第11节-因式分解-分组分解法

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因式分解分组分解法讲义

要把这个多项式分解因式，不能提公因式也不能用公式！在这里我们把它旳前两项提成一组并提出公因式 a ；
把它旳后两项提成一组，并提出公因式 b ．
从而得到
a(m n) b(m n)
这时候因为 a(m n)与 b(m n) 又有公因式(m n)
于是能够继续提出公因式 (m n) 从而得到：(m n)(a b)
把下列各式分解因式：
(1)20(x+y)+x+y 解：原式 =20(x+y)+(x+y)
=21(x+y) (3)5m(a+b)-a-b
(2)p-q+k(p-q) 解：原式=(p-q)+k(p-q)
=(p-q)(1+k) (4)2m-2n-4x(m-n)
解：原式=5m(a+b)-(a+b) 解：原式=2(m-n)-4x(m-n)
分组分解法
分组后能直接提公因式
1.什么叫做因式分解？把一种多项式化成几种整式旳积旳形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.回忆我们已经学过那些分解因式旳措施？提公因式法，
公式法——平方差公式，完全平方公式
我们看下面这个多项式
am an bm bn
例１把a2-ab+ac-bc分解因式分析：把这个多项式旳四项按前两项与后
两项提成两组，分别提出公因式a与c后，另一种因式恰好都是a-b，这么就能够提出公因式a-b 。
解法一：a2-ab+ac-bc =(a2-ab)+(ac-bc) ——分组 =a(a-b)+c(a-b) ——组内提公因式
=(a-b)(a+c) ——提公因式

分组分解法因式分解课件

详细描述
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项式分组，然后对每组进行因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数和各项系数的特征，通常是将系数相近或具有某种关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式分解，最后将各组的因式结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式分解，尤其在处理复杂的多项式时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多项式，如二次、三次、四次多项式等。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教育中的重要内容，用于提高学生的数学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多项式，如三项一组、二项一组等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数特点，然后选择合适的分组方式，提取公因式进行因式分解。

因式分解(分组分解法)

主课题：因式分解(分组分解法)教案目标：1. 了解分组分解法的概念；2. 掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；3. 通过因式分解的综合题的教案，提高综合运用知识的能力。

4.渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。

教案重点：1. 在分组分解法中，提公因式法和公式法的综合运用；2. 通过观察、分析及尝试比较，找到合理的分组方法。

教案难点：1. 对较复杂的多项式分解因式；2. 灵活运用已学过的因式分解的各种方法；3. 正确地分组，熟练地掌握学过的方法，且能通过分析、预见到分组后的情况。

考点及考试要求：教案内容【知识要点】1. 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法；2. 利用分组分解法分解因式的多项式特征：(1)多项式的项数一般大于三项；(2)分组后各组可利用提取公因式法、公式法或十字相乘法进行分解；(3)各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解。

【方法归纳】常见的分组方法有：(1) “2+2”型：分为两组，每组两项，每组先提公因式，再总体提公因式，如222x xy x b --+；(2)“3-1”型：“3”是可用完全平方公式的三项式，整体是平方差公式，如2229x xy y -+-；(3)“3+2”型：“3”是可用完全平方公式的三项式，“2”是可以提取公因式的二项式，总体可以提取公因式，如222x xy y ax ay -++-；(4)“2+2+2”或“3+3”型，如223322a ab ab b a b -+--+，222ax bx bx ax cx cx +++++；(5)“3+2+1”型，如2212366368x xy y x y -+-++. 一、复习引入1.分解因式：(1) ()()a b x a b y +++；(2) 294916t -； (3) 2214a ab b -+； (4) 261x x --.通过练习，回顾已学的因式分解方法。

2.多项式ax ay bx by +++能因式分解吗？怎样分解？观察多项式ax ay bx by +++，启发分析如下：(1) 它的各项无因式，不能用提取公因式法分解；(2) 这是一个四项式，也不能直接用公式法或十字相乘法分解；(3) 仔细观察多项式的各项，发现：前两项有公因式a ，后两项有公因式b ，分别提取公因式后整个多项式有了公因式x y +，于是可再提取公因式分解因式。

