动力学5_7讲解

1 2
m

x l cos
2

l sin
2


1 4
mR2
2
x
g
A
V mg l (1 cos ) mgl(1 cos )
2
L x

c1

L


c2
B
L
c3

T V E
例：拉格朗日方程的循环积分反映的是质点系的___。
A：某个广义动量守恒；
2

l sin
2


1 4
mR2
2
mg l (1 cos ) mgl(1 cos )
2
L
T
V

1 2
mx2

1 2
m

x

l
2
cos
2


l
2
sin
2



1 24
ml 2
2

1 2
m

x l cos

c2
mx

m
x

l
2
cos


m
x l cos
c1
1 2
mx2

1 2
m

x

l
2
cos
2



l 2

sin
2



1 24
ml
2
2

1 2
m

x l cos
2

l sin
2 2 0

0
例：系统在铅垂平面内运动，水平面光滑。系统的广义坐标如图 所示，其中AB杆长为l，圆盘半径为R，各物件质量均为m。不计 所有摩擦。求：
x
g
A
(1) 用系统的广义坐标和广义速
度给出系统的动能T和势能
V(杆在铅垂位置时为势能零
点)；
(2) 若初始时，杆位于铅垂位
置 0 0,0 0 ，滑块的
B：广义能量守恒。
例：单自由度线性振动系统的振动周期与___________ 有关。
例：二自由度线性振动系统的固有频率与系统的_____ 有关。
A：广义质量； B：广义刚度；
C：初始位置；
D：初始速度。
例：图示系统的等效弹簧刚度系数k*=___2_k_2__k_1___。
2k2 k1
例：图示系统的固有频率 =______m_____。
2

B
T

1 2
mx2

1 2
m

x

l
2
cos
2



l
2
sin
2





1 24
ml 2 2


1 2
m

x l cos
2

l sin
2


1 4
mR2
2
A
x
(1) 若初始时，杆位于铅垂位置
。=0，滑块的速度为u，
用下杆AB的运动规律为 =t，试求滑块A的运动微分方程。
x
解法一: 在水平方向应用动量定理：
d dt
mx

m1
(
x

l
cos
t
)

kx
解法二: 应用拉格朗日方程：
动能：
T

1 2
mx2

1 2
m1
( x

l cost)2

(l sint)2
势能：
V

1 kx2 2

m1gl cost
动力学习题
1
例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB 用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，由水平位置
无初速释放，求释放的初瞬时两杆的角加速度。
OA
AB
解：(1) 对初始位置时的系统做受力分析，并加上惯性 力，设初始瞬时两杆的角加速度均为顺钟向。
FIOA M IOA
M IAB
FIAB
4
6
2
2
拉格朗日函数 L T V L(x,, ) 中不显含广义坐标 x 和时间 t
T x

5 2
mx
1 2
mL cos

C
T V E
A
x
m1 g

AB 2L m2 g
例：给出系统拉格朗日方 程的首次积分。
解：系统的主动力为有势力
B 系统的动能和势能分别为
2


1 4
mR2Βιβλιοθήκη 2 mg l (1 cos ) mgl(1 cos ) E
2
初始 0 0,0 0 , 滑块速度u向右；圆盘角速度 0 逆时针。
c1 mu mu mu
c2

1 2
mR20
E

1 2
mu 2

1 2
mu 2

1 2
mu 2

1 4
mR
k2
k2
m
k1
例：长为l质量为m的均质杆OA用光滑柱铰链悬挂在o 点，下端与刚度系数为k的水平弹簧连接，杆铅垂时弹 簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动力
学方程________________________。
o

A
T 1 1 ml2 2
23
V 1 k(l )2 mg l (1 cos )
O
k
G
o
xa xe xr xe l cost
A
xe
xa
k
xr
O
A
k
k

G
Uc
阻尼力: F cxa
l0 st
yr
例：已知 m, k, xe r sint ,
求相对运动动力学方程
xe
l0 st
xr
mg
o
xa xe l0 st xr
xa
mxa mg k( xr st )

mg
l OA

FIAB
l
OA

0

OA

9g 7l
, AB


3g 7l
例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB 用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，质量为m，
试建立两杆的运动方程。
o
1
A
2
T

1 2

1
ml
2
.

2 1

3
1 2
mvC2

1 2
1 12
例：滑块与均质圆盘用不计质量的杆AB铰接在铅垂平面内运动， 系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长为L，圆盘半径为R，滑 块与均质圆盘的质量均为m。不计所有摩擦。求：
(1) 用系统的广义坐标和广义速
A
x
度给出系统的动能T和势能 V(杆在铅垂位置时为势能零 点)；
g
(2) 若初始时，杆位于铅垂位置

。=0，滑块的速度为u，
A
g

T2 ____12_m__(_R__)_2___
T1 ______0________
1 m(R sin )2
T0 __2____________
B
T 1 m(R )2 1 m(R sin )2
2
2
例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质 量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅垂平面内 运动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求：
B
速度为u，方向水平向右；
两圆盘的角速度均为0 ，
转向逆时针。试给出系统拉

格朗日方程的首次积分并确
定积分常数。
T 1 mx2 1 1 mr2 2
2
22
1 2
m

x

l 2

cos
2



l 2

sin
2



1 24
ml
2
2

x
A
mg mg
(1) 用系统的广义坐标和广义速度
给出系统的动能T和势能V(杆
在铅垂位置时为势能零点)；
(2) 若初始时，杆位于铅垂位置。
=0，圆盘中心A点的速度为u，
杆的角速度为零。试给出系统
B
拉格朗日方程的首次积分并确
定积分常数。
要求：给出解题的基本理论和基本步骤。
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均 质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的首次积分。AB=2L
2
2
g
1 k(l )2 mg l 1 2
2
22
1 3
ml 2


kl 2

1 2
mgl


0
例：长为L质量为m的均质杆OA用光滑柱铰链悬挂在o 点，下端与刚度系数为k的水平弹簧连接，杆铅垂时弹 簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的固有
(3) 取虚位移 AB 0, OA 0
W

mg
l 2