重庆中考数学22题专题训练

合集下载

重庆2012中考数学第22题专题训练

重庆2012中考数学第22题专题训练1．如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B 、D 两点，两点，B B （﹣（﹣22，3），BC BC⊥⊥x 轴于C ，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D 的坐标；的坐标；（3）当x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）（直接写出结果）2．如图，已知反比例函数（m 是常数，m≠0），一次函数y=ax+b （a 、b 为常数，a≠0），其中一次函数与x 轴，y 轴的交点分别是A （﹣4，0），B （0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P 满足：①P A ⊥x 轴；②PO=（O 为坐标原点），求反比例函数的关系式；例函数的关系式；（3）求点P 关于原点的对称点Q 的坐标，判断点Q 是否在该反比例函数的图象上．3．)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数的图象交反比例函数y ＝4－2mx(x ＞0)的图象于点A 、B ，交x 轴于点C ． (1)求m 的取值范围；的取值范围；(2)若点A 的坐标是的坐标是((2，－4)，且BC AB ＝ 1 3，求m 的值和一的值和一次函数的解析式．次函数的解析式．O C B A x y 2 －4 轴向左平移______个单位长度时，OyxADBC6．如图，点D 双曲线上，双曲线上，AD AD 垂直x 轴，垂足为A,A,点点C 在AD上，上，CB CB 平行于x 轴交曲线于点B ，直线AB 与y 轴交于点F ，已知AC:AD=1:3,AC:AD=1:3,点点C 的坐标为（的坐标为（22，2）。

（1）求该双曲线的解析式；求该双曲线的解析式；（2）求△）求△OFA OFA 的面积的面积ACBOyx7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，反比例函数y ＝kx 的图象经过点(1，4)，菱形OABC 的顶点A 在函数的图象上，对角线OB 在x 轴上．轴上．（1）求反比例函数的关系式；）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形OABC 的面积．的面积．8．如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边0C 上，点E 在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边AB 上的点F 处，且tan ∠BFD=．若线段OA 的长是一元二次方程x 2﹣7x ﹣8=0的一个根，又2AB=30A ．请解答下列问题：．请解答下列问题：（1）求点B 、F 的坐标：的坐标：（2）求直线ED 的解析式：的解析式：（3）在直线ED 、FD 上是否存在点M 、N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=．（1）求k 的值和边AC 的长；的长；（2）求点B 的坐标．的坐标． 10．如图，已知反比例函数xk y =的图像经过第二象限内的点A （－（－11，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为的面积为22．若直线y =ax +b 经过点A ，并且经过反比例函数xk y =的图象上另一点C （n ，一2）．AOB Cxy⑴求直线⑴求直线y =ax +b 的解析式；的解析式；⑵设直线y =ax +b 与x 轴交于点M ，求AM 的长．的长．11．如图,已知反比例函数k yx=的图象经过点A(1,2). (1)求k 的值. (2)过点A 分别作x 轴和y 轴的垂线,垂足为B 和C,求矩形ABOC 的面积. 12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，反比例函数y ＝ kx的图象经过点的图象经过点((1，4)，菱形OABC 的顶点A 在函数图象上，对角线OB 在x 轴上．轴上． (1)求反比例函数的关系式；求反比例函数的关系式；(2)直接写出菱形OABC 的面积．的面积．13．已知反比例函数y 1＝ kx的图象与一次函数y 2＝x ＋b 的图象交于点A (1，4)、B (m ，－2)．(1)求这两个函数的关系式；求这两个函数的关系式；(2)观察图象，写出使得y 1＞y 2成立的自变量x 的取值范围；的取值范围； (3)若点C 与点A 关于x 轴对称，求△ABC 的面积．的面积．第23题图题图BA O yx1 1 14．如图，已知一次函数()0¹+=k b kx y 的图像与x 轴，y 轴分别交于A （1，0）、B （0，－，－11）两点，且又与反比例函数()0¹=m xm y 的图像在第一象限交于C 点，点，CC 点的横坐标为2. ⑴ 求一次函数的解析式；求一次函数的解析式；⑵ 求C 点坐标及反比例函数的解析式. 15．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (0，23)，B (2，0)直线AB 与反比例函数m y x=的图像交与点C 和点D （-1，a ）． (1)求直线AB 和反比例函数的解析式；和反比例函数的解析式； (2)求∠ACO 的度数；的度数；(3)将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB ′C ′，当α为多少度时OC ′⊥AB ，并求此时线段AB ′的长．的长．16．如图1，在△，在△OAB OAB 中，∠中，∠OAB OAB OAB＝＝9090º，∠º，∠º，∠AOB AOB AOB＝＝3030º，º，º，OB OB OB＝＝8．以OB 为一边，在△为一边，在△OAB OAB 外作等边三角形OBC OBC，，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ． (1)(1)求点求点B 的坐标；的坐标； (2)(2)求证：四边形求证：四边形ABCE 是平行四边形；是平行四边形； (3)(3)如图如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG FG，求，求OG 的长．的长．1717．如图，矩形．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，BC 在x 轴上，一次函数y ＝kx －2的图象经过y xOAB E D C30º yxOAB FGC图1 图2 C O A B xyEO CB A DxyMA xyOB＝的图象经过点的坐标是的坐标是；2＝m －5x 在第一象限内相交于点，求双曲线的函数表达式．，求双曲线的函数表达式．20．如图，一次函数图象与x轴相交于点B，与反比例函数图象相交于点A(1，6-)；△AOB ．求一次函数和反比例函数的解析式．的面积为6．求一次函数和反比例函数的解析式．21．如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A （4，m）．的值及一次函数的解析式；（1）求m的值及一次函数的解析式；的长．（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．22．。

重庆中考数学22题应用题练习

1.1.低碳生活的理念已逐步被人们接受低碳生活的理念已逐步被人们接受低碳生活的理念已逐步被人们接受..剧相关资料统计：一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg 18kg；一个人平均一年少买；一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg.6kg.甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议“少买衣服”的倡议.2010.2010年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg.（1）2010年两校响应本校倡议的人数分别为多少人？（2）2010年到2012年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量，乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分比增长.2011年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍，2012年两校响应本校倡议的总人数比2011年两校响应本校倡议的总人数多100人.求2012年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量. .2.2.为了倡导节能低碳生活，某工厂对集体宿舍用电收费作了如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过为了倡导节能低碳生活，某工厂对集体宿舍用电收费作了如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a 千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交100a 元.某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；元；44月份用电45千瓦时，交电费20元.（1）求a 的值；的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？3.3.“六一”“六一”“六一”儿童节前，儿童节前，儿童节前，某玩具商店根据市场调查，某玩具商店根据市场调查，某玩具商店根据市场调查，用用2500元购进一批儿童玩具，元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，上市后很快脱销，上市后很快脱销，接着又用接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元.（1）第一批玩具每套的进价为多少元？（2）如果这两批玩具每套售价都相同，且全部售完后总利润不低于25%25%，那么每套售价至少是多少元？，那么每套售价至少是多少元？4.4.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计，据某市交通部门统计，20102010年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到108万辆万辆. .（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2014年底全市汽车总量不超过125.48万辆；另据统计，从2013年初起，该市以后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%10%，假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从，假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2013年出起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆年出起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆. .5.5.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行吨，但两种加工不能同时进行..受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完这批蔬菜全部加工后销售完. .（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应该安排几天精加工，几天粗加工？几天粗加工？（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工）如果先进行精加工，然后进行粗加工. .① 试求出销售利润试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式；之间的函数关系式；② 若要求在不超过若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？6.6.为创建和谐社会，为民办实事，市政府决定为创建和谐社会，为民办实事，市政府决定2012年投入10000万元用于改善医疗卫生服务，比2011年增加了2000万元万元..投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），2012年投入“需方”的资金将比2011年提高30%30%，投入“供方”的资金将，投入“供方”的资金将比2011年提高20%.（1）该市政府2011年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？（2）该市政府2012年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预计2013年将有12500投入改善医疗卫生服务，若从2011~2013年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2011~2013年的年增长率的年增长率. .7.7.随着经济的发展，小张所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资随着经济的发展，小张所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.小张2010年的月工资为2000元，在2012年时他的月工资增加到2420元，他2013年的月工资按2010到2012年的月工资的平均增长率继续增长年的月工资的平均增长率继续增长. .（1）小张2013年的月工资为多少？年的月工资为多少？（2）小张看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2013年6月份的工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着他选定的这些工具书去付款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄兑换了，故实际付款比2013年6月份的月工资少了242元，于是他用着242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给了山区的学校.请问，小张一共捐献了多少本工具书？具书？8.8.有一批图形计算器，原售价为每台有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售元，在甲、乙两家公司销售..甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元.以此类推，以此类推，即每多买一台各台单价均再减即每多买一台各台单价均再减20元，元，但最低不能低于每台但最低不能低于每台440元；元；乙公司一律按原价的乙公司一律按原价的75%75%促销促销促销..某单位购买一批图形计算器.（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买化肥较少；（2）若此单位恰好花费7500元.在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？销售方式销售方式粗加工后销售粗加工后销售精加工后销售精加工后销售每吨获利（元）每吨获利（元） 1000 2000。

