2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
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2021_2022学年高中数学第2章参数方程122.1直线的参数方程课件北师大版选修4_4
1弦 AB 的长|AB|＝|t1－t2|. 2线段 AB 的中点 M 对应的参数 论使用.
解题时可以作为基本结
3．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两 个坐标系取相等的单位长度．已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6.
(1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 ρ＝2 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离 之积．
段 P→M的长度；
当 a2＋b2≠1 时，参数方程的标准形式为
x＝x0＋
y＝y0＋
a a2＋b2
b a2＋b2
a2＋b2t， a2＋b2t，
其中 a2＋b2t 具有标准参数方程
中参数的几何意义．
3．当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？
[提示] 在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线 段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数 t 的几何 意义求解，比利用直线 l 的普通方程来解决更为方便．
填空：
(1)过点(0,0)且倾斜角为 60°的直线的参数方程是________．
(2)参数方程xy＝ ＝12＋ ＋ttcsions
20°， 20°
(t 为参数)表示的直线的倾斜角是
________．
[解析]
x＝tcos 60°， (1)y＝tsin 60°，
即x＝12t， y＝ 23t
(t 为参数)．
AB＝2atan θ， ∴xy＝ ＝22aactaons2θθ， (θ 为参数)， 这就是所求的点 M 的参数方程．
求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解 析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间 的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、 比值等)，使变量 x，y 之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参 数方程．
选修4-4数学直线的参数方程【优质PPT】
演
练
参数方程为__________．
课 时
(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________，所以
作 业
课
sinα≥0，当 α∈(0，π)时，sinα＞0.
内
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
课
(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：_____ 内
时 作 业
课 内
y＝3＋2
5 5 t.
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
经验证易知点
A(3,7)恰好在直线上，所以有
1＋
5 5
课 内
巩
t＝3，即 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
固
自
而点 B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数 t 的几
B．(－3,4)
练
课
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
时 作
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] d＝ －2－ 2t－22＋3＋ 2t－32＝ 2， 课
内
∴t＝±
2 2.
巩 固
自 主 演
当 t＝ 22时，对应点为(－3,4)，
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] (1)因为倾斜角 α＝π6，所以 sinα＝12，
选修4-4直线的参数方程优秀课件
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则
x
x 3 t sin 200 （）直线 1 （t为参数）的倾斜角是（ ） B 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x 0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
高中数学第二章参数方程2.1直线的参数方程课件北师大版选修4_4
则常数 a 的值为________．
[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线 的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系 确定参数值的方法．
[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直 线 l1：x－2y－1＝0，直线 l2：2x－ay－a＝0.因为两直线平 行，所以 1×(－a)＝－2×2，故 a＝4，经检验，符合题意．
(a，b 为常数，t 为参数)．当 a2＋b2＝1 时，
|t|的几何意义是有向线段M0M 的长度，当 a2＋b2≠1 时，|t|
的几何意义是M0M 的长度的
1 a2＋b2.
2．过点 A(1，－5)的直线 l1 的参数方程为xy＝＝－1＋5＋t， 3t (t 为参数)，它与方程为 x－y－2 3＝0 的直线 l2 相交于一 点 P，求点 A 与点 P 之间的距离．
－ 2)．
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段 PM
的长度，即 P 与 M 间的距离．
2．过定点 M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是
x＝x0＋at， y＝y0＋bt
8245＝2
21 5.
1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若 涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参 数方程中参数 t 的几何意义求解，比利用直线 l 的普通 方程来解决更为方便．
2．在求直线 l 与曲线 C：f(x，y)＝0 的交点间的距离 时，把直线 l 的参数方程xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα， 代入 f(x，y)＝0， 可以得到一个关于 t 的方程 f(x0＋tcos α，y0＋tsin α)＝0. 假设该方程的解为 t1，t2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，那么由参数 t 的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
6
A(4，
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对，求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5，)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
练习：
7 3 ),则｜AB｜=___. 12 12 2.在极坐标系中，定点A(2, ),点B在直线 2 5 (1, ) ρ cosθ +ρ sinθ =0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标 3 6
1.极坐标系中，点A(1，5 )，B(2，-
为_______. 3.若M、N分别是曲线ρ =2cosθ 和 sin( ) 2 上的动点，
复习
M ρ
θ
o x
θ ＝a(ρ ∈R)
ρ cosθ =a
ρ sinθ =a
下列极坐标方程如何转化为直角坐标方程
3 θ
.
y
3x
= 2 sin( ) . 4 2 ρ =4sinθ
3
. sin cos cos sin 2 4 4 2 ρ 2=4ρ sinθ ρ 2=5 3 ρ cosθ -5ρ sinθ
则M、N两点间的距离的最小值是________. 2 1
4 2
(0≤a＜π ，a≠π /2)
北师版数学高二选修4-4课件 三 直线的参数方程
跟踪训练3
已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝
π 6
，
(1)写出直线l的参数方程； 解 因为直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为π6，
所以直线的参数方程为x＝1＋tcos y＝1＋tsin
π6， π6，
即xy＝ ＝11＋ ＋212t3t，
为所求.
