息矩阵和似然比检验是统计推断中的基本工具，也可以用于模型参数辨识。
信息矩阵衡量了参数估计的方差和协方差，可以通过信息矩阵来进行参数辨识的有效性检验。
似然比检验则是比较两个模型的似然函数值，用于判断哪个模型更好地解释观测数据。
总之，模型参数辨识是通过观测数据，推断出模型的参数值。
常用的方法包括最小二乘法、极大似然估计、贝叶斯推断、频域方法和信息矩阵等。
在实际应用中，选择合适的参数辨识方法需要考虑模型的特点、数据的性质以及求解的复杂度等因素。
动力学模型的参数辨识方法
动力学模型的参数辨识方法动力学模型的参数辨识方法是指通过实验数据来确定动力学系统中的参数值，以建立准确的数学模型。
在工程领域中，对于复杂的动力学系统，通过参数辨识方法可以提供重要的指导，用于设计和控制系统。
一、参数辨识方法的介绍参数辨识是指通过数学和统计分析方法来获得未知参数的值。
在动力学模型中，参数代表了系统中各个组成部分的特性，确定准确的参数值可以更好地理解和预测系统的行为。
常用的参数辨识方法包括最小二乘法、极大似然估计法、贝叶斯统计方法等。
这些方法根据实验数据和先验知识来优化参数值，以使模型与实际系统的行为最接近。
二、最小二乘法最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，其基本思想是尽量减小实际观测值与模型预测值之间的误差平方和。
具体步骤如下：1. 建立动力学模型：根据实际系统的特性和已知信息，建立动力学模型，并确定需要辨识的参数。
2. 收集实验数据：设计实验方案，按照一定的规则收集系统的输入和输出数据。
3. 误差计算：将实验数据代入动力学模型，计算模型预测值与实际观测值之间的误差。
4. 参数优化：通过最小化误差的平方和，求解使误差最小的参数值。
最常用的方法是最小二乘法。
5. 模型验证：使用优化后的参数值重新运行动力学模型，并与实验数据进行比较验证。
三、极大似然估计法极大似然估计法是一种基于统计推断的参数辨识方法，其基本思想是找到使得观测数据出现的概率最大的参数值。
具体步骤如下：1. 假设参数分布：对于待辨识的参数，假设其满足某种概率分布。
2. 建立似然函数：根据假设的参数分布，建立观测数据出现的概率函数，即似然函数。
3. 极大化似然函数：通过调整参数值，使似然函数取得最大值，即确定使观测数据出现概率最大的参数值。
4. 参数估计：根据极大似然估计法得到的参数值作为系统的估计值。
四、贝叶斯统计方法贝叶斯统计方法是一种基于概率理论和贝叶斯定理的参数辨识方法。
与极大似然估计法相比，贝叶斯统计方法更加灵活，能够充分利用先验知识和先验概率。
模型参数辨识方法
模型参数辨识方法模型参数辨识方法是指通过收集实际数据，利用统计学和机器学习的方法来估计和确定数学模型中的参数。
在实际应用中，模型参数辨识是非常重要的，因为准确的参数估计可以提高模型的预测性能，并能够帮助决策者做出更准确的决策。
1.经典参数辨识方法：a.最小二乘法：最小二乘法是最常用的参数辨识方法之一、它通过最小化预测值和实际观测值之间的差异来确定最优参数。
最小二乘法可以用于线性和非线性系统的参数估计。
b.极大似然估计：极大似然估计是一种基于统计学原理的参数估计方法。
它基于样本数据的概率分布来估计模型参数，寻找使观测数据出现的概率最大的参数值。
c.系统辨识方法：系统辨识方法是一种通过建立模型来估计系统参数的方法。
包括基于频域的频率辨识方法，如频域最小二乘法和递推最小二乘法；以及基于时间域的时域辨识方法，如ARMA模型和ARIMA模型。
2.基于机器学习的参数辨识方法：a.支持向量机（SVM）：SVM是一种常用的机器学习方法，可以用于参数辨识。
通过将数据映射到高维空间，并在该空间中找到最优的超平面来进行分类或回归任务。
b.神经网络：神经网络是一种模仿人脑神经元功能的机器学习模型。
可以通过调整神经网络的权重和偏置来估计模型参数。
c.遗传算法：遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法，能够用于参数辨识。
通过模拟遗传操作（选择、交叉和变异）来最优参数。
d.贝叶斯方法：贝叶斯方法是一种基于贝叶斯定理的参数辨识方法。
它通过考虑先验知识和观测数据来估计后验概率分布，从而得到参数的估计值。
