黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期期中数学试卷(理科)
黑龙江省齐齐哈尔市高二数学上学期期中试题 理(1)
2017—2018学年度高二上学期期中考试数学试题（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值为 （ ）A.4B.14 C.2 D.122.在极坐标系中，若点3,,3,36A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AOB ∆的面积为 （ ）3 C.94 D.93.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN 等于 （ ） A.121232a b c -+ B.211322a b c -++ C.111222a b c +- D.221332a b c +-4.设点()()0,5,0,5M N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为（ ）A.()2210169144x y y +=≠B.()2210169144y x x +=≠C.()221016925x y y +=≠D.()221016925y x x +=≠ 5.已知双曲线2219x y m-=的一条渐近线方程为23y x =，则双曲线的焦距为 （ ）10 C.6.若动点(),x y 在曲线2214x y +=上运动，则2x y +的最大值为 （ ）A. C.2 D.47.设1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，则有 （ ）A.21AB C A a ⋅=B.2112AB AC a ⋅= C.21BC A D a ⋅= D.211AB C A a⋅= 8.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为 （ ）A.2214536x y +=B.2213627x y +=C.2212718x y +=D.221189x y += 9.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.(1,1B.()1+∞C.(1+D.)110.已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 （ ） A.1 B.1或3 C.2 D.2或611.已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，12,F F 分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是 （ ） A.1 B.2a C.2b D.2c12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）11 C.12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.在极坐标系中，以点1,22π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆的极坐标方程是14.如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ''===∠=∠ 60DAA '=∠=，则AC '的长为15.已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:151C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是16.若等轴双曲线C 的左、右顶点,A B 分别为椭圆()222101x y a a +=>+的左、右焦点，点P是双曲线上异于,A B 的点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅= 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，,M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点. （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求,M N 的极坐标； （Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值.19.（本小题满分12分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//,903,1A DBC B AD B B C ∠==，13AD AA ==.（Ⅰ）证明：1AC B D ⊥；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三 角形且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是矩形，E 是AB 的中点，PC 与平面ABCD 所成的角为30.（Ⅰ）求二面角P CE D --的大小； （Ⅱ）当AD 为多长时，点D 到平面PCE 的 距离为2？21.（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y +=相切.A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH x ⊥轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG GQ =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.齐齐哈尔市实验中学2017～2018学年度高二上学期期中考试数学试题评分标准（理） 本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13. sin ρθ= 14.根号下11 15. 5 16. 1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为20x -= ……3分 当0θ=时，2ρ=，所以()2,0M ……4分当2πθ=时，ρ=2N π⎫⎪⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）点,M N 的直角坐标分别为()2,0,0,3M N ⎛ ⎝⎭∴点P 的直角坐标为1,3⎛ ⎝⎭ 则P 点的极坐标为36π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴直线OP 的极坐标方程为()6R πθρ=∈ ……10分18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为4cos 4sin ρθθ=-，即24cos 4sin ρρθρθ=-∴圆C 的直角坐标方程为22440x y x y +-+= ……4分（Ⅱ）把直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，可得：240t +-= ……6分设点A 、B 对应的参数分别为12,t t ，则12124t t t t +=-=- ……8分12121211112t t PA PB t t t t -∴+=+===……12分19.（本小题满分12分）解析：以1,,AB AD AA 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 则()))())()1110,0,0,,,0,3,0,,0,3,3A C B D C D（Ⅰ）()()13,1,0,3,3,3AC B D ∴==--10AC B D ∴⋅= 1AC B D ∴⊥ ……4分（Ⅱ）设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z =()3,1,0AC =，()10,3,3AD =则0330y y z +=+=⎪⎩ (1,m ∴= ……8分 设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ()110,1,0B C =111121sin B C m B C mθ⋅∴==∴直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为7……12分20.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接PO.PAD ∆是正三角形 PO AD ∴⊥又面PAD ⊥面ABCD PO ∴⊥面ABCD . ……1分以O 为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接OC ，则PCO ∠为PC与面ABCD 所成的角，30PCO ∴∠=.设AD a =，则3,,2PO OCa CD =∴=∴=……2分 1,,,0,,,022a P C a E ⎛⎫⎫⎫∴- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭231,,,2,,222a PE a a PC a a⎛⎫⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭ 设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =则022222a a y az a y az --=⎪⎪⎨+-=21,22n ⎛∴=- ⎝⎭ ……5分连接DE ，易知平面DEC 的一个法向量为OP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ……6分2cos ,2OP n OP n OP n⋅∴==⋅ ∴二面角P CE D --的大小为45 ……8分（Ⅱ）0,,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭，则(),0,0CD= D ∴到面PCE的距离63CD n d a n⋅==2=，即a =26AD OD == 所以当AD =D 到平面PCE 的距离为2. ……12分21.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>由题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩解得2241,33a b == 故椭圆C 的方程为2214133x y += ……4分 （2）由题意知椭圆C 的方程为2212x y +=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； ……5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-= ……7分 设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++ ()()1111221,,1,F P x y FQ x y ∴=+=+ 11110F P FQ F P FQ ⊥∴⋅= 即()()()()()22221212121227111111021k x x y y k x x k x x k k -+++=+--+++==+ 解得：217k =，即k =……11分 故直线l的方程为10x -=或10x --= ……12分22.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意：O到直线0x y ++=的距离为b ，则1b =234e a =∴= ∴椭圆C 的标准方程为2214x y += ……4分（Ⅱ）设()00,G x y ，则()00,2Q x y()2,0A -∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++ ……6分 与2x =联立得：0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 0042,2y N x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭则直线QN 的方程为()0000042222y y x y y x x x -+-=-- ……8分即()200002480x y x x y y ---=220014x y += ∴方程可化为00240x x y y +-= ……10分 ()0,0∴到直线QN 2=故直线QN与以AB为直径的圆O相切. ……12分。
