12.9周期为2l的傅里叶级数解析
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12.13 周期为2pi的函数的傅立叶展开
和
f
(x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos(2n
1) x ,
当x 0时, f (0) 0,
从而有
2
8
1
1 32
1 52
设
1
1 22
1 32
1 42
,
1
1
1 32
1 52
(
2
8
)
2
1 22
1 42
1 62
,
3
1
1 22
1 32
1 42
,
4 2 1 2 ,
2
1
3
2
24
,
1
2
2
0
2
x2 2
x
0
2
y
an
2
( x 1)cos nx d x
0
1
o x
2
x sin nx n
cos nx n2
sin nx n
0
2
n2
cos n
1
4
(2k 1)2
,
n 2k 1
(k 1, 2,)
0, n 2k
x 1 1
2
4
k 1
1 (2k 1)2
cos(2k 1)x
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
1 7
sin
7t
)
所给函数满足Dirichlet充分条件.
当t k时, 收敛于ut .
在点t
k
(k
0,1,2,)处不连续
.
收敛于
1 2
1
12.9周期为2l的傅里叶级数
1
p
F (t ) sin ntdt. p p
1
p
t
px
l
F (t ) f ( x)
a0 np np f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l
1 l np 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l 1 l np bn f ( x ) sin xdx. l l l
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数 .
方法2
令
即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
x
2 0
4 np
2 2
(1)
n
1
1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba f ( x) F ( z ) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则 解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
周期为2L的周期函数的傅立叶级数
1M
其中
an
—
I
F(t)cosntdt
"
(n
=
0,1,2,—) 冗J一
1 en
bn =
I F(t) sin ntdt (n = n ~n
1,2,…)
则f (x)的傅里叶级数为：3a+Z&( ann n* x+如sninnx).
2
l
l
n=1
板书
1
t =竺 =—其|中1 f a(xn =)co—s 1I^FnnX(~t)-ncnosdnxtndtJT
2n 23 2 5 2
(—8 v x v +8； x 主 0,±2,±4,…)
•令x = 1,则f (1) = k.于是
,111 n 357 4
例2将函数f (x) = 10 - x (5 v x v 15)展开成
傅里叶级数.
将f (x)以周期T = 2l = 10延拓, 其傅里叶级数在(5,15)内 收敛于f ( x ).
5 vnn
—nxn)xsin-nxdx1=0
(—1)n
—
(n
=
1,2,—)
n
5f5
'
Hr zv \ -t n 10。(—1)" . nn
A
故 f (x) = 10 一 x = V sin x (5 v x < 15).
n5
冗 n=1
I三、小结
•求傅里叶展开式的步骤：
1. 画图形验证是否满足收敛条件(收敛域); 2. 求出傅里叶系数； 3. 写出傅氏级数，注明它在何处收敛于f (x).
ll
1 ci nnx
=；Lf(x)cos；dx (n = 0丄2,…)
12.8 周期为2l的傅立叶级数
其中，an
1
F(z) cos
nzd
z，bn
1
F (z)sin nzd z
4
令 z x ，并注意到 F (z) f (x).
l
则
an
bn
1 l
1 l
l l l l
f (x) cos n x dx
l
f (x) sin n x dx
l
(n 0,1, 2, ) (n 1, 2, )
a0
a0 2
n1
an
cos
n
l
x
其中，an
2 l
l
n x
f (x) cos dx
0
l
(n 0,1, 2,
)
注：无论哪种情况，若 x 为 f (x) 在连续点，傅立叶级数
收敛于 f (x)；若 x 为 f (x) 在间断点，傅立叶级数
收敛于
f
(x)
f
(x ) .
2
6
例1 交流电压 E(t) E sin t，经半波整流后负压消失，
2
k1 1 4k 2
直流部分 交流部分
10
★ 定义在[-l,l]上的 f (x)的傅里叶级数展开 f (x)， x [l,l]
周期延拓
F
(x)
f
f (x),
(x 2k
),
x [其l,l它) ，以2l 为周期
傅立叶展开
F ( x)的傅里叶级数展开
限制
f (x)在[l,l]上的傅里叶级数展开
11
F(z 2 ) f [l(z 2 )] f (l z 2l) f (l z ) F(z)
即，F(z)是以2 为周期的周期函数，且满足收敛定理条件.
