河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(六) 数学(文)含解析
河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(全国卷)数学(文)Word版含解析
河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（全国卷）数学（文）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1..已知复数23z i =-，若z 是复数z 的共轭复数，则(1)z z ⋅+=A ．153i -B ．153i +C ．153i -+D ．153i --2.已知集合{}2(,)4A x y x y ==，{}(,)B x y y x ==则A B 的真子集个数为A ．1B ．3C ．5D ．73.已知变量x ，y 之间满足线性相关关系^1.31y x =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m =A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.64.下列说法中，错误．．的是 A.若平面//α平面β，平面α平面l γ=，平面β平面m γ=，则//l m B.若平面α⊥平面β，平面α平面l β=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥C.若直线l α⊥，平面α⊥平面β，则//l βD.若直线//l 平面α，平面α平面m β=，l ⊂平面β，则//l m 5.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点(2,)M m 满足6MF =，则抛物线C 的方程为A ．22y x =B ．24y x = C.28y x = D ．216y x =6.运行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A ．4B ．1113 C. 1273 D ．25837.已知函数log ,3()8,3a x x f x mx x >⎧=⎨+≤⎩若(2)4f =，且函数()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为A ．B ．(1,2] C.⎛⎝⎦D ．)+∞8.4cos 3αα-=，则5cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．43 C.43- D ．239.如图，网格纸上正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.27B. 36C.48D.5410.现有A ，B ，C ，D ，E ，F 六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，A ，B 各踢了3场，C ，D 各踢了4场，E 踢了2场，且A 队与C 队未踢过，B 队与D 队也未踢过，则在第一周的比赛中，F 队踢的比赛的场数是A ．1B ．2 C.3 D ．411.已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若M 是线段QF 的中点，则双曲线C 的离心率为A ．3 B．．212.已知关于x 的不等式2cos 2m x x ≥-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则实数m 的取值范围为A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(2,)+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满足(3,)a λ=，(1,2)b λ=-，若//a b ，则λ= ．14.已知实数x ，y 满足20,,43,x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则13y x ++的取值范围为 ．15.如图所示，长方形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，图中5个圆分别为AEH ∆，BEF ∆，DHG ∆，FCG ∆以及四边形EFGH 的内切圆，若往长方形ABCD 中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为 ．16.已知函数4cos()()x x f x e ωϕ-+=(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，则ωϕ= ．三、解答题 :共70分。
2019届河南省天一大联考高三阶段性测试(六)数学(理)试题(解析版)
2019届河南省天一大联考高三阶段性测试（六）数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =-≥，{}1B y y =-，则A B =I （ ）A ．(1,0]-B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]11,0,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭U【答案】D【解析】先求集合A,再利用交集运算求解即可 【详解】依题意，{}21|2002A x x x x x x ⎧⎫=-≥=≤≥⎨⎬⎩⎭或，故(]11,0,2A B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭I U .故选：D 【点睛】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．设复数()132miz m R i-=∈+，若z z =，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．32D ．32-【答案】A【解析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再根据z z =，即得. 【详解】 由题得，1i (1i)(32i)32i 3mi 2m 32m 23mi 32i (32i)(32i)131313m m z -------+====-++-，因为z z =，故23013m+=，解得23m =-. 故选：A 【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，是基础题.3．某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[)20,30的概率为（ ）A ．35B ．720C ．310D ．12【答案】C【解析】确定迟到次数在[20,30)的人数即可求解 【详解】依题意，该公司共有20名员工，其中迟到次数在[20,30)的有6人，故所求概率310P =. 故选：C 【点睛】本题考查茎叶图、概率的计算，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若17272S =，则3915a a a ++=（ ）A ．64B ．48C ．36D ．24【答案】B【解析】由等差数列求和公式得17917272S a ==，求得916a =，再利用等差数列性质即可求解 【详解】由等差数列性质可知，17917272S a ==，解得916a =，故39159348a a a a ++==.故选B 【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.，是基础题5．《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题：“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七寸. 瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺.瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺.问需要多少日两蔓相遇.”其中1尺=10寸.为了解决这一问题，设计程序框图如下所示，则输出的k 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a,n,S 的值，当S=-1.2时满足条件S 0£ 退出循环输出n 的值从而得解【详解】运行该程序，第一次，9 1.77.3S =-=，2k =；第二次，7.3 1.7 5.6S =-=，3k =；第三次， 5.6 1.7 3.9S =-=，4k =；第四次， 3.9 1.7 2.2S =-=，5k =；第五次，2.2 1.70.5S =-=，6k =；第六次，0.5 1.7 1.2S =-=-，此时输出的k 的值为6故选：C 【点睛】本题考查数学文化、算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.6．设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM∠=∠，则MN =（ ） A ．2B ．8C ．42D ．4【答案】A 【解析】由22F MN F NM ∠=∠得22F M F N =，再由定义即可求解【详解】 由22F MNF NM ∠=∠可知，22F M F N =.由双曲线定义可知，2142MF MF -=，1242NF NF -=，两式相加得，11||82NF MF MN -==.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想. 7．为了得到函数()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()3sin 4cos4f x x x =-的图象（ ）A ．横坐标压缩为原来的14，再向右平移2π个单位 B ．横坐标压缩为原来的14，再向左平移π个单位C ．横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移2π个单位D ．横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移π个单位【答案】D【解析】先将()f x 整理为()2sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据伸缩变换和平移即得. 