无论是经典参数辨识方法还是基于机器学习的参数辨识方法，都需要收集和准备大量的实际数据作为输入，然后应用适当的算法来估计模型参数。
模型参数辨识的准确性和稳定性取决于数据的质量和所采用的方法的适用性。
因此，在进行模型参数辨识之前，需要进行数据预处理和分析，选择适合的参数辨识方法，并评估估计结果的可靠性和有效性。
参数辨识模型
参数辨识模型•在对实际问题进行数学建模时，经常会遇到这样一类问题：在确定了问题涉及的关键量和发现了制约问题的基本规律或部分规律之后，可得到这些关键量之间关系的数学表达式，但这些表达式中含有若干未知的参数。
（此时就不能直接从这些关系式中得到这些关键量的定量变化规律使问题获得解决。
）•人们把确定未知参数的过程称为参数辨识，这样一类问题的数学描述称为参数辨识模型一施肥效果分析•问题：某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。
某作物研究所在该地区对生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示。
当一种营养素的施肥量变化时，总将另二种施肥量保持在第七个水平上。
试分析施肥量与产量之间的关系651 19.40685 24.53392 41.11558 20.11587 22.07336 16.12465 15.84489 21.34280 19.34372 17.97391 22.64224 21.63279 19.20294 21.94168 22.59186 17.56196 17.10112 17.75140 16.24147 14.3384 16.2793 16.8998 42.4656 14.5647 16.7649 9.4828 12.700 15.750 6.390 11.02Kg/ha t/ha Kg/ha t/ha Kg/ha t/ha施肥量 产量施肥量 产量施肥量 产量K P N我们仅以生菜产量与P肥的施肥量之间关系为例加以说明•模型的建立基于以下机理:P是植物生长的要素之一,土壤中没有P,植物不可能长成,因而产量为0.另一方面,若其他营养要素N,K供应充分能满足植物生长需要,则随着P的施肥量增加,植物的产量会增加,而产量达到较高水平时,再增加 P肥的施肥量引起产量增加的效果会降低..•从数据可以看出,当P肥的施肥量为0 时,生菜产量并非为0,说明土壤中原来就含有一定的P.实验数据又表明, P肥的施肥量再多也不会引起产量的明显下降,因此可以认为, P肥的施肥量大大增加,生菜产量趋于一个渐近值—称为极限产量.•另外还应有一个量来刻画由P肥增加引起产量增加逐步接近极限产量的速度.•于是,可用三个参数的函数方程作为描述生菜产量对P 肥的施肥量依赖关系的数学模型.•用y 表示生菜的产量，P 表示p 肥的施肥量。
系统辨识课件-经典的辨识方法
T1 S2 T3 U2 0 U4
S 2 T3 T3 S4 S 4 T5 0 U4 U4 0 0 U6
ˆ b0 S 0 ˆ T b1 1 ˆ S2 b2 ˆ 0 a ˆ 1 U 2 a 2 0 ˆ a3
2 T ˆ ( )u (t )d g ( )u (t )d lim ( ) z (t ) g dt 0 T 0 T 0
1 T ˆ lim ( ) z (t ) g ( )u (t )d u (t )dtd 0 0 g ( ) 0 T T 0 1 T ˆ ( )u (t )d u (t )dt 0 lim ( ) z (t ) g 0 0 T T
4.2 阶跃响应法 4.2.1 阶跃响应的辨识 通过手动操作，使过程工作在所需测试的负荷下，稳定运行一段时间 ，快速改变过程的输入量，并用记录仪或数据采集系统同时记录过程输入 和输出的变化曲线。
4.2.2 阶跃响应求过程的传递函数 ● 归一化： u (t ) u(t ) / U0 U 0 为输入信号幅度 输入：
0 1 An 2
0 0 A1
b1 0 A1 b2 0 A2 bm 1 An 0
● 传递函数阶次的确定： 判别各阶面积是否大于零
● Laplace极限定理求过程的传递函数 设：
K 1 lim h1 (t )
hr (t ) [ K r 1 hr 1 ( )]d
0
过程建模4-模型阶辨识
4 模型阶的辨识
4.3 AIC准则法
