多体系统动力学综述
多体系统的动力学特性研究
多体系统的动力学特性研究多体系统的动力学研究是物理学中一个关键领域，涵盖了许多重要的科学和工程应用。
这些系统由许多相互作用的自由度组成，其行为具有复杂性和非线性特性。
在本文中，我们将探讨多体系统动力学研究的一些重要方面，并介绍一些常见的方法和技术。
首先，我们需要了解多体系统中的动力学行为如何受到它的微观结构和相互作用的影响。
这包括粒子间的相互作用力、碰撞、传输过程等。
在许多实际的应用中，我们经常需要研究领域特定的多体动力学模型，如分子动力学、固体力学、流体力学等。
研究多体系统的动力学特性的一个重要方面是探索系统的宏观行为和微观结构之间的关系。
这种关系通常通过建立连续力学模型来实现，例如通过偏微分方程来描述宏观行为。
通过将微观信息转化为宏观描述，我们可以更好地理解系统的非线性行为和相变现象。
在多体系统的动力学研究中，统计力学是一种非常重要的方法。
统计力学研究的是大量微观粒子组成的系统，利用概率分布函数来描述微观状态的出现概率。
统计力学可以解释系统的平衡态和非平衡态，并为系统的动力学性质提供了重要的理论基础。
基于统计力学的方法可以用来计算系统的热力学性质、输运性质和相变等。
另一个重要的多体动力学研究方法是计算模拟。
计算模拟利用计算机来模拟多体系统的运动和相互作用。
通过数值算法和计算技术，我们可以模拟和预测不同尺度下的多体系统的行为。
计算模拟方法已经被广泛应用于材料科学、生物物理学等领域，提供了对复杂系统行为的深入理解。
除了统计力学和计算模拟，实验方法也是多体系统动力学研究中不可或缺的一部分。
实验方法可以用于测量和验证理论模型的预测结果，并为理论研究提供实验数据。
通过实验观察和测量，我们可以获得关于多体系统行为的定量信息，从而更好地理解系统的动态特性。
总之，多体系统的动力学特性研究是一个宽广而充满挑战的领域。
通过深入研究多体系统的微观结构和相互作用，建立宏观描述模型，利用统计力学、计算模拟和实验方法进行研究，我们可以获得对系统行为的深入认识。
多体系统动力学基本理论
第2章多体系统动力学基本理论本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。
通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。
2.1 多体系统动力学研究状况多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。
从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。
本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。
2.1.1 多体系统动力学研究的发展机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。
计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。
数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。
计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。
两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。
多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。
多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。
它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。
多体系统的动力学
多体系统的动力学"多体系统的动力学"可以看作是物理学一个非常基础和核心的研究内容，它是对多个粒子或物体在相互作用下的运动规律进行研究。
多体系统的动力学分析是引力、电磁力等基本物理学科中的常见应用。
首先，我们需要理解多体系统是什么，它通常包含三个或更多的物体，这些物体相互作用并且都有独特的运动。
比如在天文学中，多星系统；在物理学中，离子/电子在原子核周围的运动；在化学领域，分子间的动力反应等等，都可以作为多体系统的相关研究对象。
多体问题的价值并不只仅仅在于理论研究。
它对于理解和预测天文观测结果、理解化学反应机制等有着重要的指导意义，而且与我们日常生活中的许多现象也有着密切的联系。
解析多体系统的动力学，一般会引入牛顿运动定律和万有引力定律等基本定律，而要解决这样的问题通常需要使用菜因公式，拉普拉斯公式等高级数学理论进行分析计算。
数值计算方法，如Monte Carlo方法、分子动力学模拟等也是常用的工具。
然而，值得注意的是，多体问题的求解并不总是那么直接或者容易。
实际上，这是一个非常具挑战性的问题，其中一个主要的困难在于，我们必须同时处理所有物体之间的相互作用，这就导致整个系统的复杂性成倍增加。
想象一下，在一个具有成百上千个粒子的系统中，每一个粒子都可能与其它所有粒子产生相互作用，这将会导致大量的数据计算。
进一步地，对于量子多体系统，该系统的动力学求解更为复杂。
传统的量子力学理论无法直接解决这类问题，因为该类问题涉及到量子纠缠和量子干涉等现象，这种无法使用经典物理量描述的现象就造成了该类问题求解的困难性。
尽管如此，多体系统动力学的理论研究已经取得了一些重要成果，包括但不限于量子多体局域化、由多体相互作用引起的量子阶段过渡等领域已经取得了重要的理论突破。
对于更多阶段上的理论和数字模拟以及对实验的剖析，我们都可能得到更多新的理解和见解。
总的来说，多体系统动力学是一门既深奥又广泛的学科。
多体系统的动力学分析
多体系统的动力学分析动力学是研究物体的运动及其产生的原因的学科，对于多体系统的动力学分析，我们需要探究不同物体之间的相互作用以及它们的运动规律。
在这篇文章中，我们将介绍多体系统的动力学分析方法，以及它在不同领域的应用。
1. 多体系统的描述多体系统是由多个物体组成的系统，物体之间可以通过各种相互作用力进行作用。