【详解】由题得，()3sin 4cos 42sin 46f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的横坐标伸长为原来的4倍，得到2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再向左平移π个单位后得到52sin 2sin 2sin 6632y x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos ()3x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，是基础题.8．如图，小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．68B ．72C ．84D ．106【答案】C【解析】根据三视图做出几何体的直观图，可知该几何体为三棱柱111ABC A B C -切割掉三棱锥D ABC -所得的几何体，计算111ABC A B C D ABC V V V --=-即得. 【详解】作出该几何体的直观图如下所示，观察可知，该几何体为三棱柱111ABC A B C -切割掉三棱锥D ABC -所得的几何体，故所求体积111114666664668423223V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故选：C 【点睛】本题考查三视图，柱体和锥体的体积公式，考查空间想象能力. 9．若函数()131xf x m =--的图象关于原点对称，则函数()f x 在(),0-∞上的值域为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据函数()f x 的图象关于原点对称，可知()f x 为奇函数，可得m ，再由函数单调性可得值域. 【详解】由题得，函数()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，解得12m =-，故()11231x f x =---，故函数()f x 在(),0-∞上单调递增，当x →-∞时，()12f x →，当0x →时，()f x →+∞，故函数()f x 在(),0-∞上的值域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性，以及由单调性求函数值域.10．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A'，若四边形AA'PF 的面积为14，且3cos 5FAA '∠=，则抛物线C 的方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【解析】过点F 作FF AA ''⊥，垂足为F'.设3AF x '=，根据3cos 5FAA '∠=和抛物线定义，可得AF ，'FF ，AA '，以及x 与p 的关系，再由四边形AA PF '的面积为14，解出p 即得.【详解】作出图形如下所示，过点F 作FF AA ''⊥，垂足为F'.设3AF x '=，因为3cos 5FAA '∠=，故5AF x =，4FF x '=，由抛物线定义可知，5AA AF x '==，则2F x p A ''==，故2p x =，四边形AA PF '的面积()52||21422p p p PF AA PA ''⎛⎫+⋅ ⎪+⋅⎝⎭==，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，考查运算求解能力和数形结合思想.11．如图所示，体积为8的正方体1111ABCD A B C D -中，分别过点1A ，1C ，B 作1A M ，1C N ，BP 垂直于平面1ACD ，垂足分别为M ，N ，P ，则六边形1D MAPCN 的面积为（ ）A ．43B ．46C ．12D ．122【答案】A【解析】作出六边形1D MAPCN ,由几何关系得六边形1D MAPCN 为正六边形故面积可求 【详解】依题意，2AB =.因为111A D A A = ，故111A D A A ，在平面1ACD 的投影1MD MA =，同理1,ND NC PC PA ==，作出六边形1D MAPCN ，六边形1D MAPCN 为正六边形，如图所示，由三角形1ACD 的边长122DC =，知 1223D N =，故所求六边形的面积23226433S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选A【点睛】本题考查利用空间几何体的结构，考查空间想象能力、推理论证能力以及数形结合思想. 12．已知函数()ln xee f x x=，若函数()()g x f x a =+无零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,02e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．,02e ⎛⎤-⎥⎝⎦C ．(]2,0e -D ．(],0e -【答案】D【解析】利用导数研究函数()f x 的单调性并求极值，作出函数()y f x =的图像，数学结合得到答案. 【详解】由题得，2211ln 11()ln (ln )(ln )x xx e ee e x e e e xf x x x x ex '⋅⋅-⋅⎛⎫==⋅⋅- ⎪⎝⎭(0x >且1)x ≠，令()11ln h x x e x=⋅-，可知函数()h x 单调递增，且()0h e =，故当(0,1)(1,)x e ∈U 时，()0h x <，当(),x e ∈+∞时，()0h x >.故函数()f x 在()0,1和()1,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，作出函数()f x 的图象如下图所示，令()0f x a +=，得()a f x -=，观察可知0a e ≤-<，即0e a -<≤.故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力，数形结合思想.二、填空题13．设向量()2,4m =，()()3,n R λλ=-∈，若m n ⊥，则λ=____________. 【答案】32【解析】根据m n ⊥可得0m n ⋅=，已知向量的坐标，计算即得. 【详解】由题得，0m n ⋅=，即640λ-+=，解得32λ=. 故答案为：32【点睛】本题考查向量的垂直和坐标运算，是基础题.14．设实数x ，y 满足1028010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为____________.【答案】21【解析】作出不等式表示的平面区域，利用数形结合可得. 【详解】作出不等式所表示的平面区域，观察可知，当直线2y x z =-过点B 时，z 取得最大值，联立28010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得101x y =⎧⎨=-⎩，故2z x y =-的最大值为21.故答案为：21 【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域，线性规划，考查运算求解能力以及数形结合思想.15．()()27231x x --的展开式中，3x 的系数为______. 【答案】-455【解析】由二项式定理的通项公式求解即可 【详解】依题意，3x 的系数为332217774(1)12(1)9(1)455C C C ⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-.故答案为-455 【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题 16．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当2n ≥时，12(1)7nn n a na n a -=--+.若29a =，则40S =______.【答案】1840【解析】将12(1)7n n n a na n a -=--+变形为17012(1)(2)n n a a n n n n --+=----整理得17712n n a a n n ---=--进而得25n a n =+，再利用求和公式求解即可 【详解】当2n =时，原式化为17a =；当2n >时，17012(1)(2)n n a a n n n n --+=----，即1771122n n a a n n n n --=-----，即17712n n a a n n ---=--，依次迭代，1312777721232n n a a a a n n -----====-=---L ，故25n a n =+，1a ，2a 均符合该式，故40(785)4018402S +⨯==.故答案为1840 【点睛】本题考查数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想，是中档题三、解答题17．如图所示，锐角ABC V 中，52AC =，点D 在线段BC 上，且32CD =，ACD V 的面积为66，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若1sin 3BEC ∠=，求 AE 的值. 【答案】（Ⅰ）214（Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）根据1sin 266ACD S AC CD ACD =⋅∠=V sin ACD ∠的值，再由余弦定理计算即得；（Ⅱ）由EC BC ⊥，可得()sin sin 90ACE ACD ︒∠=-∠，根据诱导公式和正弦定理计算即得. 【详解】（Ⅰ）在ACD V 中，11sin 5232sin 6622ACD S AC CD ACD ACD =⋅∠=⨯∠=V Q26sin 5ACD ∴∠=. 090ACD︒︒<∠<Q ，2261cos 155ACD ⎛⎫∴∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得214AD =. （Ⅱ）EC BC ⊥Q ，()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ︒∴∠=-∠=∠=. 