求取模型的对数似然函数 log L n,q ，经过化简，可以 写为：
log L n, q L log J n C 2
其中，L为数据长度，C表示常数。
4 模型阶的辨识
4.3 AIC准则法
AIC 是一个考虑了模型复杂性的新准则，定义为
AIC n 2log L n,q 2 p
式中 L 是模型的似然函数，p 是模型中参数的数目。 这是 Akaike （赤池） 总结了时间序列统计建模的历 史发展，在企图对一个复杂的系统寻找近似模型的概率 论证的大量探索启示下，借助信息论而提出的一个合理 准则。在一组可供选择的模型中， AIC 最小的那个模型 是一个可取的模型。
上篇
线性系统建模
4 模型阶的辨识
在模型参数辨识时，都假定模型的阶次（模型的结构） 是已知的。然而，在实际中，模型的阶往往是未知的！ 如果模型的阶取得不对，参数模型将产生很大的误差。 因此，用某种方法来确定模型的阶是系统辨识中极其重 要的一环。 考虑SISO线性定常系统（v(k)为白噪声过程）
A z 1 z k B z 1 u k v k z k a1z k 1 an z k n b1u k 1 bnu k n v k (1)
以上三种模型定阶方法均是针对式（ 1 ）所描述的线 性定常SISO过程，假定过程噪声为零均值白噪声的条件 下获得的。对于有色噪声干扰的模型定阶，本课程不作 讲解，有兴趣的同学可查阅参考书目；
以上三种模型定阶方法均假定式（ 1 ）的方程中输入 阶次 na=输出阶次 nb=n，是为描述简便起见。如果 na≠nb ， 可同样运用这三种方法。
参数辨识方法
参数辨识方法一、概述参数辨识方法是指从一组观测数据中确定系统参数的过程。
在工程和科学领域中，参数辨识是非常重要的，因为它能够帮助我们理解系统的行为，并为系统的设计和控制提供基础。
本文将介绍参数辨识的基本概念、常用方法以及应用领域。
二、参数辨识的基本概念参数辨识的基本概念包括系统模型、参数向量、测量数据和误差模型。
2.1 系统模型系统模型是描述系统行为的数学表达式。
对于线性系统，常用的系统模型包括差分方程模型、状态空间模型和传递函数模型。
对于非线性系统，系统模型可以是微分方程模型或其他合适的非线性模型。
2.2 参数向量参数向量是描述系统参数的向量，它包含了需要辨识的参数。
系统的参数可以是物理参数、结构参数或其他与系统特性相关的参数。
参数向量的辨识是参数辨识方法的核心任务。
2.3 测量数据测量数据是指从实际系统中获得的观测数据。
这些数据可以是系统的输入输出数据，可以是连续时间的数据，也可以是离散时间的数据。
测量数据是进行参数辨识的基础。
2.4 误差模型误差模型是描述测量数据与系统模型之间误差的数学模型。
误差模型可以是高斯白噪声模型、马尔可夫过程模型或其他适合的模型。
误差模型的选取对于参数辨识的精度和鲁棒性具有重要影响。
三、常用参数辨识方法常用的参数辨识方法包括极大似然估计、最小二乘法、频域辨识方法和统计分析方法等。
3.1 极大似然估计极大似然估计是一种基于概率统计的参数辨识方法。
它通过最大化观测数据的似然函数，估计参数向量的值。
极大似然估计可以用于线性系统和非线性系统的参数辨识。
3.2 最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化观测数据与系统模型之间的平方误差，估计参数向量的方法。
最小二乘法常用于线性系统的参数辨识。
当测量数据存在噪声时，最小二乘法可以利用误差模型对噪声进行建模。
3.3 频域辨识方法频域辨识方法是一种将系统辨识问题转化为频域特性分析问题的方法。
它通过对输入输出数据进行频谱分析，估计系统的频域特性，进而得到参数向量的估计值。
控制工程中的系统模型识别与参数辨识研究
控制工程中的系统模型识别与参数辨识研究在控制工程领域中，系统模型的识别和参数辨识是一项关键的研究内容。
准确地识别系统模型和辨识其参数，可以帮助工程师设计出更有效的控制策略，提高控制系统的性能和稳定性。
本文将对控制工程中的系统模型识别与参数辨识进行探讨和研究。
系统模型识别是指通过系统的输入和输出数据，推断出系统的数学模型。
识别系统模型的目的是为了更好地理解系统的特点，并能够对其进行预测和控制。
常用的系统模型包括线性模型、非线性模型、时变模型等。
