高考数学二轮复习专题七概率与统计7.1排列组合与二项式定理理
高考数学二轮复习考前专题七概率与统计第1讲排列、组合、二项式定理讲学案理(2021学年)
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第１讲排列、组合、二项式定理1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题,以小题形式考查．2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识,近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理,将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．例1 （1)（２０17·东北三省三校联合)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌,牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有( )A．20种Ｂ．2１种C．22种ﻩD．24种答案Ｂ解析分类讨论.当广告牌没有蓝色时，有1种结果；当广告牌有1块蓝色时,有Ｃ1，６＝6(种）结果;当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色,形成５个位置，插入2块蓝色,有C错误!=1０（种）结果;当广告牌有3块蓝色时，先排３块红色,形成4个位置，插入3块蓝色,有C错误!=4(种)结果;由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌．根据分类加法计数原理有1＋６＋10+４＝21（种）结果.故选B。
2019高考数学二轮复习 专题七 概率与统计 第一讲 排列与组合、二项式定理学案 理
第一讲排列与组合、二项式定理考点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．[对点训练]1．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )A．12对 B．15对 C．18对 D．20对[解析] 依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A 有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D.[答案] D2．(2018·河北唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是( ) A．18 B．16 C．12 D．9[解析] 根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同的四位数，故选D.[答案] D3.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )A．120 B．140C．240 D．260[解析] 由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C 处与A处所涂颜色相同，则C处有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D.[答案] D[快速审题] 看到计数问题，想到分类加法计数原理和分步乘法计数原理．两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．考点二排列、组合排列与组合的异同点[对点训练]1．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A．60种 B．20种 C．10种 D．8种[解析] 根据题意，可分两步完成：第一步，先安排四盏不亮的路灯，只有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C35＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有1×10＝10(种)，故选C.[答案] C2．(2018·山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．168[解析] 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.[答案] B[探究追问] (1)若第2题中，“同类节目不相邻”改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？(2)若第2题中，“同类节目不相邻”改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”[解析] (1)(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有A33种不同排法．又歌舞类节目有A33种排法，小品类节目有A22种排法，所以共有A33×A33×A22＝72(种)不同排法．(2)分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有A 13·A 24A 33＝216(种)排法；第二类，若第一个节目排小品类节目，则有A 12·A 14·A 44＝192(种)排法．故共有216＋192＝408(种)不同的排法．[答案] (1)72种 (2)408种3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)[解析] 解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：①2女1男：有C 22C 14＝4种选法；②1女2男：有C 12C 24＝12种选法，故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16种．解法二：从2位女生，4位男生中选3人有C 36＝20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有C 34＝4种，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16种．[答案] 164．(2018·北京西城一模)某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种．(用数字作答)[解析] B 与C 必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素全排列共有A 44种排法，而B 与C 的顺序有A 22种排法，又A 必须在D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有A 44·A 22A 2＝24(种)．[答案] 24[快速审题] (1)看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则． (2)看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法． (3)看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法．解排列组合综合问题的4个角度考点三 二项式定理1．通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k(k ＝0,1,2，…，n )，其中C k n 叫做二项式系数．2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn ； (2)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (3)C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.[对点训练]1．(2018·山东枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C ．1D ．2 [解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1xr ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.[答案] D2．(2018·河北邯郸二模)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405 [解析][答案] C3．(2018·福建漳州二模)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.[答案] D4．(2018·浙江卷)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________．[解析][答案] 7[快速审题] (1)看到展开式中求二项式系数或项的系数，想到二项展开式的通项． (2)看到二项式的系数和问题，想到用赋值法．利用二项式定理求解的3种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．(3)二项展开式的最大项是通过不等式组确定的．