全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线

一、知识概述

1、角的平分线的作法

(1)在/ AOB勺两边OA 0B上分别截取OD OE使Ot=OE

(2)分别以D E为圆心，以大于1/2 DE长为半径画弧，两弧交于/ AOB内

点C.

(3)作射线OC则OC为/ AOB的平分线(如图)

指出：(1)作角的平分线的依据是三角形全等的条件一一“ SSS

(2)角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.

2、角平分线的性质

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等•

指出：(1)这里的距离是指点到角两边垂线段的长•

(2)该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据•即不需再用老方法一一全等三角形•

(3)使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.

3、角平分线的判定

至V角的两边的距离相等的点在角的平分线上•

指出：(1)此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的•

(2)此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.

4、三角形的角平分线的性质

三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.

指出：(1)该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于

一点，再证明该交点在第三线上.

(

2)该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题

.

二、典型例题剖析 例1 如图所示，四边形 ABCD 中, AB=AD AC 平分/ BCD AE ±BC, AF 丄CD 求证: △ ABE ^A ADF

OB=OC

C •等于EF 例 4、（12分）如图四边形 ABC 冲，AC 平分/ BA

D C

E L AB 于 E ，/

D +Z B=1800,

求证：AD + AB=2AE

例2、如图所示，BE 。卩是厶ABC 的高，BE 、CF 相交于O,且0A 平分/ BAC 求证:

例3、如图，D 为BC 的中点，DEL DF, E 、F 分别在AB AC 边上，贝U BE + CF () A •大于EF B •小于EF

D .与EF 的大小无法比较

例5、已知：如图，在四边形ABC冲，AB>BC BD平分"聪山十四加=1狩.求

证：AD=CD

5 G

例6、如图，已知在厶ABC中, Z B=600,^ ABC的角平分线AD CE相交于0点,

求证：AE+ CD=AC

三、中考解析

1、在厶ABC Z C=90°, BC=16cm Z A 的平分线AD交BC于D,且CD： DB=3 : 5, 则D到AB的距离等于（）

A . 6cm

B . 7cm

C. 8cm D . 9cm 2、如图，D是厶ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB+ A«D聊DC

3、如图，在厶ABC中，D为BC的中点，DEL BC,交/ BAC的平分线AE于E, 于F, EGL AC交AC的延长线于G,求证：BF=CG

于E,与CD相交于点F. H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.

⑴求证：BF=AC

1

⑵求证：CE』BF；

(3)CE与BG的大小关系如何试证明你的结论.

5、如图，已知/ 仁/ 2，P为BN上一点，且PD L BC于D, AB+ BC=2BD求证: / BAF^Z BC!=180°

6如图，△ ABC中, AM是BC边上的中线，求证

C

7、已知：如图，在Rt△ ABC中，AB=AC / BA(=90°,/仁/2, CE丄BD的延长线于E.

求证：BD=2CE