2021年重庆中考数学第22题新函数图像题专题训练

2021重庆中考数学第22题新函数图像题专题训练1.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y=|2xx−2|的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：(1)请直接写出表中m，n的值，并在图中补全该函数图象；x…−5−4−3−2−1013234567…y=|2xx−2|…1074365m230266n1033145…(2)结合函数图象，直接写出该函数的一条性质；(3)已知函数y=45x+185的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式45x+18 5≥|2xx−2|的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．2.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=−6x−6x2−2x+2性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象：x…−5−4−3−2−1012345…y=−6x−6x2−2x+2…363715132417______12530−3______ −952417…(2)观察函数图象，写出该函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y=−75x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−6x−6x2−2x+2≥−75x+1的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．x3−2x的图象与性质进行探究．3.根据我们学习函数的过程和方法，对函数y=14(1)如表是y与x的几组对应值：则m的值为______ ，n的值为______ ．(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质：______ ．x3−2x≥x，结合图象，直接写出x的取值范围______ ．(3)若144.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=|5xx2+4|性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)补全表：(2)在平面直角坐标系中，补全函数图象，根据函数图象，写出这个函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y=52x−1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于x的方程|5xx2+4|=52x−1的近似解(保留1位小数，误差不超过0.2)．5.探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请结合表中的数据，画图并探究该函数y=−ax2+2的性质．x…−4−3−2−101234…y…−23−1211−2−4−6−4−2−b−23…(1)根据表中数据可得：a=______ ，b=______ ．(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)观察该函数图象，写出该函数图象的一条性质：______ ；(4)已知函数y=−23x−103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−ax2+2≤−23x−103的解集______ ．6.某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=−4x+6(x−2)2的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：x…−3−2−10323456…y (18)2574109m0−6−52n−98…(1)m=______ ，n=______ ；(2)同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点.请你根据描出的点，画出该函数的图象；(3)根据函数图象，写出该函数的一条性质：______ ．(4)结合你所画的函数图象，直接写出不等式−x+2≤−4x+6的解集为______ ．(x−2)27.在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数y 1={2−|x|(x <2)x−2x−1(x ≥2)的图象与性质并利用图象解决如下问题：列出y 1与x 的几组对应的值如表： x…−3−2−1 01234 5 …y … m 0 1 2 1 0 n 2334…(1)根据表格中x 、y 的对应关系可得m = ______ ，n = ______ ；(2)用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：______ ； (3)直接写出当函数y 1的图象与直线y 2=kx +1有三个交点时，k 的取值范围是______ ．8.小明结合自己的学习经验，对新函数y=bkx2+1的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x=0时，y=2；当x=1时，y=1．(1)函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为：______ ．(2)函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m=______ ，n=______ ．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．x…−4−3−2−1−121212n4…y (2)171525m8528512515217…(3)函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质：______ ．(4)综合应用：已知函数y=|715x−815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|7 15x−815|≤bkx2+1．9.根据我们学习函数的过程与方法，对函数y=x2+bx+2−c|x−1|的图象和性质进行探究，已知该函数图象经过(−1,−2)与(2,1)两点，(1)该函数的解析式为______ ，补全下表：(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：______ ．(3)结合你所画的图象与函数y=x的图象，直接写出x2+bx+2−c|x−1|≤x的解集______ ．x|ax+b|(a>0)的图象与性质进行探10.小帆根据学习函数的过程与方法，对函数y=14究．已知该函数图象经过点(2,1)，且与x轴的一个交点为(4,0)．(1)求函数的解析式；(2)在给定的平面直角坐标系中：①补全该函数的图象；②当2≤x≤4时，y随x的增大而______(在横线上填增大或减小)；x|ax+b|的最大值是______；③当x<4时，y=14x|ax+b|有两个交点，则k=______．①直线y=k与函数y=1411.已知函数y=a−b|x−1|(a、b为常数)，当x=1时，y=1；当x=2时，y=0；请对该函数及其图象进行如下探究：(1)求函数的解析式；(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：______；根据函数图象解决下列问题：①若A(m,c)，B(n,c)为该函数图象上不同的两点，则m+n=______；x+k有两个不相等的实数解x1，x2，且x1⋅x2>0，则k的取②若方程a−b|x−1|=12值范围是______．12.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y=x+a，探索函数图象和性质过程如下：x(1)上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a=______ ，m=______ ，n=______ ；(2)如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；(3)由函数图象，写出该函数的一条性质：______ ；(4)请在同一个平面直角坐标系中画出函数y=2x的图象，并直接写出不等式x+ax≤2x 的解集：______ ．13.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y={|x+1|(x≤1)2x(x>1)的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．(1)列表：x…−4−3−2−101234…y…3m10121n 12…其中，m=______，n=______．(2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．(3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A(72,y1)，B(5,y2)，C(x1,52)，D(x2,6)在函数图象上，则y1______y2，x1______x2；(填“>”，“=”或“<”)②当函数值y=1时，求自变量x的值；(4)若直线y=−x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．14.学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，下面我们对函数y ={−2x (x <0)x 3−3x 2+2(x ≥0)的图象和性质进行探究，请将以下探究过程补充完整：(1)选取适当的值补全表格；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象：(2)结合图象，写出该函数的一条性质：______ ； (3)结合这个函数的图象与性质，解决下列问题：①若点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)在这个函数的图象上，且0<x 3<3，−1<x 1<x 2<0，请写出y 1，y 2，y 3的大小关系：______ (用“<”连接)．②若直线y =2a +1(a 是常数)与该函数图象有且只有三个交点，则a 的取值范围为______ ．15. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性质--运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义|a|={a(a ≥0)−a(a <0).小东结合上面的学习过程，对函数y =|32x −3|+12x −5的图象与性质进行了探究．(1)化简函数的表达式：当x ≥2时，y = ______ ，当x <2时，y = ______ ； (2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y =2x (x >0)的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|32x −3|+12x −5=2x 的近似解______ .(精确到0.1)16.已知函数y=a|x−2|+x+b(a,b为常数).当x=3时，y=0，当x=0时，y=−1，请对该函数及其图象进行探究：(1)a=______ ，b=______ ；(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．(3)已知函数y=−x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x−2|+x+b≥−x2+4x+5的解集．17.在画函数图象时，我们常常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象.小明根据学到的函数知识探究函数y1=|ax+4|−b的图象与性质并利用图象解决问题.小明列出了如表y1与x的几组对应的值：(1)根据表格，直接写出a=______ ，b=______ ；(2)在平面直角坐标系中，画出该函数图象，并根据函数图象，写出该函数的一条性质______ ；(3)当函数y1的图象与直线y2=mx−1有两个交点时，直接写出m的取值范围．18.已知y=a|2x+4|+bx(a,b为常数).当x=1时，y=5；当x=−1时，y=3．(1)a=______ ，b=______ ；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数图象；并写出函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y=25的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|2x+ |2x−2|4|+bx=25的近似解(精确到0.1)．|2x−2|。

重庆中考数学22题专项训练

重庆中考数学22题专项训练1. 若反比例函数xky =1过面积为9的正方形AMON 的顶点A ，且过点A 的直线n mx y -=2的图象与反比例函数的另一交点为B （a ,1-）（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求∆AOB 的面积；2. 如图，反比例函数xky =的图象与一次函数b mx y +=的图象交于点(1,3)(,1).A B n -、 (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．3. 已知点A 与点B(-3，2)关于y 轴对称，反比例函数ky x=与一次函数y mx b =+的图象都经过点A ，xyNAM OB且点C(2，0)在一次函数y mx b =+的图象上．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若两个函数图象的另一个交点为D ，求△AOD 的面积．4. 如图，已知反比例函数y =xm的图象经过点A （1，－3），一次函数y = kx + b 的图象经过点A 与点C （0，－4），且与反比例函数的图象相交于另一点B(3,n )．（1）试确定这两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围.5. 如图，O 是坐标原点，直线OA 与双曲线)0(≠=k xk y 在第一象限内交于点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，若OB=4，21=OB AB ． ⑴求双曲线的解析式；⑵直线AC 与y 轴交于点C （0，1），与x 轴交于点D ，求△AOD 的面积．6. 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A B 、两点，过A 作x AC ⊥轴于点.C 已知,2,5AC OC OA ==且点B 的纵坐标为-3．(1)求点A 的坐标及该反比例函数的解析式； (2)求直线AB 的解析式．7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限只有—个交点A ，一次函数的图象与x 轴、y5题图轴分别交于B 、C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，OA=5， ABAD =552. （1）求点A 的坐标及反比例函数解析式；（2）求一次函数的的解析式.8. 如图，已知反比例函数my x=的图象经过点(1,3),A -一次函数y kx b =+的图象经过点A 与点(0,4),C -且与反比例函数的图象相交于另一点(3,).B n(1)试确定这两个函数的解析式； (2)求AOB ∆的面积；(3)根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围.9. 如图，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点，一次函数2y ax b =+的图象经过A C 、两点，并交y 轴于点(0,2),D -且AOD ∆的8题图面积为4.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)请直接写出在y 轴的右侧，当12y y >时，x第9题图10. 如图，已知一次函数12y kx=+的图象与y 轴交于点,C 与反比例函数2my x=的图象相交于点,A 点A 的横坐标为1. 过A 作AD y ⊥轴于点,D 且1=CDAD(1)求这两个函数的解析式及两图象的另一交点B 的坐标；(2)观察图象，直接写出使函数值12y y ≥的自变量x11. 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(3,1),(2,)A B n -两点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于,D C 两点.(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接,AO BO 、求出AOB ∆的面积； (3)请由图象直接写出．．．．，当x 满足什么条件时，一次函数的值小于反比例函数的值？12. 如图，已知一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A B 、两点，且与反比例函数2k y x=交于C E 、两点，点C 在第二象限，过点C 作CD x ⊥轴于点,D 1.OA OB OD === (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求OCE ∆的面积.13. 如图，一次函数1y ax b =+的图象与反比例函数2ky x=的图象交于,A B两点，已知OA =A 点的纵坐标与横之比为1：3，点B 的坐标为3(,).2m -(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)观察图象，直接写出使函数值12y y <成立的自变量x 的取值范围12题图14. 已知如图，AOB ∆的OB 边在x 轴上，︒=∠90OAB ，23==AB OA ，反比例函数xky =1过A 点，一次函数b ax y -=2的图象过A 点且与反比例函数图象的另一交点为C ),1(m -连结OC （1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求OAC ∆的面积（3）根据图象,直接写出当21y y ≥时,x 的取值范围15、已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线AB y mx n =+与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴于C ，OA=5，OC=4，点B 的纵坐标为4- （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB ∆的面积。