关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题
关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题本文关于清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题。
标签：大学数学；傅里叶级数；伪证明【文章編号】2236-1879（2017）10-0026-02（1）在清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”；（2）在伍胜建编著的北京大学数学教学系列丛书本科生数学基础课教材《数学分析》第二册12.1.4节：周期为2T的函数的傅里叶级数；（3）在同济大学数学教研室主编的高等数学教材《高等数学》下册第四版，第五版，第六版教材中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”一节；（4）在武汉大学数学与统计学院主编的大学公共数学系列教材《高等数学》下册中“一般周期函数的傅里叶级数”一节；（5）在萧树铁主编，郑建华编著的普通高等教育“十五”国家级规划教材《大学数学·微积分》（高等教育出版社出版）第二版6.3.1节“以T为周期的函数的傅氏级数”一节；在高等数学编写组编的高等院校教材《高等数学》下册（中国人民大学出版社出版）续篇第一章第5节“任意周期函数的傅里叶级数”一节，在以上六本教材中“周期为2L周期函数的傅里叶级数”一节中，均有定理：设周期为2L的周期函数f（x）满足收敛定理条件，则它的傅里叶级数展开式为：f（x）=a02+Σ∞n=1ancosnπxl+bnsinnπxl（1）a0，an，bn略。
随后给出了证明或推理，证明大致如下：第一步：做变量代换z=πxl，于是函数x∈[-L，L]变成z∈[-π，π].即函数周期从2L变成2π，f（x）变成F（z）；第二步：由上一节收敛定理得周期为2π的周期函数F（z）满足收敛定理，可得F（z）的傅里叶级数展开式F（z）=a02+Σ∞n=1（ancosnz+bnsinnz）（2）第三步：将z=πxl，F（z）=f（x）代入（2），即得证（1）。
一般周期函数的傅里叶级数
2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn
以2L为周期的傅氏级数-PPT文档资料
于是由(1)与(2)式分别得
这里(4)式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数， (3)式是 f 的傅里叶级数.
n x a f ( x ) cos dx , n 0 , 1 , 2 , n l l (4) l n x b f ( x ) sindx , n 0 , 1 , 2 , n l l
若 f 在 l, l 上可积，则 F 在[-π ，π ]上也 可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是： a F ( t ) ~0 ( a cos nt b sin nt ) (1) n n
2
其中
1 a F ( t ) cos ntdt , n 0 , 1 , 2 , n
且展开式在 ( 5 , 5 ) 内收敛于 F ( z ).
这拓广的周期函数满足 收敛定理的条件 ,
a 0 ,( n 0 , 1 , 2 , ) n
25 n z b z ) sin dz n ( 50 2 5 n 10 (1) , ( n 1 , 2 , ) n
氏 级 数 .
解 作变量代换 z x 10 ,
5 z 5 , 5 x 15
f ( x ) f ( z 10 ) z F ( z ),
补充函数 F ( z ) z( 5 z 5 ) 的定义 ,
F ( z ) 作周期延拓 ( T 10 ) 令 F ( 5 ) 5 , 然后将
15.2 以2L为周期的傅氏级数
一、以2L为周期的傅立叶级数 二 、偶函数与奇函数的傅立叶级数
本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶 级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级 数展开式．
一、以2L为周期的傅氏级数
一般周期的函数的傅里叶级数
n x d x ( n 0 , 1, 2 , ) 其中 an f ( x) cos l 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
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例1. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
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2 2 a0 x d x 2 0
1 (2k 1) x ( 0 x 2 ) f ( x) x 1 2 cos 2 2 k 1 (2k 1) 8
说明: 此式对
也成立,
y
据此有
1 2 (2k 1) 2 8 k 1
作业:
11.8 1 ; 2 .
本章已讲完,下次课为习题课,请复习.
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则在函数的连续点处其傅里叶展开式为:
其中
n x 1 l d x (n 0 , 1, 2 ,) an f ( x) cos l l l
1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
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(x 间断点)
结束
思考与练习
1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形? 答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出 收敛域 . 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算 an , bn时 ,如分母中出现因子n－k
高等数学12.7一般周期函数的傅里叶级数
1 2 n a n 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 k 1 2 n (1 cos n ) bn k sin xdx n 2 0 2 2k 当n 1,3,5, , n 0 当n 2,4,6,
( n 1,2,3,)
于是有
f ( x)
l
n
Cne
i
i
nx l
, 傅里叶级数的复数形式
1 C n f ( x )e 2l l
nx l
dx ( n 0, 1, 2, )
傅里叶系数的复数形式
例 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数,它在 [ 1,1) 上的表达式为 f ( x ) e x , 将其展成复数形式 的傅氏级数.
