单纯形解法表格形式
单纯形法表的解题步骤
单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。
这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。
将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。
选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。
修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。
修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。
单纯形法的表格解法
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可 以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基 变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系 数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变 量xi的检验数记为σi。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0。
向量为 pj j 1, 2,L ,n 则
z j cB1,L , cBm pj cB pj ,
其中，(cB)是由第1列第m行各约束方程中的基变量相应的目标函数依 次组成的有序行向量。
单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出基本可行解、检验其最优性、
迭代某步骤都用表格的方式来计算求出，其表格的形式有些像增广矩阵，
n
bi aij xj. i 1, 2,L , m
j m1
把以上的表达式带入目标函数，就有
m
n
z c1x1 c2 x2 L cn xn ci xi c j x j
i 1
j m 1
其中：
n
n
z0
c j z j x j z0 j x j
j m 1
j m 1
.
§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
单纯形表解法
Max Z =2x1+3x2. x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥0先化为标准形式Max Z =2x1+3x2+0x3+0x4+0x5. x1+2x2+x3 =84x1+x4=164x2 +x5=12x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0成立初始单纯性表x3 , x4 , x5 为基变量，x1 , x2 为非基变量，令x1 =x2=0 则-z0=0，z0=0因为σ1>0,σ2>0,故X（0）=（0，0，8,16,12）T不是最优解σ1<σ2，应选择x2为进基变量。
θ列：8/2=4 > 12/4=3,应选择x5为离基变量。
如此就能够够确信主元素【4】进行基变换（第三行/4,第一行-2*第三行,第四行-3*第三行）可得下表：x2 , x3 , x4为基变量，x1 , x5为非基变量，令x1 , x5=0X（1）=（0,3,2,16,0）T Z1=9因为σ1>0，故这也不是最优解选择x1作为进基变量θ列：2/1=2 < 16/4=4,应选择x3为离基变量确信主元素【1】进行基变换（第二行-4*第一行,第四行-2*第一行）可得下表：x 1，x 2，x 4为变量，x 3，x 5为非基变量，令x 3，x 5=0 X （2）=（2,3,0,8,0）T Z 2=13 因为σ5>0，故这也不是最优解 选择x 5作为进基变量θ列：8/2=4 < 3/（1/4）=12,应选择x 4为离基变量 确信主元素【2】进行基变换（第二行/2,第一行+第二行/2,第三行-第二行/4,第四行-第二行/4）可得下表：x 1 , x 2 , x 5 为基变量，x 3 , x 4 为非基变量，令x 3 =x 4=0X（3）=（4,2,0,0,4）T Z3=14因为σ3<0,σ4<0,故X（3）=（4,2,0,0,4）T是最优解。
第3章05-单纯形表法
第3章05单纯形表法同学们大家好，前面我们讲了单纯形法的原理，它的整个过程看似很复杂，但实际上，单纯形法的全部计算过程，可以简单地在一张类似增广矩阵的表格上进行，这种表格我们称为单纯形表，所以，今天我们就来学习线性规划模型的单纯形表法。
给定一个可行基，可以画出一张单纯形表。
单纯形表的行标是n个变量以及右端项b，列标是m个基变量以及检验数行σ。
所以，用矩阵的形式把它表示出来，就如下表所示我们注意到，像B，所以，是与原方程组等价的。
最后一行是检验数C-C B B-1A，右下角是-C B B-1b，它恰好是这个基B所对应的可行解的目标函数值的相反数。
用单纯形表法求解线性规划模型时，有下面的步骤：单纯形表法求解线性规划问题的步骤：Step1.转换一般的线形规划模型为标准型，并写出A，b，C。
Step2找初始基本可行解，写出B，B-1，X B，C B。
