第7章 随机利率模型(课堂PPT)
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金融数学课件--(11)随机利率
随机利率 Stochastic interest rates
孟生旺
中国人民大学统计学院
随机利率
随机利率：利率是随机波动的， 即未来的利率是一组随机 变量。 如果能够对未来利率的概率分布作出一定假设，那么就可 以得到未来的利率水平和与之相关的现金流的一些结论。
把利率视为随机变量，并定义随机变量 it 为适用于时刻 t-1 至时刻 t 的利率。
在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为1.1069，故
E P V n E A V n 0 .9 0 4 1 1 .1 0 6 9 1 .0 0 0 7 1
可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。
独立同分布假设下的累积值和现值
如果利率 i1 , i 2 , i n 是独立同分布的随机变量，它们具有
2 设诸 it 的方差为 s2，即 var( it ) s 表示累积值 AVn的方差。
，则可以用 i 和 s2来
累积值AVn的二阶原点矩为
E A Vn
2
1 i 2 1 i 2 1 i 2 E 1 2 n
t 1 n
n
2 E 1 it
n n
其中
1 v E 1 it
，t =1，2，…，n。
在通常情况下
1 1 E 1 it 1 E it
，即 v
1 1 i
。
注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
2
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孟生旺
中国人民大学统计学院
随机利率
随机利率：利率是随机波动的， 即未来的利率是一组随机 变量。 如果能够对未来利率的概率分布作出一定假设，那么就可 以得到未来的利率水平和与之相关的现金流的一些结论。
把利率视为随机变量，并定义随机变量 it 为适用于时刻 t-1 至时刻 t 的利率。
在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为1.1069，故
E P V n E A V n 0 .9 0 4 1 1 .1 0 6 9 1 .0 0 0 7 1
可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。
独立同分布假设下的累积值和现值
如果利率 i1 , i 2 , i n 是独立同分布的随机变量，它们具有
2 设诸 it 的方差为 s2，即 var( it ) s 表示累积值 AVn的方差。
，则可以用 i 和 s2来
累积值AVn的二阶原点矩为
E A Vn
2
1 i 2 1 i 2 1 i 2 E 1 2 n
t 1 n
n
2 E 1 it
n n
其中
1 v E 1 it
，t =1，2，…，n。
在通常情况下
1 1 E 1 it 1 E it
，即 v
1 1 i
。
注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
2
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第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
随机理论模型.ppt
D87.5% (89.4%)
的途径： • 习题1
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c3
x
(r
x)
p(r
)dr
J(u)在u+x=S处达到最小
I(x)
J(u)与I(x)相似
I(S)+c0
I(x)在x=S处达到最小值I(S) I(S)
I(x)图形 I(S)
0s
I
(x)
c 0
I
(S)
的最小正根
s
S
x
9.4 轧钢中的浪费
背 轧制钢材 • 粗轧(热轧) ~ 形成钢材的雏形 景 两道工序 • 精轧(冷轧) ~ 得到钢材规定的长度
求 m 使浪费最小。
=l/=10
z*=-1.78
-1.0 3.477 2.0 0.420
-0.5 1.680
2.5 0.355
10 z
*= -z*=11.78 m*= *=2.36(米)
5
F(z)
z -2.0 * -1.0 0
1.0
2.0 z
9.5 随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
PN
P
记 J (m) m P(m)
更合适的目标函数
P(m)
l
利率课件ppt
对国际收支的影响
01
利率水平与汇率关系
利率差异会影响国际资本流动和汇率变动。当国内利率高于国际市场利
率时，外国资本流入国内市场，导致本币升值；反之则本币贬值。
02 03
汇率变动对国际收支的影响
汇率变动会影响出口和进口价格，进而影响国际收支状况。本币升值可 能导致出口商品价格上涨，降低出口竞争力；本币贬值则可能增加出口 竞争力，促进出口增长。
