第五章加性高斯白噪声信道的最佳接收机

关的任何信息。
所以：有关的信息全部包含在相关器的输出{rk }中。
（b）匹配滤波器
3. 最佳检测器 根据每个信号间隔中向量r的观测值对该间隔内
的发送信号作出判决，并使正确判决概率最大。 后验概率计算判决规则，后验概率定义为：
p(sm | r) (m 1,2, , M )
选择相应后验概率集{p(sm | r)}中最大值的信号 —— 最大后验概率（MAP）准则
r(t)在N个基函数{ fn (t)}上的投影。
T
T
0 rk (t) fk (t)dt 0 [sm (t) n(t)] fk (t)dt
rk smk nk (k 1,2, , N )
T
smk 0 sm (t) fk (t)dt
T
nk 0 n(t) fk (t)dt
信号由具有分量 smk (k 1,2, , N )的向量 sm表示，
{nk }分量是随机变量，由加性噪声决定 （信道特性决定）
在 0 t T间隔，
接收信号
N
N
r(t) smk fk (t) nk fk (t) n' (t)
k 1
k 1
N
rk fk (t) n' (t)
k 1 N
n' (t) n(t) nk fk (t)
k 1
—— 零均值高斯噪声过程
nn
(
f
)
1 2
N0
(W
/
Hz)
的加性
最佳的概念 —— 接收机错误概率最小 接收机分析：由信号解调器和检测器组成
功能： 信号解调器：将接收波形变换成n维向量 r [r1r2 rN ]，N为发送 信号波形的维数。
检测器：根据向量 r在M个可能信号波形
中判定哪一个波形被发送。
2. 信号解调器的实现 （a）基于信号相关器的实现方法（相关解调器） （b）基于匹配滤波器的实现方法（匹配滤波器）
T
N
0 E[n(t)n( )] fk ( )d E[n jnk ] f j (t)
j 1
1
1
2 N0 fk (t) 2 N0 fk (t)
0
N
j 1
E(n jnk
)
f
j
(t)
1 2 N0 fk (t) 0
j
k
j k
n'(t)与N个相关器输出{rk }是不相关的。
哪一个信号波形被发送，n' (t ) 不包含与判决有
（a）相关解调器 将接收信号和噪声分解成N维向量 接收信号和噪声可展开成线性加权正交基函数 { fn (t)}
可能发送信号集 {sm(t),1 m M} 中的每一个信号可
表示成{ fn (t)} 的加权线性组合。
在有噪声的情况下，{ fn (t)}不构建噪声空间。
接收信号通过一组并行的N个互相关器，计算
E[n' (t)nk ]
N
E{[n(t) n j f j (t)]nk } j 1
N
E[n(t)nk ] E[ n j f j (t)nk ] j 1 （n' (t ) 零均值高斯过程）
T
(E(nk ) 0 E[n(t)] fk (t)dt) N
E[n(t)nk ] E[n jnk ] f j (t) j 1
由贝叶斯规则，后验概率可表示为
p(sm | r) p(r| psm(r))p(sm )
p(r| sm )是给定 sm 条件下的观测向量的条件PDF
p(sm ) 是第m个发送信号的先验概率
p(r) M p(r| sm )p(sm )
等价基于于寻寻求求使能p(使rm|ps1m(s)m最| r大)最的大信的号信。号的判决规则
N0
p(r | s2 )
1
N0
均值为零且方差为
2 n
e(r b )2 N0
1 2
N0的加性高斯噪声分量
基于相关量度 C(r, sm ) 2r sm || sm ||2
判决规则将r与阈值零进行比较，
若 r 0 ，则判为 s1(t) 若 r 0 ，则判为 s2 (t)
在给定发送 s1(t)的情况下，错误概率就是r 0
一. AWGN信道的接收信号模型及分析
1. 接收信号模型
sm (t)
r(t) sm (t) n(t)
n(t )
发送传输信号 {sm (t), m 1,2, , M}
持续时间 0 t T
接收信号 r(t) sm (t) n(t) (0 t T )
