多元函数的Taylor公式与极值

.
2
2
注 由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得
不等式的一种好方法 ). 那就是具体算出目标函数
17
(表面积) 的最小值:
Smin
3
2
2V 2
(3
2V
3
2V
)(
3
2V
)2 3 3
4V 2 ,
于是有 2z( x y) xy 3 3 4V 2 , 其中 V x yz. 消
去 V 后便得不等式
28
把x y z a3看成z z( x, y),
则目标函数 f ( x, y, z) 1 1 1 F ( x, y).
满足隐函数定理的条件, 则在n个变量 x1, x2 ,, xn中唯一确定了其中 m个变量为其余n m个变量的一组隐函数. 将这m个函数代入目标函数 f , 得到一个有 n m个独立变量函数. 应用隐函数求导法则, 算出此函数的黑赛矩阵, 由此判断极值点的 类型.
12
2.
若
(
x(0) 1
,,
xn(0
Lx f x ( x, y) x ( x, y) 0,
Ly
f y ( x, y) y ( x, y) 0,
(2)
L
(x, y) 0.
也就是说, (2) 式是函数 L( x, y, ) 在其极值点处所
满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想:
通过引入辅助函数 L( x, y, ), 把条件极值问题 (1)
u0
)
0Fu
(
u0
,
v0
)
0,
2(
y0
v0
)
0
Fv
(
u0
,
v0
)
0
.
由前两式与后两式分别得到
( x0 u0 , y0 v0 )∥(Fx , Fy ) P0, ( x0 u0 , y0 v0 )∥(Fu , Fv ) Q0.
25
前者表示 P0Q0 与 在 P0 的切线垂直, 后者表 示 P0Q0 与 在 Q0 的切线垂直. 所以 在 P0 ,
23
且 Fx2 Fy2 0; (ii) 在 上必有相距最远的点. 设 P0( x0 , y0 ), Q0(u0 ,v0 ) 为 上相距最远的两点, 则点 M0( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 为目标函数
f ( x, y,u,v) ( x u)2 ( y v)2 在约束条件
F( x, y) 0, F(u,v) 0 之下的极大值点. 于是由拉格朗日乘数法, 存在
因 d y x , dx y
故有
fx
f
y
x y
0
又 (x, y) 0
条件极值的 必要条件
求出稳定点 P0( x0, y0 ) ( x0, y( x0 ))
即 ( x0 , y0 )
0
f x ( x0 , y0 )
x ( x0 , y0 )
f
y y
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
:
题的极值点, 且
1
x1
rank
m
x1
1
xn
m,
m
xn P0
则存在m个常数1(0)
,
(0) 2
,,
(0 m
)
,
使得
(
x1(0
)
,,
x(0) n
,
(0 1
)
,,
(0) m
)
为拉格朗日函数（3）的
稳定点.
9
即
(
x(0) 1
,
,
x(0) n
,
(0 1
)
,,
(0) m
)
为下述方程的解
第4节多元函数的Taylor公式与极值问题
4.3 条件极值，Lagrange乘数法
(Conditional extreme values, Lagrange multiplier method )
1.条件极值—有约束极值 grange乘数法 3.应用举例
2013年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
0 , 0 , 使点 M0 成为拉格朗日函数
24
L ( x u)2 ( y v)2 F( x, y) F(u,v) 的稳定点. 从而满足
2( x0 u0 ) 0Fx ( x0 , y0 ) 0,
2( y0 v0 ) 0Fy ( x0 x2 ,, xn ,1 ,2 ,m ) f kk k 1
3. 求出拉格朗日函数的所 有稳定点, 这些稳定点 就是可能的条件极值点;
4. 对每一个可能的条件极值点, 据理说明确实是.
11
据什么理?
1. 如条件组k ( x1, x2 ,, xn ) 0, k 1,2,, m,
L x2 y2 z2 ( x2 y2 z) ( x y z 1).
19
的平方 (这是等价的), 即设
L x2 y2 z2 ( x2 y2 z) ( x y z 1).
求解以下方程组:
Lx
2x
2
x
0,
Ly 2 y 2 y 0, 2( x x)
14
3 应用举例
定理 1 指出的方法称为拉格朗日乘数法. 下面
用这种方法先来求解本节开头给出的例题. 解上一节例6
令 L 2( xz yz) xy ( xyz V ),
并求解以下方程组:
Lx 2 z y yz 0,
Ly
2z
x
xz
0,
Lz
2(x
y)
xy
0,
L x yz V 0.
m
f ( x1 , x2 ,, xn ) kk ( x1 , x1 ,, xn ) (3) k 1
其中1 ,2 ,m 为拉格朗日常数.
8
定理 1 设上述条件极值问题中的函数 f 与 k
(k 1, 2, , m) 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若
D 的内点 P0( x1(0) , x2(0) , , xn(0) ) 是该条件极值问
别为
dmin 9 5 3 , dmax 9 5 3 .
22
例2 设光滑封闭曲线
P0
: F( x, y) 0.
证明: 上任意两个相距最远点
Q0
处的切线互相平行, 且垂直于这
两点间的连线 (见右图).
证 由于 是光滑封闭曲线, 所以满足:
(i) F 在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数,
:
Lx1
f x1
m
k
k 1
k
x1
0
Lxn
f xn
m
k
k 1
k
xn
0
L1 1( x1 ,, xn )0
Lm m ( x1 ,, xn ) 0
n+m个方程解(n+m)未知数！ 10
用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤 :
1. 根据问题确立目标函数和条件组; 2. 作拉格朗日函数
x
y
1
2
3,
z 1 ( 1 3 ) 2 3 .
最后得到 x2 y2 z2 2(1 3 )2 ( 2 3 )2 4
21
1 (1 2 2 1 (1 2 2
3 3) 4 4 3 3) 4 4
3 3 95 3 3 95
3, 3.
故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分
L ( x, y) 0.
（2）
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
4
事实上， 如方法 1 所述 ,
( x, y) 0可确定隐函数 y y( x) ,
则问题等价于一元函数 z f ( x, y( x)) 的极值问题,
故 极值点必满足
dz
dy
d x fx fy d x 0
f (x, y) z0
f (P0 ) 0 (P0 ).
( fx (P0 ), f y (P0 ) ) 0 ( x (P0 ) , y(P0 ) ) ( 0, 0 ).
这又表示: 对于函数
6
L( x, y, ) : f ( x, y) ( x, y) ,
在点 ( x0, y0, 0) 处恰好满足:
若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则 目标函数: S 2z( x y) x y; 约束条件: x yz V .
z y x
2
2 拉格朗日乘数法
条件极值的求法:
在条件( x, y) 0下,求函数 z f (x, y)的极值
转 化
从条件 ( x, y) 0 中解出 y y( x)
求一元函数 z f ( x, y( x))的无条件极值问题
称这种方法为代入法.
3
方法2 拉格朗日乘数法.
设目标函数与约束条件分别为
z f ( x, y) 与 ( x, y) 0.
(1)
求可能极值点
拉格朗日函数 拉格朗日乘数
先构造函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
其中 为某一常数，可由
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
0
x0 , y0 ,0
就是(2)的解
5
也可从等值线解释条件极值几何意义。
( f x y f y x ) P0 0. 这表示 f 的等值线
f (x, y) z0
f (x, y) c
(x, y) 0
与曲线 ( x, y) 0 在 P0
点 P0 有公共切线(见 图
由此推知:
存在比例常数 0 , 满足
15
令 L 2( xz yz) xy ( xyz V ),