1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种[解析] 第一步：将4项工作分成3组，共有C 24种分法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A 33种分配方法，故共有C 24·A 33＝36种安排方式，故选D.[答案] D2．(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·(2x －1)r ＝2r C r 5·x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为22×C 25＝40.故选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80[解析] (2x －y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r·(－y )r ＝(－1)r·25－r C r5·x5－r y r.其中x 2y 3项的系数为(－1)3·22·C 35＝－40，x 3y 2项的系数为(－1)2·23·C 25＝80.于是(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为－40＋80＝40.[答案] C4．(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)[解析] 含有数字0的没有重复数字的四位数共有C 25C 13A 13A 33＝540个，不含有数字0的没有重复数字的四位数共有C 25C 23A 44＝720个，故一共可以组成540＋720＝1260个没有重复数字的四位数．[答案] 12605．(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)[解析] 有一个数字是偶数的四位数有C14C35A44＝960个．没有偶数的四位数有A45＝120个．故这样的四位数一共有960＋120＝1080个．[答案] 10801.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型．2．二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第9～10或第13～15题的位置上．热点课题17 分类讨论思想在排列组合中的应用[感悟体验]1．(2018·济南二模)某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有( ) A．330种 B．420种C．510种 D．600种[解析] 当甲、乙、丙三位同学都只选1门，不同的选法有A35＝60(种)；当甲、乙、丙三位同学有一位选1门，另外两位选2门，不同的选法有C13C15C24C22＝90(种)；当甲、乙、丙三位同学有两位选1门，另一位选2门，不同的选法有C13C25C13C12＝180(种)，共有60＋90＋180＝330(种)．[答案] A2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A．232 B．252 C．472 D．484[解析] 由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C34种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C24·C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24·C112＝560－16－72＝472种，选C.[答案] C专题跟踪训练(二十八)一、选择题1．(2018·惠州市二调)旅游体验师小李受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18 C．16 D．10[解析] 分两种情况，第一种：若最后去甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：若不在最后去甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.[答案] D2．(2018·开封市定位考试)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A ．6B ．12C ．18D ．19[解析] 解法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有C 13C 23＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C 23C 13＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种，所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.解法二：从六科中选考三科的选法只有C 36种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法只有1种，因此学生甲的选考方法共有C 36－1＝19(种)，故选D.[答案] D3．(2018·广西贵港市联考)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为( )A ．－240B ．－60C ．60D ．240[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 12－3r，令12－3r ＝0，得r ＝4，故常数项为T 5＝(－2)4C 46＝240，故选D.[答案] D4．(2018·长郡中学实验班选拔考试)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x 2的项的系数为( )A ．560B ．－560C ．280D ．－280[解析] 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 7的展开式中的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1，解得a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560，故选A.[答案] A5．将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种[解析] 先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C 35＋C 15×C 24×C 222！＝25(种)分法；再将三组学生分到3所学校有A 33＝6(种)分法，故共有25×6＝150(种)不同的保送方法．故选A.[答案] A6．(2018·广州一模)(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的常数项为( ) A ．54 B ．56 C ．58 D ．60[解析] (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的常数项就是⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的常数项与x －1项的系数之和.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·26－r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0得r ＝4，所以常数项是(－1)4×22×C 46＝60，令12－3r ＝－1得r ＝133，不符合题意，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的x －1项是不存在的，故选D. [答案] D7．(2018·广东肇庆三模)(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1344x 2y 5 [解析] 设第r ＋1项的系数最大，又∵r ∈Z ，∴r ＝5.∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.[答案] C8．(2018·衡水一模)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为( )A ．24B ．28C ．36D ．48[解析] 按红红之间有蓝、无蓝这两类来分情况研究．(1)当红红之间有蓝时，则有A 22A 24＝24种情况；(2)当红红之间无蓝时，则有C12A22C12C13＝24种情况．因此这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，共有24＋24＝48种排法．故选D.[答案] D9．(2018·广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( )A．480种 B．360种 C．240种 D．120种[解析] 根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44＝24种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C.