第4讲 三角形相似条件判定
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法如下：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似。
2.三边成比例的两个三角形相似。
3.两边成
比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.两角分别相等的两个三
角形相似。
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应
的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
（简
叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直
角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
九年级相似三角形的性质及判定讲
龙文教育学科教师辅导讲义全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 29、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。
三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。
在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB DE BC AEAC==，每个比的前项是同一个三 角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成AD DB DE BC AEEC==的错误。
2、 相似三角形的基本图形Ⅰ.平行线型：即A 型和8型。
Ⅰ.相交线型 A.具有一个公共角，在△ABC 与△ADE 中∠A 是它们的公共 角，且∠A DE =∠C具有一条公共边和一个公共角在△ABC 与△BDC 中CB 是它们的公共边， 且∠C BD =∠A ，∠C 是它们的公共角。
相似形的判定定理
相似形的判定定理一、相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
1. 证明思路- 例如在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
- 因为DE∥BC，所以∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB（两直线平行，同位角相等），∠A是公共角。
- 根据两角分别相等的两个三角形相似，就可以得出△ADE∽△ABC。
（二）两角分别相等的两个三角形相似。
1. 证明示例- 已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'。
- 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B，在△A'B'C'中，∠C' = 180°-∠A' - ∠B'。
- 因为∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，所以∠C = ∠C'。
- 根据三角形内角和定理以及两角相等的条件，可知这两个三角形相似。
（三）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1. 举例说明- 若在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(AC)/(A'C')，且∠A = ∠A'。
- 可以通过构造辅助线等方法来证明这两个三角形相似。
- 例如将△A'B'C'平移、旋转、缩放等操作后，使∠A与∠A'重合，然后根据已知的边的比例关系和夹角相等，证明对应边平行，从而得出相似的结论。
（四）三边成比例的两个三角形相似。
1. 证明要点- 设△ABC和△A'B'C'三边满足(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=(AC)/(A'C')。
- 可以通过在较大的三角形中截取与较小三角形对应边相等的线段，构造出全等三角形，再利用边的比例关系逐步证明其他角相等，最终得出相似的结论。
全等三角形和相似三角形的判定定理
全等三角形和相似三角形的判定定理示例文章篇一：哎呀呀，亲爱的小伙伴们，你们知道啥是全等三角形和相似三角形不？今天我就来和你们好好唠唠！咱先来说说全等三角形。
全等三角形就像是一对双胞胎，长得那叫一个一模一样！每一条边、每一个角都完全相同。
那怎么才能判断两个三角形是不是全等呢？这可得好好说道说道。
比如说“边边边”定理，就是如果两个三角形的三条边都对应相等，那它们就是全等三角形。
这就好比你有两双一模一样长的筷子，那不就是完全一样嘛！再比如“边角边”定理，要是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，那这两个三角形也全等。
这就像你有两个形状一样的风筝，骨架长度一样，中间的夹角也相同，那能不一样嘛？还有“角边角”定理，两个三角形的两个角和它们夹的边对应相等，那就是全等三角形啦！这就好像你有两个同样的三角板，角的大小一样，夹着的边也一样长，能不全等嘛！说完全等三角形，咱再聊聊相似三角形。
相似三角形就像是表兄弟，长得有点像，但大小可能不一样。
判断相似三角形也有几个厉害的定理呢！“两角对应相等的两个三角形相似”，这就好比两个小伙伴笑起来的样子很像，那整体感觉不就像了嘛！还有“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，这就好像两根粗细不一样的橡皮筋，长度的比例一样，中间弯曲的角度也相同，能不相似嘛？“三边对应成比例的两个三角形相似”，这就跟三把不同长度的尺子，它们的长度比例都一样，那能不相似嘛？在学习这些定理的时候，我一开始也有点迷糊，但是多做几道题，多和小伙伴们讨论讨论，慢慢地就搞清楚啦！我觉得呀，数学虽然有时候有点难，但只要咱们肯用心，就一定能战胜它！所以说，小伙伴们，只要咱们认真学，这些定理都不在话下，你们说对不对？示例文章篇二：嘿，同学们！今天我来和大家聊聊全等三角形和相似三角形的判定定理，这可有意思啦！你们想啊，三角形就像我们身边各种各样的东西。
全等三角形呢，就好比两个一模一样的玩具人偶，哪儿哪儿都相同。
相似三角形题型讲解解析
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
相似三角形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第四单元 三角形专题4.4 相似三角形知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例1】已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是( ) A.x:y=3:2 B.x:3=2:y C.x:y=2:3 D.x:2=y:3A1.线段的比：在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比；2.比例线段：对于四条线段a,b,c,d,若其中两条线段的比与另两条线段的比相等(a:b=c:d).我们就说这四条线段成比例,简称比例线段.3.比例的基本性质:4.更比定理:考点聚集ad=bc知识点一典例精讲比例线段1.已知 ,则 的值是____.2.人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底之比是 .某人测得头顶至肚脐长约65cm,肚脐至足底长约102cm,为尽可能达到黄金比的美感效果,作为形象设计师的你,对于她的着装建议为穿一双( )cm的高跟鞋(精确到1cm) A.2 B.3 C.4 D.5B 知识点一强化训练比例线段知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例2】如图,已知△ABC中,∠BAC=90º,延长BA到点D,使AD=0.5AB,点E,F分别是边BC,AC的中点.求证：DF=BE 方法一：证△ADF≌△FEC(SAS)AFDBCE方法二：证△ADF∽△BCA方法三：连接AE,利用平行四边形证明知识点二典例精讲相似三角形的性质与判定1.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C=∠AED B.AB:AD=AC:AE C.∠B=∠D D.AB:AD=BC:DE2.如图,△ABC 中,∠A =78º,AB =4,AC =6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )DA 1CEBD2知识点二强化训练三角形相似的性质与判定CAC B78ºAC B78ºAAC B14DAC B 23CAC B 78ºB3.