2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期10月期中数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期10月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )A. B. C. 20 D. 192.直线的一个方向向量是( )A. B. C. D.3.已知椭圆，则椭圆的长轴长为( )A. 1B.C.D.4.若圆关于直线对称，则等于( )A. 1B.C.D.5.已知空间三点，则向量与的夹角为( )A. B. C. D.6.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线l的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则m的取值范围为( )A. B. C. D.8.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M 在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.关于直线，下列说法正确的有( )A. 过点B. 斜率为C. 倾斜角为D. 在y轴上的截距为110.已知圆心为C的圆与点，则( )A. 圆C的半径为2B. 点A在圆C外C. 点A与圆C上任一点距离的最大值为D. 点A与圆C上任一点距离的最小值为11.已知点P是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是( )A. 的面积为B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9C. 点P的纵坐标为D. 内切圆的面积为12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面ABCD，且分别为的中点，则( )A. 若PC的中点为M，则四面体是鳖臑B. CG与EF所成角的余弦值是C. 点S是平面PAC内的动点，若，则动点S的轨迹是圆D. 过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市八校高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市八校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 1的一个方向向量a →＝(2，4，x )，直线l 2的一个方向向量b →＝(2，y ，2)，若|a →|＝6，且l 1⊥l 2，则x ＋y 的值是（ ） A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．1【答案】A【分析】根据|a →|＝6，且l 1⊥l 2，利用向量坐标的运算列出方程求解即可.【详解】由条件可知|a →|6，且a →·b →＝4＋4y ＋2x ＝0，解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩，∴x ＋y ＝1或－3. 故选：A2．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=【答案】A【解析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.3．已知1F ，2F 是两个定点，且122F F a =（a 是正常数），动点P 满足2121PF PF a +=+，则动点P的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．直线【答案】C【分析】讨论21a +与2a 的大小关系，结合椭圆定义可知.【详解】解：因为212a a + （当且仅当1a = 时，等号成立)，所以1212||||||PF PF F F +， 当0a > 且1a ≠ 时，1212||||||PF PF F F +>，此时动点P 的轨迹是椭圆； 当1a = 时，1212||||||PF PF F F +=，此时动点P 的轨迹是线段12F F ． 故选：C ．4．已知A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．22B ．1C 2D ．22【答案】A【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0），AB →∴＝（1，0，0），BC →＝（﹣1，2，﹣2），∴点A 到直线BC 的距离为：d ＝22AB BC AB 1(cos AB,BC )AB 1()AB BC→→→→→→→→⋅-<>=-⋅＝1×21113-⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭＝223．故选：A【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.5．已知直三棱柱111ABC A B C 中，120BAC ∠=，AB AC =，且直线A 1B 与平面ABC 所成的角为45，D 为1CC 的中点，则异面直线1A B 与AD 所成角的余弦值为（ ） A ．105B ．105-C ．1020D ．1020-【答案】A【分析】在直三棱柱111ABC A B C 中，由直线A 1B 与平面ABC 所成的角为45，可得145A BA ∠=，从而1AA AB =，取AB 中点O ，1AA 中点M ，连接11,,OM MC OC ，则1OM A B ∕∕，1C M AD ∕∕，所以1OMC ∠或其补角即为异面直线1A B 与AD 所成角，从而可得答案.【详解】解：因为三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，则1AA ⊥平面ABC ，所以1A BA ∠即为直线A 1B 与平面ABC 所成的角，所以145A BA ∠=，所以1AA AB =， 取AB 中点O ，1AA 中点M ，连接11,,OM MC OC ，则1OM A B ∕∕，1C M AD ∕∕，所以1OMC ∠或其补角即为异面直线1A B 与AD 所成角， 设12AA AB a ==，则112OM A B =，1MC =，在ABC中，2cos120OCa===，1C O=， 在1C MO ∆中，1MC，OM=，1C O ∴2222221111cos 2OM MC OCOMC OM MC +-∠====⨯⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线1A B 与AD 所成角的余弦值为 故选：A.6．已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是 A ．3(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D ．34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交， 则A 、B 在直线的异侧或在直线上， 则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0， 即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ．【点睛】本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．34D ．32【答案】B【详解】过点1F 倾斜角为030的直线方程为：()33y x c =+，即30x y c -+=， 则圆心()0,0到直线的距离：213c cd ==+， 由弦长公式可得：22234c b b -=，整理可得：2222222,,2b c a c c a c =∴-== 则：212,22e e ==. 本题选择B 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．8．如图，三棱锥-P ABC 中，ABC ∆为边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE PB E =，且DE AB ⊥，32PA =，332PB =，则PA 与平面CDE 所成角的正切值为A 3B 2C 2D 3【答案】A【分析】可证AB ⊥平面DCE ，过P 作PM AB ⊥于M ，从而APM ∠为PA 与平面CDE 所成的角，利用解直角三角形可求其正切值．【详解】由勾股定理222PA PB AB PA PB +=⇒⊥，过P 作PM AB ⊥于M ，由,,DE AB AB DC DE DC D ⊥⊥⋂=可得AB ⊥平面DCE ， 所以APM ∠为PA 与平面CDE 所成的角，在直角三角形APB 中, APM PBA ∠=∠,332tan tan 3332APM PBA ∠=∠==. 故选：A ．【点睛】本题考查线面角的计算，此类问题可根据线面垂直构造线面角，并将其放置在可解的三角形来求．二、多选题9．直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】AC【分析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-，整理得221x y +=，0x ≥， 画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点， 则(1,1]{2}b ∈--故选：AC.【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.10．已知P 是椭圆22194x y +=上一点，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，且121cos 3F PF ∠=，则（ ）A ．12F PF △的周长为12 B．12F PF S=C ．点P 到xD ．122PF PF ⋅=【答案】BCD【分析】A ．根据椭圆定义分析12F PF △的周长并判断；B ．根据椭圆定义以及已知条件先求解出12PF PF ⋅的值，结合三角形的面积公式求解出12F PF S 并判断；C ．根据三角形等面积法求解出点P 到x 轴的距离并判断；D ．根据向量数量积运算以及12PF PF ⋅的值求解出结果并判断. 【详解】A ．因为1226PF PF a +==，所以1212122266F PF CPF PF F F a c =++=+=+=+B ．因为1226PF PF a +==，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠， 所以()121224943623PF PF PF PF -=-⋅-⋅， 所以126PF PF ⋅=，所以12122111sin 622F PF SPF F PF PF =⋅⨯∠== C ．设点P 到x 轴的距离为d ，所以1212F F d ⋅=d === D ．因为2112121cos 623PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故正确；故选：BCD.11．圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1 【答案】ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-， 整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为2d ==又圆1Q 的半径1r =，所以AB =，故C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d =又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确. 故选：ABD.12．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法错误的是A ．y x -2B ．22x y +的最大值为7+C ．y x D ．x y +的最大值为2【答案】CD【分析】B 中22x y +表示(,)x y 到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原点距离的最大值的最小值，可判断B ，A ，C ，D 中均可以令对应式子m =，解得y 后代入圆方程，由判别式0∆≥可得最值．从而得到判断．本题用了几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径可得结论．【详解】对于A ，设z y x =-，则y =x+z ，z 表示直线y =x+z 的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=≤解得22z ≤≤，所以y x -2，故A 说法正确； 对于B ，22xy +的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为222x y +的最大值为2(27+=+B 说法正确；对于C ，设yxk =，把y kx =代入圆方程得22(1)410k x x +-+=，则2164(1)0k ∆=-+≥，解得k ≤yxC 说法错误； 对于D ，设m x y =+，则y x m =-+，m 表示直线y x m =-+的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=有≤解得22m ≤≤，所以x y +2，故D 说法错误. 故选：CD .【点睛】本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解．三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:0l x ay +=和直线()2:2340l x a y ---=，a R ∈，若1l 与2l 平行，则1l 与2l 之间的距离为_________.【解析】利用两直线平行求出参数a 的值，然后利用平行线间的距离公式可求得直线1l 与2l 之间的距离.【详解】由于直线1l 与2l 平行，则()23a a =--，解得1a =， 所以，直线1l 的方程为0x y +=，直线2l 的方程为20x y +-=，因此，直线1l 与2l 之间的距离为d ==.14．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A =AC =1，BC ，则四面体P ABC 的外接球的表面积为________.【答案】4π【解析】根据“鳖臑”四面体P ABC 的特征，可确定外接球球心为PB 的中点，即可求解. 【详解】如图，由题意90ACB ∠=︒,则取PB 的中点为点O ， 可得OA OB OP OC ===，即O 为球心， 则其半径222221111222R PB PA AB PA AC BC ==+++=， 则其表面积为244S R ππ==， 故答案为：4π15．圆心在直线40x y --=上，且过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点的圆的方程为______.【答案】()()223116x y -++=【分析】设出圆系方程222246(46)0x y x x y y λ+--++--=，求得圆心坐标，代入已知直线方程求得参数值得圆方程．【详解】由题意设圆方程为222246(46)0x y x x y y λ+--++--=，整理得22446011x y x y λλλ+---=++，圆心坐标为22(,)11λλλ++， 所以224011λλλ--=++，解得13λ=-，所以圆方程为226260x y x y +-+-=，即22(3)(1)16x y -++=．故答案为：22(3)(1)16x y -++=．16．已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【分析】根据已知可得12PF PF ⊥，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解. 【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形， 设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=， 所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.四、解答题17．