1 1 (1 in ) x 1 1 x inx dx 解 cn e e dx e 2 1 2 1
1 1 in 1 [e cos n e cos n] 2 2 2 1 n
1 in ( 1) sinh 1, 2 2 1 n
4
2
0
2
4
x
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2)
0 2 x 0 , 将其展 上的表达式为 f ( x ) x2 k 0 a0 n x n x (an cos ), bn sin 成傅里叶级数. f ( x ) ~
it
it
,
a0 nx nx bn sin ) f ( x ) ( an cos 2 n 1 l l
nx nx nx nx i i i a0 an i l ib n l l l e e e e 2 n 1 2 2
( n 1,2,3,)
于是有
f ( x)
l
n
Cne
i
i
nx l
, 傅里叶级数的复数形式
1 C n f ( x )e 2l l
nx l
dx ( n 0, 1, 2, )
傅里叶系数的复数形式
例 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数,它在 [ 1,1) 上的表达式为 f ( x ) e x , 将其展成复数形式 的傅氏级数.
1 1 (1 in ) x 1 1 x inx dx 解 cn e e dx e 2 1 2 1
1 1 in 1 [e cos n e cos n] 2 2 2 1 n
1 in ( 1) sinh 1, 2 2 1 n
4
2
0
2
4
x
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2)
0 2 x 0 , 将其展 上的表达式为 f ( x ) x2 k 0 a0 n x n x (an cos ), bn sin 成傅里叶级数. f ( x ) ~
it
it
,
a0 nx nx bn sin ) f ( x ) ( an cos 2 n 1 l l
nx nx nx nx i i i a0 an i l ib n l l l e e e e 2 n 1 2 2
周期为2l的傅立叶级数
周期为2l的傅立叶级数
目 录
• 引言 • 周期为2l的傅立叶级数 • 傅立叶级数的计算方法 • 傅立叶级数的应用实例 • 结论
01 引言
傅立叶级数的背景和重要性
傅立叶级数是一种将周期函数表 示为无穷级数的方法，它在数学、 物理和工程领域有着广泛的应用。
通过傅立叶级数，我们可以将复 杂的周期函数分解为简单的正弦 和余弦函数，从而更好地理解和
滤波器设计
通过傅立叶级数，可以设 计出各种滤波器，用于信 号的降噪、增强和分离。
调制与解调
在通信系统中，傅立叶级 数用于信号的调制和解调， 实现信号的传输和接收。
在图像处理中的应用
图像压缩
傅立叶变换可以将图像从空间域转换到频率域， 便于去除冗余信息，实现图像的压缩。
图像增强
通过傅立叶级数，可以对图像进行滤波和锐化， 改善图像的视觉效果。
唯一性
• 如果f(x)在区间[-l, l]上有定义，那么它的傅立叶级数展开 是唯一的。
平移不变性
• 如果函数f(x)满足$f(x+h) = f(x)$，其中h是常数， 那么它的傅立叶级数在平移h后仍然成立。
微分与积分
• 对傅立叶级数中的每一项分别求导或积分， 不会改变级数的和。
信号处理
• 通过傅立叶级数可以将周期信号表示 为一系列正弦和余弦波的叠加，从而 方便分析信号的频率成分和频谱特性。
图像识别
傅立叶级数可以用于图像的特征提取和分类，实 现图像的自动识别和标注。
在其他领域的应用
数值分析
傅立叶级数用于求解偏微分方程和积分方程，提供数值解的有效 方法。
控制系统
傅立叶级数用于分析系统的稳定性和频率响应，优化控制系统的性 能。
地球物理学
目 录
• 引言 • 周期为2l的傅立叶级数 • 傅立叶级数的计算方法 • 傅立叶级数的应用实例 • 结论
01 引言
傅立叶级数的背景和重要性
傅立叶级数是一种将周期函数表 示为无穷级数的方法，它在数学、 物理和工程领域有着广泛的应用。
通过傅立叶级数，我们可以将复 杂的周期函数分解为简单的正弦 和余弦函数，从而更好地理解和
滤波器设计
通过傅立叶级数，可以设 计出各种滤波器，用于信 号的降噪、增强和分离。
调制与解调
在通信系统中，傅立叶级 数用于信号的调制和解调， 实现信号的传输和接收。
在图像处理中的应用
图像压缩
傅立叶变换可以将图像从空间域转换到频率域， 便于去除冗余信息，实现图像的压缩。
图像增强
通过傅立叶级数，可以对图像进行滤波和锐化， 改善图像的视觉效果。
唯一性
• 如果f(x)在区间[-l, l]上有定义，那么它的傅立叶级数展开 是唯一的。