如图,在□ABCD中,连接AC,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S △AEF =4,则S △ADF 的值为_____.4.如图,一束光线从点A(4,4)射出,经y轴上的点C的反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是( ) A.(0,0.5) B.(0,0.8) C.(0,1) D.(0,2)5.在□ABCD中,E是AD上的一点,且点E将AD分为2:3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S △AEF :S △CBF =_______.AFE DCB10知识点二强化训练三角形相似的性质与判定B AyxC OB(1,0)知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例3】如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=_____m.5.5 DAE BFC 知识点三典例精讲相似三角形的应用3.如图,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是边BC上的高BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.(1)求证：AM:AD=HG:BC;(2)求矩形EFGH的周长。
相似三角形的判定完整版课件
相似三角形的判定完整版课件一、教学内容1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定两个三角形相似的方法，包括：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、AA（两角对应相等）。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义及性质；2. 学会使用SSS、SAS、AA三种方法判定两个三角形相似；3. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定方法及性质的理解和应用。
教学重点：掌握相似三角形的判定方法，并能运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、量角器；2. 学具：三角板、量角器、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示实际生活中相似三角形的例子（如：电视屏幕与实际画面、三角形放大镜等），引导学生观察并思考相似三角形的特点。
2. 例题讲解：（1）讲解相似三角形的定义及性质；（2）通过例题讲解SSS、SAS、AA三种判定方法；3. 随堂练习：（1）让学生独立完成教材课后练习题；（2）针对学生完成情况进行讲解，纠正错误，巩固知识点；（3）拓展练习：给出一些实际生活中的相似三角形问题，让学生运用所学知识解决。
六、板书设计1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定方法：SSS、SAS、AA；3. 例题解题步骤及思路；4. 课后练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，其中AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，求三角形DEF的周长；（2）已知三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为2：3，求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值。
2. 答案：（1）三角形DEF的周长为18cm；（2）三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值为9：4。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对相似三角形的判定方法掌握较好，但对性质的理解和应用还需加强。
在今后的教学中，应注重引导学生运用性质解决实际问题。
第四章图形的相似 讲义
第四章 图形的相似4.1 成比例线段【知识点】1. 线段的比：两条线段长度之比称为线段的比（单位一致）。
2.比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足d c b a =，则称四条线段a 、b 、c 、d 为成比例线段。
2. 判断线段是否成比例的方法：①一排（从小到大或从大到小排序）②二算（计算比值是否相等）③三判断（判断是否成比例）。
注意：当四条线段成比例时，若其中一条长度未知，那么在确定比例关系时，有多种对应情况，需要分类讨论。
3.比例中项：若db b a =（或ad b =2），则称b 为比例中项。
4.比例基本定义：若a 、b 、c 、d 满足d c b a =（或a ：b=c ：d ），则称a 、b 、c 、d 为比例的项，a 、d 为比例外项，b 、c 为比例内项。
5.比例基本性质：若dc b a =（或a ：b=c ：d ），则ad=bc ； 若ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），则d c b a =。
3. 合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a ±=±；若d c b a =，则dkd c b kb a ±=±。
4. 等比性质：若ba n f db m ec a n m f ed c b a =⋯++++⋯+++=⋯===则,（b+d+f+...+n ≠0）。
考点1 线段的比1.如果在比例1：10000000的地图上，A 、B 两地的图上距离为2.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离为 _千米．2.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则在图上距离和实际距离的比是（ ）A.1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1考点2 比例线段1.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则 d 的长度为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm2.下列四条线段中，不能成比例的是 ( )．A ．a=3，b=6，c=2，d=6B ．a=4，b=6，c=5，d=10C ．a=1，b=2，c=6，d=3D ．a=2，b=5，b=15，d=323.已知三条线段a 、b 、c ，其中 a=1cm ，b=4cm ，c 是 a 、b 的比例中项，则c= cm4.已知三条线段的长分别为 1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 ( )A ．1B ．2.25C ．4D ．25.如图，在平行四边形 ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC 找出图中的一组比例线段，并说明理由．考点3 比例性质1.已知 xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 ( )A.y m n x = B ．x n m y = C ．y n m x = D ．ny m x = 2.若 35b a =，则 bb -a = _． 3.已知 a ：b ：c=2:3:4，则b ac a -+= ． 4.已知53f e d c b a ===，b+d+f=50，那么a+c+e= .5.已知k c b a b c a a c b =+=+=+，则 k=6.把一张矩形纸片沿图中虚线裁成三张大小相同的矩形纸片，若得到的小矩形纸片长边与短边的比等于原来大矩形纸片的长边与短边的比，则大矩形纸片的长与宽之比为7.已知线段a 、b 、c ，满足623c b a == ，且a+2b+c=26，求c b a +的值．8.在△ABC 和△DEF 中，已知43===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18，求△DEF 的周长。
初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)