因式分解分组分解法教师版

分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．如何将多项式am an bm bn+++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn+++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n+=+,()bm bn b m n+=+而：()()()()a m nb m n m n a b+++=++．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．分组分解法知识结构知识精讲内容分析【例1】因式分解：（1）2a ab ac bc -+-；（2）ax by bx ay --+．【难度】★【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()x y a b +-．【解析】（1）原式()()()()a a b c a b a c a b =-+-=+-；（2）原式()()()()a x y b x y x y a b =+-+=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例2】分解因式：32x bx ax ab +++．【难度】★【答案】2()()x b x a ++．【解析】原式2()()x x b a x b =+++2()()x b x a =++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例3】分解因式：32acx bcx adx bd +++．【难度】★【答案】2()()ax b cx d ++．【解析】原式2()()cx ax b d ax b =+++2()()ax b cx d =++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．例题解析【例4】分解因式：22abx bxy axy y +--．【难度】★【答案】()()ax y bx y +-．【解析】原式()()bx ax y y ax y =+-+()()ax y bx y =+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例5】分解因式：2105ax ay by bx -+-．【难度】★【答案】(2)(5)a b x y --．【解析】原式2(5)(5)a x y b x y =---(2)(5)a b x y =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例6】因式分解：26694k mn km kn -+-．【难度】★【答案】(32)(23)k n k m -+．【解析】原式3(23)2(23)k k m n k m =+-+(32)(23)k n k m =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例7】分解因式：222332154810ac cx ax c +--．【难度】★【答案】22(23)(165)c x a c --．【解析】原式222216(23)5(23)a c x c c x =---22(23)(165)c x a c =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例8】分解因式：2222ac bd ad bc +--．【难度】★★【答案】()()()c d c d a b -+-．【解析】原式2222()()a c d b d c =-+- 22()()c d a b =--()()()c d c d a b =-+-．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例9】分解因式：221x ax x ax a +++--．【难度】★★【答案】2(1)(1)a x x ++-．【解析】原式2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例10】分解因式：4321x x x ++-．【难度】★★【答案】322(1)(1)(1)(1)x x x x x ++=+-+．【解析】原式3(1)(1)x x x =+++ 3(1)(1)x x =++（未学过立方和的分解到这一步就可以）22(1)(1)x x x +-+【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例11】分解因式：22221a b a b --+．【难度】★★【答案】(1)(1)(1)(1)a a b b -+-+．【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b a b a a b b =---=--=-+-+【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例12】分解因式：22222a b a b ab ---．【难度】★★【答案】()()ab a b ab a b --++．【解析】原式2222222(2)()()()a b a b ab a b a b ab a b ab a b =-++=-+=--++【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【例13】分解因式：2421193n n m mx x y y +-+．【难度】★★【答案】2211()(1)33n m n m x y x y +-+．【解析】原式2422222211()93111()()()33311()(1)33n m n m n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y x y x y =-++=+-++=+-+ 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意对字母指数的准确理解．【例14】分解因式：()()x x z y y z +-+．【难度】★★【答案】()()x y x y z -++．【解析】原式2222()()()x xz y yz x y z x y x y x y z =+--=-+-=-++．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，当不能直接分解时，要利用乘法公式展开后再进行分组．【例15】分解因式：()()2221ab x x a b +++．【难度】★★【答案】()()ax b bx a ++．【解析】原式222()()()()abx ab a x b x ax bx a b a bx ax b bx a =+++=+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分组．【例16】因式分解：()()2232x x x x ++-+．【难度】★★★【答案】2(2)(1)(1)x x x x +-+-【解析】原式222222()3()2[()2][()1](2)(1)(1)x x x x x x x x x x x x =+-++=+-+-=+-+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及十字相乘方法的运用能力，注意先拆再重新分组．【例17】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．【难度】★★★ 【答案】7、9、11．【解析】设三个连续奇数最小的为21(0)k k +≥且k 为整数，则由题意可得： 222(21)(23)(25)251k k k +++++=，即222441412942025251k k k k k k ++++++++=．整理，得：23180k k +-=，即(6)(3)0k k +-=． ∵0k ≥，∴3k =．∴这三个连续奇数为7、9、11．【点评】如何设三个连续奇数是难点，然后完全平方公式的分解化为一元二次方程即可，再利用因式分解的思路求出方程的解．【例18】已知：111201*********a xb xc x =+=+=+，，，求：222a b c ab bc ac ++---的值．【难度】★★★ 【答案】3．【解析】由222a b c ab bc ac ++---，可得：2222222221(222222)21[()()()]2a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b b c a c ++---=++---=-+-+-把已知代入，可得：222a b c ab bc ac ++---=1(141)32⨯++=．【点评】主要利用系数乘以2后得到的三组完全平方公式，此类题目具有一般性．【例19】已知三条线段长分别为a 、b 、c 其中a b c <<，且满足2222a c b ac +<+．证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形．【难度】★★★ 【答案】见【解析】．【解析】∵2222a c ac b +-<，即22()a c b -<．∴c a b -<，∴c a b <+，又c 最大，可得以a 、b 、c 为三边能构成三角形．【点评】考查学生对于构成三角形的条件判定，以及运用因式分解求解不等式的能力．【例20】求方程x y xy -=的整数解．【难度】★★★【答案】12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，．【解析】由方程可得1(1)111y x y xy x y y x y y-=-===-+--，，所以， ∵x 、y 均为整数，∴11y -=±，∴12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，．【点评】本题综合性较强，主要考查利用因式分解求解方程以及如何去求整数解，注意对方法的总结．【习题1】因式分解：（1）33ac bc a b +++；（2）1xy x y --+、【难度】★【答案】（1）()(3)a b c ++；（2）(1)(1)x y --．【解析】（1）原式()3()()(3)c a b a b a b c =+++=++；（2）原式(1)(1)(1)(1)x y y x y =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题2】分解因式：432x x x x +++．【难度】★【答案】2(1)(1)x x x ++．【解析】原式32(1)(1)(1)(1)x x x x x x x =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题3】分解因式：222a ab ac bc +--．【难度】★【答案】()(2)a c a b -+．【解析】原式()2()()(2)a a c b a c a c a b =-+-=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题4】分解因式：ax ay bx cy cx by -++-- 【难度】★【答案】()()a b c x y +--．【解析】原式()()()()()a x y b x y c y x a b c x y =-+-+-=+--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．随堂检测【习题5】分解因式：27321x y xy x -+-．【难度】★【答案】(7)(3)x y x +-．