Step3计算单纯形表中的各矩阵B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，并构造初始单纯形表。
Step4判断基本最优解。
Step5换基迭代，返回Step4。
第一步是将一般的线性规划模型转化为标准形，并写出约束矩阵A，右端项b，以及价值向量C。
第二步，找初始的基本可行解。
根据上一讲单纯形法的原理，你要注意的是，我们总是从约束矩阵A里面选一个单位阵出来作为初始基，在右端项非负的条件下，这样选出来的单位阵一定是可行基，也就是找到了初始的基本可行解。
而如果约束矩阵A中没有单位阵，我们将会通过引入人工变量构造出一个单位阵，这种构造方法我们将在后面进行详细介绍。
初始基选出来之后，我们就能写出B，B-1，以及基变量X B和基变量所对应的价值向量C B。
第三步，计算B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，这样就可以把初始单纯形表写出来。
第四步，判断当前的基本可行解是不是最优解？按照我们上一讲介绍的单纯形法的原理，如果检验数行中所有的检验数都小于等于0，当前的基本解就是最优解；如果有一个非基变量的检验数是正的，而且它所对应A中的列的项都小于等于0,那么这个时候是无界解。
2运筹学之表格单纯型法
则对应的xk为换入变量。但也可以任选或按最小足码选。
2.换出变量的确定
设P1，P2，…，Pm是一组线性独立的向量组， 它们对应的基可行解是 X(0)。将它代入约束方 m 程组(1-21)得到
i 1
xi0 Pi b
1 28
其他的向量Pm+1,Pm+2,…,Pm+t,…,Pn都可以 用P1，P2，…，Pm线性表示， 若确定非基变量Pm+t为换入变量，
• 当所有非基变量的σ j≤0时，由（1-27）式可 知已不存在任一可换入的非基变量， 使目标函数继续增大。所以以σ j≤0，为最优解 的判别准则。
2.无穷多最优解判别定理
若 X b ,b , , b ,0, ,0 为一个基可 行解，对于一切j=m+1，…,n，有σ j≤0， 又存在某个非基变量的检验数σ m+k=0，则 线性规划问题有无穷多最优解。 证: 只需将非基变量 xm+k换入基变量中，找 到一个新基可行解X(1) 。因σ m+k=0，由(127)知z=z0，故X(1)也是最优解。由2.2节的 定理3可知X(0)，X(1)连线上所有点都是最优 解。
' ai,mk
以上讨论都是针对标准型，即求目标函数 极大化时的情况。当求目标函数极小化时， 一种情况如前所述，将其化为标准型。 如果不化为标准型，只需在上述1，2点中 把σ j≤0改为σ j≥0，第3点中将 σ m+k＞0改写为σ m+k＜0即可。
3.4 基变换 若初始基可行解 X(0)不是最优解及不能判别 无界时，需要找一个新的基可行解。具体做 法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保 证线性独立)，得到一个新的可行基，这称为 基变换。为了换基，先要确定换入变量，再 确定换出变量，让它们相应的系数列向量进 行对换，就得到一个新的基可行解。
单纯形表
第一次迭代 本例中，在新表中用X1代替X4成为基变量，将主元所在行除 以2，然后用初等行变换把主元所在的列的其他元素化为0.本 例中具体算法：主元行乘以-5加到第0行，得到第0行系数变 为（0,3/2,0,-5/2,0),重复处理第1行和第3行，填入新表。
迭代 基变量 方程 x1 Z1 0 x3 x4 x5 Z1 x3 1 x1 x5 (0) (1) (2) (3) (0) (1) (2) (3)
系数矩阵中包含一个单位矩阵作为初始基，令非基变量全 部为零，得出初始基可行解。
最优性检验：若第0行的每个系数（检验数）小于等于 最优性检验
零，则相应的基可行解为最优解，计算停止；否则，进行 一次迭代，得到下一个基可行解。
迭代：
(步骤1):确定入基变量：选择拥有最大值的系数的变量作 为入基变量，框出此系数所在的列。 在本例中，最大的系数是x1的系数5，因此把x1确定为入基 变量， x1所在的列用框标出。（见下一页）
作初等行变换，把x3行的2倍和x4行的一倍都加到z行上， 即得初始单纯形表（表1）
基变量 z 表1 x3 x4 x1 4 1 2 x2 1 2 -2 x3 0 1 0 x4 0 0 1 11 4 右端项
单纯形表例题
基变量 表1 z x3 x4
z
x1 4 1 2 0 0 1 0 0 1
x2 1 2 -2 5 3 -1 0 1 0
关于单纯形法的补充说明1 关于单纯形法的补充说明
1、无穷多最优解与唯一最优解的判别法则 若对某可行解X， （1）所有非基变量的检验数小于零，则问题有唯 一最优解。 （2）所有检验数小于等于0，且有一个非基变量的 检验数等于0，则问题有无穷多最优解；
x1 z x1 x2 0 1 0 x2 0 0 1 x3 0 1 1 x4 -1 -1 -1 1 1 右端项
第4讲14表格单纯形法的计算步骤
2 x1
0 1 0 0 0 2 x1 0 1 0 0 0
3 x2
0 x3
0 x4
-2 1 -4 0 -2 0 x4 -4 -1 4 1 -1
0 x5
0 x6
i
4 － 4 12
cB 0 2 0 3
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 x2 x3 0 2 0 1 0 -4 1 -1/2 0 -1/2