[答案] C10．(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( ) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种[解析] 若甲、乙抢到的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)；若甲、乙抢到的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)；若甲、乙抢到的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6(种)；若甲、乙抢到的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.[答案] C11.(2018·合肥市三模)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图所示．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为( )A．96 B．114 C．168 D．240[解析] 首先在a 中种植，有4种不同方法，其次在b 中种植，有3种不同方法，再次在c 中种植，若c 与b 同色，则d 有3种不同方法，若c 与b 不同色，c 有2种不同方法，d 有2种不同方法，最后在e 中种植，有2种不同方法，所以不同的种植方法共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.[答案] C12．(2018·郑州市第二次质量预测)将数字“124467\”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A ．72B ．120C ．192D ．240[解析] 若将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，①若末位数字为2，因为含有2个4，所以偶数有5×4×3×2×12＝60(个)；②若末位数字为6，同理偶数有5×4×3×2×12＝60(个)；③若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以偶数有5×4×3×2×1＝120(个)．综上可知，不同的偶数共有60＋60＋120＝240(个)．[答案] D二、填空题13．(2018·海南省五校二模)从数字0,1,2,3,4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，则组成的三位数中是3的倍数的有________个．[解析] 若取出的3个数字中包含0，则由数字0,1,2或0,2,4组成的三位数满足题意，共组成8个三位数；若取出的3个数字中不包含0，则由数字1,2,3或2,3,4组成的三位数满足题意，组成的三位数共有2A 33＝12(个)．综上可知，共有20个三位数满足题意．[答案] 2014．(2018·东北三省四市二模)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答)[解析] 电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C 14种选法，将2张连号的票分给甲、乙，共有A 22种分法；其余3张票分给其他3个人，共有A 33种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C 14A 22A 33＝48(种)分法．[答案] 4815．(2018·湖北黄冈期末)设(1－ax )2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2018，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018a (a ≠0)，则实数a ＝________.[解析] 已知(1－ax )2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2018，两边同时对x 求导， 得2018(1－ax )2017(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2018a 2018x2017， 令x ＝1得，－2018a (1－a )2017＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018a ， 又a ≠0，所以(1－a )2017＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2. [答案] 216．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有________种(用数字作答)．[解析] 解法一：在x轴上，标出A(1,0)，B(2,0)，C(3,0)，D(4,0)，E(－1,0)，依题意知，跳动4次后，只有在B点或D点可跳到C点，画出树状图，可得结果为5.OEOABCAOABCBABCCBCDC解法二：将向右跳一次记为＋1，向左跳一次记为－1，需要其和为＋3，那么应为4个＋1,1个－1，∴质点不同的运动方法共有C15＝5种．[答案] 5。
「精品」新课标高考数学二轮复习专题七概率与统计专题能力训练19排列组合与二项式定理理
专题能力训练19 排列、组合与二项式定理能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种2.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为()A.5B.40C.20D.103.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.65.展开式中的常数项为()A.-8B.-12C.-20D.206.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为() A.1 860 B.1 320 C.1 140 D.1 0207.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则的最小值为()A.2B.C.D.8.(2017辽宁抚顺一模)在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 6009.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.21010.(2017湖北孝感第一次联考)已知二项式的展开式中含x3的系数为-,则的值为()A. B.C. D.11.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)12.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.13.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.14.在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.15.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有种.(用数字作答)16.(2017浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.17.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)18.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)思维提升训练19.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种20.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.821.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有()A.36种B.30种C.24种D.6种22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27B.28C.7D.823.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)24.1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.8725.某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有()A.198个B.180个C.216个D.234个26.(2017江西模拟)若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相邻的排法总数为k,则二项式的展开式中含x2项的系数为.27.设二项式的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a=.28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.