【解析】原式7(3)(3)(7)(3)x x y x x y x =---=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【习题6】分解因式：2226923ax a xy xy ay -+-．【难度】★【答案】(3)(23)ax y x ay +-．【解析】原式3(23)(23)(3)(23)ax x ay y x ay ax y x ay =-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题7】分解因式：222221x y z x z y z --+．【难度】★【答案】22(1)(1)y z x z --．【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)x z y z y z y z x z =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题8】分解因式：3254222x x x x x --++-．【难度】★★【答案】24(2)(1)x x x -+-．【解析】原式2424(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x x =---+-=-+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意不要漏项．【习题9】因式分解：2224x xy y ++-．【难度】★★【答案】(2)(2)x y x y +-++．【解析】原式2()4(2)(2)x y x y x y =+-=+-++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题10】分解因式：2293x x y y ---．【难度】★★【答案】(3)(31)x y x y +--．【解析】原式229(3)(3)(3)(3)(3)(31)x y x y x y x y x y x y x y =--+=+--+=+--．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题11】 228224x y xy ---．【难度】★★【答案】2(2)(2)x y x y --++．【解析】原式22[4()]2(2)(2)x y x y x y =-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用，第一步先提取公因式很重要．【习题12】分解因式：226269x xy x y y --++ 【难度】★★【答案】(3)(32)x y x y ---．【解析】原式222(69)2(3)(3)2(3)(3)(32)x xy y x y x y x y x y x y =-+--=---=---【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题13】分解因式：2212x x y ---+．【难度】★★【答案】(1)(1)y x y x --++．【解析】原式2222(12)(1)(1)(1)x x y y x y x y x =-+++=-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题14】分解因式：222223a ab b a b ++---．【难度】★★【答案】(3)(1)a b a b +-++．【解析】原式2()2()3(3)(1)a b a b a b a b =+-+-=+-++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题15】分解因式：()()126x x x ---．【难度】★★【答案】2(2)(3)x x +-．【解析】原式3222326(3)2(3)(2)(3)x x x x x x x x =-+-=-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题16】分解因式：()()()()2222a b a c c d b d +++-+-+．【难度】★★【答案】2()()a d a b c d -+++．【解析】原式2222()()()()()()()()()(2)()(2)()(2222)2()()a b b d a c c d a b b d a b b d a c c d a c c d a d a b d a d a c d a d a b c d a d a b c d =+-+++-+=+--+++++--+++=-+++-++=-+++=-+++【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意先拆再重新分组，分解一定要彻底．【习题17】已知：22102510x xy y ++-=，化简：3225x x y x ++．【难度】★★【答案】0或22x ．【解析】由22102510x xy y ++-=，可得：2(5)10x y +-=，∴51x y +=±．∵32225(51)x x y x x x y ++=++，∴3225x x y x ++的值为0或22x ．【点评】本题主要考查利用因式分解求解方程，以及利用整体代入进行求值的思想．【习题18】把多项式()242211a a a a a +++++分解因式，所得的结果为（） A ．()221a a +-B ．()221a a -+C ．()221a a ++D ．()221a a -- 【难度】★★★【答案】C【解析】()2423242222222222112221(21)221()2()1(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+++++=++++=++【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题19】因式分解：222816x x y y -+-．【难度】★★★【答案】(4)(42)x y x y -+-．【解析】原式2222211816(1)(14)(114)(114)(4)(42)x x y y x y x y x y x y x y =-+-+-=---=-+---+=-+-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题20】因式分解：22243x y x y -++-．【难度】★★★【答案】(3)(1)x y x y -++-．【解析】原式222221(44)(1)(2)(12)(12)(3)(1)x x y y x y x y x y x y x y =++--+=+--=+-+++-=-++-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题21】已知：221a b +=，221c d +=，且0ac bd +=，求ab cd +的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由222222222()202ac bd a c abcd b d abcd a c b d +=++==--，得，代入2222222222222()2ab cd a b abcd c d a b a c b d c d +=++=--+2222222222()()()()a b c d b c b c a d =---=--，再把221a b +=，221c d +=代入，可得：22222222222()()(11)()()b c a d a d a d a d --=--+-=--，∴2222()()ab cd a d +=--，∴2222()()0ab cd a d ++-=，可得0ab cd +=．【点评】本题综合性较强，主要考查学生如何通过代数式等式，利用完全平方公式和因式分解以及非负性求解代数式的值．【作业1】因式分解：（1）a ax b bx --+；（2）2xy y yz xz --+．【难度】★【答案】（1）()(1)a b x --；（2）()()x y y z -+．【解析】（1）原式()()()(1)a b x a b a b x =---=--；（2）原式()()()()y x y z y x x y y z =---=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业2】分解因式：4333x x y xz yz +++．【难度】★【答案】33()()x z x y ++．【解析】原式3333()()()()x x y z x y x z x y =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业3】分解因式：325153x x x --+．【难度】★【答案】2(51)(3)x x --．【解析】原式225(3)(3)(51)(3)x x x x x =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业4】分解因式：251539a m am abm bm -+-．【难度】★【答案】(53)(3)m a b a +-．【解析】原式5(3)3(3)(53)(3)am a bm a m a b a =-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．课后作业【作业5】分解因式：54321x x x x x +++++．【难度】★★【答案】42(1)(1)x x x +++．【解析】原式4242(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x =+++++=+++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业6】分解因式：22ax bx bx ax a b -+-+-．【难度】★★【答案】2()(1)a b x x --+．【解析】原式22()()()()(1)x a b x b a a b a b x x =-+-+-=--+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业7】分解因式：21ax x a ++-．【难度】★★【答案】(1)(1)x ax a +-+．【解析】原式2(1)(1)(1)(1)a x x x ax a =-++=+-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业8】分解因式：()22112a b b b --+-．【难度】★★【答案】2(1)(1)a b --．【解析】原式222(1)(1)(1)(1)a b b a b =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力．【作业9】分解因式：3223a a b ab b --+．【难度】★★★【答案】2()()a b a b -+．【解析】原式22()()a a b b a b =---()()()a b a b a b =-+- 2()()a b a b =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力，注意分解要彻底．【作业10】已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【难度】★★★【答案】5．【解析】由22224613044690a b a b a a b b +--+=-++-+=，得，即22(2)(3)0a b -+-=，∴23a b ==，． ∴5a b +=．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．。