参数辨识是指通过对系统输入和输出数据的统计分析，确定系统模型中的未知参数的值。
参数辨识的目的是为了确定系统模型的具体特性和性能，进一步为控制系统设计提供准确的参数数值。
系统模型的识别和参数辨识是一个相互依赖的过程。
系统模型的识别需要已知的参数值来进行计算和推断，而参数辨识则需要通过系统模型的识别来获得足够的数据和信息。
在实际工程中，系统的输入和输出数据常常受到噪声、干扰和测量误差的影响。
因此，在进行系统模型识别和参数辨识时，需要考虑数据的准确性和可靠性。
一般情况下，可以采用最小二乘法、极大似然估计等统计方法来拟合系统模型和辨识参数。
针对不同类型的系统模型和参数辨识问题，有各种不同的方法和算法可供选择。
例如，对线性时不变系统模型和参数辨识问题，可以采用系统辨识的经典方法，如ARX模型、ARMA模型、状态空间模型等；对非线性系统模型和参数辨识问题，可以采用基于神经网络的模型、粒子群算法等非线性辨识方法。
此外，还可以利用系统辨识工具包，如MATLAB中的System Identification Toolbox等，来进行系统模型识别和参数辨识的研究和实现。
在控制工程中，系统模型识别和参数辨识的研究有着广泛的应用。
例如，对于自动驾驶系统，准确地识别车辆模型和辨识其参数，可以帮助设计更精确的控制策略，提高驾驶的安全性和稳定性。
对于工业生产系统，通过识别系统模型和辨识参数，可以优化生产过程，提高生产效率和产品质量。
参数辨识模型
考察时段[t , t+t]薄膜两侧容器中该物 质质量的变化。以容器的A侧为例，在该 时段物质质量的增量为：
0
49 98
施肥量 产量 (kg/ha) (t/ha)
0
47 93
15.75
16.76 16.89
147
196 294
14.33
17.10 21.94
140
186 279
16.24
17.56 19.20
391
489 587
22.64
21.34 22.07
372
465 558
17.97
15.84 20.11
参数辨识模型
§1. 引言 在数学建模中，经常会遇到这样一类 问题：在确定了问题涉及的关键量和发 现制约问题的基本规律或部分规律后， 可以得到刻划这些关键量之间关系的数 学表达式，但在这些表达式中尚包含若 干未知参数。实际问题往往又提供了某 些表征关键量变化的信息(如某种实验数
据等等)。如果利用这些信息，连同刻划 关键量之间的表达式可以确定未知参数， 则实际问题就迎刃而解了。
(*)
C A (0) A ,CB (0) B 。
又注意到整个容器的溶液中含有该物质 的质量应该不变，所以
VACA(t )+ VBCB(t)=常数= VAA + VBB 。
由此解得
V B V B CA(t) CB(t), VA VA 代入(*)式中的第二式得
A B
A B dCB 1 1 SK ( )CB SK ( ), dt VA VB VB VA
第4章 模型参数辨识方法 - 方程误差辨识方法_56950744
E{z(k )} hT (k )
其中， h(k ) 是可测的数据向量，那么利用随机序列的一个实现，使准则函数
J (θ ) [ z(k ) hT (k ) θ ]2
k 1
L
ˆ 称作 的方程误差估计，或称最小二乘估计。 达到极小的参数估计值 ˆ ，使序 ● 方程误差原理表明，未知参数估计问题，就是求参数估计值
证明：算法表达式两边减去 0
ˆ(k 1) （下同），又因 c 0, 0 a 2 ，则 其中， ~ z (k ) z(k ) hT (k )
ahT (k )h(k ) 2 0 c hT (k )h(k )
2 2 ~ ~ ~ ~ 所以 (k ) (k 1) 0 ，（ ~ z (k ) 可能为零），也就是 (k ) (k 1) 0 。
根据不同的辨识原理，模型参数辨识方法可归纳成三类： ① 方程误差参数辨识方法， 其基本思想是通过极小化如下准则函数来估计 模型参数：
ˆ) J (θ
k 1
L
2
( k ) ˆ min θ
其中， (k ) 代表模型输出与系统输出的偏差。典型的方法有最小二乘法、增广 最小二乘法、辅助变量法、广义最小二乘法等。 ② 梯度校正参数辨识方法， 其基本思想是沿着准则函数负梯度方向逐步修 正模型参数，使准则函数达到最小，如随机逼近法。 ③ 概率密度逼近参数辨识方法，其基本思想是使输出 z 的条件概率密度