在AEC V 中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即52153AE =，所以32AE =.【点睛】本题考查诱导公式，三角形的面积公式，正余弦定理，是常考题型.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CAB CBA ∠=∠，11ACB AB C ∠=∠，1AB ⊥平面ABC ，2AC =，190CAC ∠=︒，D ，E 分别是AC ，11B C 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥平面11AB C ； （Ⅱ）求DE 与平面1CBB 夹角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）36.【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判断定理，即得；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得向量DE u u u r和平面11BB C C 的法向量，由向量的数量积公式计算即得.【详解】（Ⅰ）1AB ⊥Q 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，1AB AC ∴⊥.190CAC ∠=︒Q ，1AC AC ∴⊥.又11AB AC A =I ，1AB ⊂平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，AC ∴⊥平面11AB C .（Ⅱ）以C 为坐标原点，以u u r CB 为x 轴正方向，CA u u u r为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ， 则()()()()()()110,0,0,2,0,0,0,2,2,2,2,2,0,1,01,2,2C B B C D E --.所以()()()11,1,2,2,0,0,0,2,2DE CB CB =-==u u u r u u u r u u u r.设平面11BB C C 的法向量为(),,n x y z =r ，则100n CB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即20220x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得1z =-，故()0,1,1n =-r.设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ，则||3sin |cos ,|||||DE n DE n DE n θ⋅=〈〉==⋅u u u r ru u u r r u u ur r . 故DE 与平面1CBB 夹角的正弦值为36.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，向量法求线面角，考查空间想象能力，运算求解能力以及数形结合思想.19．某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（Ⅰ）设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y .若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为$1.240y x =+，且年龄x 的方差为214.4x s =，评分y 的方差为222.5ys =.求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.附：线性回归直线y bx a =+$$$的斜率121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$；相关系数()()niix x y y r --=∑，独立性检验中的22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++. 临界值表：【答案】（Ⅰ）0.96r =，相关性较强；（Ⅱ）有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.【解析】（Ⅰ）由r 的公式计算求解即可；（Ⅱ）由列联表计算2K ，再对照表格判断即可 【详解】（Ⅰ）相关系数50()()iix x y y r --=∑()()()5015021i i i ii x x y y x x ==--=-∑∑12ˆ 1.20.9615b==⨯=. 故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强. （Ⅱ）由列联表可得2250(862016)9.624 6.63524262822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关. 【点睛】本题考查回归直线方程、独立性检验，考查推理论证能力、运算求解能力以及数据分析能力.20．已知ABC ∆的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B -.点A 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）若(2,0)D -，直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与Γ交于E ，F 两点，若1DEk ，kλ，1DFk 成等差数列，求λ的值.【答案】（Ⅰ）()221243x y x +=≠±；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）由椭圆定义得轨迹方程即可；（Ⅱ）依题意得112DE DFk k k λ⋅=+，得2DE DF k k k k λ=+，联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩消去y ，整理()()121222DE DF k x k x k k k k y y +++=+代入韦达定理得2λ=即可 【详解】（Ⅰ）依题意，(1,0)B -，(1,0)C ，故2BC =，则42AB AC BC +=>=，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为221(2)43x y x +=≠±.（Ⅱ）依题意，112DE DFk k k λ⋅=+，故2DE DFk k k k λ=+. 联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k-=+. 故()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+()()()()12122211k x k x k x k x ++=+-- ()()()1212123233221111x x x x x x +-=++=+----()()1212123221x x x x x x +-=+-++ 222222832342412813434k k k k k k⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--+++()22222386822242412834k k k k k λ--=+=+==--++， 则2λ=. 【点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力. 21．已知函数1()ln a f x x ax x+=++. （Ⅰ）若0a <，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若0a ≥，证明：1()21x f x a x e--…. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）求导22(1)'()ax x a f x x+-+=，由'()0f x =，得1x =或1a x a +=-，讨论两者大小关系确定'()f x 的正负得单调性即可；（Ⅱ）证1()21ex f x a x --≥，等价为11ln 21x a x ax ax ex -+++-≥整理得11ln 20x a x x ax a x e -+++--≥，构造函数11()ln 2x a xF x x ax a e x -+=++--，求导确定其最小值即可证明【详解】（Ⅰ）依题意，(0,)x ∈+∞，22211(1)'()a ax x a f x a x x x++-+=+-=2(1)[(1)]x ax a x -++=.令'()0f x =，则1x =或1a x a+=-. 当1a ≤-时，(1)0ax a ++<，由'()0f x >得(0,1)x ∈，由'()0f x <得(1,)x ∈+∞；当12a =-时，221(1)'()02x f x x-=-⋅≤； 当1a >-且11a a +-<，即112a -<<-时，由'()0f x >得1,1a x a +⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 由'()0f x <得10,a x a +⎛⎫∈-⎪⎝⎭或(1,)x ∈+∞； 当11a a +->，即102a -<<时，由'()0f x >得11,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 由'()0f x <得(0,1)x ∈或1,a x a +⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当1a ≤-时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当12a =-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当112a -<<-时，函数()f x 在10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递减，在1,1a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； 当102a -<<时，函数()f x 在(0,1)和1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）要证：1()21ex f x a x --≥. 