对通货膨胀的影响
利率水平与物价水平关系
利率是货币的价格，直接影响货币供应和需求。当货币供应过多而需求不足时 ，会导致物价上涨，引发通货膨胀。因此，提高利率可以抑制通货膨胀。
利率政策对物价稳定的作用
中央银行通过调整利率水平来控制货币供应和需求，保持物价稳定。当通货膨 胀率过高时，央行可能会提高利率，减少货币供应，降低物价上涨压力。
政策调整影响
如果货币政策或财政政策发生调整 ，如降息或加息，利率走势可能会 相应变化。
06
实际案例分析
企业如何应对利率变化
短期策略
企业可以采取短期财务策略，如 调整债务和现金储备，以应对利
率变化带来的现金流波动。
长期策略
企业需要制定长期财务规划，包 括资本支出、投资决策等，以适 应利率变化带来的经济环境变化
利率种类
基准利率
由中央银行确定的利率 ，是其他利率的基础和
参照。
浮动利率
根据市场供求关系而自 由变动的利率。
固定利率
在借贷期内固定不变的 利率。
优惠利率
金融机构给予特定对象 低于一般利率的利率优
惠。
利率的作用
01
02
03
04
调节货币政策
通过调整利率水平，影响经济 活动，实现货币政策目标。
金融工程第七章股票价格的随机模型
表7-1只表示了股价运动的一种可能方式。不同的随 机取样将会导致不同的价格运动。
在模拟中可使用任意小的时间段△t。然而，只有当 极限△t→0时才能得到几何布朗运动的真实描述。 表7-1的最后股票价格21.124元可以被看作10个时间 段或十分之一年末股票价格分布的随机抽样值。
通过如表7-1中所示的反复模拟运动，就可以在一年 的十分之一时间结束时，求出完整的股票价格的随 机分布。
每个周期 （0，1）中 (0.0014,0.02)
开始时的 抽样的随机 抽取对应随机
股票价格 20.000
样本v1 0.52
样本v2 0.0118
20.236
1.44
0.0302
20.847
–0.86
–0.0158
20.518
1.46
0.0306
21.146
–0.69
–0.0124
20.883
–0.74
35
第一节 马尔可夫过程 第二节 股票价格变化的随机模型 第三节 蒙特卡罗模拟 第四节 伊托引理及在股票格中的应用 第五节 收益率与波动率 第六节 股票价格的二叉树模型
36
一、伊托引理 假若变量x的价值遵循伊托过程：
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
式中dz是一种维纳过程。变量x的偏差率是a， 方差率为b2。则变量x和时间t的函数G遵循过程：
8
股票价格的变化可被假定遵循马尔可夫过程。
假设某公司股票价格为50元。 如果股价遵循马尔可夫过程，那么以前的股价 并不影响对将来的预测。
马尔可夫性质隐含了在将来任一特定时刻股价 的概率分布仅仅取决于股票当前的价格。股票 的现在价格已经包含了所有信息，当然也包括 了过去的记录。
利率ppt 图片课件
利率与经济增长
总结词
利率对经济增长的影响是重要的。
详细描述
利率是宏观经济调控的重要工具之一。通过调整利率，政府可以刺激或抑制经济 增长。低利率可以刺激投资和消费，促进经济增长；高利率可以抑制通货膨胀和 过度投资，保持经济稳定。
利率与经济增长
总结词
利率对经济增长的影响是复杂的。
详细描述
利率的变化可能对不同行业和人群的影响不同，因此其对经济增长的影响可能存在一定的不确定性。 此外，政府还可能通过其他政策手段来调节经济，因此利率调整的效果可能受到其他因素的影响。
总结词
详细描述
利率对投资的影响是显著的。
当利率下降时，企业可能会更 容易获得贷款，从而增加投资 。这有助于扩大生产规模，增 加就业机会，促进经济增长。
利率对投资的影响是复杂的。
虽然低利率可以刺激投资，但 过低的利率可能会导致过度投 资和资源浪费。此外，高利率 可能会抑制投资，因为企业需 要支付更多的利息，这会增加 生产成本。
通过调整利率水平，影响金融 机构和来自人的资金借贷行为， 进而调节市场上的资金供求关
系。
促进经济发展
通过利率的升降，引导资金流 向不同产业和地区，促进资源 的合理配置和经济结构的优化 。
控制通货膨胀
通过提高利率水平，抑制消费 和投资需求，减缓物价上涨， 从而控制通货膨胀。
维护金融稳定
通过合理设置利率水平，降低 金融风险和系统性风险，维护
金融市场的稳定运行。
02
利率的决定因素
供求关系
总结词
供求关系是影响利率最直接的因素，当资金需求大于供给时 ，利率会上升；当资金供给大于需求时，利率会下降。
详细描述
在金融市场上，资金的供给和需求关系决定了利率的高低。 当经济活动增加，企业和个人对资金的需求也会增加，导致 利率上升；相反，如果资金供给充足，市场上的资金供过于 求，利率就会下降。
利率ppt
06
未来利率的预测和趋势
经济周期对利率的影响
复苏期
利率逐渐回升，资本市场活跃，投资机会 增多。
衰退期
利率逐渐下降，市场需求疲软，企业盈利 下滑。
高峰期
利率达到高点，经济增长放缓，通货膨胀 压力增大。
谷底期
利率达到低点，经济基础薄弱，需要刺激 政策推动。
货币政策对利率的影响
宽松政策
降低利率，刺激经济增长，但 可能导致通货膨胀。