初中数学精品试题：中考专项第21、22、23题训练(1)

1．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．2．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．3．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABED为矩形；（2）若AB=4，AD3BC4，求CF的长．4．为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．6．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？7．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．8．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．9．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＞y2．10．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分 6.00 0.80（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a、b的值；（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？11．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．12．如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝kx(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．13．小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；(2)求小明的综合得分是多少？(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？14．如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．15．在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；(2)如图2，当点A的横坐标为12时，①求点B的坐标；②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．16．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是_________阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．参考答案：1．解：（1）设三角形的第三边为x，∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，∴7﹣5＜x＜5+7，∴2＜x＜12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10．（2）∵2＜x＜12，它们的边长均为整数，∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11，∴组中最多有9个三角形，∴n=9；（3）∵当x=4，6，8，10时，该三角形周长为偶数，∴该三角形周长为偶数的概率是．2．解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y=，代入A（1，﹣2）得：﹣2=，解得：m=﹣2，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0，∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：直线x=﹣，要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，∴综上所述，k＜0且x＜﹣；（3）由（2）可得：Q（﹣，k），∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB，作AD⊥OC，QC⊥OC，∴OQ==，∵OA==，∴=，解得：k=±．3．（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。

2015最新重庆中考22题(三角函数)专项训练.doc

2015重庆中考22题型----《三角函数》专项训练1．“村村通公路”工程是国家为支持新农村建设的一项重大举措，为了落实这一举措，重庆潼南县政府计划在南北方向的A ，B 两村之间修建一条公路AB ．已知公路AB 的一侧有C 村，在公路AB 上的M 处测得C 村在M 的南偏东37°方向上，从M 向南走270米到达N 处，测得C 村在N 的东南方向上，且C 村周围800米范围内为油菜花田．那么计划修建的公路AB 是否会穿过油菜花田?请说明理由(参考数据：60037sin ．≈︒， 80037cos ．≈︒，75037tan ．≈︒)．2．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两截互相平行并且与地面成37︒角的楼梯AD 、BE 和一段水平平台DE 拼成，已知天桥高度 4.8BC =米，引桥水平跨度8AC =米.（1）求水平平台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比．（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）3. 一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C 处所需的大约时间．（温馨提示：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6）4. 马航MH 370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A 、B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.50°方向上，在救助船B 的西北方向上，船B 在船A 正东方向140海里处．（参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，ta n 36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P 到A 、B 两船所在直线的距离；（2）若救助船A 、救助船B 分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P 处．5.如图，在笔直的公路l 上有一检查站A ，在观测点B 的南偏西53°方向，且与观测点B 的距离为7.5千米.一辆自行车从位于点B 南偏西 76°方向的点C 处，沿公路自西向东行驶，2小时后到达检查站A.（1）求观测点B 与公路l 的距离；（2）求自行车行驶的平均速度.（参考数据： 252476sin ≈ ，25676cos ≈ ，476tan ≈ ，5453s ≈ in ，5353cos ≈ ，3453tan ≈ ）lP 海岸线 B6. 捍卫祖国海疆是人民海军的神圣职责。

【初三数学】重庆市九年级数学上(人教版)第22章二次函数单元综合练习卷(解析版)

人教版数学九年级上册第22章二次函数单元综合测试（含答案）一、精心选一选（每题3分，共30分）1．若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a ，ac）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若双曲线)0(≠=k xky 的两个分支在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的图象大致是图中的（）3．如图是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（）A ．直线1=xB ．直线2=xC ．直线3=xD ．直线4=x 5．已知函数772--=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A ．47- kB ．047≠-≥k k 且C ．47-≥kD ．047≠-k k 且6．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根xyOxyO xyO O yx DCBAOyx7．现有A ，B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ，小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y=－x 2+4x 上的概率为（） A ．118 B ．112 C ．19 D ．168．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 2）都在函数y=x 2的图象上，则（）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 3 9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③ 第9题图 10. 已知二次函数y x x =++29342，当自变量x 取两个不同的值x x 12,时，函数值相等，则当自变量x 取x x 12+时的函数值与（）。

