代数变形中常用的技巧

代数变形中常用的技巧

数学与应用数学专业

摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。关键词代数变形技巧

两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形

整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2

分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2

=b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2

=-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc

=-(a+b+c)2

=0

例2：分解因式

①(1-x2)(1-y2)-4xy

②x4+y4+ x2y2

分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。

解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy

=(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)

=(1-xy)2-(x+y)2

=(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)

②原式= x 4+y 4+ x 2y 2+x 2y 2-x 2y 2

=(x 2+y 2)2-x 2y 2

=( x 2+y 2+xy) ( x 2+y 2-xy)

以上两例充分说明了，配方法、因式分解法、换元法都是恒等变形的方法与基础，它们都是学习数学的有力工具，是解决数学问题的武器。因此，这些变形技巧必须熟练掌握。 二、分式变形

众所周知，对学生而言，分式的变形较为复杂，也很讲究技巧。通分化简是常规方法，但很多涉及分式的问题仅此而已是不够的，还需按既定的目标逆向变通，这时将分式分解成部分分式、分离常数、分子变位等便成了特殊的技巧，灵活应用这些变形技巧便会使问题迎刃而解。

有关分式的计算、化简、求值、证明，常常采用分式的变形技巧。 （一）将已知条件变形，再直接代入

例：已知

z y x +=a, x z y +=b, y x z +=c, 且x+y+z ≠0, 试求a a +1+b b +1+c

c +1的值。 分析：此题若按常规方法，把已知条件直接代入所求进行计算，计算会很复杂，也不容

易求得正确答案。通过观察已知和未知的式子，考虑将已知条件进行变形，再整改代入未知中去，计算起来比较简单。因此，对已知条件进行变形也是非常必要的。

解：由已知得1+a=1+

z

y x +=z y z y x +++

所以

a a +1=z y x x ++，同理

b b +1=z y x y ++，

c c

+1=z

y x z ++ 所以原式=

z y x x +++z y x y +++z y x z ++=z

y x z

y x ++++=1

（二）应用比例的基本性质进行恒等变形

例：已知b a

3=b

a b 52-=a b a 156-，求222232654b ab a b ab a +-+-的值。

解：由已知条件知a ≠0，b ≠0，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b ，得

b a

7525=b

a b 753015-=a b a 156-=a b a b b a b a +-+-++)7530(75)156(1525=a a 3131=1

∴ a=3b

∴原式=2

222332)3(635)3(4b b b b b b b b +⋅⨯-+⋅⨯-=22627b b =29

（三）利用倒数知识进行恒等变形

例：已知a 、b 、c 为实数，且

b a ab +=31，

c b bc +=41，a c ca +=51，求ca

bc ab abc ++的值。