05
利率的风险管理
远期利率协议
定义
远期利率协议是一种金融衍生品，用于对冲（或规避）未来利率变动的风险。它允许投资 者在未来的某个特定日期以特定的利率买入或卖出一定数量的货币。
目的
远期利率协议主要用于对冲（或规避）利率风险，保护投资者免受未来利率波动的影响。
工作原理
在远期利率协议中，双方同意在未来的某个日期以预先确定的汇率交换货币。一方同意在 到期日以约定汇率买入货币，另一方同意以相同汇率卖出货币。这种交易可以转移或降低 利率风险。
03
利率的决定因素
供求关系
总结词
供求关系是决定利率的最基本因素之一。 当市场上对借款的需求增加时，利率会上 升；当市场上对投资的需求增加时，利率 会下降。
VS
详细描述
在经济学中，利率被视为货币的价格。当 经济处于增长阶段时，投资需求增加，货 币需求也会相应增加。这导致利率下降， 因为货币的供应相对不足。相反，当经济 处于衰退阶段时，投资需求减少，货币需 求也会相应减少，这会导致利率上升，因 为货币的供应相对过剩。
市场利率
定义
市场利率是在货币市场上由供求关系决定的利率 。
特点
市场利率反映了货币市场的供求关系和资金成本 ，具有灵活性和及时性。
《随机利率模型》课件
随机利率模型在应用过程中困 难重重，需要克服参数选择、 模型识别等难题。
未来研究方向
未来研究方向将集中在基于市 场微观结构、大数据、人工智 能等技术手段的模型建立和改 进。
随机微分方程
随机微分方程是随机利率模型的代数描述，用于描述金融市场中利率随机变动的数学方程。
常见的随机利率模型
1
胡尔模型
2
胡尔模型是随机利率模型的一种扩散
模型，适用于衡量不同期限的债券收
益率之间的关系。
3
HJM模型
4
HJM模型是随机利率模型的一种经典 模型，可以描述不同期限、不同币种
的市场利率结构。
利率债券定价
利率债券的定价是金融市场 中的重要问题，随机利率模 型可以为债券定价和风险管 理提供强有力的工具。
风险管理
随机利率模型是金融风险管 理的重要手段之一，可以为 投资组合的风险度量和套期 保值等提供理论支持。
总结
发展趋势
局限性
随机利率模型的应用前景广阔， 特别是随着金融市场的不断变 化。未来该领域将面临更多的 机遇和挑战。
重要意义
随机利率模型的研究和应用有 助于金融市场的稳健发展，提 高风险管理水平。
随机利率模型的基本框架
基本假设
随机利率模型的基本假设包括独立不相关性假设、完备市场假设、连续交易假设等。
随机过程及应用
随机过程是随机利率模型的核心，主要包括布朗运动过程、泊松过程、扩散过程等，应用于 金融衍生品的定价。
《随机利率模型》 PPT 课 件
本 PPT 课件将为您介绍随机利率模型的基本概念和应用场景，帮助您深入理 解金融市场中的关键因素。
随机利率模型简介
什么是随机利率模型
随机利率课件
平均绝对误差（MAE）
R^2值
平均每个预测值与实际值之间的绝对误差 。
衡量预测模型对数据的拟合程度，R^2越 接近于1表示模型拟合越好。
CHAPTER
05
随机利率的未来发展
随机利率理论的完善与创新
随机利率理论的深入研究
随着金融市场的不断发展和复杂化，随机利率理论需要进一步深 入研究，以更好地描述和预测利率的随机波动。
创新研究方法
引入新的研究方法，如机器学习和大数据分析，以提高随机利率模 型的预测能力和准确性。
考虑更多影响因素
在构建随机利率模型时，应考虑更多的经济和金融因素，以更全面 地反映利率的变动。
随机利率在金融市场的应用拓展
衍生品定价
利用随机利率模型对衍生品进行定价，如债券、 期权等，以更准确地评估其内在价值和风险。
来走势。
机器学习方法
利用机器学习算法（如支持向量 机、神经网络等）对历史数据进
行训练，预测未来随机利率。
统计学习方法
基于统计学习理论，构建预测模 型，对随机利率进行预测。
随机利率模拟与预测的准确性评估
均方误差（MSE）
均方根误差（RMSE）
衡量预测值与实际值之间的平均平方误差 。
均方误差的平方根，用于衡量预测结果的 波动性。
在金融衍生品定价中的应用
衍生品定价
随机利率模型用于评估衍生品（如债券、期货、期权等）的价格，考虑了利率 波动对衍生品价值的影响。
利率风险
在衍生品定价中，随机利率模型可以帮助确定利率风险，即利率变动对衍生品 价格的影响程度。
在投资组合管理中的应用
资产配置
随机利率模型用于确定投资组合中不同资产的配置比例，以实现预期收益并控制 风险。
《随机数学模型》课件
数学语言描述
将实际问题转化为数学语言，运用数学符号和公式来表示问题中的 变量、参数和关系。
确定随机因素
识别问题中的随机因素，并将其引入模型中，以反映模型的随机性 。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型中的未 知数。适用于具有明确解的简单模型。
蒙特卡罗模拟法
利用随机抽样的方法，通过大量模拟实验来估计模 型的解。适用于难以解析求解的复杂模型。
集成学习
将多个模型集成在一起，通过综合各个模型的优点来提高整体性能 。可以通过集成多种模型、特征或数据来实现。
05 随机数学模型的 应用案例
在金融领域的应用案例
1 2
风险评估