参考答案专题能力训练19排列、组合与二项式定理能力突破训练1.B解析完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有=24种不同的排法.所以共有+4=216种不同的排法.2.D解析令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r x10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.3.D解析由条件知,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.C解析展开式的通项为T r+1=(x6)n-r,因为展开式中含常数项,所以6n-r=0成立,即n=r.当r=4时,n有最小值5.故选C.5.C解析因为,所以T r+1=x6-r=(-1)r x6-2r,所以当r=3时为常数项,常数项为-=-20.6.C解析依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.B解析令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,=2n+,令t=2n,t≥2,则=2n+=t+2+故选B.8.B解析若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是=1200,若4人中,有甲电视台记者2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是=1200,若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.C解析∵(1+x)6展开式的通项为T r+1=x r,(1+y)4展开式的通项为T h+1=y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h,∴f(m,n)=∴f (3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.10.C解析二项式的展开式的通项公式为T r+1=x9-r x9-2r,令9-2r=3,r=3,将r=3代入得=-,解得a=-1,d x=故选C.11.-20解析(x+y)8的通项为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.12.4解析二项展开式的通项T r+1=(3x)r=3r x r,令r=2,得32=54,解得n=4.13.36解析先分组,再分配.共有两种分组情况:2,2,1和3,1,1.①若分成2,2,1三组,共有=18种分法;②若分成3,1,1三组,共有=18种分法.由分类计数原理知,共有18+18=36种分法.14.112解析由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式展开式的通项为T r+1=)8-r=(-2)r,求常数项则令r=0,所以r=2,所以T3=112.15.1 080解析先将6位志愿者分组,共有种方法;再把各组分到不同场馆,共有种方法.由乘法原理知,不同的分配方案共有=1080.16.164解析由二项式展开式可得通项公式为x3-r x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.17.660解析由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有:=660种.18.1 560解析该问题是一个排列问题,故共有=40×39=1560条毕业留言.思维提升训练19.A解析将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.20.B解析:由题意可知,a=,b=,∵13a=7b,∴13=7,即解得m=6.故选B.21.B解析首先从四个人中选择2个人作为一组,其余2个人各自一组分派到三个竞赛区,共有种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数排除,继而所求的安排方法有=30种,故答案为B.22.C解析令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.A解析本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.24.B解析1-90+902+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.25.A解析不选2时,有=72种;选2,不选Z时,有=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有=36种,当2在数字的第三位时,有=18种,根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198,故选A.26解析由题设k=2=12,所以T r+1=x r,则由题设r=2,所以含x2项的系数为=66,应填答案6-r=(-a)r x6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2=15a2;令6-2r=0,得27.-3解析Tr=3,B=-a3=-20a3,代入B=4A得a=-3.28.解(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=191.。
备战2019高考数学大二轮复习-专题七 概率与统计 7.1 排列、组合与二项式定理课件 理
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练2安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项
工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种
B.18种 C.24种D.36种
关闭
先把
4
项工作分成
3
份有C
2 4
C 21
C
A
2 2
1 1
种情况,再把
3
名志愿者排列有A33
种D 情况,故不同的安排方式共有C42AC2122C
数原理?
关闭
解：例以1点如S图,A,,将B,C一,D个的四顺棱序锥分步的染每色一. 个顶点染上一种颜色,并使同一
条第棱一步上,的点S两染端色异,有色5种.如方果法只; 有5种颜色可供使用,求不同的染色方法
总第数二步. ,点A染色,与S在同一条棱上,有4种方法;
第三步,点B染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;
016x2 016(x∈R),则���2���1
������ C5������ ������5-32������.
+
令 5-32������=2,可得 r=2.
所以
������-
1 2 ������
5
的展开式中的 x2 的系数为
-
1 2
2
C52
= 52.
(2)令 x=0,得 a0=(1-0)2 016=1.
规律总结
拓展演练
3.应用通项公式要注意五点: (1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定; (2)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项; (3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题; (5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题. 4.二项展开式系数最大的项的求法: 求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数 法 用,设���������展��� ≥开������式������-1中, 解各出项r系,即数得分展别开为式A系1,A数2,最…大,An的+1,项且.第r项系数最大,应
高考数学二轮复习 专题七 概率与统计 第1讲 排列 组合与二项式定理课件 理
m n
=
m!
n! n
m
, !
C
0 n
=1,
Cmn
=
Cnm n
,
Cm n 1
=
C
m n
+
Cm1 n
.
3.二项式定理
(1)定理:(a+b)n=
C
0 n
an+
C1n
an-1b+…+
C
r n
an-rbr+…+
Cn1 n
abn-1+
C
n n
bn(n∈N*).
通项(展开式的第
r+1
项):Tr+1=
C
r n
m!m!
m!(m 1)!
所以 m=6.故选 B.
3.(2015广东卷,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅
写一条毕业留言,那么全班共写了
条毕业留言.(用数字作答)
解析:因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40 人,所以全班共写了40×39=1560(条)毕业留言. 答案:1560
理将种数相乘.
2.排列、组合
(1)排列数公式
A
m n
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),
A
m n
=
n
n!
m!