已知直线:43100l x y ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 右上方. (1)求圆C 的方程；(2)问题：是否存在______的直线1l 被圆C 截得的弦长等于1l 的方程；若不存在，请说明理由.请从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答. ①过点()1,1；②在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等；③方程为()()322210k x k y k ++-+-=. 【答案】(1)224x y +=(2)选①，存在，直线1l 的方程为1x =或1y =；选②，存在，直线1l 的方程为0x y +=；选③，不存在直线1l ，理由见解析【分析】（1）设圆心坐标为(,0)a ，52a >-，由圆心到切线距离等于半径求得a 得圆方程；（2）由弦长得圆心到直线1l 的距离，选①，检验斜率不存在的直线符合要求，斜率存在的直线设出直线方程后由点到直线距离公式求解； 选②，分类讨论，截距为0，直线过原点时检验可得，截距不为0时设出直线方程，由点到直线距离公式求解；选③，直接由点到直线距离公式求解．【详解】（1）直线l 与x 轴交点为5(,0)2-，依题意设所求圆的圆心C 的坐标为()5,02a a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭-，则41025a +=，解得0a =或5a =-（舍去）.故所求圆C 的方程为224x y +=；（2）由题意易得圆心C 到直线1l 1=选①：直线1l 过点()1,1.若直线1l 的斜率不存在，则直线1l 的方程为1x =，易知符合题意；若直线1l 的斜率存在，不妨设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k -+-=1=，解得0k =，此时直线1l 的方程为1y =.综上，存在符合题设的直线1l 且其方程为1x =或1y = 选②：直线1l 在x ，y 两坐标轴上的截距相等.若直线1l 的截距都为0，则直线1l 过原点O 即圆心C ，不合题意；若直线1l 的截距都不为0，不妨设直线1l 的方程为1xyλλ+=，即0x y λ+-=.1=，解得λ=综上，存在符合题设的直线1l 且其方程为0x y +=.选③：直线1l 方程为()()322210k x k y k ++-+-=.1=整理，得212670k k ++=，（）因为3641270∆=-⨯⨯<，所以方程（）无解，所以不存在符合题设的直线1l ． 18．已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．【答案】（1）22143x y +=；（2）32-或32【详解】试题分析：（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）经分析当直线m 的斜率不存在时，不满足A 是PB 的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出12x x +，12x x ，结合122x x =得到关于k 的方程，则直线m 的斜率可求试题解析：如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，2d MN =，由此2242(1)x x y -=-+ 化简得：22143x y += 所以动点M 的轨迹C 的方程为22143x y += （2）(0,3)P 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由A 是PB 的中点，得1223y y =+，椭圆的上下顶点分别是(0,3),(0,3)-，不满足1223y y =+，即m 的斜率存在. 设直线m 的方程为3y kx =+ 11(,)A x y ，22(,)B x y ，如图所示.将3y kx =+代入22143x y+=，得22(34)24240k x kx +++= 其中，222(24)424(34)96(23)0k k k ∆=-⨯+=-> 且1222434k x x k +=-+…①，1222434x x k =+…② 又A 是PB 的中点，故212x x =…③将③代入①②，得12834k x k =-+，2121234x k =+ 所以222812()3434k k k-=++，且23k > 解得32k =-或32k 所以直线m 的斜率为32-或32.【解析】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程19．如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点．（1）求证：//FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】（1）因为,F G 分别为,PB EB 中点，得到//P FG E ，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC 和平面FGH 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为,F G 分别为,PB EB 中点，所以//FG PE ， 又因为FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，//FG 平面PED . （2）因为EA ⊥平面ABCD ，且//EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 又因为四边形ABCD 为矩形，所以,,DA DC DP 两两垂直，故以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，可得(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，取1y =，可得1z =，所以平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)n =， 同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =， 设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ， 则||2cos 2||||m n m n θ⋅==⋅，又由[0,]2πθ∈，所以平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.20．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>22，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为642+． （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求m 的值．【答案】（1）2219x y +=；（2）125m =或3m =．【解析】（1）根据题意可得出关于a 、c 的方程组，解出这两个量的值，可得出b 的值，进而可得出椭圆M 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆M 的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0CA CB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可求得实数m 的值. 【详解】（1）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为642+， 所以22642a c +=+又椭圆的离心率为223，即223c a =，所以322223a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，可得3a =，22c =，所以1b =，椭圆M 的方程为2219x y +=；（2）由2219x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2229290k y kmy m +++-=， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+，①.因为以AB 为直径的圆过点C ，所以0CA CB ⋅=．由()113,CA x y =-，()223,CB x y =-，得()()1212330x x y y --+=． 将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式，得()()()()2212121330k y y k m y y m ++-++-=．将①代入上式，可得()()()()()22221932309km k m km m k +-+-⋅-+-=+，整理可得()()35120m m --=，解得125m =或3m =． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.21．椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左焦点1F 到点(2,1)P 的距离是10．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：y kx m =+被圆O ：223x y +=截得的弦长为3，且l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max 22S =．【详解】试题分析：（1）借助条件布列的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面积函数，转求最值.试题解析：（1）由题意可得c e a ==解得1c =，a =1b ==， 即有椭圆的方程为2212x y +=；（2）∵O 到l的距离d ===∴d ==，∴223(1)4m k =+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把y kx m =+代入得222(12)4220k x kmx m +++-=，∴122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+，∴12|||AB x x =-===，∵1||||2S AB d AB =⋅=2221(3351)212k k k +++≤=+， ∴当223351k k +=+，即1k =±时，max S =【解析】1、待定系数法求椭圆方程；2、设而不求法表示面积.【思路点睛】本题综合考查了直线、圆、椭圆的知识，难度中等.第一问通过待定系数法确定椭圆的方程，注意对椭圆基本性质的理解；第二问考查了三角形的面积问题，如何表示面积手段是非常灵活的，除了熟知的底乘高除以二以外，还有面积的正弦形式，特别是割补思想表示面积，本题比较常规，难点是包含两个变量，通过弦长建立二者的等量关系，就可以很轻松的建立面积的一元函数.在求最值上很有技巧性，巧解均值不等式，值得同学们总结.22．如图()1，梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别.2E F AB AE ==，，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE - BCF ，如图()2．(1)若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；(2)若//DE CF ，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为520，求AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】(1)由正方形的性质推导出AF BE ⊥，结合AF BD ⊥，可得AF ⊥平面BDE ，由此AF DE ⊥，再由AE DE ⊥，能证明DE ⊥平面ABEF ；(2)过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AP m =，可得()2,1,3CP m =--，利用向量垂直数量积为零求出平面ACD 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果．【详解】(1)由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， 由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，AF DE ∴⊥，又AE DE ⊥，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面.ABFE(2)在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E ⋂=，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作//DM EF 交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()(132,0,0,2,2,0,3,0,2A B C D ⎛- ⎝⎭， ()132,1,3,2,2AC AD ⎛=-=-- ⎝⎭． 设平面ACD 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得23013202x y z x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩,取1x =得(1,1,3n =-， 设AP m =，则(2,P m ，0)，()02m ≤≤，得(2,1,3CP m =- 设CP 与平面ACD 所成的角为θ， 252sin cos ,357(1)m CP n m m θ====+-． 所以2.3AP =【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.。
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
