数值分析复习总结题
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）解:由已知可知,n=62分2分2.已知求（6分）解：1分1分1分= 2分1分3.设（6分）①写出f(x)=0解的Newton迭代格式②当a为何值时，（k=0,1……)产生的序列收敛于解:①Newton迭代格式为： 3分② 3分4.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，可使迭代收敛（8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使,当且仅当2分5.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2，3 (3)6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:(i=1，2,3)其中，（12分)解：①A= =LU 3分由Ly=b1，即y= 得y= 1分由Ux1=y，即x1= 得x1= 2分②x2=由Ly=b2=x1,即y= 得y= 1分由Ux2=y，即x2= 得x2= 2分③x3=由Ly=b3=x2，即y= 得y= 1分由Ux3=y，即x3= 得x3= 2分7.已知函数y=f（x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H插值多项式,使（6分）解：作重点的差分表，如下:3分=-1+（x+1)-x(x+1）+2x。
x（x+1)= 3分8.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2，3）为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:=4+5x+x（x—1)= 4分9.求f(x)=x在[—1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分)解：令2分取m=1，n=x，k=,计算得:（m，m）==0 （m，n)= =1 （m，k)= =0（n,k）= =0。
数值分析考题总结
1设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：02 1.41y =≈201(*)102y ε-∴=⨯又1101n n y y -=- 10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又21101y y =- 21(*)10(*)y y εε∴=220(*)10(*)......y y εε∴=101001028(*)10(*)1101021102y y εε-∴==⨯⨯=⨯计算到10y 时误差为81102⨯，这个计算过程不稳定。
.三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：并估计误差。
（10分）解：（1）利用插值法加待定系数法：设()2p x 满足 ()()()22212,24,312,p p p ===则()22376,p x x x =-+（3分） 再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- （3分） 2K = （1分） ()32329156p x x x x =-+- （1分） （2）()()()()()()24311234!R x f x x x ξ=--- 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 解：应用梯形公式得()()11012I I f f ≈=+⎡⎤⎣⎦ （2分） 0.75= （1分）应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ⎡⎤⎛⎫≈=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2分） 0.69444444= （1分）应用科特斯公式得：()()41113703212327190424I I f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2分）0.6931746=五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析复习题参考答案
x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a
所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )
东北大学数值分析-总复习+习题
二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(1) xkp阶收敛于是指: (2) 若()0,则迭代法线性收敛.
lim xk1 C k xk p
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
总复习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差 限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的 半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并 且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近 似x*时具有n位有效数字。
是不是一种向量范数_____. 是
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
数值分析期末复习题
数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。
5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。
6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。
7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。
11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。
⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。
4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。
解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+例3、 设()xf x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x =所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
数值分析总复习
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解: l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,
4
b
3
.
10
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 l322 . 19 第20页/共36页
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 l322 . 18 第19页/共36页
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
26
第27页/共36页
六. 确定求解初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0 .
的二步隐式Adams方法
yn1
yn
h 12
(5
fn1
fn
fn1 )
中的参数, 使该方法成为三阶方法, 并写出其局部截断误差主项.
可用数值积分方法或Taylor展开方法
8,
Rn1
1 24
h4
解 (1) 由已知, 当 f (x)分别为1, x, x2时, 求积公式等号成立. 即
11x3dx 1
0 1dx 14
11 2
((1x13
1)x23
)
2
故该公式具有3次代数精确度.