为了对多体系统进行动力学分析，我们首先需要对每个物体的位置、质量、速度等进行描述。
在经典力学中，可以通过使用牛顿第二定律 F = ma 来描述物体的运动，其中 F 是物体所受的合外力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。
2. 多体系统的相互作用在多体系统中，物体之间可以通过万有引力、电磁力、弹性力等多种相互作用力进行作用。
这些相互作用力是决定多体系统运动规律的重要因素。
在进行动力学分析时，我们需要考虑物体之间的相互作用力，并利用牛顿定律求解物体的运动轨迹。
3. 动力学分析方法在对多体系统进行动力学分析时，我们可以采用多种方法来求解物体的运动规律。
其中，最常用的方法之一是利用微分方程求解。
我们可以根据牛顿第二定律及物体之间的相互作用力建立运动微分方程，然后通过求解微分方程得到物体的位置、速度、加速度的函数关系。
另外，还有一些其他的动力学分析方法，如拉格朗日方法、哈密顿方法等。
这些方法可以根据系统的自由度来建立系统的拉格朗日函数或哈密顿函数，并利用变分原理求解系统的运动方程。
4. 多体系统的应用多体系统的动力学分析在物理学、工程学、天文学、生物学等众多领域都具有重要应用。
在物理学中，通过对多体系统的分析，可以研究宏观物体的运动规律，如行星运动、机械振动等。
在工程学中，动力学分析可以用于设计复杂结构的机械系统、车辆运动仿真等。
在天文学中，动力学分析可以研究星系、恒星运动，以及天体之间的相互作用。
在生物学中，动力学分析可以用于模拟生物体的运动、神经信号传递等。
总结：多体系统的动力学分析是研究物体运动及其相互作用的重要工具。
机械系统的多体动力学特性分析
机械系统的多体动力学特性分析机械系统的多体动力学特性分析是一项重要的工程任务，对于机械设计和优化具有十分重要的意义。
本文将介绍机械系统的多体动力学，包括多体系统的概念、多体动力学的基本原理和分析方法。
一、多体系统的概念机械系统通常由多个物体组成，物体之间通过连接件相互作用。
这种由多个物体组成的系统称为多体系统。
例如，汽车由车身、发动机、轮胎等多个物体组成，它们通过悬挂系统、引擎传动系统等连接件相互作用。
多体系统的运动受到多个因素的影响，如质量、惯性力、阻尼、刚度等。
二、多体动力学的基本原理多体动力学是研究多体系统运动的力学学科。
在多体系统中，各个物体之间的相互作用力导致系统的运动发生变化。
多体动力学的基本原理有三个：1. 牛顿第二定律：物体受到的合外力等于物体质量乘以加速度，即F=ma。
根据牛顿第二定律，可以计算出物体受力后的加速度，从而推导出物体的运动轨迹。
2. 运动方程：多体系统中的每个物体都有其运动方程，即引力定律和牛顿运动定律。
根据物体受力情况，可以建立物体受力方程，从而求解出物体的运动状态。
3. 能量守恒定律：在多体系统中，能量总是守恒的。
根据能量守恒定律，可以通过分析系统的动能和势能之间的转化关系，来预测系统的运动状态。
三、多体动力学分析方法多体动力学分析包括建立多体系统的数学模型和求解系统的运动方程两个步骤。
常用的多体动力学分析方法有以下几种：1. 拉格朗日方程法：拉格朗日方程法是一种广泛应用于多体系统动力学分析的方法。
该方法基于拉格朗日力学原理，将物体的位置坐标和动力学量作为系统的广义坐标和广义速度，建立系统的拉格朗日函数。
通过对拉格朗日函数求极值，可以得到系统的运动方程。
2. 牛顿-欧拉方程法：牛顿-欧拉方程法是一种基于牛顿力学原理的多体动力学分析方法。
该方法基于牛顿第二定律，通过求解物体的受力方程，得到物体的运动方程。
3. 正交化混合方法：正交化混合方法是一种将系统的运动方程离散化的方法。
edem多体动力学
edem多体动力学Edem多体动力学是一种用于模拟和分析多体系统运动的计算方法。
它可以应用于各种领域，包括机械工程、材料科学、生物医学等。
本文将介绍Edem多体动力学的基本原理和应用。
我们来了解一下多体系统。
多体系统是由多个物体组成的系统，每个物体都有自己的质量、形状和运动状态。
在传统的力学分析中，我们通常将多体系统简化为单个物体或刚体，并假设物体之间没有相互作用。
然而，在现实世界中，许多系统都是由多个物体组成的，它们之间存在着复杂的相互作用关系。
因此，为了更准确地描述和预测多体系统的行为，我们需要使用多体动力学方法。
Edem多体动力学是一种基于颗粒动力学原理的计算方法。
它将物体视为由大量微观粒子组成的集合体，每个粒子都有自己的质量、位置和速度。
通过模拟粒子之间的相互作用力和碰撞过程，可以准确地预测多体系统的运动和变形行为。
在Edem多体动力学中，粒子之间的相互作用力可以通过多种模型来描述，比如弹簧模型、接触模型等。
这些模型可以根据物体的性质和相互作用方式进行选择和调整。
通过对粒子之间的相互作用力进行计算，可以得到系统的总体力学行为。
除了相互作用力，碰撞也是多体系统中重要的现象。
在Edem多体动力学中，碰撞过程可以通过考虑粒子之间的弹性碰撞或非弹性碰撞来模拟。
通过调整碰撞的参数，可以准确地描述物体之间的能量转换和变形过程。
Edem多体动力学可以应用于各种实际问题的模拟和分析。
在机械工程中，它可以用于研究机械零件的磨损和破坏行为，优化设计和改进制造工艺。
在材料科学中，它可以用于模拟颗粒材料的变形和断裂行为，研究材料的力学性能和耐久性。
在生物医学领域，它可以用于模拟人体组织和器官的力学响应，研究人体运动和损伤机制。
Edem多体动力学是一种强大的工具，可以用于模拟和分析多体系统的运动行为。
它的应用范围广泛，可以帮助我们更好地理解和预测物体的力学行为。
随着计算能力的不断提高，Edem多体动力学将在更多领域发挥重要作用，为科学研究和工程应用提供有力支持。
多体系统动力学研究进展
2、柔性多体系统动力学在工程 中的应用
柔性多体系统动力学在工程中的应用广泛，主要涉及航天器、机器人、车辆等 领域。例如，在航天器领域，研究人员通过实验研究柔性多体系统动力学在空 间展开、飞行姿态调整等方面的应用，得出了许多有价值的结论。在机器人领 域，柔性多体系统动力学被用于研究机器人的柔性和灵活性，以提高机器人的 运动性能和适应性。在车辆工程领域，柔性多体系统动力学被用于研究车辆的 悬挂系统、空气悬架等方面的性能优化。