初中数学因式分解-分组分解法

3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3．1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式：ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- ［分为两组］=()()x a b y a b -+- ［“提”］=()()x y a b +- ［再“提”］一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行适当分组；3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.3．2 殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法： ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另一组）；另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式：221x ax x ax a +++--.解法一按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3．3 平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配. 例3 分解因式：3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.例4 分解因式：2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。

因式分解之分组分解法及添拆项法精选全文

可编辑修改精选全文完整版分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

例把多项式am+bn+an+bm 分解因式。

解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组，例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。

2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++- （6） )()(2222b a cd dc ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。

（1）22194m mn n +-+ （2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。

（1）44a + （2）4224a ab b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。

因式分解分组分解法笔记

因式分解分组分解法笔记
【原创版】
目录
1.因式分解分组分解法概述
2.分组分解法的基本步骤
3.分组分解法的实际应用
4.分组分解法的优点与局限性
正文
一、因式分解分组分解法概述
因式分解分组分解法是代数学中的一种重要方法，主要用于将一个多项式表达式分解成一些简单的因式相乘的形式。

分组分解法是因式分解的一种技巧性方法，它通过将多项式中的项进行分组，再进行因式分解，从而简化因式分解的过程。

二、分组分解法的基本步骤
分组分解法的基本步骤如下：
1.确定分组：将多项式中的项按照一定的规则进行分组，通常是将含有相同变量的项分为一组。

2.提取公因式：对于每一组，提取出它们的公共因子。

3.进行因式分解：将每一组中的项除以公共因子，得到一个新的因式。

4.将各个因式相乘：将所有得到的因式相乘，得到最终的因式分解结果。

三、分组分解法的实际应用
分组分解法在实际的代数运算中应用广泛，例如在解方程、化简表达式、证明等式等方面都会用到。

尤其是在一些复杂的因式分解问题中，分
组分解法能够大大简化因式分解的过程，提高解题效率。

四、分组分解法的优点与局限性
分组分解法的优点在于它能够简化因式分解的过程，使得复杂的问题变得简单。

而且，分组分解法适用于大部分的因式分解问题，因此是一种非常实用的方法。

然而，分组分解法也有其局限性。

对于一些特殊的多项式，分组分解法可能无法进行因式分解。

此外，分组分解法的效果取决于分组的正确性，如果分组不当，可能会导致因式分解失败。

总的来说，因式分解分组分解法是一种重要的代数方法，它能够有效地解决因式分解问题。

沪科版数学七年级下册8.4《因式分解-分组分解法》教案设计

因式分解——分组分解法
高四琴
教学设计说明：
本节课的设计以减轻学生负担，全面实施素质教育为指导思想。

在这节课中，学生广泛参与，积极主动投入学习活动，学生的主体性得到了培养和发展，在教学过程中，我始终以在目标的引领下，引导学生通过小组内的互相讨论、合作学习，来暴露各层次学生的思维过程及特点，对所学内容的不同层次，不同侧面的理解，从而建构起学生自己的知识体系。

同时，在教学过程中充分调动学生学习主动性，对每一个新的发现，每一个问题的解决，每一个知识的获得给予足够的肯定，始终让学生保持心情愉悦，精神振奋，处于学习的最佳状态。

因式分解——分组分解法

因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。

此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面法（二）解法。

解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

因式分解之分组分解法

因式分解之分组分解法【知识精读】分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

注意问题提示：（1）分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。

（2）分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。

（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解。

常见分组方法方法一：分组后能提取公因式1．按字母分组例如：分解因式：ax+ay+bx+by 可以按某一字母为准分组，若按含有字母a 的分为一组，含有字母b 的分为一组，即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+y)。