随机数学模型用于评估投资组合的风险，通过模 拟市场波动和价格变化，帮助投资者制定风险管 理策略。
衍生品定价
随机数学模型用于确定衍生品的公允价值，如期 权、期货等，为市场参与者提供定价参考。
流体动力学模拟
随机数学模型用于模拟流体动力学现象，如湍流、流体阻力等，为流 体机械和流体控制系统的设计提供依据。
在社会科学领域的应用案例
人口统计学研究
随机数学模型用于预测 人口发展趋势和分布， 分析人口结构变化对社 会经济的影响。
社会网络分析
随机数学模型用于分析 社会网络的结构和演化 规律，揭示网络中个体 和群体的互动关系。
多维随机变量的概率分布
高斯分布
描述n维实数空间中服从正态分布的随机变 量的概率分布。
联合概率分布
描述多个随机变量之间相互关联的概率分布 。
条件概率分布
在给定其他随机变量值的条件下，一个随机 变量的概率分布。
随机变量的函数变换
线性变换
01
将实际问题转化为数学语言，运用数学符号和公式来表示问题中的 变量、参数和关系。
确定随机因素
识别问题中的随机因素，并将其引入模型中，以反映模型的随机性 。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型中的未 知数。适用于具有明确解的简单模型。
蒙特卡罗模拟法
利用随机抽样的方法，通过大量模拟实验来估计模 型的解。适用于难以解析求解的复杂模型。
集成学习
将多个模型集成在一起，通过综合各个模型的优点来提高整体性能 。可以通过集成多种模型、特征或数据来实现。
05 随机数学模型的 应用案例
在金融领域的应用案例
1 2
风险评估
随机数学模型用于评估投资组合的风险，通过模 拟市场波动和价格变化，帮助投资者制定风险管 理策略。
衍生品定价
随机数学模型用于确定衍生品的公允价值，如期 权、期货等，为市场参与者提供定价参考。
流体动力学模拟
随机数学模型用于模拟流体动力学现象，如湍流、流体阻力等，为流 体机械和流体控制系统的设计提供依据。
在社会科学领域的应用案例
人口统计学研究
随机数学模型用于预测 人口发展趋势和分布， 分析人口结构变化对社 会经济的影响。
社会网络分析
随机数学模型用于分析 社会网络的结构和演化 规律，揭示网络中个体 和群体的互动关系。
多维随机变量的概率分布
高斯分布
描述n维实数空间中服从正态分布的随机变 量的概率分布。
联合概率分布
描述多个随机变量之间相互关联的概率分布 。
条件概率分布
在给定其他随机变量值的条件下，一个随机 变量的概率分布。
随机变量的函数变换
线性变换
01
相关主题
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7.4 Vasicek模型 Vasicek模型及模型求解 Vasicek模型下的债券的定价 7.5 CIR模型 CIR模型及模型求解 CIR模型下债券的定价 7.6 单因素模型的局限性 单因素模型的局限 多因素模型简介
【要点详解】 §7.1 引言
1．相关概念 （1）银行账户过程 定义 (t) 为t时刻银行账户过程(的价值)。假设β(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程：
第一个条件表明零息票债券的价格非负，第二个条件表明到期时零息票债券的价格为1，第三个条件表明期限 无限长的零息债券的价格为零。
（1）Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况 Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况为：在第n期，贴现函数有n+1中可能状态。贴现函数的每个 状态都都独立于通向该节点的路径，仅由初始点到该节点之间的向上移动和向下移动的次数决定。 在该二叉树模型中，每个节点对应一组折现率，因此每个节点都对应一组与之关联的各种零息债券的价格。
3．均衡模型与无套利模型 （1）均衡利率模型（绝对定价模型） 可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一 般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。 单因素模型：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源； 多因素模型：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。 说明：在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到； （2）无套利模型（相对定价模型或拟合模型） 基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的 利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。 说明：在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。
图7-1 零息债券价格的二叉树模型