解答
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.
(1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数 方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值 得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与 曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参 数的几何意义加以解决.
跟踪训练 4
答案
思考2
在思考1中，若令x－x0＝tcos α(t为参数)，那么直线l的参数方程 是什么？
答案
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数).
答案
梳理
(1)直线的参数方程
①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
x＝x0＋tcos
y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)；
M(x，y)的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)，这是直线参数方程的标准
形式，特别地，当 α＝2π时，直线的参数方程为xy＝ ＝xy00， ＋t (t 为参数).
(2)直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点 M0(x0，y0)， 斜率为ba的直线的参数方程是xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt， (a、b 为常数，t 为参数).
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
(x-2)2+y2=4.圆心(2,0)到直线x+ 3 y-4=0的距离为
d 2 30 4 12
3
2
1,
∵d=1<r=2,∴直线与圆相交.
d<r d=r d>r
x tcos x 4 2cos 【例2】直线 (t为参数)与圆 相切， y tsin y 2sin
则M、N两点间的距离的最小值是____)
下列参数方程如何化为普通方程
4 x 1 t 5 （t为参数） 3 y 1 t 5
x 1 2t （为参数） （t为参数） y 4sin y 2 3t
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数） （为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
x t 1 xOy中，则直线 与圆 x 2 2cos (t为参数) 3 y 2sin t 3 y 3 ( 为参数)的位置关系为______.
【审题指导】化直线和圆的参数方程为普通方程，利用圆心 到直线的距离和半径的大小关系判定. 【自主解答】直线与圆的普通方程分别为x+ 3 y-4=0,
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 课件：2.2.1直线的参数方程
2 ������, 2 (t 为参数 ), 2 ������ 2 2 2 3 + ������ +2 4 + ������ 2 2
=6,
探究一
探究二
思维 = 1 + 2������, 【例2】 已知直线的参数方程为 ������ = 2 + ������ (t为参数),则该直 线被圆x2+y2=9截得的弦长是 . ������ = 1 + 2������, 解析： 将参数方程 (t 为参数 )转化为直线参数方程的 ������ = 2 + ������ 2 ������ = 1 + ������', 5 标准形式为 (t'为参数 ),并代入圆的方程,得 1 ������ = 2 + ������'
探究一
探究二
思维辨析
直线的参数方程与参数的几何意义 【例1】 已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出 直线l的参数方程,并分别求出点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的距离.
分析：由直线 l 的方程可知,直线的斜率为 ,即直线的倾斜角(设 为 上,为了方便运算,选择点 P 作为直线上的定点,到点 M 和点 N 的距 离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式 来求.
(2)经过点 P(x0,y 0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������sin������, (t 为参数). ( × ) ������ = ������0 + ������cos������ ������ = ������, ������ = 1-2������, (3)直线 l1: (t 为参数)与直线 l2: (s 为参数)垂直. ������ = 1 2 ������ ������ = 2-������ ( )
数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程
∴cos
α＝21，sin
α＝
3 2.
x＝1＋21t，
∴直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．①
∵直线 l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理，得 5t2＋2t－4＝0.
∴Δ＝4＋4×5×4＞0.
设这个二次方程的两个实根为 t1，t2. 由根与系数的关系，得 t1＋t2＝－25，t1t2＝－54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4)，且它的倾斜
角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程．
(解2)：求(直1)线直l线与直l 的线参x－数y方＋程1＝为0的xy＝＝交34＋＋点tt．csions
120°， 120°，
x＝3－21t，
即
y＝4＋
3 2 t.
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
3 2t
由 M 为 AB 的中点，根据参数 t 的几何意义，
得|PM|＝t1＋2 t2＝51.
(2)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝
8245＝2
21 5.
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x－y＋1＝0，得
3－21t－4－ 23t＋1＝0.解得 t＝0.
x＝3－21t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4)．
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角，求参
数方程可利用xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数） （为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
3 6
则△OAB的面积为_____.