![初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/1e70c4324028915f814dc23e.png)
【知识梳理】【方法技巧】1、判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一组等角，可再找一组等角（找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角）或找夹这组等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例（具体方法如下：首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等）。
2、解决圆中的相似问题时，要充分运用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的性质等找出角之间的关系，进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。
3、相似三角形的基本模型：（1）“A ”字型（2）“X ”字型（3）“K ”字型（4）旋转型：符合旋转型的两个三角形，常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似BBB CB C CQ DBA（5）母子型：在“母子三角形”中，应用公共边可得到关于三条线段的乘方式，由此可证明相似问题中的等积式。
4、位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形（2）两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点5、关于位似的警示点：（1）位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形（2）位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。
如图： O A B C D OA B CD D CB AC D B A6、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．=D．=变式1、已知=，那么的值为（）A．B．C．D．变式2、下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm、2cm、20cm、30cm B．1cm、2cm、3cm、4cmC．5cm、10cm、10cm、20cm D．4cm、2cm、1cm、3cm例2、△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16变式1、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．变式2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6例3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．变式1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c 于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．1例4、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．D．例5、在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．变式2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点2：位似例1、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）A．B．C．D．变式1、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．变式2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A．1B．2C．3D．4例2、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（）A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2变式1、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1B．2C．4D．8考点3：相似的应用例1、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米变式1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（）A．6米B．4.5米C．4米D．3米例2、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D 在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24m，BD=12m，DE=40m，则河的宽度AB约为（）A．20m B．18m C．28m D．30m变式1、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15变式2、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，则A、B两村间的距离为（）A．50米B．60米C．70米D．80米变式3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米考点3、常见相似模型例1、如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④ D．①②③⑤变式1、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=例2、如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为．例3、如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为．变式1、如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A．6 B．7 C．8 D．9例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE变式1、如图，边长为4的正方形ABCD中有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF=1，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．变式2、如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．例5、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE 交AC于点E．写出相似三角形________________.变式1、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．例6、如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A．B．2 C．D．3变式1、如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD= ．变式2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC 的长是．例7、如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC=120cm，BC边上的高AD为80cm；求：（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．变式1、如图，锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，则y与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分层训练】<A组>1．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．162．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm3．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（）A．