（2）极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率 在极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率满足：
drt a(t)dt dWt 其中，a(t) 为时间t的函数，描述了 rt 变动的趋势； 为一常数，描述了利率的波动幅度；Wt 为标准布朗运动。
说明：当期限[T，S]无限小时单利和复利相等。
【例题7.1】零息债券的远期利率由表达式f(0，T)=0.05+0.01T给出，其中T为年数。面值为100美元，到期以面 值赎回，则到期日为5年的零息债券的价格为（ ）。
A．94.65 B．88.69 C．68.73 D．36.79 E．25.36 【答案】C 【解析】到期日为5年的零息债券的价格为：
R(t，T)是零息债券在[t，T]上的平均收益率。 说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个 随机变量。
（4）远期单利和远期复利 t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期单利 Fl (t,T , S ) 的定义为：
t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期复利Fc (t,T , S) 的定义为：
§7.2 Ho-Lee模型 1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间） 该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价， 以保证不出现套利机会，是无套利模型。 sn ：第n期市场的状态空间；
Di(n) (T )（贴现函数）：第n期、状态 i sn 出现、到期时刻为T的零息票债券的价格。 在任意时刻n、状态i，利率期限结构由一系列贴现函数来完全描述。其中贴现函数 Di(n) ( g)满足：
第7章 随机利率模型 【考试要求】 7.1 引言 相关概念 利率模型的评价标准 均衡模型与无套利模型 7.2 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型的应用 7.3 连续时间随机利率模型下零息债券的定价 随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 利率风险的市场价格 零息债券价格满足的偏微分方程 基于鞅方法的零息债券定价公式
有1单位货币，即
A
(T
)
1
，需在0时刻投入
A
1 (T
)
单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为：A
(t)
(t) (T )
所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为 (t) 。 (T )
（3）连续复利收益率 用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为： 由这个等式可以推出：
说明：Fl (t,T , S ) 和 Fc (t,T , S) 是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。
（5）远期瞬时利率 远期瞬时利率的定义为： 由定义可知 rt f (t,t) 。 由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：
这个式子结合 R(t,T ) ln B(t,T ) 可以推出： T t
5
5
B(0,5)
100e
0
f (0,t )dt
100e0Leabharlann (0.050.01t)
dt
68.73（美元）
2．利率模型的评价标准 利率模型能够满足一些优良的性质，这些优良的性质包括： （1）模型应该是无套利的。即利率应该是非负的。 （2）利率应该具有均值回复特征。即利率围绕某一均值波动，如利率超过均值，则在未来有下降的趋势；反 之，如低于均值，则未来有上升的趋势。 （3）被用于计算债券以及利率衍生品价格时应较为简单。 （4）应该是动态的，能充分反映市场利率的变化。 （5）参数容易估计，且模型能较好的拟合历史数据。 （6）有明显的经济意义。 说明：许多常用的随机利率模型只具有上面的部分性质，但在实际应用中往往忽略模型的某些缺陷。
d (t) rt (t)dt 其中 rt 是瞬时利率。由上式可以进一步的推出：
说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程 (t)也是随机的。
（2）随机折现因子 ①在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：
②随机折现因子的含义 假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t>0时刻银行账户将有 A 单(t )位货币。若希望在T(T>t)时银行账户