,
A
n n
=n!,0!=1(n∈N*,m∈N*,m≤n).
(2)组合数公式及性质
C
m n
=
A
m n
A
m m
=
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1) ,
高考数学二轮复习 专题七 概率与统计 2.7.1 排列与组合、二项式定理课件 理
2021/12/13
第二十四页，共四十三页。
[快速审题] (1)看到“在”与“不在”的排列问题，想到特 殊优先原则．
(2)看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空 法．
(3)看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法．
2021/12/13
第二十五页，共四十三页。
解排列组合综合问题的 4 个角度
[答案] D
2021/12/13
第十一页，共四十三页。
[快速审题] 看到计数问题，想到分类加法计数原理和分步 乘法计数原理．
2021/12/13
第十二页，共四十三页。
两个计数原理的应用技巧 (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分 步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图 或表格，使问题形象化、直观化．
2021/12/13
第二十三页，共四十三页。
[解析] B 与 C 必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素 全排列共有 A44种排法，而 B 与 C 的顺序有 A22种排法，又 A 必须 在 D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 AA44·A22 22＝24(种)．
[答案] 24
2021/12/13
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考点二 排列、组合 排列与组合的异同点
2021/12/13
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[对点训练] 1．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏 亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( ) A．60 种 B．20 种 C．10 种 D．8 种
2021/12/13
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3．(2018·福建漳州二模)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a9x9＋a10x10，则 a2＋a3＋…＋a9＋a10 的值为( )
高考数学专题复习排列组合二项式定理概率与统计教案
高考数学专题复习排列组合二项式定理概率与统计教案供老师和学子们享用排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点审视】1．突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2．有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
3．有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
4．有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。
5．有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
【疑难点拨】 1．知识体系：2．知识重点：（1）分类计数原理与分步计数原理。
它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。
（2）排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。
排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。
（3）二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。
二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法――赋值法（令x 1）的应用。
（4）等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。
高考数学知识点排列组合二项式和概率
高考知识点：排列、组合、二项式、概率一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
2019高考数学二轮复习专题七概率与统计271排列与组合二项式定理学案理
哈哈哈哈哈哈哈哈你好摆列与组合、二项式定理1．(2017 ·全国卷Ⅱ ) 安排 3 名志愿者达成 4 项工作，每人起码达成 1 项，每项工作由1 人达成，则不一样的安排方式共有( )A．12种 B ．18种 C ．24 种 D ．36种[分析] 第一步：将 4 项工作分红 3 组，共有 2C 种分法．4第二步：将 3 组工作分派给3 2 3＝ 36 种安排3 名志愿者，共有 A3种分派方法，故共有 C4 ·A3方式，应选 D.[答案] D2．(2018 ·全国卷Ⅲ ) x2＋25的睁开式中 x4的系数为( ) xA．10 B ．20 C ．40 D ．80分析 2 ＋2 5 的睁开式的通项r ＋ 1＝r 2 5－r － 1 r r r r ，令－＝，[ ] x T C ( x ) (2 x ) 2 C x 10 3r 44 2 2＝ 40. 应选 C.得 r ＝2，因此 x 的系数为 2 ×C5[答案] C3．(2017 ·全国卷Ⅲ )( x＋ y)(2 x－y) 5的睁开式中 x3y3的系数为( )A．－ 80 B ．－ 40 C ．40 D ．80[分析] (2 x－y) 5的睁开式的通项为r r·(2 x)5－r r＝(－1)r 5－ r r 5－ r rT ＋1＝C5 ·( －y) ·2C5·x y .此中 2 3 项的系数为 ( － 1) 3 2 3 3 2 项的系数为(－ 1) 2 3 2 于是 ( x＋x y ·2·C＝－ 40，x y ·2·C＝ 80.5 5y)(2 x－ y)5的睁开式中 x3y3的系数为－40＋ 80＝40.[答案] C4．(2018 ·浙江卷 ) 从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取2 个数字，一共能够构成 ________个没有重复数字的四位数．