B．5 C．或5 D．无数个4．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）5．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米6．我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1=14cm，l2=7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是（）A．面积为8cm2的卡纸B．面积为16cm2的卡纸C．面积为32cm2的卡纸D．面积为64cm2的卡纸7．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，并写出各点坐标．8．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．<B组>1．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH=30°，CD=1.6m，DG=0.8m，BE=2.1m，EF=1.7m，则电杆的高约为m．（精确到0.1，参考数据：，）3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）5．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．参考答案【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．变式1、解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．变式2、解：A.1×30≠2×20，故本选项错误；B.3×2≠1×4，故本选项错误；C.5×20=10×10，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选C．例2、解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．变式1、解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．变式2、解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．例3、解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．变式1、解：∵a∥b∥c，∴==．故选B．例4、解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、解：∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BAC，A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加=，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．例5、解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．变式2、解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为。
湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》说课稿5
湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》说课稿5一. 教材分析湘教版数学九年级上册 3.4《相似三角形的判定与性质》是本节课的主要内容。
在教材中，相似三角形被定义为具有相同形状但不同大小的三角形。
这部分内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类以及三角形的性质等知识的基础上进行学习的。
通过学习相似三角形，学生可以更好地理解三角形的性质，并为后续学习几何图形的变换、解三角形等知识打下基础。
二. 学情分析在进入九年级上册之前，学生已经对三角形有了初步的认识和了解，能够熟练地识别各种类型的三角形，并掌握了一些基本的三角形的性质。
然而，对于相似三角形的判定与性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑和疑问进行讲解和解答，帮助学生更好地理解和掌握相似三角形的知识。
三. 说教学目标本节课的教学目标是使学生能够理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定与性质，并能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
具体来说，学生需要能够：1.准确地描述相似三角形的定义；2.判断两个三角形是否相似；3.应用相似三角形的性质解决一些实际问题。
四. 说教学重难点本节课的重难点是相似三角形的判定与性质。
对于学生来说，判断两个三角形是否相似以及如何运用相似三角形的性质解决实际问题可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我需要重点讲解和示范相似三角形的判定方法，并通过举例和练习帮助学生理解和掌握。
五. 说教学方法与手段为了有效地进行教学，我将会采用以下教学方法与手段：1.引导法：通过提出问题、引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性；2.讲解法：通过讲解相似三角形的定义、判定与性质，帮助学生理解和掌握知识；3.示范法：通过举例和练习，示范如何运用相似三角形的性质解决实际问题；4.练习法：通过布置课后作业和课堂练习，让学生巩固和运用所学知识。
六. 说教学过程教学过程分为以下几个步骤：1.导入：通过提出问题，引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫；2.讲解：讲解相似三角形的定义、判定与性质，结合实例进行讲解，让学生理解和掌握；3.示范：通过举例和练习，示范如何运用相似三角形的性质解决实际问题；4.练习：布置课后作业和课堂练习，让学生巩固和运用所学知识；5.总结：对本节课的内容进行总结，强调相似三角形的判定与性质的重要性和应用价值。
第4讲 相似三角形的判定和性质(一)
第4讲 相似三角形的判定和性质（一）知识要点1.相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2.相似三角形的判定方法（1） 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．（2）相似三角形的判定定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+两边对应成比例、直角三角形、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等43213. 相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比. ● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
经典例题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．并说明你判断的理由例2. 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例3.已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例 4.已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例5．如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由.(2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.【经典练习】1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）2.下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．3. 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．4.如图，已知△ABC ∽△ADE,AE=a 5cm,EC=a 3cm, BC=16cm,∠A=45o,∠C=40o(1)求∠AED 和∠ADE 的大小. (2)求DE 的长.CD BA5.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．6、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.(1) △ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由. (2)求∠1+∠2的度数.7.如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．备用图（一） 备用图（二） 备用图（三）图一B图二B C8.（1）如图一，等边△ABC 中，D 是AB 上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE 。