论创新、应用拓展、计算能力提升和跨学科合作等方向发展。然而，仍存在一 些挑战和问题需要解决，例如模型复杂性和计算效率问题以及特定领域应用中 的特殊问题等。未来可以通过模型简化、应用特定问题特定解决以及算法优化 等措施加以解决。
参考内容
摘要
本次演示对柔性多体系统动力学实验研究进行了综合性评述，概括了研究现状、 主要成果及不足之处，为进一步深入研究提供参考。首先介绍了柔性多体系统 动力学的基本原理和算法，其次从不同角度详细综述了其在工程中的应用，最 后总结了实验数据的采集和分析方法。
3、柔性多体系统动力学实验数 据的采集和分析方法
实验数据的采集和分析是柔性多体系统动力学实验研究的重要环节。数据采集 方法主要包括传感器测量和高速摄像机拍摄等。其中，传感器测量主要用于测 量柔性体的变形、应力、振动等物理量，而高速摄像机拍摄则主要用于捕捉柔 性体的动态行为。数据分析方法主要包括信号处理、统计分析、数值模拟等。 这些方法通过对实验数据的处理和分析，提取出柔性多体系统的动力学特征和 性能指标，以便进行深入的研究。
（1）模型简化：通过对模型进行合理简化和假设，降低模型的复杂性和计算 量，提高计算效率。
（2）应用特定问题特定解决：针对不同领域和应用中的特殊问题，采用针对 性的数学模型和求解方法，提高模型的准确性和应用效果。
多体系统动力学研究进展
多体系统动力学研究进展引言：多体系统动力学是一门研究多体系统在时间和空间上变化的学科，其研究内容包括多体系统的运动规律、相互作用力、能量传递和宏观性质等。
随着计算机技术和数值方法的不断发展，多体系统动力学研究取得了显著进展。
本文将介绍多体系统动力学研究的一些重要进展，并展望未来的发展方向。
一、基础理论的研究进展多体系统动力学的基础理论主要包括牛顿力学、哈密顿力学和拉格朗日力学等。
在过去的几十年里，学者们对这些理论进行了深入研究，提出了许多新的观点和方法。
首先，研究者们对传统的牛顿力学进行了扩展和改进。
传统的牛顿力学只适用于质点系统，而对于刚体系统或连续体系统，其运动方程相对复杂。
因此，研究者们提出了广义牛顿力学，通过引入刚体的自由度或连续体的本构关系，推广了牛顿力学的应用范围。
其次，研究者们在哈密顿力学和拉格朗日力学的基础上，提出了变分原理和微分几何的方法。
这些方法不仅能够简化多体系统的运动方程，还能够揭示系统的守恒量和稳定性等重要性质。
例如，通过变分原理，可以导出哈密顿力学和拉格朗日力学的运动方程，从而实现了理论的统一。
最后，研究者们引入了混沌理论和非线性动力学的方法，研究了多体系统的非线性行为和复杂性质。
混沌理论认为微小的初始条件变化可能导致系统在长时间演化中出现完全不同的行为，而非线性动力学则研究了系统可能出现的各种非线性现象，如周期解、混沌解和分岔等。
二、仿真方法的研究进展随着计算机技术的飞速发展，仿真方法在多体系统动力学研究中的应用日益广泛。
仿真方法是基于数值计算的方法，通过求解多体系统的运动方程，模拟系统的时间演化和宏观行为。
在传统的仿真方法中，常用的有数值积分法和蒙特卡洛法。
数值积分法是使用数值积分技术，将连续的运动方程离散化为离散的差分方程，通过迭代求解差分方程，可以得到系统的时间演化过程。
蒙特卡洛法是通过随机数的产生和统计分析的方法，模拟多体系统中的随机过程和统计行为。
除了传统的仿真方法外，还出现了许多新的方法和技术。
多体系统动力学1-绪论.
2019年8月25日
多 体
多体系统的定义
系
统
动
力
学
一 基 本 概 念
多 体
多体系统的定义
系
统 动
以一定的联接方式互相关联起来的多个物体构成的系统称
力 为多体系统。[体与体间一般有相对运动（刚体运动）]
学
一
基 本 概
如果多体系统中所有的体均为刚体，则称该系统为多刚体 系统；反之则称为柔性多体系统。
基 柔性多体系统动力学：
本 概 念
陆佑方，柔性多体系统动力学 黄文虎，多柔体系统动力学 Ahmed A. Shabana，Dynamics Of Multibody Systems
多 体 系 统 动 力 学
一 基 本 概 念
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一
约束系统：分析力学
基
动力学方程的求解：计算力学
本
概
运动的控制：控制理论
念
多 体
多体系统动力学
系
统
动
力
学
一 基 本 概 念
多 体
多体系统动力学的研究方法
系
统 动
刚体运动的描述： 欧拉角
四元数
力
学 所使用的力学原理： 牛顿力学 分析力学 Kane方程
约束的处理：
广义坐标
广义坐标+乘子
一
基 运动关系的描述： 相对运动
念 机座或滑块不作为体时的外力？
4.力元(Force element)：体间的相互作用力
体间的作用关系既可以通过运动约 束来限制，也可以通过力来限制
约束与力的等价
多 体
多体系统动力学
系
统 动
多体系统动力学是一般力学学科的一个重要分支。
多体系统动力学简介20081202
多体系统动力学简介多体系统动力学研究对象——机构工程中的对象是由大量零部件构成的系统。
在对它们进行设计优化与性态分析时可以分成两大类一类为结构——正常工况下构件间没有相对运动（房屋建筑，桥梁等）——关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定一类为机构——系统在运动过程中这些部件间存在相对运动（汽车，飞机起落架。