解：点B(5，- 5 )即B(5，7 )，且点A(4， ) ， 6 6 3
∴∠AOB= 7 5 ,
6 3 6
所以△OAB的面积为
S= 1·|OA|·|OB|·sin∠AOB= 1 ×4×5×sin 5
2 2
=
1 1 ×4×5× =5. 2 2
复习
M ρ
θ
o x
θ ＝a(ρ ∈R)
ρ cosθ =a
ρ sinθ =a
下列极坐标方程如何转化为直角坐标方程
3 θ
.
y
3x
= 2 sin( ) . 4 2 ρ =4sinθ
3
. sin cos cos sin 2 4 4 2 ρ 2=4ρ sinθ ρ 2=5 3 ρ cosθ -5ρ sinθ
小结（学习要求）：
作业：
练习册P220-222
谢谢！
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
高二数学北师大版选修4-4课件：2.2.1 直线的参数方程
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
典型例题1
已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的 距离.
思路分析:由直线 l 的方程可知,直线的斜率为34,即直线的倾斜角(设为 α) 的正切值为34,即 tan α=34,则 sin α=35,cos α=45.因为点 P 在直线 l 上,为了方 便运算,选择点 P 作为直线上的定点,到点 M 和点 N 的距离可以根据参
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
温馨提示
当λ>0时,M为内分点;当λ<0且λ≠-1时,M为外分点;当λ=0时,点M与Q重合.
做一做1
直线
������
=
−2
+
������cos30°, (t
为参数)的倾斜角
α
等于
(
)
������ = 3−������sin60°
探究一
探究二
探究三
∴t1+t2=−1
+1s0icno2s������������,t1t2=
3 2(1+si
n
2
������),
∴|PA|·|PB|=|t1t2|=
3 2(1+si n2������ )
.
又∵Δ=( 10cos α)2-4(1+sin2α)×32≥0,
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
y=sinθ
3
则x+y= 3 cosθ+sinθ=2sin(θ+ ) 3 当 . ，x+y取得最大值2。
6
练习：
x t 3 1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 y 3 t (参数t∈R)，圆C的参数方程为 x 2cos (参数θ ∈ y 2sin 2 ［0,2π )),则圆C的圆心到直线l的距离为_____. 2 2 2.已知圆C的参数方程为 x cos (α 为参数)，以原点 y 1 sin
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)
x2 【例3】.已知点P为椭圆 y 2 1 在第一象限部分上的点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y 2 1在第一象限部分上的点P
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
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(*)
由韦达定理得： x2 1 x1 x2 1 x1 ，
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解 得 ： 1 x ，x2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直 线与抛 物线 的交点 标A( 坐 , )，B( , ) 2 2 2 2
P41习题2.3 1、 3
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长 时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如： 当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不 断增大)，那么问题又该如何解决？
3 5.已知经过A(5,3)且倾斜角的余弦是 的 5 2 2 直线与圆x y 25交于B、C两点， (1)求BC中点坐标； (2)求过点A的切线方程及切点坐标 。 44 6 (1)( , )； 25 25 (2)过点A的切线为x 5，切点为（ ， 5 0） 130 27 和8 x 15y 85 0, 切点为（ ， ） 17 17
1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 则 MA MB ( 1 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
2 t x 1 2 （t为参数） y 2t （2 直 线 y 1 0的 一 个 参 数 方 程 是 ） x 。 2
思考: 由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方
解: M M te M 0 M te 0
课堂练习
1 x 1 2 t 1.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
课堂练习
四、课堂小结
1.直线参数方程Байду номын сангаас
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离. 2 2
练习： 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
)
距离等于 2的点的坐标是 ( C
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
x 1 t 2、设直线的参数方程为 { (t为参数) y 2 4t 则点(3,6)到直线的距离是__________ 20 17 _____
①
（ ） AB 、 MB 与t1，t 2有什么关系？ 3 MA
探究
直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？
（2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2
求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 )
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 M M （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) 0 y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x 所以 x0 t cos , y y0 t sin 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x0, y0 都是常 cos x x y y0 0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
x=x0 t cos y y0 t sin
探究:直线的 参数方程形 (t是参数） 式是不是唯 一的
3.注意向量工具的使用.
x x0 at t才具有此几何意义 |t|=|M (t为参数） 0M| y y0 bt 其它情况不能用。
当a b 1时，
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解：由 y x2 得：2 x 1 0 x
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
x
x 3 t sin200 （） 直 线 1 （t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （） B 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
17
3、直线 { x 2 t cos300 y 3 t sin 60
)
0
(t为参数)的倾斜角
等于( D
A.30
0
B.60
0
C. 45
0
D.135
0
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还
M0 M
的方向呢?
是有时向上有时向下呢？ 分析: 此时,若t>0,则 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0 M 0 M 的方向向上; 又 sin 表示e 的纵坐标， 若t<0,则 e 的纵坐标都大于0 M0 M的点方向向下; 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.