初高中数学衔接必备--第4讲 相似形、三角形在高中数学用的应用
第4讲 相似形、三角形在高中的应用1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图 3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF 求,DE EF .例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==.从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例 3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.图3.1-12．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例4如图3.1-12,在直角三角形ABC中，BAC为直角，AD BC D于.求证：（1）2AB BD BC，2AC CD CB；（2）2AD BD CD练习1．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？2.如图3.1-22，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD 与CE相交于F，则EF AFFC FD的值为（）A．12B．1 C．32D．23. 如图3.1-23，已知ABC周长为1，连结ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（）A．12002B．12003C．200212D．200312图3.1-22图3.1-23三角形1．三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形ABC中，有三条边,,AB BC CA，三个角,,A B C，三个顶点,,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例 2 已知ABC的三边长分别为,,BC a AC b AB c，I为ABC的内心，且I在ABC的边BC AC AB、、上的射影分别为D E F、、，求证：2b c aAE AF.图3.2-1 图3.2-2 图3.2-3图3.2-5例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图 3.2-8）例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 CHAB .过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是-___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-___________. 并请说明理由.图3.2-8图3.2-92 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例5 在ABC中，3, 2.AB AC BC===求（1）ABC的面积ABCS及AC边上的高BE；（2）ABC的内切圆的半径r；（3）ABC的外接圆的半径R.在直角三角形ABC中，A为直角，垂心为直角顶点A，外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为2b c a（其中,,a b c分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：222AC AB BC.例6 如图，在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：22AP AB PB PC.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.图3.2-13图3.2-15例7 已知等边三角形ABC 和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h ，可得结论：123h h h h .”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P 在ABC 内（如图b ），（2）点在ABC 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.练习21． 已知：在ABC 中，AB =AC ，120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（ ）A ．3AD AB =B ．12AD AB =C ．AD BD = D ．22AD BD =2． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A ．6 B ．4.5 C ．2.4 D ．83． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.4． 已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。
相似三角形的判定ppt
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两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
相似三角形的判定·基础讲解与巩固练习
相似三角形的判定·基础讲解与巩固练习【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°, 又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD 的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP 2＝PE ·PF ，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了. 【答案与解析】连接， ，，是的中垂线，，，， ．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于 E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF=∵△AGF∽△ABC∴AF AC GF BC=,即DE AC EF BC=.【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定3==226第三边，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4 ∴BC=CD=2∴AB CDCD DE,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴CA2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
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相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
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02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
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01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
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02
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定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
