涵盖所有高中数列求和的方法和典型例题

数列的求和

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)

1(1)1()1(11q q

q a q na S n

n （切记：公比含字母时一定要讨论）

2

．

公

式

法

：

222221

(1)(21)

1236

n

k n n n k n =++=++++=

∑L

2

3

3

3

3

3

1

(1)1232n

k n n k n =+⎡⎤

=++++=⎢⎥⎣⎦∑L 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常

见

拆

项公式

：

1

11)1(1+-=+n n n n

；

1111

()(2)22

n n n n =-++

)1

21

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅

（三）例题分析：

例1．求和：①321ΛΛ个

n n S 111111111++++=

②22222)1()1()1

(n

n n x x x x x x S ++++

++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①)110(9

1

10101011112-=

++++==k k

k k a Λ321Λ个

])101010[(9

1)]110()110()110[(9122n S n

n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[

911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++

=n n

n x

x x x x x S Λ n x

x x x x x n n 2)1

11()(242242++++++++=ΛΛ

（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)

1()

1)(1(21)1(1)1(2

2222222222+-+-=+--+--=+---

（2）当n S x n 4,1=±=时

③k k k k k k k k k k a k 2

3

252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=

-+-+++++-=Λ

2

)

1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-

++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n ΛΛΛ )25)(1(6

1

-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。 2．错位相减法求和

例2．已知数列)0()12(,,5,3,11

2

≠--a a

n a a n Λ，求前n 项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列1

2

,,,,-n a a a a Λ对应项积，可用错位

相减法求和。

解：()1)12(5311

2--++++=n n a

n a a S Λ ()2)12(5332n

n

a n a a a aS -++++=Λ

()()n n n

a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---Λ

当n

n n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 2

1)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=

+ 当2

,1n S a n ==时

3.裂项相消法求和

例3.求和)

12)(12()2(5343122

22+-++⋅+⋅=n n n S n Λ 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解: )1

21

121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=

k k k k k k k k k k a k 1

2)

1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=

+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n ΛΛ练习:求n n a n a a a S ++++=Λ32321 答案: ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≠----=+=)1()1()1()1()1(2

)

1(2a a a a n a a a n n S n n

n 4.倒序相加法求和

例4求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++Λ 思路分析：由m

n n m n C C -=可用倒序相加法求和。