( 用数字作答 )[分析] 含有数字0 的没有重复数字的四位数共有 2 1 1 3 ＝540 个，不含有数字0 的没CCAA5 3 3 3有重复数字的四位数共有 2 2 4 540＋ 720＝ 1260 个没有重复数字C C A ＝ 720 个，故一共能够构成5 3 4的四位数．[答案] 12605．(2017 ·天津卷 ) 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 构成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个． ( 用数字作答 )[分析] 有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44＝ 960 个．没有偶数的四位数有A54＝ 120 个．故这样的四位数一共有960＋ 120＝ 1080 个．[答案] 1080呵呵复生复生复生哈哈哈哈哈哈哈哈你好1.摆列、组合在高中数学中据有特别的地点，是高考的必考内容，极少独自命题，主要考察利用摆列、组合知识计算古典概型．2．二项式定理仍以求二项睁开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出此刻第9～ 10 或第 13～ 15 题的地点上．呵呵复生复生复生。
排列组合和二项式定理及概率统计知识点
排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑬两个公式：①;m n n mn CC -= ②mn m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法.②排除法. n 个不同座位，例：A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.x 2x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
2015届高考二轮复习 专题七 第1讲 排列、组合与二项式定理
数，且为偶数，有两种情况：
一是当 0 在个位的四位偶数有 A3 4＝24(个)；
二是当 0 不在个位时，先从 2,4 中选一个放在个位，再
1 1 2 从余下的三个数选一个放在首位， 应有 A2 A3A3＝36(个)，
故共有四位偶数60个.
热点三
3
(2)如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的展开式中所有项
－5 的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为________.
思维启迪 可用赋值法求二项展开式所有项的系数和.
解析
∵令x＝1得(1＋x＋x2)(x－a)5的展开式中所有项
的系数和为(1＋1＋12)(1－a)5＝0，
∴a＝1，∴(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5
倒位置；
④对二项式 (a － b)n 展开式的通项公式要特别注
意符号问题.
思 (2) 在二项式定理的应用中， “ 赋值思想 ” 是一 维 种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的 升 华 经典方法.
变式训练3
a7 1 (1)(2014· 湖北)若二项式(2x＋ ) 的展开式中 3的系数 x x 是 84，则实数 a 等于( A.2 C.1 ) B. 4 2 D. 4 5
(3)组合数的性质
n－ m m m m－ 1 ①Cm ＝ C ； ② C ＝ C ＋ C . n n n＋ 1 n n
3.二项式定理
n 0 1 n－ 1 2 n－ 2 2 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0 a b ＋ C a b ＋ C b n n na r n－ r r 0 n ＋„＋Cn a b ＋ „＋ C n a n b (r＝ 0,1,2， „，n).
高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第1讲 排列、组合与二项式定理 理
第1讲排列、组合与二项式定理计数原理、排列、组合问题1.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( A )(A)12种(B)10种(C)9种(D)8种解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有错误!未找到引用源。
=2(种)选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有错误!未找到引用源。
=6(种)选派方法.由分步乘法计数原理,不同选派方案共有2×6=12(种).2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有( D )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
解析:先把3个品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,油画与国画有错误!未找到引用源。
种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有错误!未找到引用源。
种.3.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有( C )(A)180 (B)220 (C)240 (D)260解析:先从其他四本不同的书中选一本发给甲同学,有错误!未找到引用源。
种;再从剩下的五本不同的书中选三本发给其他3个同学,有错误!未找到引用源。
种;则不同分配方法有错误!未找到引用源。
=240种.4.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( B )(A)243 (B)252 (C)261 (D)279解析:由0,1,…,9十个数字共可组成三位数个数为错误!未找到引用源。
=900,其中无重复数字的三位数有错误!未找到引用源。
=648(个),则符合题意的三位数个数为900-648=252.故选B.5. 如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有种(用数字作答).解析:从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D若与A颜色相同有1种涂色方法,否则有3种涂色方法.共有6×5×4×(1+3)=480种涂色方法.答案:4806.有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.解析:先把4名学生分为2,1,1的3组,有错误!未找到引用源。
高考冲刺讲义——排列组合与二项式定理及概率与统计的复习
