最新幂函数的性质、常考题型及对应练习

幂函数

分数指数幂

正分数指数幂的意义是：m n m n

a a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：1

m n

n

m

a a

-

=

（0a >，m 、n N ∈，且1n >）

一、幂函数的定义

一般地，形如

y x α

=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如

112

3

4

,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

二、幂函数的图像

幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11

2,1,,,323

n =±±±

的图像和性质，列表如下．

从中可以归纳出以下结论：

① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

② 11

,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．

③ 1

,1,22

a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．

④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

三、幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断

例1．在函数22031

,3,,y y x y x x y x x

===-=中，幂函数的个数为 ( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）

A ．3x y -=

B ．3-=x y

C ．32x y =

D ．

13

-=x y 题型二.幂函数图像问题

例 2.幂函数n m

y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有

（ ） ()A m 、n 为奇数且1m

n <

()B m 为偶数，n 为奇数，且

1m

n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m

n <

()D m 奇数，n 为偶数，且1m

n

>

练2.右图为幂函数

y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是

（ ）

()A a b c d >>> ()B b a d c >>>

()C a b d c >>>

()D a d c b >>>

解：取12

x =

， 由图像可知：11112222c

d

b

a

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

a b d c ⇒>>>，应选()C ． 题型三.幂函数比较大小的问题 例3.比较下列各组数的大小： （1）131.5，13

1.7，1；

（2

）(37

，(37

，(37

；

（3

）23

2-⎛- ⎝⎭

，23

107-⎛⎫

- ⎪⎝⎭，()431.1--． 解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，

可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．

∵13

y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，

∴1133

1.7 1.51>>．

（2）底数均为负数，可以将其转化为()

)337

7=-

，())337

7=-

，()

)

337

7

=-

．

∵3

7

y x =在()0,+∞

上单调递增，且>>， ∴

)))3

33777>>，即)

)

)

3337

7

7

-<-

<-，

∴()()()

333777

<<．

（3）先将指数统一，底数化成正数．

223

3

-

-⎛= ⎝⎭

⎝⎭

，223

3

101077-

-

⎛⎫

⎛⎫

-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，()()42

331.1 1.21---=． ∵23

y x -

=在()0,+∞

上单调递减，且

7 1.21102

<<，

∴()223

23

37 1.21102-

-

-⎛⎛⎫>> ⎪ ⎝⎭

⎝⎭，

即：()22

3

43

37 1.1102---⎛⎛⎫->->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭

． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型四.幂函数含参数问题

例4.若()()113

3

132a a -

-

+<-，求实数a 的取值范围． 分析：若113

3

x

y -

-<，

则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<． 解：根据幂函数的性质，

有三种可能：10320a a +<⎧⎨->⎩或10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10

320132a a a a

+>⎧⎪

->⎨⎪+>-⎩

，

解得：()23,1,32a ⎛⎫

-∞- ⎪⎝∈⎭

．

练4．已知幂函数2

23

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m

的值．

解：∵幂函数2

23

m

m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，

∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；

∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．

练5．幂函数()3521----=m x m m y ，当x ∈(0,+∞)时为减函数，则实数m 的值为( )