中考数学专题复习22一元二次方程试题

22一元二次方程时间：2022.4.12 单位：……*** 创编者：十乙州专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 〔m－1〕x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接方法、因式分解法、配方法及公式法，在详细的解题过程中，应结合详细的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x2+1＝3 x.例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是〔〕 A.x ＝0 B.x 1＝0，x 2＝3 C. 1210,3x x == D. 13x = 例4 解方程x 2－2x －2＝0.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】这局部内容主要考察方程的一根求字母的值，或者者是根与系数及判别式相联络的问题.例5 解以下方程，将所得到的解填入下面表格中：〔1〕通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？〔2〕一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0〔p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0〕来说，是否也具备〔1〕中你所发现的规律？假如具备，请你写出规律，并说明理由；假如不具备，请举出反例.例6 假设a是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，且a≠0，那么由此可得求得以下代数式的值恒为常数的是〔〕A.abB. baC.a+bD.a－b专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据详细问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进展取舍.例7 农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2021年政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2021年校舍改造的投入资金是8050.9万元，假设设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，那么根据题意列方程得 .二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.例8 假如〔2m+2n+1〕〔2m+2n－1〕＝63，那么m+n的值是 .例9 解方程〔3x+2〕2－8〔3x+2〕+15＝0.例10 解方程〔x+2〕〔x+3〕〔x－4〕〔x－5〕＝44.例11 先用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0；再求出当x取何值时，代数式x2－6x+10的值最小，最小值是多少.例12 假设实数m，n，p满足m－n＝8，mn+p2+16＝0，那么m+n+p的值是〔〕A.－1B. 0 C例13 解方程3x2+11x+10＝0.例14 解方程〔x－1994〕〔x－1995〕=1996×1997.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，那么平均每年下降的百分率是 .中考真题精选一、选择题1.关于x 的一元二次方程〔a －1〕x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，那么实数a 的值是〔〕A 、－1B 、0C 、1D 、－1或者12.假设一元二次方程式ax 〔x ＋1〕＋〔x ＋1〕〔x ＋2〕＋bx 〔x ＋2〕＝2的两根为0．2，那么|3a ＋4b |之值为何〔〕A ．2B ．5C ．7D ．83.关于方程式88〔x ﹣2〕2=95的两根，以下判断何者正确〔〕 A 、一根小于1，另一根大于3 B 、一根小于﹣2，另一根大于2C 、两根都小于0D 、两根都大于24. 6.某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的选项是〔〕A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=5.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1〔a ，m ，b 均为常数，a ≠0〕，那么方程2(2)0a x m b +++=的解是 .6.1是关于x 的一元二次方程〔m ﹣1〕x 2+x+1=0的一个根，那么m 的值是〔〕 A 、1B 、﹣1C 、0D 、无法确定7.以下方程中是关于x 的一元二次方程的是〔〕A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=8.假设x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．那么m 的值是〔〕A.6B.5C.2D.﹣6二、填空题1.关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，那么m = ，另一个根是． 2. 假设x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，那么a 的值是______. 3.一元二次方程x 2+5x+6=0的根是．一、选择题1.某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的选项是〔〕A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=2.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，假设灰色三角形面积为421平方公分，那么此方格纸的面积为多少平方公分〔〕A 、11B 、12C 、13D 、143.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班一共送了2070张相片，假如全班有x 名学生，根据题意，列出方程为〔〕A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -= 4.亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元，以下所列方程正确的选项是( )A ．128%)1(1602=+aB ．128%)1(1602=-aC ．128%)21(160=-aD ．128%)1(160=-a5.某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值到达了72万元．假设求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x ，依题意可列方程〔〕 A ．72〔x +1〕2=50 B ．50〔x +1〕2=72C ．50〔x ﹣1〕2=72D ．72〔x ﹣1〕2=506.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，假设平面上不同的n 个点最多可确定21条直线．那么n 的值是〔〕 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题1.某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为．2. “十二五〞时期，将建成中西部旅游强，以旅游业为龙头的效劳业将成为推动经济开展的主要动力． 2021年全全年旅游总收入大约1000亿元，假如到2021年全全年旅游总收入要到达1440亿元，那么年平均增长率应为__________．3. 某小区2021年屋顶绿化面积为2000平方米，方案2021年屋顶绿化面积要到达2880平方米．假如每年屋顶绿化面积的增长率一样，那么这个增长率是．4.据调查，某2021年的房价为4000元/m 2，预计2021年将到达4840元/m 2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为〔〕 A ．4000(1+x )=4840 B ．4000(1+x )2=4840C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=48405.某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，假如每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是．6.线段AB的长为a．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．假设正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．那么AE的长为________________．7.“十二五〞时期，将建成中西部旅游强，以旅游业为龙头的效劳业将成为推动经济开展的丰要动力．2021年全全年旅游总收入大约l000亿元，假如到2021年全每年旅游总收入要到达1440亿元，那么年平均增长率应为．8.某城居民最低生活保障在2021年是240元，经过连续两年的增加，到2021年进步到345.6元，那么该城两年最低生活保障的平均年增长率是 .9.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．假设矩形的面积为4m2，那么AB的长度是m〔可利用的围墙长度超过6m〕．10.某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．假设两次降价的百分率一样，设这个百分率为x，那么可列出关于x的方程为．11.如图〔1〕，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路〔横向与纵向垂直〕，把耕地分成假设干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图〔2〕的考虑方式出发列出的方程是．三、解答题1.某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进展挑选分成甲级干果与乙级干果后同时开场销售．这批干果销售完毕以后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开场销售至销售的第x天的总销量y1〔千克〕与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开场销售至销售的第t天的总销量y2〔千克〕与t的关系为y2=a t2+b t，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t 1 2 3y221 44 69〔1〕求a．b的值；〔2〕假设甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，那么卖完这批干果获得的毛利润是多少元？〔3〕问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？〔说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计〕2.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋〞，某加快了廉租房的建立力度．2021年政府一共HY2亿元人民币建立了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年一共累计HY9.5亿元人民币建立廉租房，假设在这两年内每年HY的增长率一样．〔1〕求每年政府HY的增长率；〔2〕假设这两年内的建立本钱不变，求到2021年底一共建立了多少万平方米廉租房．3.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率．〔2〕某人准备以开盘价均价购置一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？4.某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P〔个〕与每个书包销售价x〔元〕满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：假如要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？5.随着人们经济收入的不断进步及汽车产业的快速开展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某HY门统计，2021年底该汽车拥有量为75万辆，而截止到2021年底，该的汽车拥有量已达108万辆．〔1〕求2021年底至2021年底该汽车拥有量的年平均增长率；〔2〕为了保护城环境，缓解汽车拥堵状况，该HY门拟控制汽车总量，要求到2021年底全汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2021年初起，该此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量一样，请你估算出该从2021年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．6.国家HY公布的?商品房销售明码标价规定?，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率；〔2〕某人准备以开盘均价购置一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？7.随着人们经济收入的不断进步及汽车产业的快速开展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某HY门统计，2021年底全汽车拥有量为15万辆，而截止到2021年底，全的汽车拥有量已达21.6万辆．〔1〕求2021年底至2021年底该汽车拥有量的年平均增长率；〔2〕为保护城环境，缓解汽车拥堵状况，从2021年初起，该HY门拟控制汽车总量，要求到2021年底全汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该从2021年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量一样，请你计算出该每年新增汽车数多不能超过多少万辆．8.：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14=0的两个实数根．〔1〕当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；〔2〕假设AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？9.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率．〔2〕某人准备以开盘价均价购置一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？10.某为争创全国文明卫生城，2021年政府对区绿化工程投入的资金是2000万元，2021年投入的资金是2420万元，且从2021年到2021年，两年间每年投入资金的年平均增长率一样.〔1〕求该对区绿化工程投入资金的年平均增长率；〔2〕假设投入资金的年平均增长率不变，那么该在2021年需投入多少万元？11.解方程：0)10553(|4|222=--+--y x y x ．12.知识背景：来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地场出售时，基地要求“杨梅〞用双层上盖的长方体纸箱封装〔上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图〕〔1〕实际运用：假如要求纸箱的高为，底面是黄金矩形〔宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6〕，体积为．①按方案1〔如图〕做一个纸箱，需要矩形硬纸板A 1B 1C 1D 1的面积是多少平方米？ ②小明认为，假如从节材料的角度考虑，采用方案2〔如图〕的菱形硬纸板A 2B 2C 2D 2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．〔2〕拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅〞，但他感觉〔1〕中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．13.汽车产业是我支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2021年我某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2021年，该品牌汽车的年产量到达10万辆．假设该品牌汽车年产量的年平均增长率从2021年开场五年内保持不变，那么该品牌汽车2021的年产量为多少万辆？14.随着经济的开展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的进步员工当年的月工资．尹进2021年的月工资为2000元，在2021年时他的月工资增加到2420元，他2021年的月工资按2021到2021年的月工资的平均增长率继续增长．〔1〕尹进2021年的月工资为多少？〔2〕尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2021年6月份的月工资刚好购置假设干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2021年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购置了甲、乙两种工具书各一本，并把购置的这两种工具书全部捐献给西部山区的．请问，尹进总一共捐献了多少本工具书？15.请阅读以下材料：问题：方程x 2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的2倍。

2017重庆中考数学第22题专题训练(反比例函数)

2017重庆中考数学第22题专题训练（反比例函数）1.如图，在平面直角坐标系中，点A 是反比例函数y=k x（k≠0）图象上一点，AB ⊥x 轴于B 点，一次函数y=ax+b （a≠0）的图象交y 轴于D （0，－2），交x 轴于C 点，并与反比例函数的图象交于A ，E 两点，连接OA ，若△AOD 的面积为4，且点C 为OB 中点．（1）分别求双曲线及直线AE 的解析式；（2）若点Q 在双曲线上，且S △QAB =4S △BAC ，求点Q 的坐标.解：（1）∵D（0，－2），△AOD 的面积为4，∴12•2•OB=4，解得OB=4，2.（2016•成都）如图，在平面直角坐标xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y x的图象都经过点A （2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积．解：（1）根据题意，将点A （2，﹣2）代入y=kx ，得：﹣2=2k ，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x ，将点A （2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA ：y=﹣x 向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B 的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C 的坐标为（4，﹣1），∴S △ABC =×（1+5）×4﹣×5×2﹣×2×1=6．3.如图：直线AB 与双曲线k y x =交于A 、B 两点，直线AB 与x 、y 坐标轴分别交于C 、D 两点，连接OA,若OA=23AOC ∠=，B （-3，m ）。

（1）分别求一次函数与反比例函数式。

（2）连接OB,在x 轴上求点P 的坐标，使 AOP ∆的面积等于AOB ∆的面积。

【决胜】(预测题)中考数学专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)

专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。

旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。

经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。

一. 直线（线段）的旋转问题1. 如图，直线l ：y =y 轴交于点A ，将直线l 绕点A 顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【】A ．y =．y x =．y x =- D ．y x =【答案】B 。

【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，由已知，可求直线y=x、y轴的交点分别为B（1，0），A（0，2.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y x1=+，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x55=-垂直的直线l6的函数表达式。

重庆中考数学应用题训练

重庆中考数学应用题训练22．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分 6.000.80[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量；②水费=自来水费+污水处理费]已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元（1）求a,b的值（2）随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2 %，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？22. 为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25％．(1) 在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2) 若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元?23、今年年初以来，受禽流感影响，家禽销量大幅下滑。

为维护家禽养殖户的利益，政府部门出台了一项补贴政策：自4月1日起，按销量向家禽养殖户每千克补偿2元。

3月份，“嘉祥”养鸡场售出了3000千克鸡；4月补贴政策出台后，“嘉祥” 养鸡场按3月份的每千克售价打八折加紧促销，仍然比3月份少销售了500千克鸡，加上政府补贴，3、4月份共获销售收入80000元。

（1）“嘉祥” 养鸡场3月份出售的鸡的售价是每千克多少元？（2）去年5月“嘉祥” 养鸡场销售收入为52000元，今年5月以来，家禽销售形势更严峻，政府进一步出台补贴政策：除现有的政府补贴外，根据家禽养殖户的规模，每月每户再一次性给予一定数量的政府补贴。