2024-2025学年度上学期期中考试高二数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（ ）A ．250B ．200C ．180D ．1502.黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中男生人数少于女生人数D ．样本中选择物理学科的人数较多3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的数是偶数”，事件B 为“第二次取到的数是奇数”，则（ ）A.B.C.D.4. 给出下列说法中错误的是（ ）A. 回归直线恒过样本点的中心B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变D. 在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少0.5个单位5. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ）,,A B C 2:2:6n C n ()P B A =52451651258ˆˆˆy bx a =+()x y ||r ˆ20.5yx =-ˆy 3414A.B.C.D.6. .随机变量X 的分布列如表所示，若E(X)=，则D （3X ﹣2）＝（ ）X ﹣101PabA ．9B ．5C ．D ．37．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ）A ．估计该年级学生成绩的众数约为75B ．C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.508．箱中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题（每小题6分，共18分）9．有一散点图如图所示，在5个（x ，y ）数据中去掉D （3，10）后，下列说法中正确的是（ ）A ．相关系数r 变小 B ．残差平方和变小C ．决定系数R 2变小D ．解释变量x 与响应变量y 的相关性变强10．下列命题正确的是（ ）A ．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6B ．设随机变量，若，则的最大值为43C ．对于随机事件A ，B ，若，，，则A 与B 相互独立D ．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本581814340.05a =81784813929491849()6,X B p ~()2E X ≤()D X ()()P AB P A =∣()0P A >()0P B >平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为12011．甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有多张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A ”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件与不互斥B ．C ．D ．三、填空题（每小题5分，共15分）12．若X 服从正态分布N （10，σ2），且P （X ≤8）＝P （X ≥20﹣t ），则t 的值为 ．13．在的展开式中，的系数为14．已知袋子中有a 个红球和b 个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 .①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n 次后，摸到红球的次数X 的方差为④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X 的概率是四、解答题（共计77分）15．(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为．(1)求n 和a 的值；(2)求展开式中项的系数(3)求的展开式中的常数项．16. (15分)共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车,,A B C M N B M N ()()||P N MP MN =()3136P M N =()23P M N ⋃=()()()()2391111x x x x ++++++++ 3x aa b+()()()11a a a b a b -++-naa b+()n n a ≤()C C C k n ka bn a bP X k -+==21nax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1-4x -22112nx ax x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：日期（天）12345用户（人）1322455568模型①的残差值模型②的残差值(1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；(2)求出（1）中所选模型的回归方程．（参考公式：，，参考数据：，）17．(15分)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在(10,12]内的概率；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P (k )表示这10名学y bx a =+y a =+x y 1.1- 2.8- 1.2- 1.9-0.40.3 5.4- 3.2- 1.6- 3.81221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-52155ii x==∑51752i i i x y ==∑生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k =0，1，2，…，10．当P (k )最大时，写出k 的值．（写出证明）18．(17分)如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，（i ）求平面PDM 与平面BDM 的余弦值；（ii ）在线段上是否存在点Q ，使得点Q 到平面的的值；若不存在，说明理由．19．(17分)某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34,35，通过第二轮比赛的概率分别是45,23，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为X ，求X 的分布列；(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是13,23，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.P ABCD -PDC ⊥,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥11,2AB CD AD M ===PC //BM PAD 1PC PD ==PA BDM PQ。
黑龙江省高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷(考试)
黑龙江省高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 下列说法中正确的是（）A . 如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于﹣1B . “a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的充分必要条件C . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D . “a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的充分不必要条件2. （2分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A . 2+B . 4+C . 2+2D . 53. （2分） (2017高一上·福州期末) 如图矩形ABCD的长为2cm，宽为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A . 10cmB . 8cmC .D .4. （2分）(2016·黄山模拟) 将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1 ， r2 ， r3 ，那么r1+r2+r3的值为（）A .B . 2C .D . 15. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C 到平面A1DM的距离为（）A .B .C .D .6. （2分）已知空间两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①②；③④其中正确命题的序号是（）.A . ①④B . ②③C . ①②④D . ①③④7. （2分）下列命题中正确的个数是（）（1）若直线上有无数个点不在平面内，则∥.（2）若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（4）若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱，将正三棱柱截去一个角，（如图1所示，M，N分别为AB，BC的中点）得到几何体如图2．则该几何体按图2所示方向的侧视图为（）A .B .C .D .9. （2分）下列命题：①在中，若A>B，则sinA>sinB；②已知，则在上的投影为-2；③已知，，则“”为假命题．其中真命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分） (2016高二下·黔南期末) 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A . 4﹣B . 8﹣C . 8﹣πD . 8﹣2π11. （2分） (2019高二下·上海月考) 下列命题中，真命题的个数是（）①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④相邻两个面垂直于底面的棱柱是直棱柱；⑤各侧面是全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥；⑥三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则这个棱锥的三条侧棱长相等.A . 0B . 1C . 2D . 312. （2分）(2018·荆州模拟) 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵” 的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（）A .B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高二上·安吉期中) 正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是________，点A到侧面PBC的距离是________．14. （1分） (2017·海淀模拟) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M 在棱DD1上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面所围成的较小的几何体的体积等于________．15. （1分）(2019·河南模拟) 已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，且底面是平行四边形，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为16，AD＝2，DC＝4，则此球的表面积为________．16. （1分） (2016高一下·沙市期中) 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分） (2018高三上·贵阳月考) 如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.（Ⅰ）问：上是否存在点使得平面？请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.18. （10分） (2018高二上·蚌埠期末) 在三棱锥中，平面平面，，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面 .19. （5分）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1=a，AB=2a，， E、F分别是AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFB1D1∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：A1C⊥平面BDC1 ．注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥．用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台．20. （10分） (2016高二上·青海期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．21. （15分） (2017高二下·岳阳期中) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分)17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
