浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用(精选.)

浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用

文[1]介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.

例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>，O 为坐标原点，A 为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P (异于点A )，使得PO PA ⊥，则椭圆离心率的取值范围为________.

分析 此题中的点P 满足PO PA ⊥，即点P 在以AO 为直径的圆上，也即椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>与以AO 为直径的圆有不同于点A 的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点'P ，则点P 与点'P 的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.

解 作仿射变换，令','a x x y y b

==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，原坐标系中以AO 为直径的

圆的方程为220x ax y -+=，则0'b y a y ⎛=== ⎝⎭，不难

求得椭圆离心率,12e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭

. 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.

例2 已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________.

分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，

与圆的四个交点所形成的面积最大.

解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为

(,0)(,0)c c -、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14

，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可.由文[2]中的结论，易得当

0,2c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦

时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02⎛ ⎝⎦，.

说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算

较为简便，故使得本题的解答过程大大简化.本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.

例2变式 已知椭圆22143x y +=，(1,)A m 为椭圆内一定点，过点A 的弦与椭圆交于P Q 、两点，若使得三角形OPQ 面积为3的弦PQ 存在两条，则m 取值范围为________.

例3 （2014年常州期末第18题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于A B 、两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e （其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =.

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么m k

是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.

分析 此题按照常规解法较为繁琐，但利

用仿射变换会使得问题的解决变得简单.仿射

变换后，点A B M P Q 、、、、分别变换为点

'''''A B M P Q 、、、、，对应直线的斜率变换为原来的a b

倍，且根据圆的性质，可得''''A B O Q ⊥，利用此性质可较容易求得m 与k 的比值关系.

解 作仿射变换，令','a x x y y b

==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点A B M P Q 、、、、分别变换为点'''''A B M P Q 、、、、，由'M 为''A B 中点，可得''''A B O Q ⊥.

（1）当A B 、两点分别是原坐标系中椭圆E 的右顶点及上顶点

时，经仿射变换得到()()22',0,'0,,,,,22a a a a A a B a Q M c bc ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，此时线段''A B

所在直线斜率为1-，则''O Q 斜率为1，即22=1a a b c bc ⇒=,22

a a c =，计

算易得2a c ==，即椭圆E 的标准方程为2215x y +=. （2）经仿射变换后，''O P 是''''O M O Q 、的等比中项''A B 所在直线斜率变换为a

k

b ，则根据''''A B O Q ⊥，可得''O Q 斜率为，

2

''''2a O Q O P c k

===-，因为2''''('')O Q O M O P =g ，即

求得

''O M =，又因为tan '''=ak M O y b

-∠=，则''b m O M a =g ，化简计算易得''2b m O M k a

==-g ，即m k 为定值2-.

说明 本题原答案是利用直线AB 与椭圆联立求得M 点坐标，进而求得直线OQ 后，继续令直线OQ 与椭圆联立，求得P 点坐标，再利用三条线段成等比中项求得m 与k 的比值，运算量较大.但利用仿射变换的办法，把椭圆仿射变换为圆后，各线段间几何关系明显且使得问题简洁易解，运算量大大简化.