机器人等）——力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统多体系统动力学俄研究的对象——机构（复杂机械系统）不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其变化速度和加速度的关系典型案例：平面和空间机构的运动分析系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起数学模型：各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力典型案例：机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，整车设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为平稳性与操纵稳定性的研究打下基础数学模型：非线性微分代数方程组讨论载荷和系统运动的关系研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题动力学正问题——已知外力求系统运动的问题动力学逆问题——已知系统运动确定运动副的动反力，是系统各部件强度分析的基础动力学正逆混合问题——系统的某部分构件受控，当它们按照某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动数学模型：非线性微分代数方程组机械系统的多体系统力学模型在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需要建立它的多体系统力学模型。
对系统如下四要素进行定义：•物体•铰链•外力（偶）•力元实际工程中的机械系统多体系统力学模型的定义取决于研究的目的模型定义的要点是以能揭示系统运动学与动力学性态的最简模型为优性态分析的求解规模与力学模型的物体与铰的个数有关物体——定义多体系统中的构件定义为物体多体系统力学模型中物体的定义并不一定与具体工程对象的零部件一一对应。
多体系统动力学计算方法概述
多体系统动力学计算方法概述一些动力学软件处理机械系统动力学问题时，根据系统不同特性选择不同求解方法：对于刚性系统，直接进行微分代数方程（DAE）求解；对于高频系统，则通过坐标分离法简化DAE方程为常微分方程（ODE），再进行求解。
一、DAE求解方法通过引入u＝，将多体系统动力学方程改成一般形式如下：定义状态变量y＝［q T u TγT］T，式（1.39）可进一步写为单一矩阵方程：DAE通常具有强非线性、刚性特点，一些动力学软件采用的是变系数的向后微分公式（BDF）刚性积分方法，提供了GSTIFF、WSTIFF 和CONSTANT_BDF多种刚性积分器。
BDF刚性积分方法是一种预估校正法，在每一步积分求解时均使用了修正的牛顿－拉夫森（Newton －Raphson）迭代法，其求解过程如下。
1.预估阶段首先，根据泰勒级数预估下一时刻的系统状态值，泰勒展开式为式中，h＝t n＋1－t n为时间步长。
通常，这种预估算法得到的下一时刻系统状态并不准确，可以使用向后差分积分方法进行校正。
在此使用Gear积分方法进行校正：式中，y n＋1是t＝t n＋1时刻的近似值；β0和αi均是Gear积分方法的参数。
2.校正阶段将预估的状态值y代入系统动力学方程g（y，，t）＝0进行验证，如果满足g＝0，那么y即为方程的解。
否则采用修正的Newton －Raphson法进行迭代求解，其迭代校正表达式为式中，J为系统的雅可比（Jacobian）矩阵。
3.误差控制阶段将预估和校正值间的误差与误差精度比较，如果小于规定的误差精度，进行下一时刻的计算求解。
否则舍弃此解，并且优化积分步长和阶数，重新由第一步开始进行预估－校正步骤。
当达到设定的仿真结束时间，停止计算。
二、ODE求解方法对于多数类型的多体系统动力学方程，将其转换为n维一阶常微分方程组为因此，仿真计算的直接数值方法可归纳为对常微分方程组初值问题的求解。
利用欧拉方法，通过化导数为差商可将式写为1.龙格-库塔法作为求解非线性常微分方程重要的一类隐式或显式迭代法，龙格－库塔法（Runge－Kutta）仅需已知一阶导数值，可由式求得。
多体系统的动力学分析与控制方法研究
多体系统的动力学分析与控制方法研究摘要：多体系统是由多个物体相互连接而成的复杂系统，其动力学行为对于许多工程领域具有重要的意义。
本文将深入探讨多体系统的动力学分析与控制方法的研究进展，并对未来的发展方向进行展望。
一、介绍多体系统是由多个质点或刚体组成的系统，通过杆、弹簧、绳索等物体相互连接而成。
多体系统的运动受到各个物体之间的约束和外力的作用影响。
多体系统的动力学分析和控制方法研究对于机械、土木、航空航天等领域的工程设计和优化具有重要意义。
二、多体系统的动力学分析多体系统的动力学分析是研究多个物体在相互作用力的作用下所受到的力学约束和运动规律。
通过建立多体系统的运动学和动力学方程，可以对多体系统的运动进行深入分析。
在多体系统的动力学分析中，涉及到刚体运动学、刚体动力学、力学约束等方面的研究。
三、多体系统的控制方法在许多工程领域，为了保证多体系统能够按照既定的轨迹和速度进行运动，需要对多体系统进行控制。
多体系统的控制方法研究主要包括建立控制方程、选择合适的控制策略和设计控制器等方面。
常用的多体系统控制方法包括PD控制、模糊控制、自适应控制等。
四、多体系统动力学分析与控制方法的应用多体系统的动力学分析和控制方法在许多工程领域具有广泛的应用。
在机器人领域，多体系统动力学分析可以帮助实现机器人的运动规划和轨迹控制；在航空航天领域，多体系统控制方法可以用于设计和控制飞行器的姿态和轨迹；在汽车工程领域，多体系统动力学分析可以用于研究车辆的悬挂系统和行驶稳定性等。
五、多体系统动力学分析与控制方法的挑战和发展方向虽然多体系统的动力学分析和控制方法已经取得了一定的研究进展，但仍然存在一些挑战和待解决的问题。
例如，在大规模多体系统的动力学分析方面，如何有效地降低计算复杂度是一个重要的挑战；在多体系统的非线性控制方面，如何设计更加鲁棒和高效的控制方法也是一个重要的发展方向。
未来的研究可以侧重于模型简化和优化算法设计等方面。
车辆系统刚柔耦合多体动力学的发展综述
车辆系统刚柔耦合多体动力学的发展综述摘要：随着科技的发展，货物列车的轻量化设计成为趋势。
采用轻型部件可以显著地降低车辆的质量，达到了货车重载、低动力的目标。
轻型部件的刚度小，采用传统刚体模型不能准确模拟实际性能。
本文介绍了刚柔耦合多体动力学的发展，研究证明刚柔耦合模型可以比较准确的模拟实际车辆的性能。
关键词：重载货车、刚柔耦合、多体动力学1引言重载货车的大轴重转向架的低动力设计以及车体的轻量化设计都要求尽量地降低质量，所以在重载货车设计中应用了大量轻型部件。
传统的车辆动力学仿真计算将车辆中的各个部件均考虑为刚体，根据实际情况，刚体之间、刚体与固定坐标系之间用铰接、力元等联系起来，以此建立车辆动力学模型进行仿真计算。