即证：11ln 21x a x ax ax e x -+++-≥， 即证：11ln 2x a xx ax a x e -+++-≥， 即证：11ln 20x a xx ax a x e -+++--≥. 令11()ln 2x a xF x x ax a ex -+=++--. 22121111(1)1'()x x a x ax x a x F x a x x x e e--+-+-+-=+--=-2111(1)x e ax a x x -++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为0a ≥，所以当(0,1)x ∈时，'()0F x <，()F x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，()F x 单调递增，所以min ()(1)0F x F ==，即()0F x ≥. 故当0a ≥时，1()21x f x a x e--≥. 【点睛】本题考查导数与函数的单调性、最值，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）过点(2,1)-的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2AB =，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）24cos 2sin 40ρρθρθ---=；（Ⅱ）10x y ++=或30x y -+=. 【解析】（Ⅰ）由参数方程化普通方程消去α 得22(2)(1)9x y -+-=，再利用普通方程化极坐标方程即可；（Ⅱ）设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，求圆心到直线l 的距离d ，再由弦长公式求解即可 【详解】（Ⅰ）消去参数α，可得曲线C 的普通方程为22(2)(1)9x y -+-=，224240x y x y +---=.由cos sin x y r qr q ì=ïí=ïî所以曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ---=. （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则无交点.设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即210kx y k -++=.而2AB =，则圆心到直线l的距离d ===又d ==，解得1k =±.所以直线l 的方程为10x y ++=或30x y -+=. 【点睛】本题考查方程间的互化、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力以及数形结合思想. 23．已知函数()1f x x =-.（Ⅰ）求不等式()233x f x --≥的解集；（Ⅱ）若x R ∀∈，()5f x x a +>-，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(][),15,-∞-⋃+∞；（Ⅱ）()4,6-.【解析】（Ⅰ）分情况讨论，去绝对值解不等式即得；（Ⅱ）若()5f x x a +>-，则|||1|5x a x ---<，利用绝对值三角不等式，计算即得.【详解】（Ⅰ）由题得，|23||1|3x x ---≥.若1x <，则3213x x -+-≥，解得1x ≤-，故1x ≤-； 若312x ≤<，则3213x x --+≥，解得13x ≤，故无解； 若32x ≥，则2313x x --+≥，解得5x ≥，故5x ≥. 综上所述，不等式()233x f x --≥的解集为(][),15,-∞-⋃+∞.（Ⅱ）由题得，|1|5||x x a -+>-，即5|||1|x a x >---，即()max |||1|5x a x ---<.()()111x a x x a x a ---≤---=-Q ，11x a x a ∴---≤-，则15a -<，解得46a -<<. 故实数a 的取值范围为()4,6-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，考查运算求解能力.。
2019届河南省天一大联考高三阶段性测试(六)数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届河南省天一大联考高三阶段性测试（六）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =-≥，{}1B y y =-，则A B =I （ ）A ．(1,0]-B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]11,0,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭U答案：D先求集合A,再利用交集运算求解即可 解：依题意，{}21|2002A x x x x x x ⎧⎫=-≥=≤≥⎨⎬⎩⎭或，故(]11,0,2A B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭I U . 故选：D 点评：本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．设复数()132miz m R i-=∈+，若z z =，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．32D ．32-答案：A由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再根据z z =，即得. 解： 由题得，1i (1i)(32i)32i 3mi 2m 32m 23mi 32i (32i)(32i)131313m m z -------+====-++-，因为z z =，故23013m+=，解得23m =-. 故选：A 点评：本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，是基础题.3．某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[)20,30的概率为（ ）A ．35B ．720C ．310D ．12答案：C确定迟到次数在[20,30)的人数即可求解 解：依题意，该公司共有20名员工，其中迟到次数在[20,30)的有6人，故所求概率310P =. 故选：C 点评：本题考查茎叶图、概率的计算，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若17272S =，则3915a a a ++=（ ）A ．64B ．48C ．36D ．24答案：B由等差数列求和公式得17917272S a ==，求得916a =，再利用等差数列性质即可求解解：由等差数列性质可知，17917272S a ==，解得916a =，故39159348a a a a ++==.故选B 点评：本题考查等差数列的性质及求和公式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.，是基础题5．《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题：“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七寸. 瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺.瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺.问需要多少日两蔓相遇.”其中1尺=10寸.为了解决这一问题，设计程序框图如下所示，则输出的k 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5答案：C模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a,n,S 的值，当S=-1.2时满足条件S 0£ 退出循环输出n 的值从而得解 解：运行该程序，第一次，9 1.77.3S =-=，2k =；第二次，7.3 1.7 5.6S =-=，3k =；第三次， 5.6 1.7 3.9S =-=，4k =；第四次， 3.9 1.7 2.2S =-=，5k =；第五次，2.2 1.70.5S =-=，6k =；第六次，0.5 1.7 1.2S =-=-，此时输出的k 的值为6故选：C 点评：本题考查数学文化、算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.6．设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM∠=∠，则MN =（ ） A ．82B ．8C ．42D ．4答案：A 由22F MN F NM ∠=∠得22F M F N =，再由定义即可求解解： 由22F MNF NM ∠=∠可知，22F M F N =.由双曲线定义可知，2142MF MF -=，1242NF NF -=，两式相加得，11||82NF MF MN -==.故选：A 点评：本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想. 7．为了得到函数()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()3sin 4cos4f x x x =-的图象（ ）A ．横坐标压缩为原来的14，再向右平移2π个单位 B ．横坐标压缩为原来的14，再向左平移π个单位C ．横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移2π个单位D ．横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移π个单位答案：D先将()f x 整理为()2sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据伸缩变换和平移即得. 