平移不变性
• 如果函数f(x)满足$f(x+h) = f(x)$，其中h是常数， 那么它的傅立叶级数在平移h后仍然成立。
微分与积分
• 对傅立叶级数中的每一项分别求导或积分， 不会改变级数的和。
信号处理
• 通过傅立叶级数可以将周期信号表示 为一系列正弦和余弦波的叠加，从而 方便分析信号的频率成分和频谱特性。
图像识别
傅立叶级数可以用于图像的特征提取和分类，实 现图像的自动识别和标注。
在其他领域的应用
数值分析
傅立叶级数用于求解偏微分方程和积分方程，提供数值解的有效 方法。
控制系统
傅立叶级数用于分析系统的稳定性和频率响应，优化控制系统的性 能。
地球物理学
一般周期函数的傅里叶级数
− +
级数收敛于 0
展开成余弦级数的方法： 展开成余弦级数的方法： 首先， 进行偶延拓， 首先，将 f ( x ) 进行偶延拓， 将它拓广 然后， 为 [− l , l ] 上的偶函数 F ( x ) ； 然后， F ( x ) 将 展开成傅氏级数(余弦级数 ；最后， 展开成傅氏级数 余弦级数)；最后， 余弦级数 再将 x 限制在 [0, l ] 上， 就得到 f ( x ) 的余弦级数 展开式。 展开式。 即：
按(4) 式求出 an , 从而得到 f ( x ) 的余弦级数
a0 ∞ nπ x + ∑ a n cos 2 n =1 l
在点 x ∈ (0, l ) ， x 是 f ( x ) 的连续点时， 的连续点时， 级数收敛于 f ( x )
x 是 f ( x ) 的间断点时， 的间断点时， 级数收敛于 f ( x ) + f ( x ) 2 在端点 x = 0 ，级数收敛于 f (0+ )
按(3) 式求出 bn , 从而得到 f ( x ) 的正弦级数
nπx ∑ bn sin l n =1
∞
在点 x ∈ (0, l ) ， x 是 f ( x ) 的连续点时， 的连续点时， 级数收敛于 f ( x ) ；
x 是 f ( x ) 的间断点时， 的间断点时， 级数收敛于 f ( x ) + f ( x ) 2 在端点 x = 0, l ，
傅氏系数： 计算 傅氏系数：∵ 2l = 4 ∴ l = 2
1 2 nπ x dx an = ∫− 2 f ( x ) cos 2 2 nπ x 1 0 n x + ∫ 2 k ⋅ cos π dx ] [ ∫− 2 0 ⋅ cos = dx 0 2 2 2 n≠0 k 2 nπ x 2 sin ⋅ = |0 2 2 nπ
级数收敛于 0
展开成余弦级数的方法： 展开成余弦级数的方法： 首先， 进行偶延拓， 首先，将 f ( x ) 进行偶延拓， 将它拓广 然后， 为 [− l , l ] 上的偶函数 F ( x ) ； 然后， F ( x ) 将 展开成傅氏级数(余弦级数 ；最后， 展开成傅氏级数 余弦级数)；最后， 余弦级数 再将 x 限制在 [0, l ] 上， 就得到 f ( x ) 的余弦级数 展开式。 展开式。 即：
按(4) 式求出 an , 从而得到 f ( x ) 的余弦级数
a0 ∞ nπ x + ∑ a n cos 2 n =1 l
在点 x ∈ (0, l ) ， x 是 f ( x ) 的连续点时， 的连续点时， 级数收敛于 f ( x )
x 是 f ( x ) 的间断点时， 的间断点时， 级数收敛于 f ( x ) + f ( x ) 2 在端点 x = 0 ，级数收敛于 f (0+ )
按(3) 式求出 bn , 从而得到 f ( x ) 的正弦级数
nπx ∑ bn sin l n =1
∞
在点 x ∈ (0, l ) ， x 是 f ( x ) 的连续点时， 的连续点时， 级数收敛于 f ( x ) ；
x 是 f ( x ) 的间断点时， 的间断点时， 级数收敛于 f ( x ) + f ( x ) 2 在端点 x = 0, l ，
傅氏系数： 计算 傅氏系数：∵ 2l = 4 ∴ l = 2
1 2 nπ x dx an = ∫− 2 f ( x ) cos 2 2 nπ x 1 0 n x + ∫ 2 k ⋅ cos π dx ] [ ∫− 2 0 ⋅ cos = dx 0 2 2 2 n≠0 k 2 nπ x 2 sin ⋅ = |0 2 2 nπ
如何理解傅里叶级数
如何理解傅里叶级数傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，用于分析周期性信号。
它的概念由法国数学家傅里叶在18世纪末提出，经过两个世纪的发展和完善，已经成为了现代物理学、工程学、计算机科学等领域中不可或缺的数学方法之一。
傅里叶级数的核心思想是将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an cos(nωt) + bn sin(nωt))其中，a0、an和bn是常数，ω是角频率，n是正整数。