由于轻型部件的刚度比以前的小，而车辆运行速度的提高，部件之间的作用力增大，所以这些部件在车辆运行的过程中会产生相对较大的弹性变形。
所以这种将所有部件全部考虑为刚体建立的模型不能准确地反映现代新设计的车辆的性能。
因此，将车辆结构中一些刚度比较小、在运行过程中可能发生弹性变形的一些部件考虑为柔性体，其它部件仍考虑为刚体，以此建立的车辆系统刚柔耦合多体动力学模型可以更准确的模拟实际车辆的性能。
这种方法在车辆动力学模拟及部件疲劳寿命预测中得到了广泛应用。
2刚柔耦合多体动力学原理多体系统是由若干刚体或柔体通过力元或铰连接而成的一个完整系统。
多体系统的基本元素包括：惯性体、力元、约束和外力(偶)。
多体系统动力学主要应用在机构的静力学分析、特征模态分析、线性响应分析、运动学分析和动力学分析等，主要是应用计算机技术进行复杂机械系统的动态仿真分析。
柔性多体系统动力学主要研究客体本身刚度较低、受冲击易发生变形或客体的附属部件刚度较大而本身刚度较低，在进行耦合之后，会产生弯曲、变形等特征的大型动力学系统，分析动力学特性时需要考虑其弹性振动的影响。
由于柔性体上任意两点的位移在受到外界激励的情况下会发生位移变化，所以，多柔体系统不但需考虑零部件之间连接元件的刚度、阻尼等特性，还需要考虑部件本身结构的变化特征。
多体系统动力学特性研究与分析
多体系统动力学特性研究与分析引言：多体系统是指由多个物体相互作用组成的系统。
多体系统动力学特性研究与分析主要目的是研究系统的运动规律、稳定性和可控性等问题，为工程实践中的系统设计和优化提供理论支持。
本文将从多体系统的建模方法、运动规律分析和稳定性研究等方面进行论述，旨在深入探讨多体系统动力学特性的研究与分析方法。
一、多体系统建模方法多体系统的建模方法主要包括几何建模和数学建模两个方面。
1.几何建模几何建模是指将实际多体系统映射为几何模型，以描述物体之间的相对位置关系和运动方式。
常用的几何建模方法包括多体图、多体坐标系、多体图象和多体仿真等。
其中，多体图是指将各个物体抽象为节点，相互作用关系抽象为边，形成图形化表示。
多体坐标系是通过设定合适的坐标系对多体系统进行描述和计算。
多体图象是将多体系统的几何模型用图形进行表示，以展示物体之间的相对位置关系。
多体仿真是通过建立数学模型和运动学方程，模拟多体系统的运动和相互作用过程。
2.数学建模数学建模是指通过建立多体系统的运动学和动力学方程，以描述物体的运动规律和相互作用力学。
常用的数学建模方法包括拉格朗日方法、哈密顿方法和牛顿-欧拉方法等。
其中，拉格朗日方法是通过引入广义坐标和拉格朗日函数，对多体系统进行建模和计算。
哈密顿方法是将拉格朗日方程变换为哈密顿方程，通过引入广义动量和哈密顿函数，对多体系统进行描述和计算。
牛顿-欧拉方法是直接应用牛顿定律和欧拉公式，对多体系统的运动规律进行建模和计算。
二、多体系统的运动规律分析多体系统的运动规律分析是研究多体系统的运动方式和轨迹，以探究运动的特性和规律。
常用的运动规律分析方法包括状态变量分析、速度变量分析和加速度变量分析等。
1.状态变量分析状态变量分析是指对多体系统的位置和姿态等状态变量进行分析，以揭示运动规律。
状态变量包括位置、速度、加速度等，可以通过建立运动学方程进行分析和计算。
状态变量分析可以得到各个物体的位置和方向等信息，进而研究多体系统的运动轨迹和运动方式。
多体系统多物体运动系统的动力学分析
多體系統多物體運動系統的動力學分析在多体系统多物体运动系统的动力学分析中，我们需要考虑多个物体之间的相互作用以及各个物体的运动状态。
本文将通过对多体系统的动力学原理和公式进行分析，来揭示多体系统在不同外力作用下的运动规律。
一、多体系统动力学原理多体系统的动力学分析基于牛顿第二定律，即力等于物体质量与加速度的乘积。
对于一个多体系统，我们可以根据每个物体所受到的力和加速度来推导出系统的运动状态。
以两个物体的运动为例，假设两个物体分别为A和B，它们受到的外力分别为FA和FB，质量分别为mA和mB，加速度分别为aA和aB。
根据牛顿第二定律可得以下公式：FA = mA * aAFB = mB * aB通过上述公式，我们可以得出物体A和B的加速度。
在实际应用中，我们可以通过给定的外力和质量来求解多体系统中各个物体的运动状态。
二、多体系统的运动规律在多体系统的动力学分析中，我们除了考虑物体之间的相互作用外，还需要考虑各个物体本身的运动规律。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受到的力成正比，质量成反比。
因此，对于一个多体系统，不同物体的质量大小会影响它们的运动规律。
在描述多体系统的运动规律时，我们通常使用位移、速度和加速度来描述物体的运动状态。
位移描述了物体在一定时间内的位置变化，速度描述了物体在单位时间内的位移变化，而加速度则描述了物体在单位时间内速度的变化。
可以通过对位移、速度和加速度的分析，来揭示多体系统中各个物体的运动规律。
三、多体系统的受力分析在多体系统的动力学分析中，受力分析是十分重要的一步。
各个物体所受到的外力决定了它们的运动状态。
在进行受力分析时，我们需要考虑到多个方面的因素，包括重力、摩擦力、弹力等。
重力是一种普遍存在的力，在受力分析时必须要考虑。
它是因为地球质量的存在而产生的一种重力作用力。
对于一个多体系统，各个物体受到的重力大小与物体的质量成正比。
另外，摩擦力是物体在接触面上的力。
它是由于物体表面的粗糙程度而产生的一种摩擦作用力。
多柔体系统动力学理论概述
多柔体系统动力学理论概述考虑部件柔性效应的多体系统称为多柔体系统。
多柔体系统动力学主要研究部件的大范围刚体运动和部件本身的弹性形变互相耦合作用下的系统动力学响应。
它是多刚体系统动力学的自然发展，同时也是多学科交叉发展而产生的新学科。
多柔体系统动力学在某种特定假设下可以退化为多刚体系统动力学和结构动力学问题，但其本质是一个高度非线性的耦合复杂问题。
对于多柔体系统动力学建模方法和数值求解的研究，目前已取得了不少成果。
其主要思想是基于多刚体系统动力学，对柔性结构变形进行描述，通常使用有限段方法和模态综合法，在对位形的描述上又分为相对坐标方法和绝对坐标方法。