2．按系数分组例如：分解因式：a 2-ab+3b-3a ，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即1:(-1)=3:(-3)，则a 2-ab+3b-3a=(a 2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。

3．按次数分组例如：分解因式：x 3+x 2+x-y 3-y 2-y ，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数分组为：(x 3-y 3)+(x 2-y 2)+(x-y)方法二：分组后能运用公式例如：x 2-2xy+y 2-z 2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。

而(x-y)2-z 2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。

方法三：重新分组例如：分解因式4x 2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。

4x 2+3y-x(3y+4)=4x 2+3y-3xy-4x=(4x 2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。

因式分解---分组分解、拆添项法

因式分解---分组分解、拆添项法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（因式分解---分组分解、拆添项法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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板块一：分组分解分组分解法:将一个多项式分成二或三组,各组分别分解后,彼此又有公因式或者可以用公式,这就是分组分解法.【例1】分解因式：【例2】分解因式：【例3】分解因式：【例4】分解因式：【例5】分解因式：221x ax x ax a +++--1x y x y--+a xb y b x a y--+2222a cb d a d b c+--27321x y x y x-+-例题精【例6】分解因式：【例7】分解因式：【例8】分解因式：【例9】分解因式：【例10】分解因式：【例11】分解因式：【例12】分解因式：22233215481ac cx ax c+--4321x x x++-22a b x b x ya x yy+--()()x xz y yz+-+2222 (1)(2)(1)x x x x x x ++-++-222222 ()()ax by ay bxc x c y ++-++ (1)(2)6x x x---【例13】分解因式:【例14】分解因式：【例15】分解因式：【例16】已知三个连续奇数的平方和为251,求这三个奇数．【例17】分解因式:【例18】分解因式：【例19】分解因式：222(1)()a b x x a b +++3322()()a x yb b y b xa y +++2231()bax a b x +--22(3)(43)x a bx ab -+-2222()()a b c d ad c d ---32x b x a xa b +++【例20】分解因式：【例21】分解因式：【例22】分解因式：【例23】分解因式:【例24】分解因式：【例25】分解因式：【例26】分解因式：32ac xbc x adx bd+++ 22221a b a b--+ 222221x y z x z y z--+2226923a x a x y x y a y-+-325153x x x--+251539a m am abm bm -+-3254 222 x xx x x--++-【例27】分解因式：【例28】分解因式：【例29】分解因式：【例30】分解因式：【例31】分解因式：【例32】分解因式：【例33】分解因式：432x x x x+++2222 ()()()() a ba cc db d +++-+-+ 2293x x y y---5544()x y x yx y+-+2212x x y---+241194n n mx x y+-+22(1)12a b bb--+-【例34】分解因式：【例35】分解因式:【例36】分解因式：【例37】分解因式：【例38】分解因式:【例39】分解因式：【例40】分解因式：=_________.3232x x y y +--31ax x a +++4334aa bab b --+33222x y x x yy ++++4333x x y x z y z +++54321xxxxx+++++333333()()()()a y b xa x b ya b x y +-++--【例41】分解因式：【例42】分解因式：【例43】分解因式：板块二:拆项与添项模块一：利用配方思想拆项与添项【例44】已知，求的值．【例45】分解因式:【例46】分解因式:=_______.【例47】分解因式:;333333()()()a b b cc a a b c ++++++++22axb xb x a x a b -+-+-ax a y b x c y c x b y -++--2246130ab ab +--+=a b +43221xx x x ++++432234232aab a ba b b ++++4231x x -+【例49】分解因式：【例50】分解因式：【例51】分解因式：【例52】分解因式：【例53】已知是正整数，且是质数，那么_______.【例54】分解因式：4224a a b b ++12631x x -+841x x ++4224781x x y y -+n 4216100n n -+n =()()()222241211y x y x y +-++-4222222【例56】分解因式：【例57】把分解因式．【例58】分解因式:【例59】证明：在都是大于l 的整数时,是合数．【例60】分解因式：模块二:拆项与添项【例61】分解因式：33(1)()()(1)x a x y x y a b y b +---++444xy +464x +m n 、444m n +444222222222a b c a b b c c a ---+++343a a -+【例63】分解因式：【例64】分解因式：【例65】分解因式:【例66】（“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：【例67】 (“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解:【例68】若，则的值等于（ ) A. B. C. D.【例69】分解因式： 3234x x +-267x x +-398x x -+326116x x x +++4322928xx x x +--+1x y +=-43222234585x x y x y x y x y x y y ++++++01-13323233332aa ab b b ++++++【例70】分解因式：【例71】分解因式：【例72】分解因式:。

因式分解的分组分解方法

因式分解的分组分解方法因式分解的分组分解方法简介因式分解是一项基础而重要的数学技巧，用于将一个多项式拆解成更简单的乘法形式。

在因式分解中，分组分解方法是一种常用的策略。

本文将详细介绍这种方法以及其各种变体。

方法一：二项式公式•对于形如ax2+bx+c的二次多项式，我们可以使用二项式公式来进行分组分解。

•具体步骤如下：1.将二次项的系数a提取出来：ax2+bx+c=a(x2+bax)+c2.将x2+bax进行配方得到一个完全平方的二次多项式：x2+ba x=(x+b2a)2−b24a23.将两个部分相乘：a(x+b2a )2−a b24a2+c4.将最后一项与前一项合并为一个常数项：a(x+b2a )2 +(c−b24a)方法二：分组分解•对于形如ax3+bx2+cx+d的三次多项式，我们可以使用分组分解的方法。

