第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章 曲线积分与曲面积分

内容要点

一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质

性质1 设α，β为常数，则

⎰⎰⎰+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；

性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则

.),(),(),(2

1

2

1

⎰⎰⎰+=+L L L

L ds y x f ds y x f ds y x f

注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.

性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则

ds y x g ds y x f L

L

⎰⎰≤),(),(

性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使

s f ds y x f L

⋅=⎰),(),(ηξ

其中s 是曲线L 的长度.

三、第一类曲线积分的计算：)(),

(),

(βα≤≤⎩⎨

⎧==t t y y t x x

dt t y t x t y t x f ds y x f L

)()(])(),([),(22'+'=⎰⎰β

α

(1.10)

如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则

dx x y x y x f ds y x f b

a L )(1])(,[),(2'+=⎰⎰ (1.11)

如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则

dy y x y y x f ds y x f d

c

L )(1]),([),(2'+=⎰⎰ (1.12)

如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则

θθθθθβ

αd r r r r f ds y x f L

)()()sin ,cos (),(22'+=⎰⎰

例5（E03）计算

,||⎰

L

ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的

弧.

解 双纽线的极坐标方程为 .2cos 2

2θa r =

用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22

r

a r a r r θ

θ-

='-='

.2sin 2

2

242

2

2

θθθθd r a d r

a r d r r ds =+='+= 所以 .)22(2sin 4sin 4||2402402

a d a d r

a r ds y L -==⋅

=⎰⎰⎰π

πθθθθ 内容要点

一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,在移动过程中，这质点受到力

j y x Q i y x P y x F ρ

ρρ),(),(),(+= (2.1)

的作用，其中),(y x P ，),(y x Q 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力),(y x F ρ

所作的功. 二、 第二类曲线积分的定义与性质：j y x Q i y x P y x A ρ

ρϖ),(),(),(+=

⎰⎰+=⋅L

L

ds Q P ds t A )cos cos (βαϖϖ

平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是

⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(⎰⎰+=L L dy y x Q dx y x P ),(),(

性质1 设L 是有向曲线弧, L -是与L 方向相反的有向曲线弧，则

⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(；

即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.

性质2 如设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成，则

⎰⎰⎰+++=+2

1

L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .

三、第二类曲线积分的计算：),(t x x = ),(t y y =

⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+'=β

α

dt t y t y t x Q t x t y t x P )}()](),([)()](),([{. (2.9)

如果曲线L 的方程为 ),(x y y =起点为a , 终点为b ，则

.)}()](,[)](,[{⎰⎰'+=+b

a L dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx

如果曲线L 的方程为),(y x x = 起点为c , 终点为d ，则

.]}),([)(]),([{⎰⎰+'=+d

c

L

dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx

内容要点

一、格林公式

定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有

⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q (3.1)