3、算法
2
● 对约束条件引入 Lagrangian 算子，准则函数写成
2 1 ˆ ˆ (k ) z(k ) hT (k )θ ˆ (k ) θ (k 1) θ 2 准则函数要达到极小的必要条件是
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ˆ(k 1) 的值作为 ˆ(k ) ，即 一个超曲面到另一个超曲面，选择最靠近
H1 θ : z (k ) hT (k 1)θ
其中， f ,,是一种代数函数；
ˆ(k 1) 是上一时刻的模型参数估计值；
} 和输出数 D(k ) 是数据集， 由输入数据 U (k ) {u(k ), u(k 1), u(k 2),
据 Z (k ) {z(k ), z(k 1), z(k 2),} 组成。
ˆ (k ) θ θ (k ) ˆθ 0 ˆ(k 1) hT (k )θ (k 1) z (k ) ˆ z (k ) hT (k )θ
ˆ (k ) θ θ ˆ(k 1) θ θ ˆ(0) θ , 或 θ (k ) θ(k 1) 0，k 1 ① θ 0 0 0 ~ ~ ~ 说明： ( k ) 非负、有界、不增； (k ) 不会比 (k 1) 离 0 更远。
p( z | ) 最 大 限 度 地 逼 近 条 件 0 下 的 概 率 密 度 p ( z | 0 ) ， 即
ax p( z | ˆ) m p( z | 0 ) 。典型的方法有极大似然法、预报误差法等。
4.2 模型参数辨识在线方案
① 辨识在线方案
ˆ(k ) f [θ ˆ(k 1), D(k ), k ] θ
H 2 θ : z (k ) hT (k )θ
ˆ(k 1)
ˆ(k )
图 4-1 投影原理 写成数学表达式
2 1 ˆ ˆ (k ) min θ (k 1) θ 2
J
5
2、准则 准则函数取
1 ˆ ˆ (k ) θ (k 1) θ 2 ˆ (k ) 。 其约束条件为 z(k ) hT (k ) J
E{z(k )} hT (k )
其中， h(k ) 是可测的数据向量，那么利用随机序列的一个实现，使准则函数
J (θ ) [ z(k ) hT (k ) θ ]2
k 1
L
ˆ 称作 的方程误差估计，或称最小二乘估计。 达到极小的参数估计值 ˆ ，使序 ● 方程误差原理表明，未知参数估计问题，就是求参数估计值
2 ~ 与 ( L) 非负、有界、不增是矛盾的。
7
③ lim
k
z (k ) c h (k )h(k )
T 1 2
0
说明：误差将趋于零。 证明：因 lim
L
z 2 (k ) ，必有 lim T k k k 1 c h (k )h(k )
L
c h
a2 ~ z 2 (k )
T
(k )h(k )
2
ˆ(k 1)
2
a 2 hT (k )h(k )z 2 (k )
T c h (k )h(k ) 2
ˆ (k ) θ ˆ(k d ) , ⑥ lim θ
L k d
L
2
d
说明：d 步参数变化平方和有界。
数据 Z (k d ) {z(k d ), z(k d 1),} 组成。
d 表示参数估计的预报能力，即利用 (k d ) 时刻以前的数据来估计当前
时刻的模型参数；
~ ˆ(k 1) 引起的模型预报误差。 z (k ) 建模误差，如由
4.3 方程误差辨识方法
● 方程误差原理：设一个随机序列 { z(k ), k (1,2, , L)} 的均值是参数 的线性函数
k 1
c h
hT (k )h(k )~ z 2 (k )
T
(k )h(k )
2
L ~ c~ z 2 (k ) z 2 (k ) ，右边 T 2 T k 1 c h ( k ) h( k ) k 1 c h ( k ) h( k ) L
第一项
L ~ c~ z 2 (k ) z 2 (k ) 0 ，故左边 ，右边第二项 2 T T k 1 c h ( k ) h( k ) k 1 c h ( k ) h( k )
z (k ) c h (k )h(k )
T 1 2
0 ，这是因为
2 lim ak ，必有 lim ak 0 L k 1
k
④ lim
L k 1
L
c h
L
hT (k )h(k )~ z 2 (k )
T
(k )h(k )
2
说明：误差平方和有界。 证明：因
1
