图的连通性

图的连通性

图的连通性2010-07-23 21 ：02 图的连通性

第十三章图的基本概念

第三节图的连通性

一.连通性概念

图中两点的连通：如果在图G中u、v 两点有路相通，则称顶点u、v 在图G中连通。

连通图(connected graph) ：图G中任二顶点都连通。

图的连通分支(connected brch,component) ：若图G 的顶点集

V(G)可划分为若干非空子集V 1,V 2, ⋯,V w, 使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G 中连通，则称每个子图G为图G的一个连通分支(i=1,2, ⋯,w) 。

注：(1) 图G的连通分支是G的一个极大连通子图。

(2)图G连通当且仅当w=1。

例13.5 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。

证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。问题化为：已知图G有2n 个顶点，且

δ(G) ≥n，求证G连通。

事实上，假如G不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n–1。这与δ(G)≥n 矛盾。

证毕

例13.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。

证明：用反证法。假如u与v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。这与推论13.1 矛盾。证毕

在连通图中，连通的程度也有高有低。

例如

后面将定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。

二.割点

定义13.2 设v∈V(G)，如果w(G–v)w(G) ，则称v 为G的一个割点。( 该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。

例如

定理13.3 如果点v 是图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集E 1和E 2，使得G[E 1]和G[E 2]恰好有一个公共顶点

v。

推论13.2 对连通图G，顶点v 是G的割点当且仅当G–v 不连通。

以上两个结论的证明留作习题。

三.顶点割集

定义13.3 对图G，若V(G)的子集V' 使得

w(G–V')w(G),

则称V'为图G的一个顶点割集。含有k 个顶点的顶点割集称为k-顶点割集

注：(1) 割点是1- 顶点割集。

(2)完全图没有顶点割集。

四.连通度

k(G)=min{|V'||V' 是G的顶点割集} 称为图G的连通度。完全图的连通度定义为k(Kv)=v – 1 。空图的连通度定义为0。

注：(1) 使得|V'|=k(G) 的顶点割集V' 称为G的最小顶点割集。

(2) 若k(G) ≥k，则称G为k 连通的。

(3)若G不连通，则k(G)=0 。

(4)若G是平凡图，则k(G)=0 。

(5)所有非平凡连通图都是 1 连通的。

例如

五.割边

定义13.4 设e∈E(G)，如果w(G–e)w(G) ，则称 e 为G的一条割边。

定理13.4 边e是G的割边当且仅当e不在G的任何圈中。

证明：证其逆否命题：e不是割边当且仅当e含在G的某个圈中.

必要性：设e=xy不是割边。假定e含在G的某个连通分支G 1中，则G 1

– e 仍连通。故在G 1– e 中有(x,y) 路P，P+e便构成G 1中一个含有e的圈。

充分性：设e含在G的某个圈C中，而C含于某连通分支G 1

中，则G 1

– e 仍连通。故

w(G–e)=w(G) ，

这说明 e 不是割边。证毕。

六.边割集

定义13.5 对图G，若E(G)的子集E' 使得

w(G–E')w(G) ，

则称E'为图G的一个边割集。含有k 条边的边割集称为k-边割集。

注：(1) 对非平凡图G，若E'是一个边割集，则G–E' 不连通。

(2) 一条割边构成一个1- 边割集。

(3)设S V(G),S'V(G),S,S' ≠Φ，记号[S,S'] 表示一端在S中另一端S￠在中的所有边的集合。对图G的每个边割集E' ，必存在非空的S V(G), 使得是G 的一个边割集，其中。

七.边连通度

称为图G的边连通度。完全图的边连通度定义为′ k(K v)=v-1 。空图的边连通度定义为0。

注：(1) 对平凡图或不连通图G，′ k(G)=0。

(2) 若图G是含有割边的连通图，则′ k(G)=1 。

(3) 若′k(G)≥k，则称G为k-边连通的。

(4)所有非平凡连通图都是1- 边连通的。

(5)使得|E ′|= ′ k(G)的边割集称为G的最小边割集。

定理13.5 k(G) ≤k′(G) ≤δ(G)。

证明：先证k(G) ≤k′(G) 。

若G不连通，则k(G)=k ′(G)=0。

若G是完全图，则k(G)=k ′(G)=n– 1 。

下设G连通但不是完全图。则G有边割集含有k′(1 ≤k′≤v-1) 条边。设这个边割集为E′。对E′中每条边，选取一个端点，去掉这些端点( 至多个k′)后，G便成为不连通图，故这些端点构成一个点割集V′，|V ′| ≤k′。因此k(G) ≤|V′| ≤k′(G) 。

再证k′ (G) ≤ δ(G) 。

设d(v)= δ。删去与v 关联的δ条边后，G变成不连通图，故这δ条边构成G的一个边割集。因此k′(G) ≤δ(G)。

证毕。

例13.8 见教材280 页例13.7.

八.有向图的连通性

定义13.6 设D=V,E为一个有向图。对, ∈V(D)，若从到存在有向通路，则称到是可达的。

定义13.7 设D=V,E为一个有向图。若D的基础图( 即D的各弧去掉方向后所得无向图) 是连通图，则称D是弱连通图；若对D中任意两点u 和v，要么u 到v 可达，要么v 到u 可达，则称D是单向连通的；若对D中任意两点u 和v，u 与v 之间都是相互可达的，则称D是双向连通的(强连通的)。

例如：

在下列图中，(a) 是强连通的，(b) 是单向连通的，(c) 是弱连通的。

注：按照定义，强连通图一定是单连通的，单连通图一定是弱连通的。

定理13.6 设有向图D=V,E，V={,, ⋯,} 。D 是强连通图当且仅当