解：由题得，()3sin 4cos 42sin 46f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的横坐标伸长为原来的4倍，得到2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再向左平移π个单位后得到52sin 2sin 2sin 6632y x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos ()3x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 点评：本题考查三角函数的图象变换，是基础题.8．如图，小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．68B ．72C ．84D ．106答案：C根据三视图做出几何体的直观图，可知该几何体为三棱柱111ABC A B C -切割掉三棱锥D ABC -所得的几何体，计算111ABC A B C D ABC V V V --=-即得.解：作出该几何体的直观图如下所示，观察可知，该几何体为三棱柱111ABC A B C -切割掉三棱锥D ABC -所得的几何体，故所求体积111114666664668423223V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故选：C 点评：本题考查三视图，柱体和锥体的体积公式，考查空间想象能力. 9．若函数()131xf x m =--的图象关于原点对称，则函数()f x 在(),0-∞上的值域为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭答案：A根据函数()f x 的图象关于原点对称，可知()f x 为奇函数，可得m ，再由函数单调性可得值域. 解：由题得，函数()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，解得12m =-，故()11231x f x =---，故函数()f x 在(),0-∞上单调递增，当x →-∞时，()12f x →，当0x →时，()f x →+∞，故函数()f x 在(),0-∞上的值域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A 点评：本题考查函数的奇偶性，以及由单调性求函数值域.10．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A'，若四边形AA'PF 的面积为14，且3cos 5FAA '∠=，则抛物线C 的方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =答案：C过点F 作FF AA ''⊥，垂足为F'.设3AF x '=，根据3cos 5FAA '∠=和抛物线定义，可得AF ，'FF ，AA '，以及x 与p 的关系，再由四边形AA PF '的面积为14，解出p 即得. 解：作出图形如下所示，过点F 作FF AA ''⊥，垂足为F'.设3AF x '=，因为3cos 5FAA '∠=，故5AF x =，4FF x '=，由抛物线定义可知，5AA AF x '==，则2F x p A ''==，故2p x =，四边形AA PF '的面积()52||21422p p p PF AA PA ''⎛⎫+⋅ ⎪+⋅⎝⎭==，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.故选：C 点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查运算求解能力和数形结合思想.11．如图所示，体积为8的正方体1111ABCD A B C D -中，分别过点1A ，1C ，B 作1A M ，1C N ，BP 垂直于平面1ACD ，垂足分别为M ，N ，P ，则六边形1D MAPCN 的面积为（ ）A ．43 B ．46C ．12D ．122答案：A作出六边形1D MAPCN ,由几何关系得六边形1D MAPCN 为正六边形故面积可求 解：依题意，2AB =.因为111A D A A = ，故111A D A A ，在平面1ACD 的投影1MD MA =，同理1,ND NC PC PA ==，作出六边形1D MAPCN ，六边形1D MAPCN 为正六边形，如图所示，由三角形1ACD 的边长122DC =，知 1223D N =，故所求六边形的面积23226433S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选A点评：本题考查利用空间几何体的结构，考查空间想象能力、推理论证能力以及数形结合思想. 12．已知函数()ln xee f x x=，若函数()()g x f x a =+无零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,02e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．,02e ⎛⎤-⎥⎝⎦C ．(]2,0e -D ．(],0e -答案：D利用导数研究函数()f x 的单调性并求极值，作出函数()y f x=的图像，数学结合得到答案. 解：由题得，2211ln 11()ln (ln )(ln )x xx e ee e x e e e xf x x x x ex '⋅⋅-⋅⎛⎫==⋅⋅- ⎪⎝⎭(0x >且1)x ≠，令()11ln h x x e x=⋅-，可知函数()h x 单调递增，且()0h e =，故当(0,1)(1,)x e ∈U 时，()0h x <，当(),x e ∈+∞时，()0h x >.故函数()f x 在()0,1和()1,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，作出函数()f x 的图象如下图所示，令()0f x a +=，得()a f x -=，观察可知0a e ≤-<，即0e a -<≤.故选：D 点评：本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力，数形结合思想.二、填空题13．设向量()2,4m =，()()3,n R λλ=-∈，若m n ⊥，则λ=____________. 答案：32根据m n ⊥可得0m n ⋅=，已知向量的坐标，计算即得. 解：由题得，0m n ⋅=，即640λ-+=，解得32λ=. 故答案为：32点评：本题考查向量的垂直和坐标运算，是基础题.14．设实数x，y满足1028010x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y=-的最大值为____________.答案：21作出不等式表示的平面区域，利用数形结合可得.解：作出不等式所表示的平面区域，观察可知，当直线2y x z=-过点B时，z取得最大值，联立28010x yy+-=⎧⎨+=⎩，解得101xy=⎧⎨=-⎩，故2z x y=-的最大值为21.故答案为：21点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域，线性规划，考查运算求解能力以及数形结合思想.15．()()27231x x--的展开式中，3x的系数为______.答案：-455由二项式定理的通项公式求解即可解：依题意，3x的系数为332217774(1)12(1)9(1)455C C C⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-.故答案为-455点评：本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题16．记正项数列{}n a的前n项和为n S，且当2n≥时，12(1)7n n na na n a-=--+.若29a=，则40S=______.答案：1840将12(1)7n n na na n a-=--+变形为1712(1)(2)n na an n n n--+=----整理得17712n n a a n n ---=--进而得25n a n =+，再利用求和公式求解即可 解：当2n =时，原式化为17a =；当2n >时，17012(1)(2)n n a a n n n n --+=----，即1771122n n a a n n n n --=-----，即17712n n a a n n ---=--，依次迭代，1312777721232n n a a a a n n -----====-=---L ，故25n a n =+，1a ，2a 均符合该式，故40(785)4018402S +⨯==.故答案为1840 点评：本题考查数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想，是中档题三、解答题17．如图所示，锐角ABC V 中，52AC =，点D 在线段BC 上，且32CD =，ACD V 的面积为66，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若1sin 3BEC ∠=，求 AE 的值. 答案：（Ⅰ）214；（Ⅱ）32（Ⅰ）根据1sin 266ACD S AC CD ACD =⋅∠=V sin ACD ∠的值，再由余弦定理计算即得；（Ⅱ）由EC BC ⊥，可得()sin sin 90ACE ACD ︒∠=-∠，根据诱导公式和正弦定理计算即得. 解：（Ⅰ）在ACD V 中，11sin 5232sin 6622ACD S AC CD ACD ACD =⋅∠=⨯∠=V Q26sin 5ACD ∴∠=. 090ACD︒︒<∠<Q ，2261cos 155ACD ⎛⎫∴∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得214AD =. （Ⅱ）EC BC ⊥Q ，()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ︒∴∠=-∠=∠=. 在AEC V 中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即52153AE =，所以32AE =.点评：本题考查诱导公式，三角形的面积公式，正余弦定理，是常考题型.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CAB CBA ∠=∠，11ACB AB C ∠=∠，1AB ⊥平面ABC ，2AC =，190CAC ∠=︒，D ，E 分别是AC ，11B C 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥平面11AB C ； （Ⅱ）求DE 与平面1CBB 夹角的正弦值.