6、协方差修正最小二乘算法 7、输出误差最小二乘算法 8、带死区的最小二乘算法 9、带约束条件的最小二乘算法 4.3.6 辨识算法的收敛性条件 1、正交投影辨识算法的收敛性 2、最小二乘辨识算法的收敛性 3、投影辨识算法的收敛性
2
Part II 辨识方法
第 4 章 模型参数辨识方法
4.1 模型参数辨识方法分类
课程名称： 《系统辨识理论与实践》
（Theory and Practice of System Identification）
Part II 辨识方法
第 4 章 模型参数辨识方法
4.1 模型参数辨识方法分类 4.2 模型参数辨识在线方案 4.3 方程误差辨识方法
4.3.1 投影辨识算法 1、模型 2、准则 3、算法 4、几何解析 5、基本性质 4.3.2 正交投影辨识算法 1、思想 2、算法 3、基本性质 4、收敛性 5、改进的正交投影辨识算法 4.3.3 最小二乘辨识算法 1、算法 2、性质 4.3.4 投影算法、正交投影算法和最小二乘算法的特点比较 4.3.5 最小二乘辨识算法的变形 1、加权最小二乘算法 2、遗忘因子最小二乘算法 3、限定记忆最小二乘算法 4、折息最小二乘算法 5、协方差重调最小二乘算法
证明：算法表达式两边减去 0
ˆ(k 1) （下同），又因 c 0, 0 a 2 ，则 其中， ~ z (k ) z(k ) hT (k )
ahT (k )h(k ) 2 0 c hT (k )h(k )
2 2 ~ ~ ~ ~ 所以 (k ) (k 1) 0 ，（ ~ z (k ) 可能为零），也就是 (k ) (k 1) 0 。
3
② 广泛采用的形式
ˆ( k ) ˆ(k 1) K (k )h(k d )~ z (k )
其中， K (k ) 为增益矩阵；
ˆ(k 1) 是上一时刻的模型参数估计值；
h(k d ) 是数据向量，由输入数据 U (k ) {u(k d ), u(k d 1),} 和输出
② lim
~ z 2 (k ) T L k 1 c h ( k ) h( k )
L
说明：误差平方和有界；为自适应控制算法提供全局收敛的充分条件。
~ 证明: ( L)
2
L ~ 2 ahT (k )h(k ) z 2 (k ) ~ (0) a 2 T T c h (k )h(k ) c h (k )h(k ) k 1
L
1
L
hT (k )h(k )~ z 2 (k ) c hT (k )h(k )
2
ˆ( k ) ˆ(k 1) ⑤ lim
说明：一步参数变化平方和有界。
ˆ( k ) ˆ(k 1) 证明：因
则根据④可得⑤。
2
T
1
h(k )
h(k 1)
超平面
θ0
ˆ(k ) θ ˆ(k 1) θ ˆ(k 1) θ
ˆ : z (k ) hT (k )θ H1 θ
超平面
ˆ : z (k 1) hT (k 1)θ H2 θ
2
图 4-1 投影算法的几何解析
6
5、基本性质 引入记号
ahT (k )h(k ) 0 ，若 因为 ( L) 非负、有界、不增，且有 2 c hT (k )h(k )
~
2
~ z 2 (k ) 不成立， T L k 1 c h ( k ) h( k ) lim
L
L ~ 2 ahT (k )h(k ) z 2 (k ) ~ ，也就是 ( L) ，这 意味 a 2 T T c h (k )h(k ) c h (k )h(k ) k 1
列的估计值尽可能地接近实际序列，两者的接近程度用实际序列与序列估计值 之差的平方和来度量。 ● 如果系统的输入输出关系可以描述成如下的最小二乘格式
z(k ) hT (k ) n(k )
式中，z(k)为模型输出变量，h(k)为数据向量， 为模型参数向量，n(k)为零均
4
值随机噪声。为了求模型的参数估计值，可以利用上述方程误差原理。根据观 测到的已知数据序列 { z( k )} 和 { h( k )} ，极小化下列准则函数
J
0
ˆ
h(k ) ˆ(k 1) z(k ) hT (k ) h (k )h(k ) ● 改进投影算法（防止分母为零）：
ˆ(k ) ˆ(k 1)
T
ˆ(k ) ˆ(k 1)
4、几何解析
a h(k ) ˆ(k 1) , c 0, 0 a 2 z(k ) hT (k ) h (k )h(k ) c
J ( ) [ z (k ) hT (k ) ]2