2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB 是O 的直径，35E ∠=︒，则BOD ∠=（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．110︒3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（）A ．倾斜直线B ．抛物线C ．圆弧D ．水平直线4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,A B ，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ，交AB 于点C ，测出40cm 10cm AB CD ==,，则圆形工件的半径为（）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．61︒B ．63︒C ．65︒D ．67︒6．（2024·湖北·中考真题）AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（）A ．40︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB 是O 的直径，若60CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，E 为AD 延长线上一点，128AOC ∠=︒，则CDE ∠等于（）A ．64︒B ．60︒C ．54︒D ．52︒9．（2024·云南·中考真题）如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若AC BC =，36AOC ∠=，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4510．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（）A ．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B ．平分弦的直径垂直于弦CD ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O 中，弦AB 的长为点C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A B C D二、填空题14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB 是O 的直径，位于AB 两侧的点C ，D 均在O 上，30BOC ∠=︒，则ADC ∠= 度．15．（2024·北京·中考真题）如图，O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）.若35D ∠=︒，则C ∠= ︒16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠ ︒．18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是BC 所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是．20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为．21．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是O 的直径，2AB =，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE AB ⊥，将DBE 沿DE 翻折交直线AB 于点F ，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为．22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为，最小值为 .三、解答题23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1，若1BE =，CE =O 的半径；(2)如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答）25．（2024·安徽·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长． 28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．29．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证：BD 是半圆O 的切线；(2)当3BC =时，求AC 的长．30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若AB =5BE =，求O 的半径．31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 经过A 、C 两点，交AB 于点D ，CO 的延长线交AB 于点F ，DE CF ∥交BC 于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若4AC =，tan 2CFD ∠=，求O 的半径．32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥，垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积．33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =， O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD −与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数．(2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =．2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒ 45A ∠=BOC ∴∠故选：C ．2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB 是O 的直径，35E ∠=︒，则BOD ∠=（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．110︒【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出2AOD E ∠=∠．由圆周角定理得到270AOD E ∠=∠=︒，由邻补角的性质求出18070110BOD ∠=︒−︒=°．【详解】解：35E ∠=︒，270AOD E ∴∠=∠=︒，18070110BOD ︒∴∠=−︒=︒．故选：D ．3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（）A ．倾斜直线B ．抛物线C ．圆弧D ．水平直线【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧，故选：C ．4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,A B ，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ，交AB 于点C ，测出40cm 10cm AB CD ==,，则圆形工件的半径为（）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD 的长；设圆心为O ，连接OB ，在Rt OBD △中，可用半径OB 表示出OD 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【详解】解：∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴直线CD 经过圆心，设圆心为O ，连接OB ．Rt 根据勾股定理得：222OD BD OB +=，即：)2221020OB OB −+=，解得：25OB =；5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．61︒B ．63︒C ．65︒D ．67︒6．（2024·湖北·中考真题）AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（）A ．40︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB 是O 的直径，若60CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到90ACB ∠=︒，同弧或等弧所对的圆周角相等得到60CDB A ∠=∠=︒，进一步计算即可解答．【详解】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，60CDB ∠=︒，60A CDB ∴∠=∠=︒，9030ABC A ∴∠=︒−∠=︒，故选：A ．8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，E 为AD 延长线上一点，128AOC ∠=︒，则CDE ∠等于（）A ．64︒B ．60︒C ．54︒D ．52︒ 【详解】解：ABC ∠是圆周角，与圆心角12AOC ∠=又四边形ABCD 是O 的内接四边形，180ADC =︒，又180CDE ADC ∠+∠=︒，64CDE ∴∠=∠︒，故选：A ．9．（2024·云南·中考真题）如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若AC BC =，36AOC ∠=，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4510．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（）A ．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O 中，弦AB 的长为点C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定，再结合特殊角的正弦值，求出O 的OC 为半径，12AD ∴=ABC =∠AOC ∴∠=在ADO △sin AOD ∠sin AD OA ∴=，即O 的半径为5OP =>∴点P 在O 外，故选：C ．12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒ 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC ，由AB 是O 的直径得到90ACB ∠=︒，根据圆周角定理得到20CAB BEC ∠=∠=︒，得到9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒，再由圆内接四边形对角互补得到答案.【详解】解：如图，连接AC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵20BEC ∠=︒，∴20CAB BEC ∠=∠=︒∴9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180110ADC ABC ∠=︒−∠=︒，故选：B13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A B C 2 D 并延长交O 于点F ()SAS ADC EBC ≌，再利用圆周角定理得到函数即可求解．【详解】解：延长AB 并延长交O 于点F∵四边形ABCD 内接于O ，∴ADC ABC ABC CBE ∠+∠=∠+∠∴ADC CBE ∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒︒，DAB ∠是O 的直径，90DCB =︒DCB 是等腰直角三角形，BCAD∴()SAS ADC EBC ≌ACD ECB ∠=∠，AC 2AB AD +=2AB BE AE +==又∵90DCB ∠=︒二、填空题14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB是O的直径，位于AB两侧的点C，D均在O上，30∠=︒，BOC ∠=度．则ADC是O的直径，位于均在O上，∠BOC=︒，15075︒；15．（2024·北京·中考真题）如图，O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若35∠=︒，则C∠=D︒【答案】55【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂径定理得到AB CD ⊥，由BC BC =得到35A D ∠=∠=︒，故903555C ︒︒∠=−=︒．【详解】解：∵直径AB 平分弦CD ，∴AB CD ⊥，∵BC BC =，∴35A D ∠=∠=︒，∴903555C ︒︒∠=−=︒，故答案为：55．16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．∵OB OC =，OBC ∠∴OCB OBC ∠=∠∴180BOC ∠=︒−∠117．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠ ︒．【答案】65【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒−︒=︒，故答案为：65．18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．可证明(ASA ABD AED ≌BCE ∽△，得到BE AB 【详解】解：延长AC ，BD AB 是O 的直径，90ADB ADE ∴∠=∠=︒，∠AD 平分BAD ∴∠=又∵AD =∴(ASA ABD AED ≌25BD DE ∴==，45BE =，10AB =，25BD =，AD ∴=DAC ∠=又∵BAD ∠∴BAD ∠ADB ∠=ABD BEC ∴∽，BE BC AB AD∴=， 451045BC ∴=， 8BC ∴=，19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是BC 所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是．【答案】90︒/90度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得2BOC A ∠=∠，结合三角形内角和定理，可证明2180A OBC OCB ∠+∠+∠=︒，再根据等腰三角形的性质可知OBC OCB ∠=∠，由此即得答案．【详解】A ∠是BC 所对的圆周角，BOC ∠是BC 所对的圆心角，2BOC A ∴∠=∠，180BOC OBC OCB ∠+∠+∠=︒，2180A OBC OCB ∴∠+∠+∠=︒，OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，2180A OBC OBC ∴∠+∠+∠=︒，22180A OBC ∴∠+∠=︒，90A OBC ∴∠+∠=︒．故答案为：90︒．20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为．，设O 的半径为Rt OED 中，由勾股定9=，在Rt AEC 中，由勾股定理即可求解．设O的半径为Rt OED中，由勾股定理得：r，解得：=5==5,OA OE=+AE OA OERt AEC中，由勾股定理得：故答案为：321．（2024·江西·中考真题）如图，AB是O的直径，2⊥，AB=，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE AB 将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．【详解】解：AB为直径，的长为正整数时，时，即DE为直径，∵22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为，最小值为 .与C在ABC 内部时，与C 相切于点在ABC AE 最小，分别画出图形，求出结果即可．90=︒，CA 9045︒=︒，在平面内旋转，与C 相切于点在ABC 内部时，则CD AE ⊥，∴90ADC CDE ∠=∠=︒，∴22231AD AC CD =−=−∵AC AC =，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，DE CD =AE AD =AE 的最大值为AE 与C 相切于点在ABC 外部时，则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴222231AD AC CD =−=−=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒−=︒∠∠∴18045CED CEA =︒−=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，DE CD =AE AD =AE 的最小值为故答案为：三、解答题23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1，若1BE =，CE =O 的半径；(2)如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答） Rt OCE 中，利用勾股定理求解即可；，利用垂径定理等可得出BF =Rt Rt CEO OFB ≌，得出，然后利用平行线的判定即可得证；法二：连接AD ，证明CEO ADB ∽，得出ABD ∠，然后利用平行线的判定即可得证【详解】（1）解∶∵OC OB =，()11802OBC OCB BOC ∠=∠=︒−∠， 2BOC BCE ∠=∠，)90BCE BCE ∠=︒−∠即O 的半径为2）证明：法一：过∴12BF BD =， ∵2BD OE =∴OE BF =，又OC OB =，OEC ∠=∠()Rt Rt HL CEO OFB ≌，COE OBF =∠，BD OC ∥；法二：连接AD ， ∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴22AD AB BD =−=∴1OC CE OE ===，∴CEO ADB ∽，COE ABD ∠=∠，BD OC ∥．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．25．（2024·安徽·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．在ABC中．AB OA==2=AC ABAC的长为26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE是O的直径，点A在O上，点C在BE的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长． BE 是O 的直径，OA OB =ABC ∴∠EAC ∠=CAE ∴∠=CAE ∴∠+OAC ∴∠OA 是O 的半径，是O 的切线；）解：EAC ∠=ABC EAC ∽△，CE AC， 4，，AD 平分BAD \?∴BD DE =BD DE ∴=BE 是O 的直径，90BDE ∴∠=︒，22DE BD ∴==27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长．【答案】(1)作图见详解的值，在直角BCM 中运用勾股定理即可求解．()1Rt BCM Rt BB M HL ≌，1CM B M =，Rt AMW 中，53WM ==AM CM =−是直径，90ACB =︒，Rt ABC 中，2x =（负值舍去）36x ==，Rt BCM 中，【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）． Rt AHP 中，利用正切的定义求出1）证明：如图，连接Rt AHP 中，AH PH， tan606︒=⨯，APH APB −∠29．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证：BD 是半圆O 的切线；(2)当3BC =时，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)2π【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键．（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得30CAB ∠=︒，即可得90ABD??，进而可证得结论；（2）连接OC ，证明OBC △为等边三角形，求得120AOC ∠=︒，利用弧长公式即可解答．【详解】（1）证明：AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 60D ABC ∠=∠=︒，9030CAB ABC ∴∠=︒−∠=︒，18090ABD CAB D ∴∠=︒−∠−∠=︒，BD ∴是半圆O 的切线；（2）解：如图，连接OC ，,60OC OB CBA =∠=︒，OCB ∴为等边三角形，COB ∴∠=180AOC ∴∠=120360AC l ∴=30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若AB =5BE =，求O 的半径．的长，设O 的半径为OD ，∵AB BD =，OA OD =，∴BO 垂直平分AD ，为O 的切线，BE ，为O 的直径，90ADC =︒，∴四边形BHDE 为矩形，BE ；）由（1）知四边形设O 的半径为Rt AOH △解得：3r =即：O 的半径为31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 经过A 、C 两点，交AB 于点D ，CO 的延长线交AB 于点F ，DE CF ∥交BC 于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若4AC =，tan 2CFD ∠=，求O 的半径．DE CFDE CF为O的切线．）过点C作CHACB为等腰直角三角形，42，AH=22【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥，垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积．是O 的半径；是O 的切线；）解：∵C ∠=132CD =DE ，180BDO =︒−∠33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =， O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD −与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示））根据题意得出ABC 是等边三角形，则CE =，设BD ，证明(AAS AFB CDB ≌①当D 在BC 上时，在AD 上截取证明CAB DEB ∽，ABE V AB ⊥于点F ，得出2AB BC =进而即可得出结论；②当D AG ，证明CAB DAG ∽，CAD BAG ∽，同①可得AB =∴ABC 是等边三角形，则∵O 是ABC 的外接圆，AD 是BAC ∠的角平分线，则AD BC ⊥∵四边形ACDB 是圆内接四边形，120CDB ∠=︒DBC =∠=在Rt BDE △中，∴cos30BE BD =︒⋅=∴3BC =，∵AD 是直径，则ABD ?∵AB AB =∴60ADB ACB ∠=∠=∴DBF 是等边三角形，∴BF BD =，则BFD ∠∴120AFB ∠=︒∵四边形ACDB CDB ∠=∴ABC 是等边三角形，则在,AFB CDB 中AFB CDB BAF BCD AB CB ∠=∠∠=∠= ∴(AAS AFB CDB ≌AF CD =，AD BD AD DF −=−AD BD CD −=；3）解：①如图所示，当在AD 上截取DE BD =∵AB AB =∴ACB ADB ??又∵,CA CB DE DB ==∴CAB DEB ∽，则∠AB BC EB BD =即AB BC =又∵ABC EBD ∠=∠ABE CBD ∠=∠ABE CBD V V ∽Rt BCF 中，sin 2BC α⋅=∴2sin2AB BC α=⋅ ∴2sin 2AD BD CD α−=，即②当D 在AB 上时，如图所示，延长∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴180GDA ACB ∠=∠=又∵,CA CB DG DA ==∴CAB DAG ∽，则∴AC AB AD AG =即AC AB =又∵CAB DAG ∠=∠CAD BAG ∠=∠∴CAD BAG ∽CD AC BG AB=， BG BD DG BD =+=同①可得2sin AB AC =⋅CD AC ==34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数．(2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =．可证明ADG AEF ∽，CDA △60AFE =︒，∽，，ADG AEF，=∠，ABD ACDBGD，∽，∵ADG AEFAD GD=，AE EFAD AE=，GD EFAC AE=，BD EF=，AE AC。