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05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
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不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第04讲 相似三角形的判定(1)(解析版)
第4讲 相似三角形的判定1.相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．知识梳理（3）设ABC ∆与E D A '''∆的相似比为k ，E D A '''∆与ABC ∆的相似比为k1，当两个相似三角形的相似比k =1时，这两个三角形就成为全等三角形．全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形的特例．注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序．．有关． 2.相似三角形具有传递性．．．（判定方法）： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．符号语言：∵ABC ∆∽111C B A ∆,111C B A ∆∽222C B A ∆，∴ABC ∆∽222A B C ∆（相似三角形的传递性）3.相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．4.相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5.相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如上图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB AC A B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆． 常见模型：题型一、相似三角形的判定与证明【例1】（1）根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒； （2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．【答案】（1）相似，ABC ∆∽DFE ∆；（2）相似，ABC ∆∽DEF ∆．【解析】（1）因为三角形内角和180︒，可得50C E ∠=︒=∠，又因为70A D ∠=∠=︒，在ABC ∆和DFE ∆中，C =E A=D⎧⎨⎩∠∠∠∠,所以ABC ∆∽DFE ∆； 题型探究（2）因为三角形内角和180︒，可得60C F ∠=︒=∠，又80B E ∠=∠=︒，在ABC ∆和DFE ∆中，C =F B =E⎧⎨⎩∠∠∠∠,所以ABC ∆∽DFE ∆； （2）如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【答案】3对，EAF ∆∽EBC ∆，AEF ∆∽DCF ∆，EBC ∆∽CDF ∆．【解析】∵□ABCD ∴//AB CD ，//AD BC∴E DCF ∠=∠，EAF EBC ∠=∠∴EBC D ∠=∠在AEF ∆和DCF ∆中，E =DCF EFA=DFC⎧⎨⎩∠∠∠∠,∴AEF ∆∽DCF ∆（两角对应相等，两个三角形相似）； 在BCE ∆和DFC ∆中，E =DCF EBC =D⎧⎨⎩∠∠∠∠,∴BCE ∆∽DFC ∆（两角对应相等，两个三角形相似）； ∴△AFE ∽△CFD ∽△BCE故答案为：3．A B C DEF（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【答案】证明过程见解析． 【解析】证明：2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，242363OA OD OB OC ∴===，， OA OC OB OD∴=． 在OAD ∆与OBC ∆中，OA OD =OB OC AOD=BOC⎧⎪⎨⎪⎩∠∠,∴OAD ∆∽OBC ∆（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）. （4）如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =．求证：ACD ∆∽ABC ∆．【答案】证明过程见解析．【解析】证明：2AC AD AB =， AD AC AC AB ∴=，AB CD在ACD ∆与ABC ∆中， AD AC =AC AB A=A⎧⎪⎨⎪⎩∠∠,∴OAD ∆∽OBC ∆（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）. 举一反三1.如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？【答案】ADE ∆∽ABC ∆，ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆，BCD ∆∽CDE ∆．【解析】因为1=2=3∠∠∠，同时有A ∠公共角必相等，根据相似三角形判定定理1，可得ADE ∆∽ABC ∆， ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆；同时由1=3∠∠， 可得：//DE BC ，进而EDC DCB ∠=∠，又23∠=∠，根据相似三角形判定定理1，可得：BCD ∆∽CDE ∆．2．根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．（1）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =；（2）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =；（3）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，AB CD E1 2345D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =．【答案】（1）相似，ABC ∆∽DEF ∆；（2）相似，ABC ∆∽EFD ∆；（3）不相似【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似．3.（2020年九年级上课时练习）如图，BD 、AC 相交于点P ，连接BC 、AD ，且∠1＝∠2，求证：△ADP ∽△BCP ．【答案】证明过程见解析 【解析】证明：在△ADP 和△BCP 中，12,DPA CPB∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ ∴△ADP ∽△BCP(两角对应相等，两个三角形相似）．4.如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．AB C B ’C ’【答案证明过程见解析． 【解析】证明：ABC ∆∽''AB C ∆， ''''AB AC BAC B AC AB AC ∴=∠=∠，， ''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，， ∴'ABB ∆∽'ACC ∆．题型二、选择或补充条件使三角形相似【例2】（1）（2020·上海九年级月考）如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【答案】∠D=∠B 或∠AED=∠C ．【解析】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似．故答案为∠D=∠B （答案不唯一）． （2）（2021·北京九年级一模）如图，ABC 中，BC BA >，点D 是边BC 上的一个动点（点D 与点,B C 不重合），若再增加一个条件，就能使ABD △与ABC 相似，则这个条件可以是__ __（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，如：BAD C∠=∠【解析】∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，∴添加的条件是BAD C∠=∠；故答案为：DB：BA=AB：BC或BAD C∠=∠．（3）（2020·上海九年级一模）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=．