1 xdx 1
0
(整理)数值分析计算方法超级总结
工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045…,取*x = 2.71828b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。
2) 简述下名词:a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。
4) 计算球体积334r Vπ= 时,为使其相对误差不超过 0.3%,求半径r 的相对 误差的允许范围。
5） 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？二. 插值问题:1) 设函数)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数)(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。
数值分析复习题
复习题 一、设x 的相对误差为2％，求nx 的相对误差。
（0.02n ）二、1）经过四舍五入得出1232.3021,0.041,385.6x x x ===。
问它们分别有几位有效数字？2）求123x x x +的绝对误差限。
(P7)2.44943≈ ）的有效近似值，使相对误差不超过0.1％。
（P7）四、（10分）已知连续函数()f x 在0235x =，，，的值分别为1325，，，.给出三次牛顿插值多项式.若再增加6x =时的函数值为6，给出四次牛顿插值多项式.[ 参p24例2.3：]五、（18分）已知连续函数()f x 在1023x =-，，，的值分别为4103-－，，，. 用牛顿插值法（1）求(1.5)f 的近似值；（2）求当()0.5f x =时，x 的近似值。
[参p24例2.3：（1）构造()y f x =的差商表，得()y f x =牛顿插值多项式。
(1.5)0.40625f ≈ （2）构造()y f x =反函数1()x f y -=差商表，得1()x f y -=牛顿插值多项式。
1(0.5) 2.9107f -≈六、设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，证明21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-。
[参考答案：11|()||()()|R x f x L x =-()|()()|2!f x a x b ξ''=--21()max |()|8a xb b a f x ≤≤''≤-]七、选取常数a ，使301max ||x x ax ≤≤-达到极小，又问这个解是否唯一。
[ 323213()42x ax T x x x -==-，34a =] 八、试用法方程方法求x y e =在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
[参p55例3.2：法方程为：0101112,11123a a e a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩010.873, 1.609a a ==,()0.873 1.609x x ϕ=+] 九、试用Legendre 多项式构造4x 在[1,1]-上的二次最佳平方逼近多项式。
数值分析复习题
数值分析复习题⼀、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2.设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的⽜顿迭代格式为 .3.对f(x)=x 3+3x 2-x+5,差商f[0,1,2,3,4]= .4.⽅阵A 的谱半径是指 .5.求积分?ba dx x f )(的近似值，其⾟⼘⽣公式为 .⼆、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试⽤最⼩⼆乘法求形如xb ax x +=)(?的经验公式。
（10分）三、求⼀个次数不⾼于4的多项式p 4(x)，满⾜下列插值条件 x 0 1 2f(x) 0 1 1)(x f '0 1四、写出计算线性⽅程组=+-=+-=+-272135223121321x x x x x x x 的⾼斯⼀赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、⽤预估⼀校正法求初值问题=≤≤-='1)0(102y x y x y y在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。
（要求保留⼩数点后4位）六、把区间分成两等份，⽤复化⾟⼘⽣公式计算dxx+1七、在求⾮线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法⼀般为线性收敛，⽽⽜顿迭代法为平⽅收敛.⼀填空1．近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2．设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 3．求积分()ba f x dx ?的近似值，其复化梯形公式为4．5点⾼斯求积公式，其代数精度为5．设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的近似值的⽜顿迭代格式为 6．利⽤⼆分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为 7．⽅阵A 的谱半径是指 8．矩阵A 的条件数是指 9．能⽤⾼斯消元法求解A x b =的充要条件是 10．设215314278A -??=，则1||||A = ⼆给定线性⽅程组1231232231242122316x x x x x x x x x -++=??-++=??++=? 1. ⽤列主元消元法求解所给线性⽅程组。
数值分析复习题
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。
数值分析整理版试题及答案
例1、已知函数表求的解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为例2、设，，试求在［0，1］上关于，的最佳平方逼近多项式。
解：若，则，，且,这样，有所以，法方程为，经过消元得再回代解该方程，得到，故,所求最佳平方逼近多项式为例3、设,，试求在[0, 1］上关于,的最佳平方逼近多项式。
解：若,则,,这样,有所以，法方程为解法方程,得到，，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用的复合梯形和复合辛普森公式计算积分。
解：（1）用的复合梯形公式由于，，，所以，有(2）用的复合辛普森公式由于，，，，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元再回代，得到，，所以,线性方程组的解为，，例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解:设则由的对应元素相等,有，，，，，,，，因此，解,即，得,,解，即,得，,所以，线性方程组的解为，，１、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。
（）２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
（）3、形如的高斯（Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
（）４、矩阵的２－范数＝９。
（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。
(用）（）6、设,，且有（单位阵)，则有。
（)7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。
（)1、（Ⅹ) 2、（∨）3、（Ⅹ) 4、(∨）5、( Ⅹ）6、（∨)7、（Ⅹ) 8、( Ⅹ）一、判断题（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。
( ×)2、解非线性方程f(x）=0的牛顿迭代法在单根x＊附近是平方收敛的。
( √)3、若A为n阶方阵,且其元素满足不等式则解线性方程组AX＝b的高斯-—塞德尔迭代法一定收敛。
（×) 4、样条插值一种分段插值。
（√）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
数值分析复习题
第一章 习题解答与问题一、习题解答1 设x>0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。
2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。
求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。
4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。
解：| e r (x) | ≤5 × 10– 2 。