有限段方法仅适用于细长结构体，其本质是用柔性梁描述结构体的柔性效应，即将柔性结构体离散成有限段梁，每段梁之间用扭簧、线弹簧和阻尼器连接，建立梁段间相对角速率和体间相对（角）速度的广义速率的动力学方程。
模态综合法适合小变形大规模多体系统分析，其将柔性结构体等效成有限元模型节点的集合，将柔性结构体变形处理成模态振型的线性叠加。
同时，每个节点的线性局部运动近似看为振型和振型向量的线性叠加。
一、柔性体运动学描述假设某柔性体如图1所示，在柔性体上建立随体坐标系Oxyz。
图1 柔性体上节点P的位置则在全局坐标系中表示节点P的矢径的列阵为式中，u′o为物体变形时P点相对于o点位矢动坐标的列阵，为常数列阵；u′f为P点相对位移矢量在动坐标系中的列阵。
应用模态综合法，u′f可以表示为式中，Φ＝［Φ1Φ2…ΦN］为模态向量矩阵；q f＝［q f1q f2…q fN］为模态坐标。
将其代入可得对式（1.31）求一阶导数和二阶导数，得到P的速度和加速度表达式：二、多柔体系统的动力学方程本小节使用第一类Lagrange方程建立多柔体系统的动力学方程。
1.柔性体的动能柔性体的动能用广义速度表达为式中，ρ和V分别为柔性体密度还有体积；为柔性体上一点的绝对速度；为广义速度；M为质量（mass）矩阵，可以写成分块形式：2.柔性体的弹性势能柔性体的弹性势能可以由模态刚度矩阵表示：3.阻尼力阻尼力的大小和广义速度相关，通过损耗函数对广义速度的偏导数得到。
多体系统动力学基本理论
多体系统动力学基本理论引言多体系统动力学是研究多个物体相互作用并随时间演化的学科。
在物理学、工程学和计算机科学等领域中，多体系统动力学理论被广泛应用于分子动力学模拟、天体力学、机械系统的设计等方面。
本文将介绍多体系统动力学的基本理论，并探讨其应用领域及重要性。
多体系统的表示与描述在多体系统中，每个物体被称为一个质点。
如果质点数量较少且相互之间的相对位置变化较小，通常可以使用牛顿力学的基本定律对系统进行描述。
然而，当质点数量较大、相互作用复杂以及相对位置变化较大时，就需要使用更为复杂的数学模型来表示多体系统。
动力学方程的建立为了描述多体系统的运动，需要根据质点之间的相互作用力推导出每个质点的运动方程。
这些运动方程通常是一组常微分方程，可以使用数值方法进行求解。
常见的方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
利用这些数值方法，可以预测多体系统在一段时间内的演化轨迹。
相空间与哈密顿力学在多体系统的动力学描述中，相空间是一个重要的概念。
相空间由所有质点的位置和动量构成，因此可以用一个N维的向量表示。
在相空间中，多体系统的演化可以由哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是一种在相空间中表示多体系统动力学的方法，通过哈密顿量来描述系统的总能量，通过广义坐标和广义动量来表示质点的位置和动量。
应用领域多体系统动力学理论在众多领域中得到了广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：分子动力学模拟分子动力学模拟是一种利用多体系统动力学理论模拟分子的运动行为的方法。
通过模拟分子的运动，可以研究分子的结构、性质以及与其他分子的相互作用。
分子动力学模拟在材料科学、生物化学、药物研发等领域中都有重要应用。
天体力学天体力学是研究宇宙中天体的运动和相互作用的学科。
通过多体系统动力学理论，可以模拟和预测行星、恒星等天体的轨道运动及其演化。
天体力学在天文学、航天器轨道设计等领域中具有重要意义。
机械系统设计在工程学中，多体系统动力学理论被广泛应用于机械系统的设计与优化。
多体系统的动力学分析与优化
多体系统的动力学分析与优化多体系统是指由多个物体或部件组成的系统，这些物体或部件之间相互作用，共同表现出特定的动力学行为。
对于多体系统的动力学分析和优化是一项重要而复杂的任务。
本文旨在探讨多体系统的动力学分析与优化方法。
一、动力学分析方法对于多体系统的动力学分析，一种常用的方法是基于牛顿力学原理进行建模和推导。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
因此，可以通过建立物体之间的运动方程，求解得到多体系统的运动状态。
在具体的分析过程中，可以采用刚体动力学、柔体动力学或者混合动力学等不同的方法。
刚体动力学适用于系统中物体质量分布均匀、自由度较少的情况；柔体动力学适用于系统中物体存在变形、相互作用复杂的情况；混合动力学则是将刚体和柔体动力学相结合，综合考虑系统的特点。
此外，也可以利用数值模拟方法，如有限元法、多体动力学仿真等，对多体系统进行动力学分析。
这些方法基于离散化的模型，通过求解微分方程或者差分方程，模拟多体系统的运动。
二、动力学优化方法多体系统的动力学优化旨在寻找最优的设计或控制策略，使得系统在满足特定需求的同时具有最佳性能。
在动力学优化中，可以考虑以下几个方面：1. 结构优化：通过调整多体系统的结构参数，如长度、形状、材料等，来改变系统的动力学特性。
结构优化可以采用传统的数学规划方法，如遗传算法、粒子群算法等，也可以利用机器学习方法进行优化。
2. 控制优化：通过调整多体系统的控制策略，来实现所需的运动或者性能。
控制优化可以基于优化方法，如最优控制理论、模型预测控制等，也可以利用强化学习等机器学习方法进行优化。
3. 整体优化：考虑多体系统的结构和控制同时进行优化，以获得最优的系统性能。
整体优化可以采用综合优化方法，如多目标优化、多学科优化等。
在动力学优化过程中，还需考虑实际工程的约束条件，如可行性、稳定性、安全性等。
同时，也要综合考虑多体系统的动力学特征，如非线性、不确定性、耦合等因素。
多体动力学
多体动力学
多体动力学是一门研究物体运动的力学分支学科，它是传统的粒子动力学的扩展。
它不仅用来处理基本的动力学问题，而且还可以处理涉及多体流体问题、多行星系统等更加复杂问题。
多体动力学的应用覆盖了包括 much 的领域：从宇宙学和地球物理学，到摩擦力学，甚至涉及到生物学和工程学。
多体动力学是由三个主要组成部分组成的：物体的运动方程，力学动力学原理，以及多体传动原理。