2014-2015年黑龙江省齐齐哈尔中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤12．（5分）已知条件p：log2x＜0，条件，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，2≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件4．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞15．（5分）若θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α7．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣19．（5分）已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B﹣AC﹣P的正切值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）已知点A（﹣4，0）和B（2，2）M是椭圆+=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大值（）A．10+2B．+5 C．9+D．9+211．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．7+D．612．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交与A，B两点，若=2，则k=（）A．2 B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上13．（5分）已知圆和圆，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．14．（5分）已知点P是双曲线双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF1F2内心，若S=S+S，则双曲线的离心率为．15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为．16．（5分）圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后与直线x+y+m=0相切，则m=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（12分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圆外一点M（4，﹣8）．（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1【解答】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选：C．2．（5分）已知条件p：log2x＜0，条件，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵条件p：log2x＜0，∴0＜x＜1，∵条件，∴x﹣1＜0，∴x＜1，∴p⇒q，反之则不能，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，2≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件【解答】解：对于A，∀x0∈R，2＞0，故A错误；对于B，由于24=42=16，故∀x∈R，2x＞x2错，即B错误；对于C，当b≠0时，a+b=0的充要条件是=﹣1，故C错误；对于D，a＞2，b＞2⇒ab＞4，充分性成立，反之，若ab＞4，如（﹣2）（﹣3）=6＞4，但不满足a＞2，b＞2，即必要性不成立，故a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件，故D正确．故选：D．4．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞1【解答】解：由（4m）2+4﹣4×5m＞0知m＜或m＞1．故选：B．5．（5分）若θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆【解答】解：因为θ∈（0，π），且s inθ+cosθ=，所以θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，从而sinθ＞0，cosθ＜0，从而x2sinθ+y2cosθ=1表示焦点在x轴上的双曲线．故选：A．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．7．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1【解答】解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1，点（0，﹣2）到直线x﹣2y+1=0的距离为=；由图可知：|PQ|min=﹣1，故选：A．9．（5分）已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B﹣AC﹣P的正切值为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，又因为CA=CB，所以OA=OB．而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．又α⊥β，α∩β=PQ，BO⊂α，所以BO⊥β．过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．故∠BHO是二面角B﹣AC﹣P的平面角．因为CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，不妨设AC=2，则AO=，OH=AOsin30°=．在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=，于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=2．故选：A．10．（5分）已知点A（﹣4，0）和B（2，2）M是椭圆+=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大值（）A．10+2B．+5 C．9+D．9+2【解答】解：A为椭圆左焦点，设右焦点为F（4，0），则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是MA+MB=10+|MB|﹣|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|﹣|MF|＜|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第一象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|=10+|BF|=10+2．故选：A．11．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．7+D．6【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交与A，B两点，若=2，则k=（）A．2 B．C．D．【解答】解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE⊥AA1于E，根据椭圆的第二定义，得|AA1|=，|BB1|=，∵=2，∴cos∠BAE====，∴tan∠BAE=．∴k=．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上13．（5分）已知圆和圆，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．【解答】解：动圆C1的圆心为C1（﹣3，0），动圆C2的圆心为C2（3，0）∵动圆M同时与圆C1及圆C2外切，∴动圆M的半径=|MC1|﹣1=|MC2|﹣3，即|MC2|﹣|MC1|=2∴M的轨迹为到定点C1，C2距离差为常数2的点的集合，即双曲线的左支∴M的轨迹方程为故答案为：14．（5分）已知点P是双曲线双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF1F2内心，若S=S+S，则双曲线的离心率为2．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴=×|PF 1|×|IF|=|PF1|，|×|IG|=|PF2|=×|PF=×|F 1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|两边约去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=c⇒离心率为e==2故答案为：2．15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A作AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故答案为：．16．（5分）圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后与直线x+y+m=0相切，则m=﹣1或﹣5．【解答】解：圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后变为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2，即表示以C（2，1）为圆心、半径等于的圆．再根据直线和圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即=，解得m=﹣1或m=﹣5，故答案为：﹣1或﹣5．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）得1﹣m≤x≤1+m故￢q：A={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}由，得﹣2≤x≤10故￢p：B={x|x＜﹣2或x＞10}∵￢p是￢q的充分而不必要条件∴解得0＜m≤3∴实数m的取值范围0＜m≤318．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：19．（12分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圆外一点M（4，﹣8）．（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．【解答】解：x2+y2﹣4x+2y﹣3=0可化为：（x﹣2）2+（y+1）2=8，所以圆心O为（2，﹣1），半径r=2；（1）由题意设割线方程为y+8=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0 ①，因为半径r=2，|AB|=4，所以圆心到割线距离d==2，∴，=2，解得k=，代入①得直线方程为45x+28y+44=0；经验证，x=4也符合题意．所以直线AB方程为45x+28y+44=0或x=4．（2）易知|MO|==，∴切线长l==3；设切点坐标为（x，y），则由题意得，即两式相减得CD方程为2x﹣7y﹣19=0．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆+y2=1易知a=2，b=1，∴c==，所以，设P（x，y），则==x2+y2﹣3=﹣3=由椭圆的性质可知，﹣2≤x≤2∴故﹣2≤≤1（6分）（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2）则消去y，整理得：由△=16k2﹣12（）＞0得：或…①（9分）又∵，又0°＜∠MON＜90°∴cos∠MON＞0∴＞0∴＞0（11分）∵y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==∴＞0，即k2＜4∴﹣2＜k＜2…②（13分）故由①②得或（15分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM===，BM==，设AB=x，∴OM=x∴PO=，=×x××==，∴V P﹣ABCD=，当，即x=，V P﹣ABCD建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由条件知F1（﹣2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）（Ⅰ）设M（x，y），则，，，由，得，即，于是AB的中点坐标为，当AB不与x轴垂直时，，即，又因为A，B两点在双曲线上，所以x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），即（x1﹣x2）（x﹣4）=（y1﹣y2）y，将代入上式，化简得（x﹣6）2﹣y2=4，当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，所以点M的轨迹方程是（x﹣6）2﹣y2=4．（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（m，0），使为常数，当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x﹣2）（k≠±1），代入x2﹣y2=2有（1﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+2）=0则x1，x2是上述方程的两个实根，所以，，于是=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2===．因为是与k无关的常数，所以4﹣4m=0，即m=1，此时=﹣1，当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为，，此时，故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
黑龙江省高二上学期期中数学试卷(理科)