5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 –783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。
若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？8 序列{ y n }满足递推关系 y n = 10y n-1 – 1 (n = 1，2，……)。
若取 y 0 = 2≈1.41（三位有效数字），按上述递推公式，从y 0计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解 取 x 0 = 1.41，记 e(x 0) = 1.41 –2。
根据x n = 10x n-1 – 1 (n = 1，2，……)得e(x n ) = 10e(x n-1) (n = 1，2， (10)所以e(x 10) = 1010e(x 0)从y 0计算到y 10时误差估计为 |e(x 10)| = 1010 |e(x 0)| ≤0.5×108。
这是一个数值不稳定的算法。
2．设计算球体V 允许其相对误差限为 εr (V)=1%（或| e r (V) | ≤1/%），问测量球半径R 的相对误差限εr (R) 最大为多少?3.简述如何避免误差危害(简答题)1.避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法，否则可能会扩大舍入误差，甚至出现溢出。
2. 避免两相近数相减，否则会使有效数字严重损失3. 尽可能防止大数吃掉小数字，否则可能影响结果的可靠性4. 简化计算步骤，减少运算次数5.选用数值稳定的算法 P19页：1 ，2 ， 5， 6， 7， 10, 12第二种复习题一 填空题1 2()31f x x =+则[1,2,3]f =2 75()39f x x x x =+-=，则017[2,2,,2]f L =（ ），018[2,2,,2]f L =（ ）3 若n 次多项式()(0,1,,)j l x j n =L 在1n +个节点01xx x <<<L 上满足条件1,;()(,0,1,,)0,.j k k j l x j k n k j =⎧==⎨≠⎩L 称之为插值基函数。
数值分析整理版试题及答案
例1、已知函数表求f（x）的Lagrange 次插值多项式和Newton〔次插值多项式。
解：（1）由题可知H 3 33H z3 3插值基函数分别为/ （「曲）（兀_七）（x_l）（x_2）°「（mF）（心-勺厂（-1-1）（-1-2）=*（尤一1）（尤一2）A（x）=(x_.lo)(x_£)(X] -曲)("一勺)("1)(—2)(1 + 1)(1一2)，2（X）=(x_")(x_xj _(x+l)(xT)_l(勺-心)(七 -")(2 + 1)(2-1) 3故所求二次拉格朗日插值多项式为3劝=2＞山(“)k=0■ ■=-3x丄(兀-l)(x-2) + 0x - —(x + l)(x-2) +4x—(x + l)(x—1)6 2 34,=-1(X-1)(X-2)+^(A +1)(X-1)57 3 7=+ —X- —6 2 3（2）一阶均差、二阶均差分别为-3-0 3八g卜A._X1_!_! 2亦小号半么齢43_均差表为故所求Newton 二次插值多项式为35= -3 + -(X + 1) + -(X + 1)(A -1)5 2 3 7 =-x +—兀一一6 2 3例2、 设/(X ) =A -2+3X + 2, Ae[0,l],试求/(x)在[0, 1]上关于p(x) = 1 , 6=span{l,x}的最佳平方逼近多项式。
解：若 O = span {!.%},则 0o (x) = l, (p x (x) = x ,且 p(x) = \ T 这样,有1S) ®) ) = J Idx = 1’ o所以，法方程为 ■■ 1r■ ■231 1■ ■23 1 2一 ~6,经过消元得2~6 1 190丄1 _2 3..4.一 12J_3.再回代解该方程，得到5=4, n 0=H6 故，所求最佳平方逼近多项式为S ；(x) = - + 4x6例|3、 设 f(x) = e x, A e[0,l],试求/⑴在[0, 1]上关于/7(A) = 1 , 6=span{l,x}的最佳平方逼近多项式。
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限.(4分）解：由已知可知，n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分)解:{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分) ① 写出f(x ）=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①Newton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0，1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛 (8分）解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss —Seidel 迭代格式 （9分)解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1，2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1，2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f （x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分）解:作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+（x+1）-x （x+1）+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分)解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 (i=0，1，2，3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x （x-1)=442++x x 4分9. 求f （x ）=x 在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x ， k=2x ,计算得： （m ，m)=dx ⎰-111=0 (m,n ）=dx x ⎰-11=1 （m,k)=dx x ⎰-112=0(n,k ）=dx x ⎰-113=0。
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第一章 引论1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个 阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?（12分）答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果；建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差：截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。
第二章 多项式插值1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(1)：方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(2123210---=-----=x x x x x x x l ,))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ，2823311222(1)(1)()(1)()x x x l x x x +-==--⋅⋅-, )()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L5、已知)(x f 在4)1(0,=i x i 的函数值如下表i x0 1 2 3 4 )(i x f0 1 8 27 64利用插值公式计算)5.0(f 的值。
（12分）解：函数)(x f 的差分表如下i x i f i f ∆ i f 2∆ i f 3∆ i f 4∆0 011 1 67 62 8 12 019 63 27 18374 645.01/)05.0(5.0=-==t x ，则，由Newton 向前插值公式，可分别求得5.05.010!1)(001=⨯+=∆+=t f f x N 25.0)1(!2!1)(02002-=-∆+∆+=t t f t f f x N125.0)2)(1(!3)()(0323=--∆+=t t t f x N x N125.00125.0)3)(2)(1(!4)()(0434=+=---∆+=t t t t f x N x N第四章、数值积分算法梯形公式：()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰中矩形公式：()()()2ba a bf x dx b a f +≈-⎰辛普生公式：()[()4()+()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈+⎰梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。