其中，物体运动方程用来描述多体如何互相作用影响，以及它们之间的相互运动是如何建模的。
力学动力学原理提供了如何描述作用于物体之间的动力学力的方法。
而多体传动原理描述了物体之间的碰撞和作用性质的变化。
多体动力学的开发起源于运动学，超过了经典力学，动力学，以及粒子动力学的原理。
它扩展了经典物理学的概念，并且能够通过几何的分析，结构性分析，以及数值模拟，解决更多复杂的多体动力学问题。
多体动力学为许多不同领域中传递物体运动和互动提供了可能性。
在船舶和航空领域，多体动力学可以用来分析流体体系中物体间的运动和相互作用；多体动力学也可以被用来研究流体动力学，提出适合于气体和流体运动和反应的模型；它也可以用来研究卫星系统以及星系动力学中物体间的运动和相互作用，以及地心引力由多个行星造成的小尺度效应以及星系中索质物质的运动；多体动力学还可以用于研究物理、化学及生物系统中物质所受到的碰撞及反应，计算及预测系统中的运动情况。
综上所述，多体动力学是一门极其重要的学科，它不仅可以为复杂的物体之间的运动和相互作用提供重要的依据，而且在多个领域中产生了重要的影响。
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1. 绝对节点坐标法传统有限元方法建立的单元为非等参数单元，其使用节点处的位移梯度来描述物体的无限小的转动，但在物体发生大变形时，节点处的位移梯度已不能准确描述物体的转动变形，从而极大影响到计算的精度。
Shabana [1]提出了绝对节点坐标法（Absolute nodal coordinate formulation, ANCF ），其理论基础主要是有限元和连续介质力学理论。
该方法将物体的单元节点坐标定义在全局坐标系下，使用节点处的斜率(slope)矢量作为节点坐标而不是节点处的无限小转动[2]，不需要另外计算刚体位移与柔性变形之间的耦合，能较精确地计算大变形的多体系统动力学问题。
其最终推导出的多体系统的微分代数方程组（DAEs ）中，质量矩阵是一个常数矩阵，但刚度矩阵将是一个非线性的时间函数。
1.1梁单元的绝对节点坐标法Shabana 首先推导出一维梁单元的绝对节点坐标法模型[1][3]。
在这种模型中，梁单元用中性轴来简化，如图1所示，其上面任意一点P 在全局坐标系下的坐标表达为：23101232320123r =Se r a a x a x a x r b b x b x b x ⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦图1其中，x 为沿轴线的单元局部坐标，[]0,x l ∈，l 为梁单元初始长度；S 为单元形函数；e 为含有8个单元节点坐标的广义坐标矢量。
123456781102205162e []|,|,|,|,Tx x x l x l e e e e e e e e e r e r e r e r ========= 1212304078,,,x x x l x l r r r r e e e e x x x x ====∂∂∂∂====∂∂∂∂最终，通过绝对节点坐标法得到的无约束的单元动力学方程为：k e Me+Q =Q 其中，M 为常数质量矩阵，Q k 为广义弹性力矩阵，Q e 为广义外力矩阵。
由于一维梁单元模型无法考虑到梁的剪切变形，Omar 和Shabana [4]接着又提出了一种二维的考虑剪切变形的梁单元的绝对节点坐标法模型。
此模型中，单元上任意一点在全局坐标系下的位置坐标为：231012345232012345r Se r a a x a y a xy a x a x r b b x b y b xy b x b x ⎡⎤+++++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦其中，x 为梁单元上任一点在局部坐标系下相对于中性轴的横向坐标，y 表示任意一点在局部坐标系下的纵向坐标，单元节点坐标矢量为：123456789101112121211022030405060121271829101112e []|,|,,,,,|,|,,,,Tx x x x x x x l x l x l x l x l x l e e e e e e e e e e e e r r r r e r e r e e e e xx y y r r r r e r e r e e e e x x y y=============∂∂∂∂======∂∂∂∂∂∂∂∂======∂∂∂∂ 由上式可以看出，梁上任意一点的横向斜率是二次插值多项式，而任意一点的纵向斜率坐标却是一次多项式，变形过程中，横向应力与纵向应力相互耦合，进而在建模时很容易产生剪切自锁（shear-locking ）以及泊松自锁（Possion’s locking ）等问题；此外，这种ANCF 模型还存在收敛速度低的问题[5][6]。
基于此，很多学者做出了很多研究工作，提出了一些新的求解方法和模型。
Dufva 和Mikkola 等[7]改变单元的运动学描述公式，提出了一种更精确、更简便的平面剪切梁单元。
而后，Garc´ıa -Vallejo 和Mikkola 等[5]重新定义了单元上任意一点在全局坐标系下的插值函数，去掉了单元节点与单元中心线相切的斜率坐标，同时在单元重点再增加一个节点，提出了一种三节点的二维剪切梁单元模型，如图2所示。
此模型下任意节点在全局坐标系下的插值函数以及单元坐标矢量如下所示：2210123452220123451234567891011121211022030401251/262/27/28/2r Se e []|,|,,|,|,,Tx x x x x l x l x l x l r a a x a y a xy a x a x y r b b x b y b xy b x b x y e e e e e e e e e e e e r r e r e r e e y yr r e r e r e e y y ========⎡⎤+++++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦=∂∂====∂∂∂∂====∂∂12911021112|,|,,x l x l x l x l r r e r e r e e y y ====∂∂====∂∂图2结合减缩积分的方法，计算效率和精度可以大大提高，同时能有效解决原先的二维剪切梁单元面临的一些问题。
