切换系统的稳定性调研报告

切换系统的稳定性调研报告

陈龙0909122920 自动化1206班

丁志成0909122921 自动化1206班

摘要：本文通过查找文献的方法来了解切换系统及其应用领域、切换系统稳定性的特点、主要结果、研究方法（使用的主要数学工具）和研究现状；了解研究的难点，还有哪些有待研究的问题。

关键词：切换系统稳定性李雅普诺夫函数

一、切换系统的定义及其应用领域

切换系统是一种包含多个连续或离散子系统的混杂系统，并由切换信号来控制它在各个子系统之间切换，它是从系统与控制论角度来研究的一种特殊混杂系统。近年来，切换系统由于其结构形式相对简单，便于理解，分析和实际应用，而被广泛的研究与讨论。在实践应用中，许多自然、社会及工程系统会随环境的变化而展现不同的的模型，如输电系统、飞行器队型、运动机器人、神经网络、交通控制、汽车工业等，而用切换系统可以很好地刻画出这些系统的数学模型。

二、切换系统稳定性的特点

子系统的稳定性不等价于切换系统的稳定性，也就是说，即使它的所有子系统都稳定，整个系统不一定稳定；同样，即使各个子系统都不稳定，也不能说明整个切换系统不稳定。

三、切换系统稳定性的研究方法

1、多李雅普诺夫函数法：

多李雅普诺夫函数法的基本思想是对每个子系统都要寻找一个李雅普诺夫函数进行稳定性分析。该研究方法保守性小，有利于数学推导。

2、公共李雅普诺夫函数法：

公共李雅普诺夫函数法是在多李雅普诺夫函数法之后被提出来的，主要用于判定一个系统对于任意切换是否稳定。利用这一方法证明系统稳定性的关键是研究公共李雅普诺夫函数的存在条件。

3、驻留时间法：

驻留时间法又叫慢变切换，这一思想来源于Desoer关于慢时变系统的著名论断：如果系统所有子系统的矩阵都是Hurwitz矩阵，那么在足够缓慢的切换下可以保持系统稳定。

4、其他方法

四、切换系统稳定性的研究成果

1、任意切换下的稳定性：对切换线性系统，任意切换条件下的几种稳定性是等价的：渐近稳定、全局渐近稳定、(全局)指数稳定。

2、约束切换下的稳定性：。一般分为两类，一类是切换规则受到状态演化的约束，还有一类就是约束切换发生的速率。比较而言，实践中更为重要的一类问题是：给定一族非Hurwitz 矩阵，判定是否存在状态相关的切换律，使得系统是全局一致渐近稳定的。对切换线性系统约束切换条件下，对状态轨迹无关(时间相关)的切换信号，一致渐近稳定等价于指数稳定；对状态轨迹相关的切换信号，二者之间并无确定性的等价关系。约束切换又可分为以下三个方面:切换速率的约束：如果所有的子系统矩阵都是Hurwitz的，那么在足够缓慢的切换条

件下，系统可以保持稳定；状态相关的约束：在状态相关的切换信号约束下考察系统稳定性更多的是借助于多Lyapunov函数(MLF)方法；镇定的切换规则：在很多情况下，切换规则是可设计的。我们应当利用这一点，得到期望的系统整体性能。切换镇定就是通过设计合适的切换规则，使得切换系统(渐近)稳定。从这个意义上说，切换镇定更多的是一个设计问题，而不仅仅是分析问题。

3、时滞切换系统的稳定性：时滞与切换是广泛存在的自然现象，二者相互耦合可能导致复杂的系统动力学行为。时滞现象的存在丰富了切换系统稳定性研究问题的理论体系，但是相关方法与结论并不能简单推广至时滞情况。在切换序列己知的情况下，时滞切换系统退化为具有时变系数系统矩阵的一般时变系统，利用泛函微分方程的基本理论可以分析其稳定性。

4、其他相关成果：混合切换策略(Combined Switching Strategy)，即状态反馈和驻留时间方案结合。基于CQLF方法，在状态反馈的切换规则作用下，Lyapunov函数值严格单调减；而在驻留时间切换规则作用下，Lyapunov函数值允许增加，只需保证在切换点处形成递减序列即可。在这样的切换策略下，切换频率可以大大降低。实际上，这是一类周期切换(循环切换)规则的设计问题，或者说周期可镇定问题。

五、切换控制系统稳定性的研究现状

稳定性是系统正常工作的先决条件。一个系统的稳定性如果无法保证，系统将无法正常工作，更谈不上其它的性能指标。切换系统的稳定性问题归结为如下的三个基本问题：

1、对给定的切换系统，在任意切换规则下都稳定的条件是什么?

2、如何辨识出使得给定切换系统稳定的切换规则?

3、如何构造一个切换规则使得给定切换系统是稳定的?

问题1、2是关于稳定性分析方面，问题3则侧重于综合设计。后来的研究也

大致在此框架内，切换/混杂系统稳定性问题总结为以下几个方面的研究：

1、任意切换，问题集中于如何寻找共同Lyapunov函数。

2、驻留时间切换，即所谓慢变切换，该领域研究的一个关键问题是如何获得驻留

时间的一个紧的下界。

3、镇定切换，在所有的子系统都不稳定的前提下，通过合适的切换使得系统是渐

近稳定的。

4、混沌行为，在给定的子系统之间切换时，判断是否产生混沌行为。

5、与复杂性科学的关系，以及任意切换下的稳定性与周期切换下的稳定性之间的

联系等。

六、待研究问题

1、目前，对于切换系统的研究，我们主要分两类来研究：连续切换系统和离散切换系统，而对于时间尺度上切换系统的研究很少见。时间尺度将离散和连续统一，如何将现有的理论成果推广到时间尺度上，将是一个非常有意义的问题。

2、对于切换系统的研究方法已经有很多，例如李雅普诺夫函数法和平均驻留时间法等，微分包含也可以用来研究切换系统，利用微分包含来研究切换系统的稳定性的结果还少见。因此，利用微分包含深入地研究切换系统，也是十分有意义的。

3、对切换系统的实用稳定性的研究，实用稳定性作为一个分支形成独立的研究方向是最近几年才兴起的。它证明了系统的实用稳定性并不依赖于系统的其它任何性质，如李雅普诺夫稳定性等。对切换系统的实用稳定性的研究成果较少，因此，深入研究切换系统的实用稳定性是十分有意义的。

4、对时滞切换系统的研究，一直以来都是热点问题。在工程实际中，存在各种类型的