三大抽样分布

三大抽样分布
教程
一、复习特征函数
1：()it t Ee ξξϕ=与概率分布函数()F x ξ相互唯一确定。

2：独立随机变量和的特征函数等于每个特征函数的乘积。

()
()()11
1
,...,...n n
n
X X X X X X t t t ϕϕϕ++=
独立
综合利用上面特征函数性质可以得到很多结论 例题1：证明，()()222~,~,X N a d cX N ca c d →
证明：
syms a t x real syms pi
syms d positive
characterfunction=int(exp(i*t*x)*1/sqrt(2*pi)/d*exp(-(x-a)^2/2/d^2),x,-inf,inf) characterfunction =
exp(1/2*i*t*(i*t*d^2+2*a)) 变形一下，结合性质1得到()()2222
~,d iat t
X t e
X N a d ϕ-=↔
由特征函数定义知
()()()()()()()22
22
()222
2
~,cd d iact ct i ac t t i ct X it cX cX X t Ee Ee ct e e
cX N ac c d ϕϕ-
-
=====↔
例题2
()()22
111222~,,~,X N a d X N a d ，12,X X 独立，则
()()()()2222
2
2
2
1212
12121
2
1
222
2
d d d d ia t t ia t t i a a t t X X X X t t t e
e e
ϕϕϕ+--+-+===
()
2
212121
2
12~,X X N a a d d N a a ⎛⎫↔+++=+ ⎪⎝⎭
推论：{},1,2,...,i X i n =为独立随机变量序列且对每个i 有()
2~,i i i X N a d ，则
()
2
2111
1...~...,......n n n
n X X N a a d d N a a ⎛⎫++++++=++ ⎪⎝⎭
推论
()
2
2111
1...~...,......n n n
n X X N a a d d N a a ⎛⎫++++++=++ ⎪⎝⎭
{}n X X ,...,1为独立随机变量序列，且对每个i 有()2~,i i i X N a d ，则
()
∑∑
∑
===n
i i
i
n i i i n
i i i d c a c N X c 122
1
1
,~
例题：定义取值非负随机变量X ，如果概率密度函数
()()
()x I e x x f x
),0[1∞--Γ=λαααλ（参数都为正数），称()~,X Ga αλ服从伽玛分布（显然，
参数为λ的指数分布e(λ)=Ga(1,λ)是其特例）。

求伽玛分布特征函数 clear
syms alfa lamda x positive syms t real
characterfunction=simple(int(exp(i*t*x)*lamda^alfa/gamma(alfa)*x^(alfa-1)*exp(-lamda*x),x,0,i nf));
characterfunction=simplify(characterfunction); pretty(characterfunction)
人工化简得
()()()
()()1,01x
X X it t f x x e I x α
ααλλϕλα----∞⎛⎫
=-↔= ⎪
Γ⎝⎭
注：11~(,)X Ga αλ，22~(,)X Ga αλ，两者独立，如何一下看出
1212~(,)X X Ga ααλ++，写出12X X +概率密度函数。

例题：()1,0~N X i ，{}n X X ,...,1为独立同分布随机变量序列，
()()()()()
n
X X X X X
t t t t n
n
21
22
1
221...ϕϕϕϕ==++ 而
()2
/12
2/112122
2
121
--∞
∞
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-===⎰it dx e
e
Ee
t x itx itX X π
ϕ
因此
()()()()2/1,2/~...2/112
212
/ (21)
221n Ga X X it t t n n n
X X X
n
++↔⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==-++ϕϕ
二：三大抽样分布
背景：由中心极限定理看出，正态分布在现实生活中应用极广。

卡方分布、学生分布、F 分布都是在总体假定为正态分布的时候，和样本均值以及样本方差有关的一些统计量的概率分布。

定义1：n 个独立同分布的标准正态分布随机变量的平方和的分布称为自由度为n 的卡方分布()2n χ。

问题，若总体()2~,,0X N a d d >，()1,...,n X X 为样本，问()
2
2
1n
i i X a d
=-∑
服从什么
分布？
我们下次将证明()
2
2
1~n
i n i X X d
=-∑
定义2：学生分布
()2~0,1,~()X N Y n χ，X 、Y
()~t n 为自由度n 的学生分布 练习
1：假定总体X 服从指数分布e(λ)，样本1...n X X ++的特征函数是什么？概率密度函数是什么？
1...n
X X n
++的特征函数是什么，概率密度函数是什么？n 趋向无穷大时候，情况如
何？
2：按照提示解答问题：
随机变量~(0,1)X N ，称2
X 为自由度1的卡方分布()2
1χ，它是什么伽玛分布？
如果{},1,2,...,i Y i n = i.i.d ，()2
~1i Y χ
，称1...n Y Y ++服从自由度为n 的卡方分布()2n χ，
它又是什么伽玛分布，它的特征函数是什么，按照特征函数和概率分布一一对应结论，求
()2n χ的概率密度。