由于传统的基于绝对节点坐标法的一维梁单元很难准确的反映扭转以及剪切变形等的影响，Shabana 等[8][9]进一步提出了三维梁单元的绝对节点坐标法模型。
这种模型能放松Euler-Bernoulli 梁理论以及Timoshenko 梁理论关于梁变形过程中截面为刚性的假设，较好的反映梁变形过程中转动惯量、剪切变形以及扭转的影响。
Shabana 提出了两种基于绝对节点坐标法的三维梁单元，分别为2节点单元（图3）和4节点单元（图4）。
但无论哪种单元，梁上面任意一点在全局坐标系下的插值多项式均为：231012345672320123456723301234567r Se r a a x a y a z a xy a xz a x a x r b b x b y b z b xy b xz b x b x r c c x c y c z c xy c xz c x c x ⎡⎤+++++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦且单元节点坐标都为24个。
图3图4其中，2节点单元的单元节点坐标矢量为：,,,,,,e=[e e ]e =[r r r r ],,r r r r =,r =,r =T TT T T T T T A A j x y z x y z j A Bx y z=∂∂∂∂∂∂ 4节点单元的单元节点坐标矢量为：3,2,2,1,3,3,2,1,2,e=[r r v r v r ],v TA A C C D DB B y z y z x z x y z r r r r r r r r r ϑϑϑ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦通过数值结果模拟可以发现，这两种单元的结果是相同的。
然而，上述的三维梁单元模型中，在用虚功原理计算梁的广义弹性力时，是基于Green-Lagrange 应变张量与第二Piola-Kirchhoff 应力张量想结合的表达方式，最终计算效率很低。
Dufva 和Mikkola [10]等引入梁截面坐标系(Cross-section frame)和切线坐标系(Tangent frame)的概念，将梁上任意一点在全局坐标系中的坐标矢量表达为：z yy y z z 0t s t s r =r R A r +R A r +其中，矩阵R 表示截面坐标系与切线坐标系之间的旋转矩阵，A t 表示截面坐标系与全局坐标系之间的转移矩阵。
0r 是在全局坐标系下的梁中心轴上一点的坐标矢量，r s 为截面坐标系中的坐标矢量。
基于上述的2节点三维梁单元，最终构造出一种更高效率的基于绝对节点坐标法的三维梁单元模型。
Sugiyama 等[11]进一步对传统的基于ANCF 的三维梁单元的自锁问题作了研究，并提出了一种基于ANCF 的初始弯曲梁单元。
Sugiyama 同样指出，传统的ANCF 梁单元[4][8][9]利用Green-Lagrange 应变张量(1-2T J J I ε=（）)定义单元的变形，由于梁截面的变形，会导致高度耦合的变形模式，进而引起自锁问题。
而为了消除这种耦合的变形模式，将应变分量定义为沿着梁中心线的线性部分和弯曲/扭转两个部分。
为了避免自锁问题，利用Hellinger –Reissner 变分原理修正沿着梁中心线的剪切应力分布，同时使用假设应变场来减缓由于截面变形所引起的自锁问题。
1.2板单元和其他单元的绝对节点坐标法Shabana [12]回顾了传统的薄板的动力学研究方法，主要可分为浮动节点坐标法、增量有限元方法以及大旋转矢量方法。
提出了基于绝对节点坐标法的板单元的研究思路。
而后，Mikkola 和Shabana [13]进一步指出了传统的有限元板单元研究的缺陷和问题。
在增量有限元方法中，使用无限小的转动来定义板单元的运动，是一种非等参数单元，会导致刚体运动方程的线性化，影响运算精度；而大转动矢量方法则无法保证节点位移梯度的连续性，运算十分复杂。
并深入研究了基于绝对节点坐标法的板单元。
这种板单元是一种等参数单元，其质量矩阵是一个常数矩阵，离心力和科氏力为零。
图5为一个板单元的示意图。
基于ANCF 的板单元有四个节点，每个节点有12个坐标，因此一个板单元有48个坐标。
最终，单元上任意一点在全局坐标系下的坐标为：r S(,,)e x y z =其中，单元形函数S 可以分为两类，S A 利用不完全的四阶插值多项式推得，它不能保证单元表面节点的连续性；S B 能够更好的反映单元收敛性的要求，并能更准确的描述刚体运动和常数应变，通过数值仿真，这两种形函数的运行结果相互符合的很好。
e 为单元坐标矢量，r r r e r e e e e e TT T T j j j T j j T T T T A B C D x y z ⎡⎤∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎡⎤=⎣⎦图5然而，对于很薄的板(thin plate)，其沿着厚度方向的单元变形很小，可以忽略。
基于此，Dufva 等[14]提出了一种新的基于绝对节点坐标法的薄板单元。
这种单元省略了位置矢量对z 方向的矢量梯度坐标，最终形成了一个36个自由度的减阶的板单元，每个节点有9个坐标：r r e r e e e e e TT T j j Tj j T T T T A B C D x y ⎡⎤∂∂=⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤=⎣⎦ 相比较此前的完全参数的基于ANCF 的板单元模型，这种新的减阶板单元的计算效率可提高100倍以上，且可以使用更少的单元数量。
Dmitrochenko 等[15]研究了16自由度的Hermitian 矩形板单元，在这中单元中，每个节点有四个自由度，分别为垂直位移i z ，两个斜率坐标()'/xi i z z x =∂∂和()'/yi i z z y =∂∂以及一个二阶斜率坐标()''2/xyi iz z x y =∂∂∂，如图6所示。