黑龙江省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·南充模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·河北月考) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分） (2020高三上·永寿开学考) 函数f(x)= 的零点所在的一个区间是（）A . （-2，-1）B . （-1,0）C . （0,1）D . （1,2）4. （2分） (2020高一下·吉林期中) 设为三角形三内角，且方程有两相等的实根，那么角（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高二上·梅河口期末) 长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，分别是四边形和正方形的中心，则向量与的夹角的余弦值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·定州期中) 设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分） (2019高二上·集宁月考) 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·深圳期中) 在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（）A .B .C .D .10. （2分）已知点M（x, y）在不等式组，所表示的平面区域内，则的值域为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·菏泽月考) 已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（）A .B .C .D .12. （2分）已知互为反函数，若恒成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 在数列中，已知且数列是等比数列，则 ________.14. （1分） (2018高二上·拉萨月考) 已知直线上有两个点和 , 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为________.15. （1分） (2019高一下·桦甸期末) 当，时，执行完如图所示的一段程序后，x=________.16. （2分） (2018高二上·浙江月考) 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，则的中点到轴的距离的最小值为________，此时中点的坐标为________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2017高二下·襄阳期中) 命题p：方程 + =1表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：直线y=x+m与抛物线y2=4x有公共点．若“p∨q”为真，求实数m的取值范围．18. （10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面AA1C1C，BC=CA=AA1=2，∠CAA1=60°．（1）求证：AC1⊥A1B；（2）求直线A1B与平面BAC1所成角的正弦值．19. （10分） (2016高三上·宁波期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2+sinA= ．（1）若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；（2）当△ABC的周长取最大值时，求b的值．20. （10分） (2019高三上·鹤岗月考) 已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．21. （5分） (2018高一上·北京期中) 某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是通过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式P=-750x+15000，其中P为零售商进货的数量（单位：件），x为零售商支付的每件产品价格（单位：元）．现估计生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用以外的其他费用），为获得最大利润，工厂应对零售商每件收取多少元？并求此时的最大利润．22. （5分）(2017·兰州模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足，试探究，是否存在两个定点F1 ， F2 ，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1 ， F2的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
黑龙江省齐齐哈尔市数学高二上学期理数期中考试试卷
黑龙江省齐齐哈尔市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·海南模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·西华期中) 等比数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a6+a7=（）A . 64B . ﹣64C . 32D . ﹣323. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知等差数列{an}中，公差d=2，an=11，Sn=35，则a1=（）A . 5或7B . 3或5C . 7或﹣1D . 3或﹣14. （2分） (2017高二上·西华期中) △ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，则 =（）A . 15B . 9C . ﹣15D . ﹣95. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（）A . 5B . 6C . 7D . 126. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d为（）A . ﹣4B . ﹣3C . ﹣2D . ﹣17. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，A=45°，若三角形有两解，则边b的取值范围是（）A . b＞2B . b＜2C . 2＜b＜2D . 2＜b＜28. （2分） (2017高二上·西华期中) △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形或直角三角形D . 等腰直角三角形9. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知△ABC中，sin2B+sin2C﹣sin2A=﹣sinBsinC，则A=（）A . 60°B . 90°C . 150°D . 120°10. （2分） (2017高二上·西华期中) 《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（）A . 钱B . 钱C . 钱D . 钱11. （2分） (2017高二上·西华期中) 设{an}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数n=（）A . 4或5B . 5或6C . 6或7D . 8或912. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（）A . （， ]B . （0， ]C . （， ]D . （，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f（x）=2sin（x﹣）的最小正周期是________ ．14. （1分）已知函数f（x）=sin x+cos x，f′（x）是f（x）的导函数．若f（x）=2f′（x），则=________．15. （1分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量 =（1，﹣）， =（cosB，sinB），，且bcos C+ccos B=2asin A，则角C等于________．16. （1分） (2018高二上·山西月考) 给出下列五个命题：①当时，有；②若是锐角三角形，则；③已知是等差数列的前项和，若，则；④函数与的图像关于直线对称；⑤当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .其中正确命题的序号为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2016高一上·安庆期中) 已知tanα，是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos（3π+α）﹣sin（π+α）的值．18. （10分） (2017高二上·西华期中) 已知等比数列{an}满足an+1+an=9•2n﹣1 ，n∈N* ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn ，若不等式Sn＞t•an﹣1，对一切n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．19. （10分） (2017高二上·西华期中) 在等差数列{an}中，2a9=a12+13，a2=5，其前n项和为Sn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和Tn ，并证明Tn＜．20. （10分） (2017高二上·西华期中) 在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且（1）确定∠C的大小；（2）若c= ，求△ABC周长的取值范围．21. （10分） (2017高二上·西华期中) 轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇．（1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？（2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由．22. （15分） (2017高二上·西华期中) 已知数列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn ， fn（﹣1）=（﹣1）n•n，n=1，2，3，…（1）求a1 ， a2 ， a3的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
黑龙江省高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷(考试)
黑龙江省高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an ，则数列{an}的通项公式为（）A .B .C .D .2. （2分）在中，已知，那么一定是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 正三角形D . 等腰直角三角形3. （2分） (2016高二上·嘉峪关期中) 已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则a2＞b2B . 若|a|＞b，则a2＞b2C . 若a＞|b|，则a2＞b2D . 若a≠|b|，则a2≠b24. （2分）假设f（x）=x2﹣4x+3，若实数x、y满足条件f（y）≤f（x）≤0，则点（x，y）所构成的区域的面积等于（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2018高二上·新乡月考) 在中，若，则（）A .B .C .D .6. （2分）在等比数列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前12项和为（）A . 2﹣B . 2﹣C . 2﹣D . 2﹣7. （2分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A . 900万元B . 950万元C . 1000万元D . 1150万元8. （2分）在△ABC中，（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），其中a、b、c是内角A、B、C的对边，则△ABC的性状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 正三角形D . 等腰或直角三角形9. （2分）已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取到最大值,则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·湖南模拟) 已知数列{an}的通项公式an=5﹣n，其前n项和为Sn ，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn ，若存在m∈N* ，使对任意n∈N* ，总有Sn＜Tn+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A . λ≥2B . λ＞3C . λ≥3D . λ＞211. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 若函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+a+1对于a∈[﹣1，1]时恒有f（x）＜0，则实数x的取值范围是（）A . （1，2）B . （﹣∞，1）∪（2，+∞）C . （0，1）D . （﹣∞，0）∪（1，+∞）12. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）A . 31B . 32C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·沈阳期中) 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC=________14. （1分） (2016高二上·上海期中) 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是________．15. （1分）若点M（3，m）在不等式组表示的平面区域内，则m的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·南宁期中) 已知等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，则a3=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二下·揭阳期中) 已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△A BC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（B）的值．18. （10分） (2016高二下·民勤期中) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式．（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19. （10分） (2016高二上·吉林期中) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的值；（2）若c=4，a+b=7，求S△ABC的值．20. （10分） (2019高一上·珠海期中) 已知，函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围．21. （10分） (2016高三上·遵义期中) 在公差不为零的等差数列{an}中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．22. （15分） (2020高三上·浦东期末) 定义（，）为有限实数列的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列，，，满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列，，，是数列，，，，的一个排列，求的最大值，并说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
