(学案)12排列与组合教材解读

高中新课标选修（2-3）1.2排列与组合教材解读

一、排列

1．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．此定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“有一定顺序”．当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素完全不同或元素部分相同或元素相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列．另外，定义规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了．

2．排列数即为不同排列的个数，就是所有排列的总数，用符号m n A 表示．公式的两种表

示形式为：

①(1)(2)(1)m n

A n n n n m =---+L ； ②!()!

m n n A n m =-． 说明：（1）m n *∈N ，，且m ≤n ；

（2）公式①的右边第一个因数为n ，后面每个因数都比前面一个因数少1，最后一个因数是1n m -+，共m 个因数相乘．

（3）对于!()!

m n n A n m =-主要有两个作用：①当m ，n 较大时，可使用计算器快捷地算出结果；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式．

3．解有限制条件的排列问题时，关键是解决好特殊元素（或位置）的排列，只要特殊元素（或位置）排列好了，其它元素（或位置）的排列可采用排列数公式直接求解．通常从以下三种途径考虑：

（1）元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其它元素；

（2）位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其它位置；

（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数．

二、组合

1．组合：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合与排列的区别在于：虽然都是从n 个不同的元素中取出m 个不同元素，但是排列是要考虑“一定顺序排成一列”，而组合是“合成一组”即元素之间无前后顺序可言．因此两个组合只要它们的元素相同就是同一个组合，而不必考虑元素之间的顺序．

2．组合数即是符合条件的所有组合的个数，用符号m n C 表示．组合数公式有两种表示形式：

①(1)(2)(1)!m m

n n

m m A n n n n m C A m ---+==L ； ②!!()!

m n n C m n m =-．

说明：（1）组合数公式的推导是依据分步计数原理，把求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数的过程分为两步完成：求组合数，求全排列数．从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式．这种分步解决问题的思维方法对解决排列、组合应用题意义重大．

（2）对于组合数的第一个公式(1)(2)(1)!m m

n n

m m A n n n n m C A m ---+==L ，它体现了组合数与相应排列数的关系，当n 确定而m 变化时，组合数与m 是一种函数关系，一般在计算具

体的组合数时，常用此公式；第二个公式!!()!

m n n C m n m =-的主要作用有：①当m ，n 较大时，利用此公式计算组合数较为简便；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此式．

（3）组合数的性质：

①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11k k n n kC nC --=；④01n C =．

3．解“含有”或“不含有”某些元素的组合问题时，要先将“含有”的这些元素取出，再由另外元素补足；先将“不含有”的这些元素剔除，再从留下的元素中去选取．解“至少”或“至多”的组合题时，要谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常直接法中分类庞杂时，可考虑逆向思维，用间接法处理．

三、特别提示

1．解排列、组合应用题，首先以“有序是排列、无序是组合”分清排列、组合两类不同的应用题．具体做法是：先写出一个具体的选择结果，再交换这个结果中任意两个元素的位置，视其结果是否发生变化：若结果变化了（不满足交换律），说明与顺序有关，是排列问题，否则是组合题．用交换律来判别属于排列问题还是组合问题是一种常用方法．

2．解组合应用题时，要注意正确理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”等词语的确切含义．在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”．