•具体步骤如下：1.将多项式分为两组，每组包含两项：ax3+bx2和cx+d2.将每一组的公因式提取出来：ax3+bx2=x2(ax+b)和cx+d=x(c+dx)3.将两组的公因式相乘：x2(ax+b)(c+dx)4.最后将得到的乘积进行化简和合并方法三：巧妙的分组•在某些情况下，我们可以使用巧妙的分组方法进行因式分解，例如对于差平方的形式。

•具体步骤如下：1.将多项式写成两个相加或相减的平方形式：a2−b2=(a+b)(a−b)2.将多项式看作一个整体，拆分成两个括号的乘积3.对每个括号继续进行分解，直到无法再进行因式分解为止方法四：特殊因式分解•在某些特殊的情况下，我们可以直接应用特殊因式分解公式来进行分解，例如平方差、立方差等。

•具体公式和方法可以参考相关的数学课本和教材。

结论因式分解的分组分解方法是解决多项式因式分解问题的一种重要策略。

通过不同的分组方式和技巧，可以将复杂的多项式拆解成更简单的乘法形式，便于进一步的计算和推导。

熟练掌握各种分组分解方法，对于数学学习和问题解决都具有重要意义。

因式分解——分组分解法

北京四中撰稿：史卫红编审：谷丹责编：赵云洁因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面法（二）解法。

因式分解-分组分解法精品课件

组分解法精品课件，本课件将深入浅出地介绍因式分解的基本概念和目的。
因式分解的基本概念和目的
1
基本概念
通过将多项式表达式拆解为较简单的因
目的
2
子相乘的形式，以求得其因式分布。
简化多项式表达式，使其更易理解并为
后续运算提供方便。
3
重要性
因式分解是代数学中一项关键技巧，广泛应用于解方程、化简式子等问题。
分组分解法的步骤和原理
步骤
1. 对多项式项进行分组。
2. 利用公式进行化简和因式分解。
3. 结合分组和化简的结果得到最终的因式分解形式。
原理
分组分解法通过合理的分组，运用代数运算法则，使多项式中的各个项出现公共因子，从而达到因式分解的目的。
示例
接下来我们将详细介绍一个分组分解法的实例，帮助大家更好地理解步骤和原理。
缺点
• 对于一些复杂或特殊的多项式，分组分解法可能不适用
• 需要掌握一定的代数技巧和规则 • 在一些情况下可能需要进行多次分组和化简，
增加了求解复杂度
扩展思考：其他因式分解方法的介绍
• 公因式提取法 • 配方法 • 差平方公式 • 分解因子法除了分组分解法外，还有许多其他因式分解的方法，每种方法都有其适用场景和特殊规则。
分组分解法的详细示例
1
步骤1
对多项式中的项进行分组。
示例：将4x - 3y + 6xy + 2yz进行分组。
2
步骤2
对分组后的项进行化简和因式分解。
示例：化简4x - 3y + 6xy + 2yz = x(4 - 6y) + y(2z - 3)
3
步骤3
结合分组和化简的结果得到最终的因式分解形式。

因式分解(分组分解法)精选教学PPT课件

=21(x+y)
(2)p-q+k(p-q) 解：=(p-q)+k(p-q)
=(p-q)(1+k)
(3)5m(a+b)-a-b 解：=5m(a+b)-(a+b)
=(a+b)(5m-1)
(4)2m-2n-4x(m-n) 解：=2(m-n)-4x(m-n)
=(m-n)(2-4x)
(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy 解： =(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx)
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
=a(m+n)+b(m+n)
式乘
=a(m+n)+b(m+n)
式分
=am+an+bm+bn 法 =(a+b)(m+n)
解
定义：
这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，
它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
例１把a2-ab+ac-bc分解因式
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)

第十一讲因式分解(分组分解法和十字相乘法)

第十一讲因式分解（分组分解法和十字相乘法）第一部分、教学目标：1、掌握十字相乘法和分组分解法分解因式2掌握十字相乘法在实际生活中的应用第二部分、教学重点、难点本节课的重点是会利用分组分解法等方法分解因式本节课的难点是因式分解在实际问题中的应用。