这个级数中的每一项都是一个正弦或余弦函数，而这些函数的频率是ω/n。
傅里叶级数告诉我们，一个周期性函数可以由不同频率的正弦和余弦函数组成，而这些函数在一起又可以还原成原始函数。
为了求解傅里叶级数的系数a0、an和bn，我们可以利用傅里叶级数的正交性质。
具体来说，正弦和余弦函数在一个周期上的积分等于0，除非它们具有相同的频率。
这意味着，我们可以通过对原始函数进行积分和乘法操作，与正弦和余弦函数相乘后再在一个周期上积分，来计算出傅里叶级数的系数。
傅里叶级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在声音分析中，我们可以将一个复杂的声音信号分解成多个不同频率的正弦波，从而得到声音的频谱信息。
在图像处理中，傅里叶级数可以将一个图像分解成不同频率的正弦和余弦模式，从而实现图像的压缩和特征提取。
在通信领域，傅里叶级数可以用来分析和合成信号，帮助我们设计和优化通信系统。
除了傅里叶级数，还有傅里叶变换和傅里叶级数的离散形式——离散傅里叶级数和离散傅里叶变换。
傅里叶变换将一个非周期性的函数表示为频域上的连续谱，而离散傅里叶级数和离散傅里叶变换则适用于离散信号的频谱分析。
总结一下，傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。
它的应用广泛，可以用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的信号分解成简单的频率成分，从而更好地理解和处理这些信号。
以2L为周期的傅里叶级数(精)
§11、9 周期为2L的周期函数的傅里叶级数
一、以2L为周期的傅里叶级数
T 2l ,
2 . T l
代入傅里叶级数中
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
定理 设周期为 2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理ຫໍສະໝຸດ 条件, 则它的傅里叶级数展开 式为
补充函数 F ( z ) z ( 5 z 5)的定义, 令 F ( 5) 5, 然后将F ( z )作周期延拓 (T 10)
这拓广的周期函数满足收敛定理的条件 ,
且展开式在(5, 5)内收敛于F ( z ).
an 0, (n 0,1,2,)
2 5 nz bn ( z ) sin dz 5 0 2 n 10 ( 1) , ( n 1,2,) n
3.写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于 f ( x ).
作业：P3 1 3 1(1) 2(1)
( n 0,1, 2,) ( n 1, 2,)
nx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l nx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, ( n 1,2,) l 0 l
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
则有
a0 nx f ( x ) an cos , 2 n 1 l 2 l nx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
( n 0,1,2,)
二、典型例题
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2)
0 2 x 0 上的表达式为 f ( x ) ,y 将 k 0 x 2
其展成傅里叶级数.
一、以2L为周期的傅里叶级数
T 2l ,
2 . T l
代入傅里叶级数中
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
定理 设周期为 2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理ຫໍສະໝຸດ 条件, 则它的傅里叶级数展开 式为
补充函数 F ( z ) z ( 5 z 5)的定义, 令 F ( 5) 5, 然后将F ( z )作周期延拓 (T 10)
这拓广的周期函数满足收敛定理的条件 ,
且展开式在(5, 5)内收敛于F ( z ).
an 0, (n 0,1,2,)
2 5 nz bn ( z ) sin dz 5 0 2 n 10 ( 1) , ( n 1,2,) n
3.写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于 f ( x ).
