一、 贝努里概型和二项分布

一、
贝努里概型 和
二项分布
例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数. 我们来求X的概率分布.
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p. 男 女 X =1 X =2 X =3 X =4 X=0
X可取值0,1,2,3,4.
P( X =k )=C (0.8) (0.把观察一个灯泡的使用 2) , k = 0,1,2,3
k 3 k
3− k
时数看作一次试验, P(X ≤1) =P(X=0)+P(X=1) “使用到1000小时已坏” 视为“成功”.每次试验, )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2 “成功”的概率为0.8
=0.104
二项分布的图形特点： X~B(n,p) Pk 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, ... 随后单调减少. 0 当(n+1)p不为整数时，二项概 率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最 大值；
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
n
n=10,p=0.7
泊松分布的图形特点：X~P( ) λ
请看演示
泊松分布
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
k n k
n −k
≈
λk e −λ
k!
其中 λ = np
C p (1 − p)
k n k
n −k
≈
λe
k
−λ
k!
其中 λ = np
实际计算中， n ≥ 100, np ≤ 10 时近似效果就很好 请看演示 二项分布的泊松近似
当 n很大时，p不是很小，而是很大( 接 近于1)时， 能否应用二项分布的泊松近似？ 请看教材例5. 此例说明，当p不是很小，而是很大( 接 近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以 应用泊松近似. 下面我们看一个应用例子.
例5 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工 作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下，一台设备的故障可由一 人来处理 . 问至少应配备多少维修人员， 才能保证当设备发生故障时不能及时维修 的概率小于0.01? 我们先对题目进行分析：
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01. 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设X为300台设备同时发生故障的台数， 300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型. 可见， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 λt 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？ 解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 α 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; … 都可以看作泊松流.
二项分布的图形特点： X~B(n,p) Pk 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, .. 随后单调减少. 0 n=13,p=0.5 当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值. 课下请自行证明上述结论.
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01 设需配备N个维修人员， 所求的是满足 P(X>N) < 0.01 或 P(X≤ N) ≥ 0.99 的最小的N.
n −k
=e
−λ
λ
k
k!
, k =0,1,2,LL,
等式右端给出的概率分布，是又一种重要 的离散型分布： 泊松分布
一、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X = k ) =e
−λ
λ
k
k!
, k=0,1,2,LL,
其中 λ>0 是常数,则称 X 服从参数为 的 λ 泊松分布,记作X~P(λ).
.. n
想观看二项分布的图形随参数n,p的 具体变化，请看演示 二项分布
二、二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变 得很麻烦，如教材例4中，要计算 5000 5000 1 k 999 5000−k k P( X >5)= ∑ P( X =k )= ∑ C5000 ( )( ) 1000 1000 k =6 k =6 或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法. 我们先来介绍二项分布的泊松近似， 后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的 正态近似.
2 P( X =2)=C3 (0.05) 2 (0.95) = 0.007125
注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”， 那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概 型，此时，只能用古典概型求解.
C C ≈ 0.00618 P( X =2)= C
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
1 2 95 5 3 100
k n k
n
n −k
, k = 0,1,L, n
P 不难验证： （1） ( X = k ) ≥ 0
（2）∑ P ( X = k ) =1
k =0
当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 称X服从0-1分布
X~B(n,p)
例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取 的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数， 则 X ~ B (3, 0.05)， 于是，所求概率为：
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布. 请看演示 “二项分布与泊松分布”
三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）. 下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
泊松定理 λ p 设λ 是一个正整数， n = ，则有 n
limC p (1 − pn )
n→∞ k n k n
n− k
=e
−λ
λ
k
k!
, k=0,1,2,L
证明见教材. 定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定 很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：
C p (1 − p)
销售数
进货数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ Nhomakorabea0.05
∞ −5 k
e 5 ≤ 0.05 或 ∑ k = m +1 k!
查泊松分布表得
∞ −5 k
e 5 ∑ k! ≈0.032, k =10
于是得 m+1=10,
e 5 ∑ k! ≈0.068 k =9
m=9件
∞
−5 k
L
再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重 复”是指这次试验中各次试验条件相同 )， 每次试验成功的概率都是p，失败的概率 都是q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里 试验，简称贝努里试验或贝努里概型.
用X表示n重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数，则
P( X =k )=C p (1 − p )
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； （2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ， P 且P(A)=p ， ( A ) = 1 − p ； （3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏 的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
现在我们介绍几种常用的离散随机变量的概率分布：
超几何分布 · 二项分布 · 泊松分布
我们从以下几个方面去讨论这几个常用分布：
（1）概率函数及其性质； （2）应用； （3）。
让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理：
p 设λ 是一个正整数， n = ，则有 n