第三部分、教学过程例题讲解：例1、因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝．【分析】原式两项两项结合提取公因式即可．【解答】解：原式＝（m2﹣my）+（mx﹣yx）＝m（m﹣y）+x（m﹣y）＝（m﹣y）（m+x），故答案为：（m﹣y）（m+x）．练1.1、分解因式：6k2+9km﹣6mn﹣4kn．解：6k2+9km﹣6mn﹣4kn＝3k（2k+3m）﹣2n（3m+2k）＝（2k+3m）（3k﹣2n）．练1.2、观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题分解因式：am+an+bm+bn解法一：原式＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）解法二：原式＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）根据你发现的方法，分解因式：（1）mx﹣my+nx﹣ny（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．【解答】（1）解法一：原式＝（mx﹣my）+（nx﹣ny）＝m（x﹣y）+n（x﹣y）＝（m+n）（x﹣y）；解法二：原式＝（mx+nx）﹣（my+ny）＝x（m+n）﹣y（m+n）＝（m+n）（x﹣y）；（2）解法一：原式＝（2a+4b）﹣（3ma+6mb）＝2（a+2b）﹣3m（a+2b）＝（2﹣3m）（a+2b）；解法二：原式＝（2a﹣3ma）+（4b﹣6mb）＝a（2﹣3m）+2b（2﹣3m）＝（2﹣3m）（a+2b）．例2、分解因式：（1）2x2﹣18；（2）a2﹣4ab+4b2﹣9．【分析】（1）先提2，然后利用平方差公式分解因式；（2）先分组，把前面三项利用完全平方公式表示，然后利用平方差公式分解．【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）；（2）原式＝（a﹣2b）2﹣32＝（a﹣2b+3）（a﹣2b﹣3）．练2.2、分解因式：25﹣4x2+4xy﹣y2．解：25﹣4x2+4xy﹣y2，＝25﹣（4x2﹣4xy+y2），＝52﹣（2x﹣y）2，＝（5+2x﹣y）（5﹣2x+y）例3、先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；【分析】（1）将（2x﹣3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．【解答】解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．练3.2、先阅读下列两段材料，再解答下列问题：（一）例题：分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将“M”还原，得原式＝（a+b﹣1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x ﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述数学思想方法解决下列问题：（1）分解因式（3a+2b）2﹣（2a+3b）2；（2）分解因式．xy2﹣2xy+2y﹣4；（3）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）﹣c2+4．解：（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2＝（3a+2b﹣2a﹣3b）（3a+2b+2a+3b）＝5（a﹣b）（a+b）；（2）xy2﹣2xy+2y﹣4＝xy（y﹣2）+2（y﹣2）＝（xy+2）（y﹣2）；（3）（a+b）（a+b﹣4）﹣c2+4＝（a+b）2﹣4（a+b）+4﹣c2＝（a+b﹣2）2﹣c2＝（a+b﹣2﹣c）（a+b﹣2+c）．例4、x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子因式分解呢？因为（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以，根据因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图．这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10（2）﹣2x2﹣6x+36【分析】（1）仿照题中的方法将原式分解即可；（2）仿照题中的方法将原式分解即可．【解答】解：（1）x2+7x+10＝（x+5）（x+2）；（2）﹣2x2﹣6x+36＝﹣2（x2+3x﹣18）＝﹣2（x+6）（x﹣3）．例5、若m+n＝4，则2m2+4mn+2n2﹣5的值为（）A．27B．11C．3D．0【分析】根据m+n＝4和完全平方公式，将所求式子变形，即可得到所求式子的值．【解答】解：∵m+n＝4，∴2m2+4mn+2n2﹣5＝2（m+n）2﹣5＝2×42﹣5＝2×16﹣5＝32﹣5＝27，故选：A．练5.1、若m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+2019的值为（A）A．2020B．2019C．2021D．2018练5.2、已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（D）A．0B．1C．2D．3例6、已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，判断△ABC形状【分析】把等式两边乘以2，再利用完全平方公式得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，然后根据非负数的性质得到a＝b＝c，从而可判断△ABC的现状．【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．练6.1、已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（B）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定练6.2、已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（C）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形阅读并解决问题：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1．解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某﹣﹣部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：（1）（m+n）2﹣18（m+n）+81；（2）（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4【解答】解：（1）设m+n＝x，则原式＝x2﹣18x+81＝（x﹣9）2＝（m+n﹣9）2；（2）设x2﹣4x+2＝y，则原式＝y（y+4）+4＝y2+4y+4＝（y+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4第四部分、板书设计第五部分、作业布置今天是2020年月号星期天气今日所学：因式分解今日作业：新思维第页下次上课时间：下周正常上课第六部分、课后反思。

因式分解分组分解法的技巧

因式分解分组分解法的技巧
1. 嘿，你知道吗，分组分解法就像是给式子搭积木呀！比如分解
$x^3+2x^2+x$，我们可以把它分成$(x^3+x^2)+(x^2+x)$，然后分别进行分解，这样是不是很巧妙呀！
2. 哇哦，分组分解法里有个小窍门哟！就像拆礼物一样有趣呢。