作业：P3 1 3 1(1) 2(1)
( n 0,1, 2,) ( n 1, 2,)
nx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l nx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, ( n 1,2,) l 0 l
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
则有
a0 nx f ( x ) an cos , 2 n 1 l 2 l nx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
( n 0,1,2,)
二、典型例题
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2)
0 2 x 0 上的表达式为 f ( x ) ,y 将 k 0 x 2
其展成傅里叶级数.
第五讲 以2l为周期的函数的傅里叶级数
an
1 5
0 0 cos nπx dx 1
5
5
5
5 3cos nπx dx
0
5
3
5
sin nπx
5
0,
n 1, 2,,
5 nπ 5 0
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§2以2l为周期的函数的展开式 以2l为周期的函数的傅里叶级数 偶函数与奇函数的傅里叶级数
a0
1 5
二、偶函数与奇函数的 傅里叶级数
§2以2l为周期的函数的展开式 以2l为周期的函数的傅里叶级数 偶函数与奇函数的傅里叶级数
第五讲 以2l为周期函数的 傅里叶级数
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§2以2l为周期的函数的展开式 以2l为周期的函数的傅里叶级数 偶函数与奇函数的傅里叶级数
5 f ( x)dx 1
5
5
5
3dx 3,
0
bn
1 5
5 nπx
3sin dx
0
5
3 5
5 nπ
cos
nπx 5
5 0
3(1
cos nπ) nπ
( 2k
6
1)π
,
n 2k 1,
k 1,2,,
0,
n 2k, k 1, 2,.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§2以2l为周期的函数的展开式 以2l为周期的函数的傅里叶级数 偶函数与奇函数的傅里叶级数
π
F (t)sin nt d t ,
π
n 1,2,.
因为 t πx ，所以 l
F(t)
f
lt π
f ( x). 于是由(1)与
一般周期的函数的傅里叶级数
n 2 n
20
4 cosn n
n 4 ( 1)n 1
(n1,2,)
f(x)4n 1 (1n)n1sinn2x
B
(0x2)
7
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(2) 将 f (x) 作偶周期延拓, 则有
y
an
2 2
2x cosn xdx
0
2
o2
x
b n 0(n 1 ,2 , )
2x sn in x 22 cn ox s 2
第八节
第十二章
一般周期的函数的傅里叶级数(14)
一 . 以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开式
二 . 定义在任意有限区间上 函数的傅里叶展开式
B
1
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一. 以2 l 为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x)
变量代换 z x
l 周期为 2 函数 F(z)
证毕.
B
5
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说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有
f
(x)
bn sin
n1
n
l
x
(在 f (x) 的连续点处)
其中 b n 2l 0l f( x ) sn ilx n d x( n 1 ,2 , )
如果 f (x) 为偶函数, 则有
f (x) a0 2
解: 令 zx10 ,设
F ( z ) f ( x ) f ( z 1 ) z 0 ( 5 z 5 )
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定
理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故
F(z)
a n 0( n 0 ,1 ,2 , )
12.9周期为2l的傅里叶级数
f(x)的图形
1 2 np an 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 1 2 np k bn k sin xdx (1 cos np ) 2 0 2 np 2k 当n 1,3,5, np , 0 当n 2,4,6,
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则 解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
5 5 z 2 5 np z n 10 bn z sin d z (1) 5 0 5 np ( n 1 , 2 , ) n 10 (1) np z F ( z) sin (5 z 5 ) p n 1 n 5 10 (1) n npx sin p n1 n 5
o 2
x
2 0
2
np x sin 2
(0 x 2)
(2) 将 作偶周期延拓, 则有 2 2 a0 x d x 2 0 2 2 np x an x cos dx 2 0 2 2 np x 2 2 np x cos x sin np 2 np 2
y
o 2
x
2 0
4 np
2 2
(1)
n
1
1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
1 2 np an 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 1 2 np k bn k sin xdx (1 cos np ) 2 0 2 np 2k 当n 1,3,5, np , 0 当n 2,4,6,
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则 解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
5 5 z 2 5 np z n 10 bn z sin d z (1) 5 0 5 np ( n 1 , 2 , ) n 10 (1) np z F ( z) sin (5 z 5 ) p n 1 n 5 10 (1) n npx sin p n1 n 5
o 2
x
2 0
2
np x sin 2
(0 x 2)
(2) 将 作偶周期延拓, 则有 2 2 a0 x d x 2 0 2 2 np x an x cos dx 2 0 2 2 np x 2 2 np x cos x sin np 2 np 2
y
o 2
x
2 0
4 np
2 2
(1)
n
1
1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
一般周期函数的傅里叶级数
2020年6月30日星期二
(Spring 2010,10ppt. L.G.YUAN)
2
定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为
其中
(在 f (x) 的连续点处)
an
1 l
l f (x) cos n x d x
l
l
(n 0, 1, 2, )
bn
1 l
1 n1 n2
2
6
(Spring 2010,10ppt. L.G.YUAN)
6
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
f (x) a0 2
其中
1 l
l
l
f
(x) cos
n
l
xd
x
1 l
l
l
f
( x) sin
n
l
xd
x
(x 间断点)
(n 0,1, ) (n 1, 2, )
当f (x)为奇(偶) 函数时, 为正弦(余弦) 级数.