4． 试给出],[b a 上复化辛普森求积公式, 并描述其自适应算法.复化辛普生公式自适应求积算法的具体步骤： 步1：11,,()4()()62a b n h b a s f a f f b +⎡⎤←←-←++⎢⎥⎣⎦； 步2：1113{2[()][()]2[()]}424n k s f a k h f a k h f a k h -=←++-+++++∑，21126hs s s ←+； 步3：判断12?s s ε-<，若是，转步5； 步4：122,,2hn n h s s ←←←转步2；步5：输出s 2；4、利用辛甫生求积公式计算积分：dx x⎰+10112，并估计其误差 。
（10分）(注意与复化辛普生公式的区别) 解：由辛甫生求积公式，)]1()(4)0()[01(216110112f f f dx x++-≈⎰+78333.0]41[6047215461≈=+⋅+=785488.041010112≈==⎰+πarctgx dx x误差：210216.078333.078549.0-⨯=-≤s R1、已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=+122321处的函数值 )(i x f , 12,,2,1+=n i . 试构造)(x f 在],[b a 上的分段2次 插值多项式.2.已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=-1210处的函数值 )(i x f , n i ,,2,1,0 =.1) 构造)(x f 在],[b a 上的分段线性插值多项式.2) 假定)(x f 在],[b a 上有连续的2阶导数, 试估计以上分段插值的误差.2.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =，ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： ii ii i i i i h x x x x x f x x x x x f x f --+--⋅=++++1111)()()( h ihx h i h h i x h i -++-+-⋅=22))1(()1()( 100)1(10)12(+-+=i i x i 误差估计：))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤.第五章 线性代数方程组的解法(高斯消去法、迭代法)1、 用Gauss 逐步消去法解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：消元：第1步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--230110*********x x x 第2步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2132121300120121x x x回代：1 ,1 ,1321=-==⇒x x x2、利用Gauss 顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-=++151241252962321321321x x x x x x x x x . （10分） 解：消元过程：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---22001910909621211290191090962115121412529621 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++(3)22 (2) 19109 (1) 962332321x x x x x x回代过程： 由（1）得： 13=x代入（2）⇒ 12=x均回代到（1）⇒ 11=x∴ 11=x ， 12=x ， 13=x3、用Gauss 顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+--=+-1242222321321321x x x x x x x x x . （10分） 解：消元过程：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------130023102211763023102211121421122211 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--=+-(3)13 (2) 23 (1) 22332321x x x x x x回代过程： 由（1）得： 313=x代入（2）⇒ 32=x均回代到（1） ⇒ 311=x ∴ 311=x ， 32=x ， 313=x 4、 用列主元消去法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡035232011120321x x x . 解： 第1步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡530120011232321x x x 第2步：1122323200130215x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 第3步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3501012023232121x x x第4步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-417321435000120232x x x 回代：17,16 ,7321-==-=⇒x x x 6、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=-+-34212565321321321x x x x x x x x x 分别写出求解方程组的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式， 并判别两种迭代格式的收敛性 .（12分） 解: 求解方程组的Jacobi 迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=+-=+++43)(221)(141)1(351)(352)(151)1(256)(351)(251)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x求解方程组的Seidel Gauss -迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=+-=++++++43)1(221)1(141)1(351)(352)1(151)1(256)(351)(251)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 收敛性：由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421251115A 是严格对角占优矩阵因而，求解方程组的Jacobi 迭代格式收敛。
因 1)(2>B ρ, Gauss-Seidel 迭代方法发散。
7．(P 203)试分别给出求解线性代数方程组B AX =的Jacobi 迭代、Gauss —Seidle 迭代 解：将)(ij a A =分裂为U L D A --= 其中),,,(2211nn a a a diag D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-00001,121n n n a a aL，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-000,1112n n n a a a U,Jacobi 迭代方法若0≠ii a ，迭代格式g x G x k J k +⋅=+)()1( ①其中Jacobi 迭代矩阵：)(1U L D G J+=-；(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)b D g 1-=①式可写为分量形式0][11)()1(≥-=∑≠=+k x a b a xnij j k j ij i ii k i, . （*1） 方法（*1）或①称为Jacobi 迭代方法. Gauss —Seidle 迭代方法若0≠ii a ，迭代格式g x G x k G k +⋅=+)()1( ②其中，Gauss-Seidel 迭代矩阵：U L D G G1)(--=(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)b L D g 1)(--=其分量形式][11)(11)1()1(∑∑+=-=++--=ni j k j ij i j k j ij i ii k ix a x a b a x,n i ,,2,1 =. （*2） 即，在计算新分量)1(+k i x 时，利用新值)1(+k jx ，1,,2,1-=i j 。