中考数学第22题专题训练(圆及平行四边形)

22题如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．娄底市卷（2016）如图，将等腰∠ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到∠A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：∠BCF∠∠BA1D．（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．邵阳市卷（2016）如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF=DE，求证：AE=CF．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．第17题图（1）求证：△AOD ≌△BOC ；（2）求证：AD ∥BC ．如图，在中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，连接AF ，CE . 求证：AF =CE .如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BE=CD ；（2）连接BF ，若BF∠AE ，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD 的面积．如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°<α<90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F。

（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度。

如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O,(1) 求证：△AEO≌△CDO；（2）若∠OCD=30°，AB=3,求△ACO的面积；如图，A，P，B，C是半径为8的∠O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：∠ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。

重庆中考数学专项训练(22题)

xy OABPQ1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1(0)y kx b k =+=/与反比例函数)0(2<=m xmy 交于),2(n A -及另一点B ，与两坐标轴分别交于点D C 、．过A 作AH x ⊥轴于H ，若OH OC 2=，且ACH ∆的面积为9． (1)求一次函数与反比例函数的解析式及另一交点B 的坐标； (2)根据函数图象，直接写出当21y y >时自变量x 的取值范围．2．一个反比例函数xmy =与一次函数b kx y +=的图像有一个交点为A （1，3），一次函数b kx y +=的图像与x 轴相交于B ，且210=OB OA ．（1）求两个函数的解析式；（2）求两个函数图像另一个交点的坐标；（3）直接写出不等式0mkx b x+-≤的解集． 3、如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y kx b k =+≠与反比例函数(0)my m x=≠ 的图象分别交于一、三象限的A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，线段2,OC A =点坐标为(,3)n ，且4cos 5ACO ∠=。