答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）36. （Ⅰ）根据线面垂直的判断定理，即得；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得向量DE u u u r和平面11BB C C 的法向量，由向量的数量积公式计算即得. 解：（Ⅰ）1AB ⊥Q 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，1AB AC ∴⊥.190CAC ∠=︒Q ，1AC AC ∴⊥.又11AB AC A =I ，1AB ⊂平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，AC ∴⊥平面11AB C .（Ⅱ）以C 为坐标原点，以u u r CB 为x 轴正方向，CA u u u r为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ， 则()()()()()()110,0,0,2,0,0,0,2,2,2,2,2,0,1,01,2,2C B B C D E --.所以()()()11,1,2,2,0,0,0,2,2DE CB CB =-==u u u r u u u r u u u r.设平面11BB C C 的法向量为(),,n x y z =r ，则100n CB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即20220x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得1z =-，故()0,1,1n =-r.设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ，则||3sin |cos ,|||||DE n DE n DE n θ⋅=〈〉==⋅u u u r ru u u r r u u u r r .故DE 与平面1CBB 夹角的正弦值为36.点评：本题考查空间线面的位置关系，向量法求线面角，考查空间想象能力，运算求解能力以及数形结合思想.19．某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（Ⅰ）设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y .若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为$1.240y x =+，且年龄x 的方差为214.4xs =，评分y 的方差为222.5y s =.求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.附：线性回归直线y bx a =+$$$的斜率121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$；相关系数()()niix x y y r --=∑，独立性检验中的22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++. 临界值表：答案：（Ⅰ）0.96r =，相关性较强；（Ⅱ）有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.（Ⅰ）由r 的公式计算求解即可；（Ⅱ）由列联表计算2K ，再对照表格判断即可 解：（Ⅰ）相关系数50()()iix x y y r --=∑()()()5015021i i i ii x x y y x x ==--=-∑∑12ˆ 1.20.9615b==⨯=. 故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强. （Ⅱ）由列联表可得2250(862016)9.624 6.63524262822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关. 点评：本题考查回归直线方程、独立性检验，考查推理论证能力、运算求解能力以及数据分析能力.20．已知ABC ∆的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B -.点A 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）若(2,0)D -，直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与Γ交于E ，F 两点，若1DEk ，kλ，1DFk 成等差数列，求λ的值.答案：（Ⅰ）()221243x y x +=≠±；（Ⅱ）2.（Ⅰ）由椭圆定义得轨迹方程即可；（Ⅱ）依题意得112DE DFk k k λ⋅=+，得2DE DF k k k k λ=+，联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩消去y ，整理()()121222DE DF k x k x k k k k y y +++=+代入韦达定理得2λ=即可 解：（Ⅰ）依题意，(1,0)B -，(1,0)C ，故2BC =，则42AB AC BC +=>=，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为221(2)43x y x +=≠±.（Ⅱ）依题意，112DE DFk k k λ⋅=+，故2DE DFk k k k λ=+. 联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k-=+. 故()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+()()()()12122211k x k x k x k x ++=+-- ()()()1212123233221111x x x x x x +-=++=+----()()1212123221x x x x x x +-=+-++ 222222832342412813434k k k k k k⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--+++()22222386822242412834k k k k k λ--=+=+==--++， 则2λ=. 点评：本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力. 21．已知函数1()ln a f x x ax x+=++. （Ⅰ）若0a <，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若0a ≥，证明：1()21x f x a x e--…. 答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.（Ⅰ）求导22(1)'()ax x a f x x+-+=，由'()0f x =，得1x =或1a x a +=-，讨论两者大小关系确定'()f x 的正负得单调性即可；（Ⅱ）证1()21ex f x a x --≥，等价为11ln 21x a x ax ax ex -+++-≥整理得11ln 20x a x x ax a x e -+++--≥，构造函数11()ln 2x a xF x x ax a e x -+=++--，求导确定其最小值即可证明解：（Ⅰ）依题意，(0,)x ∈+∞，22211(1)'()a ax x a f x a x x x++-+=+-=2(1)[(1)]x ax a x -++=.令'()0f x =，则1x =或1a x a+=-. 当1a ≤-时，(1)0ax a ++<，由'()0f x >得(0,1)x ∈，由'()0f x <得(1,)x ∈+∞；当12a =-时，221(1)'()02x f x x-=-⋅≤； 当1a >-且11a a +-<，即112a -<<-时，由'()0f x >得1,1a x a +⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 由'()0f x <得10,a x a +⎛⎫∈-⎪⎝⎭或(1,)x ∈+∞； 当11a a +->，即102a -<<时，由'()0f x >得11,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 由'()0f x <得(0,1)x ∈或1,a x a +⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当1a ≤-时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当12a =-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当112a -<<-时，函数()f x 在10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递减，在1,1a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； 当102a -<<时，函数()f x 在(0,1)和1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）要证：1()21ex f x a x --≥. 即证：11ln 21x a x ax ax e x -+++-≥， 即证：11ln 2x a xx ax a x e -+++-≥， 即证：11ln 20x a xx ax a x e -+++--≥. 令11()ln 2x a xF x x ax a ex -+=++--. 22121111(1)1'()x x a x ax x a x F x a x x x e e--+-+-+-=+--=-2111(1)x e ax a x x -++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为0a ≥，所以当(0,1)x ∈时，'()0F x <，()F x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，()F x 单调递增，所以min ()(1)0F x F ==，即()0F x ≥. 