(在 f (x) 的连续点处)
其中 an
f (x) cos n x d x
l
(n 0, 1, 2, )
注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
2020年6月30日星期二
(Spring 2010,10ppt. L.G.YUAN)
4
例. 把
展开成
(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.
第十章
一般周期函数的傅里叶级数
以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开
2020年6月30日星期二
(Spring 2010,10ppt. L.G.YUAN)
第八节 以2l为周期的函数的傅立叶级数
答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出 收敛域 .
2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?
答: 用系数公式计算 an , bn时,如分母中出现因子n－k 则ak 或 bk 必须单独计算.
作业: P256 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; 3
28
an
1 l
l f (x) cos n x d x
l
l
(n 0, 1, 2, )
bn
1 l
l f (x)sin n x d x
l
l
(n 1, 2, )
10
证明: 令 z x , 则
变成
l
令
f (x) f ( lz) , 则
f ( lz 2l)
f ( lz)
为间断点, 则级数收敛于 f (x0 ) f (x0 )
2
1
2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数
• 奇函数
正弦级数
• 偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0 , ] 上函数的傅里叶展开法 • 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 • 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数
思考与练习
1. 在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
13
例1.
期的傅立叶级数, 并由此求级数
解:
为偶函数,
2
n2
2
(1)n
1
因 f (x) 偶延拓后在
展开成以2为周 的和. (91 考研)
y 2
1 o 1 x 故得
x [1,1]
14
得
2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?
答: 用系数公式计算 an , bn时,如分母中出现因子n－k 则ak 或 bk 必须单独计算.
作业: P256 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; 3
28
an
1 l
l f (x) cos n x d x
l
l
(n 0, 1, 2, )
bn
1 l
l f (x)sin n x d x
l
l
(n 1, 2, )
10
证明: 令 z x , 则
变成
l
令
f (x) f ( lz) , 则
f ( lz 2l)
f ( lz)
为间断点, 则级数收敛于 f (x0 ) f (x0 )
2
1
2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数
• 奇函数
正弦级数
• 偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0 , ] 上函数的傅里叶展开法 • 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 • 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数
思考与练习
1. 在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
13
例1.
期的傅立叶级数, 并由此求级数
解:
为偶函数,
2
n2
2
(1)n
1
因 f (x) 偶延拓后在
展开成以2为周 的和. (91 考研)
y 2
1 o 1 x 故得
x [1,1]
14
得
周期函数的傅立叶级数
2
其图形如下
武
汉
科
y
技 学
k
院
数 理
-2
02 x
系
高 一 定义在区间[-L,L]上函数的傅里叶级数展开
等
数 把函数f(x)展开为傅里叶级数的步骤是:
学
电
1.确定函数f(x)的周期2L,以及它在[-L,L]上的奇偶性,
子
教
或者根据题意确定对[0,L]上函数f(x)进行奇延拓还是
案
偶延拓.
2.选定相应公式准确计算f(x)的傅里叶系数an,n=0,1,2,….
当f(x)为偶函数时:
f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
l
武
汉 科 技 学
其中系数an为:
2l
nx
an l
f (x) cos
0
l
dx
(n 0,1,2,...)
院
数
理
系
高
等
数 证明说明:
学
电 子 教
只要令z x ,
l
案 把 l x l, 换成 : z ( x )
l
1 52
sin
5x
l
...)