i4 － 4 12来自i计算步骤对于目标函数求极大情形 (1) 按数学模型确定初始可行基和初始基可行解， 建立初始单纯形表。 m j c j ci aij , (2) 计算各非基变量的检验数，
i 1
检查检验数，若所有检验数
j 0, j 1,2,n
则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。
(5) 以 alk 为主元素进行迭代 ( 即用高斯消去法或称为
旋转运算)，把xk所对应的列向量
a1k a 2k Pk 变换 alk a mk 0 0 1 第l 行 0
0 0 j c j ci aij bi min( akj 0) akj
例 题：
m axZ 2 x1 3 x 2 0 x 3 0 x4 0 x5 0 x6 2 x1 2 x 2 x 3 x 2x x4 1 2 x5 4 x1 4 x2 x6 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 , x6 0 12 8 16 12
将 XB 列中的 xl 换为 xk ，得到新的单纯形表。重 复(2)～(5)，直到终止。
练习
MaxZ 2 x1 x 2 3 x1 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 x , x 0 1 2
单纯形表
单纯形表
- Z x1基变量XB m x 2 ...x 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m x m 1 .... xNn 非基变量X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
b b1 b2 bm 0
为主元列，主元列对应的非基变量为换
入变量；
最小比值对应的行为主元行，主元行
对应的基变量为换出变量。
确定进基变量和出基变量。
21
第四步 换基迭代（旋转运算、枢运算)
利用矩阵的初等行变换把主元列变成单 位向量，主元素变为1，从而得到一张新
的单纯形表，返回第二步。
完成一次迭代，得到新的基本可行解和 相应的目标函数值
X
B
b
b '1 ' bm
x1
x2
xm xn
min — 24/6 l 5/1
c1 cm
x1 xm
A
c j zz j
a l,m k a m ,m k
a1,m k
0
检验数 mk
用单纯形表求解LP问题
例、用单纯形表求解LP问题
max
z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x x 5 1 2 x1 , x2 0
2
1
1
2
0最小的值对应 0 0
的行为主行
4
C
0 0 0
B
X b x3 15 x 24 x5 5
B
4
x x x x
3
x
min — 24/6 5/1
单纯形表
初始单纯形表检验数计算：（C j-C B B-1P j）1λ2=30-(0*3+0*1)=30只要计算非基变量的检验数，基变量的检验数一定等于0，不需要计算。
判优非基变量X1的检验数λ1=50，X2的检验数λ2=30，都为整数，单纯形表可以继续改善。
选择入基变量利用最大检验数原则，选择入基变量X1的检验数:λ1=50,X2的检验数:λ2=30 选择X1入基，表中先加背景标注。
计算出基参数：θ=(B-1b)r/(B-1P k)r将B-1b所在列元素除以入基变量X1所在列对应元素得到出基参数。
θ3=120/4=30;θ4=50/2=25选择出基变量利用出基参数最小准则选择出基变量根据准则选择X4出基，前面已选X1入基。
入基所在列，出基所在行的元素[2]为换基迭代的转轴元素。
换基操作根据转轴元素，用入基变量及其C值替换出基变量及其C值,清除λ行和θ列的所有值。
换基迭代：单位化利用转轴元素去除所在行的所有元素，将转轴元素变成1。
换基迭代：清零利用初等变换将转轴元素所在列的其它元素清零。
将第一行的每个元素减去第二行对应元素的4倍。
第一次换基结束。
检验数计算：（C j-C B B-1P j）2λ4=0-(0*(-2)+50*(1/2))=-25只要计算非基变量的检验数，基变量的检验数一定等于0，不需要计算。
判优非基变量X2的检验数λ2=5，为整数，单纯形表可以继续改善。
选择入基变量利用最大检验数原则，选择入基变量X2的检验数:λ2=5,X4的检验数:λ4=-25, 选择X2入基，表中先加背景标注。
计算出基参数θ=(B-1b)r/(B-1P k)r将B-1b所在列元素除以入基变量X2所在列对应元素得到出基参数。
θ3=20/1=20;θ1=25/(1/2)=50选择出基变量利用出基参数最小准则选择出基变量根据准则选择X3出基，前面已选X2入基。
入基所在列，出基所在行的元素[1]为换基迭代的转轴元素。
换基操作根据转轴元素，用入基变量及其C值替换出基变量及其C值,清除λ行和θ列的所有值。
单纯形法原理表格形式和人工变量法
0 x3 3 4 1 0
0 x4 j
0 x3 10 x1
j
5 x2 10 x1
j
5201
10 5 0 0
0
14 5
1
-
3 5
1
2 5
0
1 5
0 1 0 2
0
1
5 14
-
3 14
1
0
-
1 7
2 7
0
0
-
5 14
25 14
X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