n(t )表示具有有功率密度谱 高斯白噪声的样本函数。
4. 最大似然序列检测器
二. 最佳接收机性能
1. 无记忆调制
PAM 脉幅调制
（1）二进制调制的错误概率
信号波形 s1(t) g(t)
s2 (t) g(t)
g(t)
g(t)
0
0 t Tb 其它
对于一维向量 g(t) b
r s1 n b n
p(r | s1)
1
e(r b )2 N0
所有信号是等概的
C(r, sm ) 2r sm || sm ||2 C(r, sm )称为相关量度。 确定m中哪一个信号被发送。
对于信号不等概时，最佳检测判决的依据是式： p(sm | r) p(r| psm(r))p(sm )
或等价度量 pM (r, sm ) p(r| sm ) p(sm )
smk )2
k 1
使欧氏距离最小的信号sm
D(r, sm ) N (rk smk )2
D(r, sm ) — 距离量度
k 1
N
N
N
rn2 2 rn smn sm2 n
n1
|| r ||2
2rns1m
||
sm
n1
|| 2
(m 1,2, , M )
D'(r, sm ) 2r sm || sm ||2 (|| r ||2 是固定值)
表示原噪声过程 n(t)与 n(t)在基函数{ fk (t)}上 投影的相应部分之差。
❖ 对于噪声：均值 E(nk ) 0
协方差
E(nk nm )
1 2
N0 mk
1 2 N0 0
mk mk
噪声分量{nk
}是零均值，具有共同方差
2 n
1 2
N0
的不相关的高斯随机变量。
❖ 对于信号：在发送第m个信号的条件下，相关器输
p(r| sm ) N p(rk | smk ) (m 1,2, , M )
k 1
p(rk | smk )
1 exp[ (rk smk )2 ]
N0
N0
(k 1,2, , N )
p(r|
sm )
1
(N0 )N
2
N
exp[
k 1
(rk
smk )2 N0
]
(m 1,2, , M )
又 E[n' (t)rk ] E[n' (t)]smk E[n' (t)nk ]
的概率
0
p(e | s1)
p(r
1
2
| s1)dr
e
2b N0
x2 2
dx
Q
2 b
N0p(eຫໍສະໝຸດ | s2 ) Q2 bN0
（一样）
平均错误概率是
Pb
1 2
p(e
|
s1)
1 2
p(e |
s2 )
Q 2b
N0
（2）M元正交信号的错误概率
Pb
PM 2
1
PM
1 (
2
1
y
e
x2 2
dx)
M
1
exp
1
(
y
2
2
（3）M元双正交信号的错误概率
（4）M元二进制编码信号的错误概率
（5）M元PAM的错误概率
（6）M元PSK的错误概率
2 s
N0
)2
dy
2. 有记忆调制 （CPM信号的最佳接收机及性能）
3. 随机相位信号的最佳接收机
出{rk }是高斯随机变量。
E(rk ) E(smk nk ) smk
2 r
2 n
1 2
N
0
[信号 {sm (t)}是确定的，信号分量也是 确定的]
❖ 综合
{nk } 不相关 统计独立 发送第m个信号的条件下， 相关器输出{rk }是统计独立的高斯变量。
r [r1r2 rN ]的条件PDF可简单表示为：
第五章 加性高斯白噪声信道的 最佳接收机
主要内容： 1. 最佳接收机的实现 2. 最佳接收机性能 3. 最佳接收机（无记忆调制、CPM信号、
随机相位信号）
主要概念：
1. 加性高斯白噪声 2. 相关解调器 3. 匹配滤波解调器 4. 最大似然序列检测器 5. MAP检测器 6. M元正交信号 7. 错误概率 8. 性能
似然函数：条件PDF p(r| sm )
最大似然准则：在M个信号上 p(r| sm )最大的判决准则
已知：p(r|
sm )
1
(N0 )N
2
N
exp[
k 1
(rk
smk )2 N0
]
取自然对数：
ln ln
p(r| p(r|
sm
)
1 2
sm )最大
N
ln(N0 )
N
1 N0
N
(rk
k 1
(rk smk )2最小