高考最后冲刺讲义——排列组合二项式定理、概率与统计知识梳理1、 两个原理----乘法原理、加法原理原理的应用：最重要的是在开始计算之前要仔细分析------是需要分类还是需要分步；分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”。
主要题型：排位问题、分配问题、涂色问题等。
2、 排列与组合排列组合的综合应用：① 遵循的原则：先分类后分步；先选后排，有限制条件的优先；限制条件多的优先；避免重复和遗漏。
② 解题策略：特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排；合理分类，准确分步；正难则反，等价转化；相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理，定序问题除序、相同元素分组隔板法等。
3、 排列数与组合数：公式：!(1)(2)(1)()!mn n P n n n n m n m =---+=-gg g L g ，规定0!1=(1)(2)21!nn P n n n n =--=gg g L g g (1)(2)(1)!(1)21!()!m mn nm m P n n n n m n C P m m m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+===⋅-⋅⋅⋅-L L ，特别地，011,n n C C n ==组合数的性质：（1）mn mn n C C -=； （2）-1+1+=m m mn n n C C C【例1】（常规题）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（1）4名男生互不相邻； （2）两名女生必须相邻（3）若4名男生身高都不相等，按从高到底的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端。
【答案】（1）144 （2）1440 （3）420 （4）2112【分析】（1）（插空法）：首先排老师和女生，有33P 种站法，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，有44P 种插入方法，所以共有3434144P P =g 种不同站法。
（2）（捆绑法）：2名女生站在一起有22P 种站法，视为一种元素与其余5人全排列，有66P 种排法，所以共有26261440P P =g 种不同站法。
高三数学第二轮专题复习系列(10)--排列、组合、二项式定理和概率统计
高三数学第二轮专题复习系列(10)--排列、组合、二项式定理和概率统计一、知识要点二、高考要求1、掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题。
2、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
5、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6、了解等可能事件的概率的意义，并会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
7、了解互斥事件的相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
8、会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
9、了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
10、了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求期望与方差。
11、了解连续型随机变量的概率密度的意义。
12、会用简单随机抽样，系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
13、会用2S*与2S去估计总体方差2δ，会用S*与S去估计总体标准δ。
14、会用样本频率分布去估计总体分布。
了解线性回归的方法和简单应用。
三、热点分析排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误,并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难。
解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题。
二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点。
概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫。
高中数学中的排列组合和二项式定理
排列组合和二项式定理是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将从这三个概念的定义、性质、应用等方面进行阐述。
排列组合和二项式定理都是与排列组合相关的重要数学概念。
排列组合主要用于计算有限集合中元素的排列组合数，而二项式定理则是一个数学公式，描述了两个二进制数的组合方式。
排列组合和二项式定理在数学中有着广泛的应用。
首先，在组合数学中，排列组合被用来计算组合的系数。
例如，在计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数时，可以使用排列组合的方法来计算。
此外，排列组合还可以用于解决一些概率问题，例如，在抽奖活动中，可以通过计算不同号码的组合数来计算中奖的概率。
其次，二项式定理在统计学和概率论中有着广泛的应用。
例如，在计算平均数、方差和标准差等统计量时，可以使用二项式定理来计算。
此外，二项式定理还可以用于解决一些概率问题，例如，在计算抛硬币的正反面出现的概率时，可以使用二项式定理来计算。
排列组合和二项式定理的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：1. 计算组合数：假设要从n个不同元素中选取k个元素，不考虑顺序，那么可以使用排列组合的方法来计算组合数。
具体地，可以计算出所有可能的排列数，然后除以从n个元素中选取k个元素的排列数。
例如，从5个不同元素中选取3个元素的组合数为C(5,3) = 10。
2. 计算概率：假设要进行一次抽奖活动，其中有10个不同的号码，每个号码出现的概率为1/10。
那么可以计算出所有可能的组合数，即10个不同的号码的排列数。
然后，根据二项式定理来计算中奖的概率。
具体地，可以计算出中奖的概率等于中奖号码出现的次数与总次数的比值。
例如，如果中奖号码为5号，那么中奖的概率等于5/10 = 0.5。
3. 计算统计量：假设要进行一次考试，共有10道题目，每道题目有3个选项。
那么可以计算出所有可能的组合数，即30种不同的答案组合方式。
然后，根据二项式定理来计算平均分数、方差和标准差等统计量。