武
汉
科 技
(0 x l)
学
院
数
理
系
高
等
数
学 电
例3 设f(x)=x2 (0≤x≤π), 把f(x)在[0,π]上分别
子 教
展开成正弦级数和余弦级数
案
先把f(x)作奇延拓,则
武 汉
an 0 (n 0,1,2,3)
《微积分》一般周期的傅里叶级数
nxdx
2 (1 cos n cos n )
n
2 2
2
n
n
当 n 1,3,5, 当 n 2,4,6,
2
1
x 1 [( 2 ) sin x sin 2 x ( 2 ) sin 3 x ]
2
练习题
一 、设 周期 为2 的 周期 函数 f (x)在 一个 周期 内的表 达式
x ,1 x 0
为
f (x)
1 , 0
x
1
2
,试将 其展开 成傅 里叶 级 数 .
1
1 , 2 x 1
l
二、试将函数
f (x)
x
,0
x
2
展开成正弦级数和 余
f ( x ) cos
dx
l0
l
(n 0,1,2, )
例 将周期函数 u(t ) E sin t 展开成傅氏级数,
其中 E 是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上
连续.
u(t)
u ( t )为偶函数 ,
E
b 0, n (n 1,2, )
2
一般周期的傅里叶级数
1、以2l为周期的傅氏级数 2、奇函数和偶函数的傅里叶级数
一、以2l为周期的傅氏级数
T 2l,
2 .
代入傅氏级数中
Tl
a
0 (a cos n x b sin n x)
n
n
2
n 1
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2
2 2
(1)
n
1
1 o 1 x
故得
x [1,1]
得
故
1 p2 (2k 1) 2 8 k 1
1 2 n 1 n
p
2
6
例3. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数.
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
np x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 np x 2 x cos np 2 np 4 cos np np 4 (1) n 1 np x f ( x) sin p n 1 n 2
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则 解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
5 5 z 2 5 np z n 10 bn z sin d z (1) 5 0 5 np ( n 1 , 2 , ) n 10 (1) np z F ( z) sin (5 z 5 ) p n 1 n 5 10 (1)n npx sin p n1 n 5
证明
令t
px
l lt
, l xl
p t p ,
设f ( x) f ( ) F (t ),
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ), 2 n1
其中 an bn F (t ) cos ntdt , p p
p
则F (t )以2p 为周期，且
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数 .
方法2
令
即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
1
p
F (t ) sin ntdt. p p
1
p
t
px
l
F (t ) f ( x)
a0 np np f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l
1 l np 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l 1 l np bn f ( x ) sin xdx. l l l
o 2
x
2 0
2
np x sin 2
(0 x 2)
(2) 将 作偶周期延拓, 则有 2 2 a0 x d x 2 0 2 2 np x an x cos dx 2 0 2 2 np x 2 2 np x cos x sin np 2 np 2
y
o 2
( n 0,1,2,)
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2) 上的表达
0 2 x 0 式为 f ( x ) , 将其展成傅氏级数. k 0 x 2
. 解 l 2, 满足狄氏充分条件
1 0 1 2 a0 0dx kdx k , 2 2 2 0
a0 npx npx f ( x ) ( an cos bn sin ), 2 n 1 l l
其中系数 an , bn为
1 l npx an f ( x ) cos dx, l l l 1 l npx bn f ( x ) sin dx, l l l
( n 0,1, 2,) ( n 1, 2,)
f(x)的图形
1 2 np an 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 1 2 np k bn k sin xdx (1 cos np ) 2 0 2 np 2k 当n 1,3,5, np , 0 当n 2,4,6,
当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法: 方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数
方法2 令 x za, 即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式 在 上的正弦或余弦级数
特别:
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有
npx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l npx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, 0 l l
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
( n 1,2,)
则有
a0 npx f ( x ) an cos , 2 n 1 l 2 l npx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
周期为2L的周期函数的傅里叶级数
到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以 2p 为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它 的周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周期函数f(x) 展开成三角级数呢？
一、以2L为周期的傅氏级数
定理 设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理的条件,
则它的傅里叶级数展开 式为
和函数的图形
k 2k px 1 3 px 1 5 px f ( x ) (sin sin sin ) 2 p 2 3 2 5 2
( x ; x 0,2,4,)
例2
展开成以2为周 的和.
y
2
期的傅立叶级数, 并由此求级数 为偶函数, 解:
np 因 f (x) 偶延拓后在
( 5 z 5)
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 a0 f ( x) 2 (x 间断点) 1 l np x f ( x) cos d x (n 0 ,1,) l l l 其中 1 l np x (n 1, 2 ,) f ( x ) sin d x l l l 当f (x)为奇 (偶)函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓
x
2 0
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnp
2 2
(1)
n
1
1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba f ( x) F ( z ) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