黑龙江省齐齐哈尔市2020学年高二数学上学期期中试题 理
2020学年度高二上学期期中考试数学试题（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值为 （ ）A.4B.14 C.2 D.122.在极坐标系中，若点3,,3,36A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AOB ∆的面积为 （ ） 33 C.94 D.93.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r.点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN u u u u r等于 （ ）A.121232a b c -+r r rB.211322a b c -++r r rC.111222a b c +-r r rD.221332a b c +-r r r4.设点()()0,5,0,5M N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为（ ）A.()2210169144x y y +=≠B.()2210169144y x x +=≠C.()221016925x y y +=≠D.()221016925y x x +=≠ 5.已知双曲线2219x y m-=的一条渐近线方程为23y x =，则双曲线的焦距为 （ ）1310 C.13256.若动点(),x y 在曲线2214x y +=上运动，则2x y +的最大值为 （ ）A. C.2 D.47.设1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，则有 （ ）A.21AB C A a ⋅=u u u r u u u rB.211AB AC ⋅=u u u r u u u u rC.21BC A D a ⋅=u u u r u u u u rD.211AB C A a⋅=u u u r u u u u r 8.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为 （ ）A.2214536x y +=B.2213627x y +=C.2212718x y +=D.221189x y += 9.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.(1,1B.()1+∞C.(1+D.)110.已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 （ ） A.1 B.1或3 C.2 D.2或611.已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，12,F F 分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是 （ ） A.1 B.2a C.2b D.2c12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）11 C.12D.12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.在极坐标系中，以点1,22π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆的极坐标方程是14.如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ''===∠=∠ 60DAA '=∠=o ，则AC '的长为15.已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:151C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是16.若等轴双曲线C 的左、右顶点,A B 分别为椭圆()222101x y a a +=>+的左、右焦点，点P是双曲线上异于,A B 的点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅= 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，,M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点. （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求,M N 的极坐标； （Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是22222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为42cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值.19.（本小题满分12分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//,90,3,1AD BC BAD AB BC ∠===o ，13AD AA ==.（Ⅰ）证明：1AC B D ⊥；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三 角形且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是矩形，E 是AB 的中点，PC 与平面ABCD 所成的角为30o .（Ⅰ）求二面角P CE D --的大小； （Ⅱ）当AD 为多长时，点D 到平面PCE 的 距离为2？21.（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥u u u r u u u r，求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>3以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y +=相切.A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH x ⊥轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG GQ =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.齐齐哈尔市实验中学2020～2020学年度高二上学期期中考试数学试题评分标准（理） 本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13. sin ρθ= 14.根号下11 15. 5 16. 1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为20x -= ……3分 当0θ=时，2ρ=，所以()2,0M ……4分当2πθ=时，3ρ=，所以2N π⎫⎪⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）Q 点,M N 的直角坐标分别为()2,0,M N ⎛ ⎝⎭∴点P 的直角坐标为⎛ ⎝⎭ 则P 点的极坐标为6π⎫⎪⎪⎝⎭∴直线OP 的极坐标方程为()6R πθρ=∈ ……10分18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为4cos 4sin ρθθ=-，即24cos 4sin ρρθρθ=-∴圆C 的直角坐标方程为22440x y x y +-+= ……4分（Ⅱ）把直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，可得：240t +-= ……6分设点A 、B 对应的参数分别为12,t t ，则12124t t t t +=-=- ……8分()21212121212124111162t t t t t t PA PB t t t t t t +--∴+=+===……12分19.（本小题满分12分）解析：以1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 则()))())()1110,0,0,3,1,0,3,0,3,0,3,0,3,1,3,0,3,3A C B D C D（Ⅰ）()()13,1,0,3,3,3AC B D ∴==--u u u ru u u u r10AC B D ∴⋅=u u u r u u u u r1AC B D ∴⊥ ……4分（Ⅱ）设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z =u r)3,1,0AC =u u u r ，()10,3,3AD =u u u u r则30330x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ (1,3,3m ∴=-u r ……8分 设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ ()110,1,0B C =u u u u rQ 111121sin 7B C m B C mθ⋅∴==u u u u r u r u u u u r u r∴直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为217……12分20.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接PO.PAD ∆Q 是正三角形 PO AD ∴⊥ 又面PAD ⊥面ABCD PO ∴⊥面ABCD . ……1分以O 为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接OC ，则PCO ∠为PC 与面ABCD 所成的角，30PCO ∴∠=o .设AD a =，则33,,222PO a OC a CD a =∴=∴= ……2分 312,2,,0,,,02222a P a C a a E ⎛⎫⎛⎫⎫∴- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭1,,,,,22aPE a PC a⎫⎫∴=-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭u u u r u u u r设平面PCE的一个法向量为(),,n x y z=r则2222aa y azay--=⎪⎪⎨+=1,22n⎛∴=-⎝⎭r……5分连接DE，易知平面DEC的一个法向量为0,0,2OP a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r……6分cos,2OP nOP nOP n⋅∴==⋅u u u r ru u u r ru u u r r∴二面角P CE D--的大小为45o……8分（Ⅱ）0,,02aD⎛⎫⎪⎝⎭，则(),0,0CD=u u u rD∴到面PCE的距离CD ndn⋅==u u u r rr2=，即a=2AD OD==u u u r u u u r所以当AD=D到平面PCE的距离为2. ……12分21.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>由题意知2221a ba b=⎧⎨-=⎩解得2241,33a b==故椭圆C的方程为2214133x y+=……4分（2）由题意知椭圆C的方程为2212xy+=当直线l的斜率不存在时，其方程为1x=，不符合题意；……5分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()1y k x=-由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-= ……7分 设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++ ()()1111221,,1,F P x y FQ x y ∴=+=+u u u r u u u r 11110F P FQ F P FQ ⊥∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即()()()()()22221212121227111111021k x x y y k x x k x x k k -+++=+--+++==+解得：217k =，即7k =± ……11分 故直线l的方程为10x -=或10x --= ……12分22.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意：O到直线0x y ++=的距离为b ，则1b =242e a ==Q ∴椭圆C 的标准方程为2214x y += ……4分（Ⅱ）设()00,G x y ，则()00,2Q x y()2,0A -Q ∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++ ……6分 与2x =联立得：0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 0042,2y N x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭则直线QN 的方程为()0000042222y y x y y x x x -+-=-- ……8分即()200002480x y x x y y ---=220014x y +=Q ∴方程可化为00240x x y y +-= ……10分 ()0,0∴到直线QN2=故直线QN与以AB为直径的圆O相切. ……12分。