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB ∆的面积。

4. 如图，已知反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点(12，8)，直线y x b =-+经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)． (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连结0P 、OQ ，求△OPQ 的面积． 5如图，直线1:(0)AD y kx b k =+=/交坐标轴于点B 和点C ，交双曲线2(0)my m x==/于点A 和点D ，OB =OC =2，AB =BC ．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）请你连接AO 和DO ，并求出△AOD 的面积． xyA 5 BObkx y += xm y =6．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE x ⊥轴于点E ，2,4,55sin ===∠OE OB ABO ．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OC 、OD ，求三角形COD 的面积． 7、如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx bk =+≠的图象与反比例函数(0)m y x x=<的图象交于第二象限内的A 、B 两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，5,4OA OC ==，点B 的纵坐标为6。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.TPBDCBAPP ADCBA例题与求解【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =34CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . （全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（）A ．1B ．12C ．13D ．14（武汉市中考试题）解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =23. （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠BCA 的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.P【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .求证：PE =PC .（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·PA ，只需证明PE 2= PF ·PA . 证△PEF ∽△PAE ，作出常用辅助线，突破相关角.B【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .求证：1PC =12（1PA +1PB ）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A 级1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 交⊙O 于B 、C 两点，M 是BC 上一点，且PA =6，PB =BM =3，OM =2，则⊙O 的半径为 .（青岛市中考试题） 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点.如果BD ∥CF ，BC =25，则CD = .（四川省竞赛试题）PD（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 、D ，OP ⊥CD 于点P . 若AB =4cm ，AD =8cm ，⊙O 的半径为5cm ，则OP = .（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PA =4，PB =3，PC =6，EA 切⊙O 于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，AE =25，那么PE 的长为 .（成都市中考试题）5．如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM =MC ，若AM =1.5，BM =4，则OC 的长为（） A ．2 6 B ． 6 C ．2 3 D ．2 2（辽宁省中考试题）MD CBAC（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD =13，PD =4，则两圆组成的圆环的面积为（）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线，若AB =12，CD =9，则MD =（）A ．3B ．3 3C ．6D ．6 38．如图，⊙O 的直径AB =10，E 是OB 上一点，弦CD 过点E ，且BE =2，DE =22，则弦心距OF 为（） A ．1 B ． 2C ．7D ． 3（包头市中考试题）B（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC 中，∠C =90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆. （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AD =6，AE =62，求DE 的长.（南京市中考试题）10．如图，PA 切⊙O 于A ，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于E ，已知：BE 2=DE ·EA .求证：（1）PA =PD ；（2）2BP 2=AD ·DE .（天津市中考试题）11．如图，△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD =4DC .已知⊙O 过点C 且与AC 相交于F ，与AB 相切于AB 的中点G .求证：AD ⊥BF .（全国初中数学联赛试题）（第11题图）（第12题图）12．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A . 连结CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连结BD 并延长交边AC 于点F.（1）求证：AD ·AC =DC ·EA ；（2）若AC =nAB （n 为正整数），求tan ∠CDF 的值.（太原市竞赛试题）B 级1．如图，两个同心圆，点A 在大圆上，AXY 为小圆的割线，若AX ·AY =8，则圆环的面积为（） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π（咸阳市中考试题）2．如图，P 为圆外一点，PA 切圆于A ，PA =8，直线PCB 交圆于C 、B ，且PC =4，AD ⊥BC 于D ，∠ABC =α，∠ACB =β. 连结AB 、AC ，则sin αsin β的值等于（） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4（黑龙江省中考试题）βαPAD CB（第1题图）（第2题图）（第3题图）3．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为（）A ．23 B ．22 C ．556 D ．5544．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2 CD的长（武汉市中考试题）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=12，PC=10cm，求△BCD 的面积.（北京市海淀区中考试题）6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是⌒BC的中点.（济南市中考试题）7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）PA DCEACB（第7题图）（第8题图）8．如图，P 为⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证：PB BD =PCCD .（四川省竞赛试题）9．如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在的直线的解析式分别为：y =43x 和y =32534+-x .D 、E 分别为边OC 和AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，其交点为Q ．（1）求证：点Q 为△COP 的外心；（2）求正方形OABC 的边长；（3）当⊙Q 与AB 相切时，求点P 的坐标．（河北省中考试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10．如图，已知BC 是半圆O 的直径，D 是 ⌒AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E . （1）求证：AC ·BC =2BD ·CD ；（2）若AE =3，CD =25，求弦AB 和直径BC 的长.（天津市竞赛试题）11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.证明：AD2=BD·CD.（全国初中数学联合竞赛试题）专题22 与圆相关的比例线段例 1 设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=，由，即=3k10k,得,而AE==8，又BE===16，故AB=AE+BE=24. 例2 C例3 1 提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则由，，，得4=y(y+5x)，. 例4（1）联结OB，OP，可证明△BDC∽△P AE，有.又∵OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD，则CE⊥OC，知CE为☉O的切线，故,有,即PE=PC.例 6 解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得.又由切割线∴，即.解法二：如图2，联结PO 交ST 于D ，则PO ⊥ST .联结SO ，作OE ⊥PB 于E ，则E为AB 的中点，于是.∵C ，E ，O ，D 四点共圆，∴.∵Rt △SPD ∽Rt △OPS ，∴，∴，即.A 级 1. 2. 提示：△BDE ≌△CFE ，DE =EF ，OF =FE =ED ，设OF =x ，则OA =OD =3x ，AE =5x ，由，得，∴. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2)，△AED ∽△ABE ，=.设DE =，BE =2x ，而，解得x =.∴DE =. 10.（1）略（2）.可得PB =BD =PD ，∴PB =PD =DC ，∴又∵BD CD =AD DE ，∴. 11.作DE ⊥AC 于E ，则AC =AE ，AG =DE .由切割线定理得，故,即.∵AB =5DE ，∴,于是.又∠BAF =∠AED =90°，∴△BAF ∽△AED ，于是又∠ABF =∠EAD . ∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD ⊥BE. 12. ⑴如图，连接AD ，AE. ∵∠DAC=∠DAE ，∴△ADC ∽△EAC AD EAAD AC DC EA DC AC⇒=⇒•=•. ⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA ，∴tan ∠CDF=tan ∠DEA=AD AE .由⑴知=AD DC AE AC ，故tan ∠CDF= DCAC.由圆的切割线定理知2AC DC EC =•，而EC=ED+DC ，则()2AC DC DC ED =+.又AC=nAB ，ED=AB ，代入上式得()22n AB DC DC AB =+，即222n 0DC AB DC AB +•-=，故2114n =2DC -+.显然，上式只能取加号，于是214n 1n DC DC tan CDF AC AB +-∠==.B 级1. B2. B3. C4. A5. 提示：1=2AD CD AC tanB CDDB BC===.设AD=x ，则CD=2x ，DB=4x ，AB=5x ，由△PAC ∽△PCB 得，1=2PA AC PC CB =，∴PA=5，又2PC PA PB =•，即()210=555x +，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴1362BCDSCD DB =•=. 6. ⑴略. ⑵连接FB ，证明PF=PE ，∠BFA=∠AFC.7. ⑴能.连接BC ，作∠ACE=∠B ，CE 交AB 于E. ⑵ PB 与⊙O 相切. ⑶C 是PE 的中点.8. 连接OA 、OB 、OC ，则2PA PD PO PB PC =•=•，于是，B 、C 、O 、D 四点共圆，有△PCD ∽△POB ，则=PC PO POCD OB OC= ①，又由POC ∽△PBD 得PO PB OC BD = ②，由①②得PB PCBD CD=. 9. ⑴略 ⑵ A （4,3），OA=5. ⑶P （3，94）. 10. ⑴延长BA ，CD 交于点G ，由Rt △CAG ∽Rt △BDC ，得AC CG BD BC =，即AC BC BD CG •=•，又12DG CD CG ==，故2AC BC BD CG •=•. ⑵由Rt △CDE ∽Rt △CAG ，得CE CDCG AC =，即2545=，解得CE=5，从而AG= ()()222245354CG AC +=--=，GA GB GD GC •=•，即()442545AB +=⨯，解得AB=6，()222261035BC AB AC =+==++.11. 延长AD 交⊙O 于E ，连接PE 、BE 、CE ，∵PA 为⊙O 的切线，PO ⊥AE ，∴PE=PA ，12AD DE AE ==，易证△PAB ∽△PCA ，△PEB ∽△PCE ，∴,AB PA EB PE AC PC EC PC ==，则AB EB AC EC=，即AB EC AC EB •=•，由托勒密定理得=AB EC AC EB AE BC •+••. ∴=AB EC AC EB AD BC •+••，即AB BC AC BC AD EC AD EB==，，有∵∠BAE=∠BCE ，∠CAD=∠CBE ， ∴△ABD ∽△CBE ，△CAD ∽△CBE ，则△ABD ∽△CAD ，∴AD CD BD AD =，故2AD BD CD =•.。