故当0a ≥时，1()21x f x a x e--≥. 点评：本题考查导数与函数的单调性、最值，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）过点(2,1)-的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2AB =，求直线l 的方程. 答案：（Ⅰ）24cos 2sin 40ρρθρθ---=；（Ⅱ）10x y ++=或30x y -+=. （Ⅰ）由参数方程化普通方程消去α 得22(2)(1)9x y -+-=，再利用普通方程化极坐标方程即可；（Ⅱ）设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，求圆心到直线l 的距离d ，再由弦长公式求解即可 解：（Ⅰ）消去参数α，可得曲线C 的普通方程为22(2)(1)9x y -+-=，224240x y x y +---=.由cos sin x y r q r q ì=ïí=ïî所以曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ---=. （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则无交点.设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即210kx y k -++=.而2AB =，则圆心到直线l的距离d ===又d ==，解得1k =±.所以直线l 的方程为10x y ++=或30x y -+=. 点评：本题考查方程间的互化、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力以及数形结合思想. 23．已知函数()1f x x =-.（Ⅰ）求不等式()233x f x --≥的解集；（Ⅱ）若x R ∀∈，()5f x x a +>-，求实数a 的取值范围. 答案：（Ⅰ）(][),15,-∞-⋃+∞；（Ⅱ）()4,6-.（Ⅰ）分情况讨论，去绝对值解不等式即得；（Ⅱ）若()5f x x a +>-，则|||1|5x a x ---<，利用绝对值三角不等式，计算即得.解：（Ⅰ）由题得，|23||1|3x x ---≥.若1x <，则3213x x -+-≥，解得1x ≤-，故1x ≤-； 若312x ≤<，则3213x x --+≥，解得13x ≤，故无解； 若32x ≥，则2313x x --+≥，解得5x ≥，故5x ≥. 综上所述，不等式()233x f x --≥的解集为(][),15,-∞-⋃+∞.（Ⅱ）由题得，|1|5||x x a -+>-，即5|||1|x a x >---，即()max |||1|5x a x ---<.()()111x a x x a x a ---≤---=-Q ，11x a x a ∴---≤-，则15a -<，解得46a -<<. 故实数a 的取值范围为()4,6-. 点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，考查运算求解能力.。
河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(六) 数学(理) (带答案解析)
天一大联考 2018-2019学年高中毕业班阶段性测（六）数学（理科）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A= {022≥-x x },B={1>|-y y }，则 A.( -1,0] B. ( -1，0]U[+∞,21) c.( -1,21] D.[ +∞,21) 2.设复数)(231R m i miz ∈+-=，若z z =，则=m A. 32- B. 32 C. 23 D.23- 3.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20,30)的概率为A.207 B. 103 C. 53 D. 214.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若17S = 272,则=++1593a a a A. 24B.36C. 48D.645.《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题;“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七 寸.瓤生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺。
瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺。
问需要多少 日两蔓相遇。
”其中1尺=10寸。
为了解决这一问题，设计程序框图如右所示，则输出的A 的值为 A. 5 B.6C.7D. 86.设双曲线C:1822=-m y x 的左、右焦点分别为，过F1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上。
若NM F MN F 22∠=∠乙，则=||MN A. 8 B. 4 C. 28 D. 24 7.为了得到函数)3cos(2)(π+=x x g 的图象，只需将函数x x x f 4cos 4sin 3)(-=的图象A.横坐标压缩为原来的41，再向右平移2π个单位 B.横坐标压缩为原来的41，再向左平移π个单位C.横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移2π个单位D.横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移π个单位8.如图，小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 68B.72C. 84D. 1069.若函数131)(--=xm x f 的图象关于原点对称，则函数)(x f 在（+∞，0)上的值域为 A.（21，+∞) B.（21-，+∞) C.（1，+∞) D.（32，+∞)10.已知抛物线C: px y 22= (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA'丄l ，垂足为A',若四边形的面积为14,且53'cos =∠FAA ，则抛物线C 的方程为 A. x y =2B. x y 22=C. x y 42=D. x y 82=11.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B 作A1M1C1N 垂直于平面ACD ，垂足分别为M ，N ，P ，则六边形D1MAPCN 的面积为 A. 212B. 12C. 64D. 3412.已知函数xex f ex ln )(=，若函数a x f x g +=)()(无零点,则实数a 的取值范围为 A. ]0,2(2e - B. ]0,2(e- C. ]0,2(e - D. ]0,(e -二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(六)数学(理)试卷(有答案)
天一大联考 2018-2019学年高中毕业班阶段性测试（六）数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A= {022≥-x x },B={1>|-y y }，则A.( -1,0]B. ( -1，0]U[+∞,21) c.( -1,21] D.[ +∞,21) 2.设复数)(231R m imi z ∈+-=，若z z =，则=m A. 32- B. 32 C. 23 D. 23- 3.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20,30)的概率为A. 207B. 103C. 53D. 21 4.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若17S = 272,则=++1593a a aA. 24B.36C. 48D. 645.《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题;“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七 寸.瓤生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺。
瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺。
问需要多少 日两蔓相遇。
”其中1尺=10寸。
为了解决这一问题，设计程序框图如右所示，则输出的A 的值为A. 5B. 6C.7D. 86.设双曲线C: 1822=-m y x 的左、右焦点分别为，过F1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上。
若NM F MN F 22∠=∠乙，则=||MNA. 8B. 4C. 28D. 247.为了得到函数)3cos(2)(π+=x x g 的图象，只需将函数x x x f 4cos 4sin 3)(-=的图象 A.横坐标压缩为原来的41，再向右平移2π个单位 B.横坐标压缩为原来的41，再向左平移π个单位 C.横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移2π个单位 D.横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移π个单位8.如图，小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 68B.72C. 84D. 1069.若函数131)(--=x m x f 的图象关于原点对称，则函数)(x f 在（+∞，0)上的值域为 A.（21，+∞) B.（21-，+∞) C.（1，+∞) D.（32，+∞)10.已知抛物线C: px y 22= (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA'丄l ，垂足为A',若四边形的面积为14,且53'cos =∠FAA ，则抛物线C 的方程为A. x y =2B. x y 22=C. x y 42=D. x y 82=11.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B 作A1M1C1N 垂直于平面ACD ，垂足分别为M ，N ，P ，则六边形D1MAPCN 的面积为 A. 212 B. 12 C. 64 D. 3412.已知函数x e x f ex ln )(=，若函数a x f x g +=)()(无零点,则实数a 的取值范围为 A. ]0,2(2e - B. ]0,2(e - C. ]0,2(e - D. ]0,(e - 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(六)数学(文)试卷