黑龙江省高二上学期期中数学试卷(理科)C卷(考试)
黑龙江省高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 如图是某超市一年中各月份的收入与支出单位：万元情况的条形统计图已知利润为收入与支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是A . 利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B . 利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C . 收入最少的月份的利润也最少D . 收入最少的月份的支出也最少2. （2分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则是（）A . 乙胜的概率B . 乙不输的概率C . 甲胜的概率D . 甲不输的概率3. （2分） (2018高二下·辽源月考) 输入两个数a,b,要输出b,a,下面语句正确一组是（）A .B .C .D .4. （2分） 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（）A .B . 1-C . 1-D . 1-6. （2分）从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A . 不都相等B . 都不相等C . 都相等，且为D . 都相等，且为7. （2分） (2017高一下·桃江期末) 某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（）A . 20B . 40C . 60D . 808. （2分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A . ﹣845B . 220C . ﹣57D . 349. （2分）某中学高三（1）班有学生x人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、38号、49号的同学均被选出，则该班的学生人数x的值不可能的是（）A . 55B . 57C . 59D . 6110. （2分）某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是（）A .B .C .D .11. （2分）从甲、乙两人手工制作的圆形产品中，各自随机抽取6件，测得其直径如下（单位：cm）：甲：9.00，9.20，9.00，8.50，9.10，9.20乙：8.90，9.60，9.50，8.54，8.60，8.90据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是（）A . 甲优于乙B . 乙优于甲C . 两人没区别D . 无法判断12. （2分）(2016·赤峰模拟) 某程序框图如图所示，若输出i的值为63，则判断框内可填入的条件是（）A . S＞27B . S≤27C . S≥26D . S＜26二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）利用更相减损之术求1230与411的最大公约数，第三次做差所得差值为________．14. （1分）已知三个数12(16) ， 25(7) ， 33(4) ，将它们按由小到大的顺序排列为________．15. （1分）从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为________．16. （2分）为求内的所有偶数的和而设计的一个程序框图如图所示,请将空白处补上.①________;②________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分）(2016.四川文) 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， (4)4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．18. （5分） (2016高二上·岳阳期中) 某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组[1，3），第二组[3，5），第三组[5，7），第四组[7，9），第五组[9，11]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求学习时间在[7，9）的学生人数；（Ⅱ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．19. （15分） (2017高二上·龙海期末) 某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20. （10分） (2017高一下·乾安期末) 现从某学校高一年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这50名男生身高的中位数，并估计该校高一全体男生的平均身高；（2）求这50名男生当中身高不低于176cm的人数，并且在这50名身高不低于176cm的男生中任意抽取2人，求这2人身高都低于180cm的概率.21. （10分）(2017·内江模拟) 某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系，随机统计了5天的用电量与当天气温，得到如下统计表：8月18日8月25日曰期8月1曰8月7日8月14日平均气温（℃）3330323025用电量（万度）3835413630xiyi=5446， xi2=4538， = ， = ﹣（1）请根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象預报9月3日的平均气温是23℃，请预测9月3日的用电量；（结果保留整数）（2）请从表中任选两天，记用电量（万度）超过35的天数为ξ，求ξ的概率分布列，并求其数学期望和方差．22. （5分） (2016高一下·会宁期中) 如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、9-1、10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、。
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黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高二下·南昌期末) 已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）
A . ∃x∈R，sinx≥1
B . ∀x∈R，sinx≥1
C . ∃x∈R，sinx＞1
D . ∀x∈R，sinx＞1
2. （2分）命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是（）
A . 若a＜b，则a﹣8＜b﹣8
B . 若a﹣8＞b﹣8，则a＞b
C . 若a≤b，则a﹣8≤b﹣8
D . 若a﹣8≤b﹣8，则a≤b
3. （2分） (2019高二上·哈尔滨期中) 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
① ，，，② ，
③ ，，④ ，
其中正确命题的个数有（）
A . 个
B . 个
C . 个
D . 个
4. （2分）(2018·大庆模拟) 已知命题直线与平行；命题直线
与圆相交所得的弦长为，则命题是（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既充分也不必要条件
5. （2分）有下列四个命题：
①函数的值域是；
②平面内的动点P到点和到直线的距离相等，则P的轨迹是抛物线；
③直线与平面相交于点B，且与内相交于点C的三条互不重合的直线所成的角相等，则
；
④若，则
其中正确的命题的编号是（）
A . ①③
B . ②④
C . ②③
D . ③④
6. （2分） (2016高二上·黄陵期中) 下列四个结论中假命题的个数是（）
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线a，b是异面直线，则与a，b都相交的两条直线是异面直线．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
7. （2分） (2016高一上·松原期中) 下列四个命题：（1）函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，所以f（x）在R上是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0，且a＞0；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）函数y=lg10x和函数y=elnx表示相同函数．其中正确命题的个数是（）
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
8. （2分）如右图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）
A . 36
B . 108
C . 72
D . 180
9. （2分）设扇形的圆心角为60°，面积是6π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的表面积是（）
A . π
B . 7π
C . π
D . 8π
10. （2分）己知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2013·浙江理) 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2 ，则（）
A . 平面α与平面β垂直
B . 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C . 平面α与平面β平行
D . 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
12. （2分）已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）
A . 1:3
B . 1:
C . 1:9
D . 1:81
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2018高二下·邗江期中) 若向量，满足条件
，则 ________.
14. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 有下列四个说法：
①若函数f（x）=asinx+cosx（x∈R）的图象关于直线x= 对称，则a= ；
②已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m），若与的夹角为钝角，则m＜1；
③当＜α＜时，函数f（x）=sinx﹣logax有三个零点；
④函数f（x）=xsinx在[﹣，0]上单调递减，在[0， ]上单调递增．
其中正确的是________（填上所有正确说法的序号）
15. （1分）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为________.
16. （1分） (2017高一上·新乡期末) 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则 =________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为假，求实数x的取值范围；
（2）若a＞0，且，￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18. （10分） (2019高二上·湖南月考) 已知命题方程表示双曲线，命题，
．
（1）写出命题的否定“ ”；
（2）若命题“ ”为假命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围．
19. （10分） (2015高三上·潍坊期末) 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面BCC1B1 ．
20. （10分）(2019·南昌模拟) 如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.
（1）若为线段上一点，且，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21. （5分）四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是CD的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE与PC所成的角；
（Ⅱ）线段PB上是否存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. （10分） (2017高一上·济南月考) 如图所示，在正方体中，分别是
的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面 .
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
22-1、
22-2、。