三大抽样分布

三大抽样分布

教程

一、复习特征函数

1：()it t Ee ξξϕ=与概率分布函数()F x ξ相互唯一确定。 2：独立随机变量和的特征函数等于每个特征函数的乘积。

()

()()11

1

,...,...n n

n

X X X X X X t t t ϕϕϕ++=

独立

综合利用上面特征函数性质可以得到很多结论 例题1：证明，()()222~,~,X N a d cX N ca c d →

证明：

syms a t x real syms pi

syms d positive

characterfunction=int(exp(i*t*x)*1/sqrt(2*pi)/d*exp(-(x-a)^2/2/d^2),x,-inf,inf) characterfunction =

exp(1/2*i*t*(i*t*d^2+2*a)) 变形一下，结合性质1得到()()2222

~,d iat t

X t e

X N a d ϕ-=↔

由特征函数定义知

()()()()()()()22

22

()222

2

~,cd d iact ct i ac t t i ct X it cX cX X t Ee Ee ct e e

cX N ac c d ϕϕ-

-

=====↔

例题2

()()22

111222~,,~,X N a d X N a d ，12,X X 独立，则

()()()()2222

2

2

2

1212

12121

2

1

222

2

d d d d ia t t ia t t i a a t t X X X X t t t e

e e

ϕϕϕ+--+-+===

()

2

212121

2

12~,X X N a a d d N a a ⎛⎫↔+++=+ ⎪⎝⎭

推论：{},1,2,...,i X i n =为独立随机变量序列且对每个i 有()

2~,i i i X N a d ，则

()

2

2111

1...~...,......n n n

n X X N a a d d N a a ⎛⎫++++++=++ ⎪⎝⎭

推论

()

2

2111

1...~...,......n n n

n X X N a a d d N a a ⎛⎫++++++=++ ⎪⎝⎭

{}n X X ,...,1为独立随机变量序列，且对每个i 有()2~,i i i X N a d ，则

()

∑∑

∑

===n

i i

i

n i i i n

i i i d c a c N X c 122

1

1

,~

例题：定义取值非负随机变量X ，如果概率密度函数

()()

()x I e x x f x

),0[1∞--Γ=λαααλ（参数都为正数），称()~,X Ga αλ服从伽玛分布（显然，

参数为λ的指数分布e(λ)=Ga(1,λ)是其特例）。 求伽玛分布特征函数 clear

syms alfa lamda x positive syms t real

characterfunction=simple(int(exp(i*t*x)*lamda^alfa/gamma(alfa)*x^(alfa-1)*exp(-lamda*x),x,0,i nf));

characterfunction=simplify(characterfunction); pretty(characterfunction)

人工化简得

()()()

()()1,01x

X X it t f x x e I x α

ααλλϕλα----∞⎛⎫

=-↔= ⎪

Γ⎝⎭

注：11~(,)X Ga αλ，22~(,)X Ga αλ，两者独立，如何一下看出

1212~(,)X X Ga ααλ++，写出12X X +概率密度函数。

例题：()1,0~N X i ，{}n X X ,...,1为独立同分布随机变量序列，

()()()()()

n

X X X X X

t t t t n

n

21

22

1

221...ϕϕϕϕ==++ 而

()2

/12

2/112122

2

121

--∞

∞

-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

-===⎰it dx e

e

Ee

t x itx itX X π

ϕ

因此

()()()()2/1,2/~...2/112

212

/ (21)

221n Ga X X it t t n n n

X X X

n

++↔⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==-++ϕϕ

二：三大抽样分布