中考数学复习考点题型专题练习22 与二次函数相关的压轴题

中考数学复习考点题型专题练习专题22 与二次函数相关的压轴题解答题1．（2022·湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，14a）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣14a上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣14a叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= 12a ，例如，抛物线y＝12x2，其焦点坐标为F（0，12），准线方程为l：y＝﹣12．其中MF=MN，FH=2OH=1．(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝18x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段AB 分为两段AC 和CB ，使得其中较长一段AC 是全线段AB与另一段CB 的比例中项，即满足：AC AB ＝BC AC 这个数称为“黄金分割”把点C 称为线段AB 的黄金分割点．如图4所示，抛物线y ＝14x 2的焦点F （0，1），准线l 与y 轴交于点H （0，﹣1），E 为线段HF 的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点．当MHMF请直接写出△HME 的面积值．2．（2022·江苏无锡）已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan ∠CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan ∠CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·山西）综合与探究：如图，二次函数213442y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m ．过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)当CEP △是以PE 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)连接AC ，过点P 作直线l AC ∥，交y 轴于点F ，连接DF ．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P ，使得CE FD =，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·四川宜宾）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，其顶点为点D ，连结AC ．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D 的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E ，点F 为抛物线上一动点，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，将点D 向下平移5个单位得到点M ，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求35PF PM +的最小值．5．（2022·湖北恩施）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线2=-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移y x c后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线2=-+交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是y x c否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线2=-+进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公y x c共点时，请直接写出拋物线2y x c=-+平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．B（A在6．（2022·广西玉林）如图，已知抛物线：22y x bx c与x轴交于点A，(2,0)B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线1x=，P是第一象限内抛物线上的任一点．2(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OC 的中点，则POD 能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P 作x 轴的垂线与线段BC 交于点M ，垂足为点H ，若以P ，M ，C 为顶点的三角形与BMH 相似，求点P 的坐标．7．（2022·广西）已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)求点A ，点B 的坐标；(2)如图，过点A 的直线:1l y x =--与抛物线的另一个交点为C ，点P 为抛物线对称轴上的一点，连接PA PC 、，设点P 的纵坐标为m ，当PA PC =时，求m 的值；(3)将线段AB 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN ，若抛物线2(23)(0)y a x x a ++≠=-与线段MN 只有一个交点，请直接写出．．．．a 的取值范围．8．（2022·福建）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx =+经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB 面积是△PAB 面积的2倍，求点P 的坐标； (3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为1S ，2S ，3S ．判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．（2022·贵州黔东南）如图，抛物线2y ax 2x c =++的对称轴是直线1x =，与x 轴交于点A ，()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM x ⊥轴，垂足为点M ，DM 交直线BC 于点N ，是否存在这样的点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F ，使以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022·湖南长沙）若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M Nh -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”． (1)①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式； (2)若函数21y x x=≥（），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值； (3)若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．11．（2022·湖北武汉）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =--的顶点为A ，与y 轴交于点C ，线段CB x ∥轴，交该抛物线于另一点B ．(1)求点B 的坐标及直线AC 的解析式：(2)当二次函数223y x x =--的自变量x 满足2m x m +时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且2p q -=．求m 的值：(3)平移抛物线223y x x =--，使其顶点始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n ，请直接写出n 的取值范围．12．（2022·内蒙古通辽）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为3y x =-．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若12PBCABCS S =，请直接写出点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．13．（2022·山东烟台）如图，已知直线y ＝43x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022·山东聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，对称轴为直线1x =-，顶点为点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接DA ，DC ，CB ，CA ，如图①所示，求证：DAC BCO ∠=∠； (3)如图②，延长DC 交x 轴于点M ，平移二次函数2y x bx c =-++的图象，使顶点D 沿着射线DM 方向平移到点1D 且12CD CD =，得到新抛物线1y ，1y 交y 轴于点N ．如果在1y 的对称轴和1y 上分别取点P ，Q ，使以MN 为一边，点M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q 的坐标．15．（2022·黑龙江齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1，0），B （4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为；(3)点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．16．（2022·湖南）如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，3CE=．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF 向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与BOC∆相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图像上的动点．若过点Q的直线9:()4l y kx m k=+<与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH GK+为定值．17．（2022·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax c a=+≠与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2,0)，顶点C的坐标是(0,4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，N 是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM ，记AOG MOG ，的面积分别为12,S S ．当122S S =，且直线CN AM ∥时，求证：点N 与点M 关于y 轴对称；(3)如图2，直线BM 与y 轴交于点H ，是否存在点M ，使得27OH OG -=．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线443y x =--分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线2518y x bx c =++恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是()0,6，将ACO △绕着点C 逆时针旋转90°得到ECF △，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP EP +取最小值时，点P 的坐标．19．（2022·辽宁锦州）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,(4,0)A B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C -，点P 在抛物线上，连接,BC BP ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE ，记DCE 的面积为1S ，DBP 的面积为2S ，当12S S 时，求点P的坐标；(3)如图2，若点P 在第二象限，点F 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与线段BC 交于点G ，当90PBC CFG ∠+∠=︒时，求点P 的横坐标．20．（2022·辽宁）如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A 和(1,0)B -，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接OD 交AC 于点N ，当DNON的值最大时，求点D 的坐标；(3)P 为抛物线上一点，连接CP ，过点P 作PQ CP ⊥交抛物线对称轴于点Q ，当3tan 4PCQ ∠=时，请直接写出点P 的横坐标．21．（2022·辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++经过点127,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()4,0B ，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上一动点．(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD AB⊥，垂足为D，作PE x⊥轴，垂足为E，交AB于点F，设PDF的面积为1S，BEF的面积为2S，当1249 25SS=时，求点P坐标；(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022·四川广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m=++（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．23．（2022·海南）如图1，抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)(0,3)A C -、，并交x 轴于另一点B ，点(,)P x y 在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积；(3)点Q 在抛物线上，当PDAD的值最大且APQ 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；(4)如图2，作,CG CP CG ⊥交x 轴于点(,0)G n ，点H 在射线CP 上，且CH CG =，过GH 的中点K 作KI y ∥轴，交抛物线于点I ，连接IH ，以IH 为边作出如图所示正方形HIMN ，当顶点M 恰好落在y 轴上时，请直接写出点G 的坐标．24．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和点(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y 轴上是否存在点E，使得BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；∥轴，分别交BC、x轴于(3)如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ y点M、N，当PMC△中有某个角的度数等于OBC∠度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．25．（2022·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=++（b，c是常数）经y x bx c过点(1,0)A，点(0,3)B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P 在x 轴上方时，结合图象，直接写出m 的取值范围；(3)若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P ）的最低点的纵坐标为2m -．①求m 的值；②以PA 为边作等腰直角三角形PAQ ，当点Q 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q 的坐标．26．（2022·黑龙江哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax b =+经过点521,28A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,28B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴交于点C ．(1)求a ，b 的值；(2)如图1，点D 在该抛物线上，点D 的横坐标为2-，过点D 向y 轴作垂线，垂足为点E ．点P 为y 轴负半轴上的一个动点，连接DP 、设点P 的纵坐标为t ，DEP 的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，连接OA ，点F 在OA 上，过点F 向y 轴作垂线，垂足为点H ，连接DF 交y 轴于点G ，点G 为DF 的中点，过点A 作y 轴的平行线与过点P 所作的x 轴的平行线相交于点N ，连接CN ，PB ，延长PB 交AN 于点M ，点R 在PM 上，连接RN ，若35CP GE =，2PMN PDE CNR ∠+∠=∠，求直线RN 的解析式．27．（2022·湖北宜昌）已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 由直线BC 平移得到，与y 轴交于点()0,E n ．四边形MNPQ 的四个顶点的坐标分别为()1,3M m m ++，()1,N m m +，()5,P m m +，()5,3Q m m ++．(1)填空：=a ______，b =______；(2)若点M 在第二象限，直线l 与经过点M 的双曲线ky x=有且只有一个交点，求2n 的最大值；(3)当直线l 与四边形MNPQ 、抛物线22y ax bx =+-都有交点时，存在直线l ，对于同一条直线l 上的交点，直线l 与四边形MNPQ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线22y ax bx =+-的交点的纵坐标．①当3m =-时，直接写出n 的取值范围；②求m 的取值范围．28．（2022·四川达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数22y ax bx =++的图象经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接BC ，在该二次函数图象上是否存在点P ，使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，直线l 为该二次函数图象的对称轴，交x 轴于点E ．若点Q 为x 轴上方二次函数图象上一动点，过点Q 作直线AQ ，BQ 分别交直线l 于点M ，N ，在点Q 的运动过程中，EM EN +的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．29．（2022·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与直线AB 交于点()0,4A -，()4,0B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 下方拋物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC PD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PC PD +取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．30．（2022·江苏苏州）如图，在二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ，BD ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求OBC ∠的度数；(2)若ACO CBD ∠=∠，求m 的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围．。

2023年中考数学压轴题专题22 二次函数与新定义综合问题【含答案】

专题22二次函数与新定义综合问题【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（）；②y＝﹣2x+2（）；③y＝x2（）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．（3）将函数y＝x2﹣8（x≥m）的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．（1）当n＝0时．①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为；②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝．11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：①c的取值范围；②直接写出∠EMN的度数．12．（2022秋•汉阴县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+4交y轴于点C，顶点为D．（1）求点C、D的坐标；（2）定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QM⊥x轴，交x轴于点M，若Q 点的横坐标为x，△QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式．13．（2022•红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．14．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．15．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为，点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q 称为“靶点”．（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a ＝，b＝，c＝；（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P 的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．17．（2022•庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是；（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．18．（2022•香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x 轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA ＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．①求PD的最大值；②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．19．（2022•抚州模拟）我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．特例感知“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；（1）下列结论正确的是（填序号）．①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；③抛物线y1，y2，y3有两个交点．形成概念把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线y n称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，y n．抛物线y n与x轴的交点为A n，B n．探究问题（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，y n都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为．②抛物线y n的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△A n B n∁n是直角三角形？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．③当n≥4时，抛物线y n与x轴的左交点A n，与直线y＝3的一个交点为D n，且点D n不在y轴上．判断A n A n+1和D n D n+1是否相等，并说明理由．20．（2022•兰山区二模）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y ＝x 2+2x ﹣3中，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴G （0，﹣3）；（2）设M （t ，t 2+2t ﹣3），则D （t ，t 2+t ﹣1），N （t ，0），∴NM ＝﹣t 2﹣2t +3，DM ＝t 2+t ﹣1﹣（t 2+2t ﹣3）＝﹣t 2﹣t +2，∴＝＝；（3）存在点F ，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y ＝x 2+2x ﹣3的对称轴为直线x ＝﹣1，∵E 点与H 点关于对称轴x ＝﹣1对称，∴E （﹣2，﹣1），设F （x ，0），①当EG ＝EF 时，∵G （0，﹣3），∴EG ＝2，∴2＝，解得x ＝﹣2或x ＝﹣﹣2，∴F （﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG ＝FG 时，2＝，此时x 无实数根；综上所述：F 点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（，）是函数y ＝x 图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y ＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y ＝图象的“1阶方点”的有②③（填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；故答案为：②③；（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函数经过定点（3，1），在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a＝﹣1；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；当抛物线经过点B时，n＝1；∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（√）；②y＝﹣2x+2（√）；③y＝x2（×）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函数”；③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2不是“极差常函数”，（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到对称轴的距离大于a到对称轴的距离，则当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范围确定4ah的范围即可．【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y＝﹣2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2不是“极差常函数”，故答案为：×；（2）当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为（0，q），当y＝0时，x＝﹣，∴函数与x轴的交点为（﹣，0），∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝x；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x＝，∵b＝a+3，∴x＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a+3≤，∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，∵，∴2a+2﹣＞0，∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，∴≤2a2+5a﹣3≤9，∴≤4ah≤81．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，∴y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵经过点A（﹣2，0），∴k＝（2+h）2，令x＝h，y＝k＝（2+h）2，∴y＝（x+2）2；ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），∴C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为y＝﹣x﹣7．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝6．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝；（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，∴m＝＝6，故答案为：6；（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，解得：m＝±（不合题意，舍去）；③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+或4﹣2．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝﹣1；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝3或﹣1；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c ＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的＝x的根为：x1＝x2系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范围，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，∴p＝3m+6＝3，解得：m＝﹣1，∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，∴m＝，整理得：m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣1，经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，∴m＝3或﹣1；故答案为：﹣1；3或﹣1；（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．∴b﹣1＝4，c＝4，∴b＝5，∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），∴c＝2，∴y＝ax2+bx+2，∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，∵|x1﹣x2|＝2，∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，∵﹣1＜x1＜1，∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3∴﹣3＜x1•x2＜3，∴﹣3＜＜3，∵a＞0，∴a＞，∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，∴．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是（0，0）或（4，4）；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解即可．【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，解得：x1＝0，x2＝4，∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；（2）在函数y＝中，令x＝，解得：x＝2，∴A（2，2），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为4，∴×|b|×|2﹣b|＝4，当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，解得b＝﹣4，当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，解得：b＝8，综上所述，b的值为﹣4或8．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．。