比如
$3x^2+9x+6$，可以变成$(3x^2+3x)+(6x+6)$，是不是感觉像发现了宝
藏呀！
3. 嘿呀，运用分组分解法要善于观察式子的特点呀！像
$2x^2y+4xy^2+2y^3$，可以分成$(2x^2y+4xy^2)+2y^3$，这不是挺
好玩的嘛！
4. 告诉你哦，分组分解法能让复杂的式子变得简单呢！好比$a^4-a^2-
2a^2+2$，分成$(a^4-a^2)-(2a^2-2)$，一下就清晰啦，神奇不？
5. 呀，分组分解法还能这样用呢！比如$4x^2-9y^2+4x+1$，可以巧妙地
分成$(4x^2+4x+1)-9y^2$，是不是很有意思呀！
6. 哇，你瞧，分组分解法像变魔术一样呀！就说$m^3-mn^2+m^2n-
n^3$，可以整成$(m^3+m^2n)-(mn^2+n^3)$，这多厉害呀！
7. 嘿，注意啦！分组分解法的精髓要抓住哦！像$x^2-2ax+a^2-b^2$，
绝非随随便便分组哦，要分成$(x^2-2ax+a^2)-b^2$，这样才对呀！
8. 哎呀，分组分解法可以让式子乖乖听话呢！比如$a^2-4b^2+c^2-2ac$，分成$(a^2-2ac+c^2)-4b^2$，是不是超级有用？
9. 总之啊，分组分解法就是一个超级棒的技巧，能让我们在因式分解的道路上畅通无阻！。

因式分解分组分解

因式分解分组分解摘要：1.引言：介绍因式分解的概念和重要性2.分组分解的定义和原理3.分组分解的具体步骤和方法4.分组分解的实际应用举例5.结论：总结分组分解的优点和局限性正文：1.引言因式分解是代数学中的一种基本运算，它指的是将一个多项式表达式分解为若干个较简单的多项式乘积的过程。

因式分解在数学中有着广泛的应用，不仅可以用于简化复杂的数学表达式，还可以用于解决许多实际问题。

在因式分解的各种方法中，分组分解是一种非常实用的方法。

2.分组分解的定义和原理分组分解，顾名思义，就是将多项式中的项进行分组，然后对每组进行因式分解。

它的原理是先将多项式中的公因式提取出来，然后再对剩余的部分进行分组，如此循环，直到无法再分组为止。

分组分解的关键在于如何正确地分组，以及如何找到每个组中的公因式。

3.分组分解的具体步骤和方法分组分解的具体步骤如下：（1）找出多项式中的公因式：首先，观察多项式的各项，找出其中是否有公因式，如果有，就将其提取出来。

（2）进行分组：将多项式中剩下的部分进行分组，每组的项数可以是1 到多项式项数的任意组合。

分组的目的是将每组中的项进行因式分解，然后再将各组的因式相乘。

（3）对每组进行因式分解：对每组进行因式分解，找出每组中的公因式，然后将该因式提取出来。

（4）重复步骤（2）和（3），直到无法再分组为止：将上一步中得到的各组因式相乘，然后再观察多项式中是否还有可以分组的部分，如果有，就重复步骤（2）和（3），直到无法再分组为止。

4.分组分解的实际应用举例例如，对于多项式x^3 - 3x^2 - 9x + 6，我们可以采用分组分解的方法进行因式分解。

首先，我们可以将多项式中的公因式x 提取出来，得到x(x^2 - 3x - 9)。

然后，我们再对x^2 - 3x - 9 进行分组分解，得到x(x - 3)(x + 3)。

因此，原多项式的因式分解式为x(x - 3)(x + 3)。

5.结论分组分解是一种有效的因式分解方法，它适用于许多实际问题。

因式分解——分组分解法

=(x-3y)2-2·(x-3y)·5+52
=(x-3y-5)2
（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。
解：a2-a2b+ab2-a+b-b2
=(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
法（二）原式=(x3-x)-(x2-1)
=x(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2)
=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)
=(a2+b2)(x2+y2)
（4）分析：将3b2变形为4b2-b2再分组进行。
解：a2-4ab+3b2+2bc-c2
=a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2
=(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b) (a+b+4)
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。

因式分解分组分解

因式分解分组分解
【原创版】
目录
1.引言
2.因式分解的定义与分类
3.分组分解的概念与方法
4.分组分解的实际应用
5.结论
正文
1.引言
因式分解是代数学中的一种重要方法，它可以将一个复杂的多项式表达式分解为若干个简单的因式的乘积。

在因式分解中，有一种常见的方法叫做分组分解，它通过将多项式中的项进行分组，再进行因式分解，从而达到简化表达式的目的。

今天我们将重点介绍分组分解这一方法。

2.因式分解的定义与分类
因式分解就是将一个多项式表达式分解为若干个简单的因式的乘积。

根据分解的方法不同，因式分解可以分为提公因式、公式法、分组分解等几种类型。

其中，分组分解是一种较为实用的方法，它适用于多种复杂的多项式表达式。

3.分组分解的概念与方法
分组分解的概念：将多项式中的项进行分组，再分别对每组进行因式分解，最后将各组的因式乘积相乘，得到原多项式的因式分解式。

分组分解的方法：通常是将多项式中的项按照某种规则进行分组，如按照项的次数、系数等进行分组。

然后对每组进行因式分解，最后将各组
的因式乘积相乘，得到原多项式的因式分解式。

4.分组分解的实际应用
分组分解在代数学中有着广泛的应用，如在解方程、化简表达式、证明等式等方面都有着重要的作用。

例如，对于一个四次方程，我们可以通过分组分解将其化为两个二次方程的乘积，从而简化问题的求解过程。

5.结论
分组分解作为一种因式分解的方法，在代数学中有着广泛的应用。

通过掌握分组分解的方法，我们可以轻松地解决许多复杂的数学问题。

第11节-因式分解-分组分解法

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