b i
93
8 1.6
z0
21 5
单纯形法原理表格 形式和人工变量法
2、举例
4 x2
max z 10x1 5x2
3
s.t 3x1 4x2 9 l1 2 C l2
可行域 （OABC）
5x1 2x2 8 l2 1 x1, x2 0
O
B(1,1.5) 最优解：X=
l1 （1 1.5)
A
x1
12 34
步骤：
1、化标准型（SLP）
1、表的结构及含义 max z 10x1 5x2 s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8 x1, x2, x3, x4 0
1 c1 CBP1 10 (0 0)53 10
xk为进基变量，k max j j 0
或k min j j 0 勃兰特
max z 10x1 5x2 s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8 x1, x2, x3, x4 0
2、找初始基可行解
max z 10x1 5x2 s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8 x1, x2, x3, x4 0
列初始单纯形表
单纯形表
c1 cm
j
x1 xm
b1 ' bm
j
'
A
c zz
,m k 主行 — a1 24/6 求 l 5/1 ,m k am
0
检验数 mk
不妨设此 为主列 上页
下页 返回
单纯形表
单纯形表结构
主元
c
j
2
1
C0
0
0
C
B
X
B
b
b '1 &
返回
表2：换基
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
c
j
2
1
1 2
0
0
4
0
C
0 2 0
B
X
x
B
b
x
x
x x x3 x
主元 5 1 2/6 0 4/6 0 1/3 0
x
0 0 1
0
min 15/5 24/2 6/4
5
3
1
+0*4/6 c z 1- 2/3= 0
j j
5
15 0*5 0 4 1 2*2/6 1 0
A
上页 下页
c zz 求 0
有时不 写此项
检验数
返回
令：Z 0 ci bi'
i 1 n 0 j
m
j m 1 单纯形表结构 令： j (c j Z j ) c
j
单纯形表 Z Z (c Z )x
j
' Z j ci aij i 1
m
j
2
C X B b Z j x j x1 B Z0 j m 1 ' c1 x1 b 1
1-4单纯形表(运筹学)
min
b
j
' m
A
检验数
不妨设此 为主列
24/6 求 l 5/1
c zz
0
mk
单纯形表
单纯形表结构
c
j
主元
2
1
C
B
X
B
b
b
' 1
x1
x2
C0
0
0
min
xm xn
a 1,m k a l, m k a m ,m k
c1 cm
j
x1 停止
检验数行全部变为非正值；
（得到最优解）或 主元列≤ 0
（最优解无界）
23
标准型的单纯型算法
(1)变换主行 (2)变换主列 除主元保留为1，其余都置0 (3)变换非主行、主列元素 aij (包括 bi) 四角算法公式：
bi bi
bi*aij* ai* j* ai* j aij* ai* j*
单纯型法的基本思路
确定初始基础可行解
检查是否为 最优解？ 否 确定改善方向
是
求最优解的目标函数值
求新的基础可行解
第四节 单纯形表
为书写规范和便于计算，对单纯形法 的计算设计了单纯形表。每一次迭代对应 一张单纯形表，含初始基可行解的单纯形 表称为初始单纯形表，含最优解的单纯形 表称为最终单纯形表。接下来介绍用单纯 形表计算线性规划问题的步骤。
j
' m
A
检验数
— 24/6 l 5/1
c zz
0
mk
用单纯形表求解LP问题
例、用单纯形表求解LP问题
max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x1 x2 5 x1 , x2 0
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线性规划单纯形解法的表格形式
教学目标
1. 回顾单纯形解法基本思路的基础上，理解单纯形解法表格形式的得出过程；
2. 理解单纯形表的得出过程基础上，学会用单纯形解法表格形式解决以下特殊形式的线性规划问题： min CX
s.t. b AX ≤ (*) 0≥X
教学重点难点
教学重点
1. 引导学生理解为什么把矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------b B C A B C C b B A B B B 1111作为单纯性表;
2. 引导学生体会在计算过程中,如何运用初等变换的方法获得单纯形表;
3. 在用单纯形解法表格形式求解线性规划问题时, (1).如何找到初始单纯形表;
(2).当检验数有负值时,进基变量与离基变量的选择. 教学难点
1. 引导学生理解为什么把矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------b B C A B C C b B A B B B 1111作为单纯性表;
2. 引导学生理解为何选择(*)这种特殊形式的线性规划问题入手进行研究;
3. 引导学生思考探寻(*)这种特殊形式的线性规划问题的初始单纯形表形式.