天一大联考 2018-2019学年高中毕业班阶段性测试（六）数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 U= {6＜＜0|x Z x ∈},B={5,4,3}，则=A C U A. {3,2,1} B. {2,1} C. {2,1,0} D. {3,2,1,0}2.设复数)52)(23(i i z -+=，若z 的虚部为A.-11B.11C.-16D.163.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20,30)的概率为A.207 B. 103 C. 53 D. 214.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若35,1656==S a = 272,则{n a }的公差为A. -3B.-2C. 3D. 25.《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题;“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七 寸.瓤生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺。
瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺。
问需要多少 日两蔓相遇。
”其中1尺=10寸。
为了解决这一问题，设计程序框图如右所示，则输出的A 的值为 A. 5B. 6C.7D.86.设双曲线C:1822=-m y x 的左、右焦点分别为，过F1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上。
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天一大联考 2018-2019学年高中毕业班阶段性测试（六）
数学（文科）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U= {},B={}，则
6＜＜0|x Z x ∈5,4,3=A C U A. {} B. {} C. {} D. {}
3,2,12,12,1,03,2,1,02.设复数，若的虚部为
)52)(23(i i z -+=z A.-11 B.11 C.-16 D.16
3.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20,30)的概率为
A. B. C. D. 207103532
14.记等差数列{}的前项和为，若= 272,则{}的公差为
n a n n S 35,1656==S a n a
A. -3
B.-2
C. 3
D. 2
5.《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题;“今有垣高九尺.瓜生其
上，蔓日长七 寸.瓤生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙
高9尺。
瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦
蔓每天向上长1尺。
问需要多少 日两蔓相遇。
”其中1尺=10寸。
为了解决
这一问题，设计程序框图如右所示，则输出的A 的值为
A. 5
B. 6
C.7
D. 8
6.设双曲线C: 的左、右焦点分别为，过F1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，182
2=-m y x 其中M 在左支上，N 在右支上。
若乙，则
NM F MN F 22∠=∠=||MN A. 8 B. 4 C. D.
28247.为了得到函数的图象，只需将函数的图象 3cos(2)(π+
=x x g x x x f 4cos 4sin 3)(-=A.横坐标压缩为原来的，再向右平移个单位 412
πB.横坐标压缩为原来的，再向左平移个单位 4
1πC.横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移个单位
2π
D.横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移个单位
π
8.如图，小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几
何体的体积为
A. 68
B.72
C. 84
D. 106
9.若函数的图象关于轴对称，则实函数的值为
)41ln(sin )(2x ax x x f ++⋅=y a A.±2 B. ±4 C.2 D.4
10.已知抛物线C: (p >0)的焦点为F ，准线为，与轴的交点为P ，点A 在抛物px y 22=l l x 线C 上，过点A 作AA'丄，垂足为A',若四边形的面积为14,且，则抛物线l 53'cos =
∠FAA C 的方程为
A. B. C. D. x y =2x y 22=x y 42=x y 82
=11.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B 作A1M1C1N 垂直于平面ACD ，垂足分别为M ，N ，P ，则六边形D1MAPCN 的面积为
A. B. 12 C. D.
212643412.已知函数，若函数无零点,则实数a 的取值范围为 x e x f e
x ln )(=a x f x g +=)()(
A. B. ]0,2(2e -]0,2
(e -C. D.
]0,2(e -]0,(e -二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量 m=(2,4) ,n=(-3 ,) ，若m 丄n,则 。
λR ∈λ=λ14.设实数满足,则 z =2x -y 的最大值为 。
y x ,⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≥+-0108201y y x y x 15.在[0,20]中任取一实数作为，使得不等式成立的概率为 。
x 4＜)1(log 2
1--x 16.记数列{}的前项和为，若，则数列{}的通项公式为n a n n S 323-+=n a S n n n a 。
=n a 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都 必须作答。
第22,23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题:共60分。
17. (12 分）
如图所示，锐角△ABC 中，点D 在线段BC 上，且，△ACD 的面25=AC 23=CD 积为，延长BA 至 E ，使得EC 丄BC. 26(I)求AD 的值；
(II)若，求AE 的值. 3
1sin =
∠BEC 18. (12 分）
如图，三棱柱ABC- A1B1C1中，
C AB ACB CBA CAB 11,cos =∠∠=∠，AB 1丄平面ABC ，AC=2, ，
D ，
E 分别是的中点。
0190=∠CAC (I)证明AC 丄平面AB 1C 1；
(II)求DE 与平面
CBB 1
夹角的正弦值.
19. (12 分）
某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了 50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分。
(I)设消费者的年龄为，对该款智能家电的评分为。
若根据统计数据，用最小二乘法得
x y 到关于的线性回归方程为,且年龄的方差为,评分的方差y x 402.1ˆ+=x y
x 4.142=x s y 为。
求与的相关系数，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性5.222=y s y x r 强弱。
(II)按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”， 整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关。
20. (12 分）
已知△A BC 的周长为6，B ，c 关于原点对称，且B(-1，0),点A 的轨迹为P. (I)求P 的方程；
(II)若D( -2,0)，直线: 与P 交于E ，F 两点，若成等差l )0)(1(≠-=k x k y DF DE k k k 1,,1λ数列，求的值。
λ21.(12 分）
已知函数.
2)(x me x f x -=(I )若m=1，求曲线在（0，）处的切线方程；
)(x f y =)0(f (II)若关于的不等式在[0,+ ∞]上恒成立，求实数的取值范围。
x )4()(x me x x f -≥m (二）选考题:共10分。
请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为为参数），以原xOy αα
α(sin 21,cos 32⎩⎨
⎧+=+=y x
点0为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
x (I)求曲线C 的极坐标方程；
(II)过点（-2，1)的直线与曲线C 交于两点，且,求直线的方程.
l 2||=AB l 23.[选修4 - 5 :不等式选讲](10分）
已知函数.
|1|)(-=x x f (I )求不等式的解集；
3)(|32|≥--x f x (II)若，求实数的取值范围。
||＜5)(,a x x f R x -+∈∀a。