教学方法设计和教学过程设计
（1）采用引导学生自主思考,师生共同互动的方式来推进课堂.
（2）教学过程从”已知”向”未知”推广,迁移运用高等代数解线性方程组的思想方法来寻找单纯形表;同时通过穿插对单纯形法思想方法的回顾,完善单纯形表,从而得到单纯形表表格形式的解题方法.
（3）在学生理解单纯形表法表格形式解题方法之后,教学过程从理论向实践过渡,首先引导学生从”特殊”到”一般”,发现(*)特殊形式的线性规划问题,然后和学生一起实践单纯形解法表格形式求解线性规划问题.
教学内容
回顾
1. 线性规划问题标准形式: min CX
s.t. b AX ≡ (*) 0≥X 2. 线性规划单纯形解法步骤：
（1） 最优解检验：检验数A B C C B 1--≡λ
若0≥λ，令非基变量为零，目标函数值最小，相应的基可行解为最优解，目标函数值为最优值；
若存在某个0<k λ，再判断K K A B Y 1-=.
（2） 基可行解的转换：若0≤K Y ，目标函数值无限减小，没有下界，原线
性规划问题无最优解；否则，进行基转换。
3. 线性方程组b AX ≡解法： 增广矩阵 ()b A
解法：通过初等变换将增广矩阵或为阶梯形解方程组. 4. 矩阵分块原则（乘法）：
（1） 左矩阵的列块数等于右矩阵的行块数；
（2） 左矩阵的每个列快所含列数等于右矩阵的对应行块的行数. 单纯形解法表格形式
对⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0N
B
C C b N B 进行初等行变换，将⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛B C B
换成矩阵⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0I ，这相当于左乘⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---101
1
B C B B .则⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0N C b N 化成⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------b B C A B C C b B A B B B 1111，得到所要的单纯形表。
因而在计算过程中，只要：
（1） 将A 中基变量对应的列组成的子矩阵通过初等行变换化成单位阵； （2） 将基变量对应的检验数化成零即可。
特殊形式线性规划问题
min CX
s.t. b AX ≤ (*) 0≥X
这种形式的线性规划问题标准化后，松弛变量在约束矩阵中的列组成一个单位矩阵，我们就用这个单位阵作为基阵，松弛变量是基变量，这是一个基可行解，目标函数值为0，相应的初始单纯形表为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛00C b I A
实例：用单纯形法求解下列线性规划 （LP ）max 321244540x x x Z ++= s.t. 10032321≤++x x x 120233321≤++x x x 0,,321≥x x x
解：第一步：先将原问题化为标准形式：
min 321244540x x x Z ---=
s.t. 100324321=+++x x x x 1202335321=+++x x x x 0,,,,54321≥x x x x x 第二步：列出初始单纯形表（表1.7）：
表1.7
此时，基可行解为()T
120100000，目标函数值为0.
第三步：检查检验数。
此时均小于零，该基可行解不是最优解，要进行基的转换。
当小于零的检验书不止一个时，选取最小的一个为进基变量，迭代更快。
我
们选2x 进基，则310031203100min =
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θ，4x 为离基变量，于是新的基变量为2x 和5x .如何从原来的单纯形表转到新的基相应的单纯性表呢？由刚才的讨论知，只要把A 中2x ，5x 相应的列向量通过初等变换化成单位阵即可，并将其检验数化为零即可，得到新的单纯性表（表1.8）：
表1.8
这样我们作了一次转换，新的基可行解为T
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛20003100
0. 第四步：现在9,1031-=-=λλ均小于零，仍不是最优解，取1x 进基，
201203/23
/100min =⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧=θ，5x 离基，得到新的单纯形表为表1.9： 表1.9
现在所有的检验数均大于等于零，这个基可行解：()T
0002020是最优解原问题最优值为170020452040=⨯+⨯.。