使△ADE与△ACB一定相似的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C【解析】∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，当AE DEAB BC=时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE 与△ACB 不一定相似，故②不符合题意， 当AD AE AC AB =时，△ADE ∽△ACB ．故③符合题意， 综上所述：使△ADE 与△ACB 一定相似的是①③，故选：C ．（4）（2021·陕西高新一中八年级期末）如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（ ）A ．ACDB ∠=∠B ．ADC ACB ∠=∠ C ．2AC AD AB =⋅ D ．AD CD AC BC= 【答案】D 【解析】A 、当ACD B ∠=∠时，再由A A ∠=∠，可得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项不合题意；B 、当ADC ACB ∠=∠时，再由A A ∠=∠，可得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项不合题意；C 、当2AC AD AB =⋅时，即AC AD AB AC=，再由A A ∠=∠，可得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项不合题意； D 、当AD CD AC BC=时，无法得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项符合题意． 故选：D ．（5）（2021·广西九年级期末）如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CDB ．∠C ＝∠B C ．OA OB OD OC = D ．OA AB OD CD= 【答案】D 【解析】A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OB OD OC= 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA AB OD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意．故选：D举一反三1.（2021·湖南九年级期末）如图，点P 在ABC ∆的边AC 上，要判断ABPACB ∆∆，还请你添加一个条件：__________．【答案】ABP C ∠=∠【解析】解：∵∠A =∠A∴要使得△ABP ∽△ACB ，只需要利用三个角都相等的方法即可∴可以添加的条件为：∠ABP =∠C故答案为：∠ABP =∠C .2.（2021·上海九年级一模）如图，点D 在ABC 的AB 边上，当AD AC =______时，ACD △与ABC 相似．【答案】AC AB【解析】由∠BAC=∠CAD 共用， 当AD AC AC AB =时， ACD △∽ABC ．故答案为：AC AB． 3.（2019·上海）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠∠=；②ADC ACB ∠∠=；③AC AB CD BC =；④2AC AD AB =⋅，其中单独能够判定ABC ACD ∽的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】 解：：①∵B ACD ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△；②∵ACB ADC ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△； ③虽然AC AB CD BC =，但∠A 不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似； ④∵2AC AD AB =⋅，∴AC AB AD AC =，又∵∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△． 综上，单独能够判定A ABC CD ∽△△的个数有3个，故选B. 4.（2021·北京清华附中九年级期末）如图，点D 在ABC 的边AC 上，要判定ADB △与ABC 相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（ ）A ．ABD C ∠=∠B ．ADB ABC ∠=∠ C ．AD AB AB AC = D ．AB DB AC BC= 【答案】D 【解析】解：∵ABD C ∠=∠，BAD CAB ∠=∠，∴ABD ACB △△，故A 正确；∵ADB ABC ∠=∠，BAD CAB ∠=∠，∴ABD ACB △△，故B 正确；∵AD AB AB AC =，BAD CAB ∠=∠， ∴ABD ACB △△，故C 正确；D 选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件．故选：D ．题型三、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等【例3】（1）如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB =．【答案】证明过程见解析．【解析】证明：AED B A A ∠=∠∠=∠，，AED ∴∆∽ABC ∆， AD AE AC AB ∴=， 即AE AC AD AB =．（2）如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．【答案】3:2． 【解析】90ACB ∠=︒，即90ACD BCD ∠+∠=︒，AB CDEAB D C又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒．A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆， AD DC AC DC BD BC ∴==． :9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =．::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．（3）（2020·上海市静安区实验中学）已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B ，若AE=2，BE=3，AD=3，求CD 的长．【答案】CD 的长为13【解析】∵∠ADE=∠B ，∠A=∠A∴△ADE ∽△ABC∴AE AD =AC AB∴23=AC 5 ∴AC=103∴CD=13． （4）（2020·上海市静安区实验中学）在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条【答案】C 【解析】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D 作DE ∥AC ，则有△BDE ∽△BAC ；如图2，过D 作DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC ；如图3，过D 作∠AED=∠B ，又∠A=∠A ，则有△ADE ∽△ACB ；如图4，过D 作∠BED=∠A ，又∠B=∠B ，则有△BED ∽△BAC ，故选：C ．（5）（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在ABC ∆中，6,8AB cm AC cm ==，D 是AB 上一点且AD 2cm =，当AE =________cm 时，使得ADE ∆与ABC ∆相似．【答案】83或1.5 【解析】解：分两种情况：第一种情况：如图，过D 作DE||AC 于点E ，则28·863AD AE AC AB ==⨯=； 第二种情况：如图，ΔADE ~ΔACB则2·6 1.58AD AE AB AC ==⨯= 故答案为8 1.53或． （6）（2021·天津九年级期末）如图，F 为四边形ABCD 边CD 上一点，连接AF 并延长交BC 延长线于点E ，已知D DCE ∠=∠． （1）求证：ADF ECF ∽△△； （2）若ABCD 为平行四边形，6AB =，2EF AF =，求FD 的长度．【答案】（1）证明过程见详解；（2）2【解析】（1）证明：∵D DCE ∠=∠，∠AFD=∠EFC ，∴ADF ECF ∽△△； （2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BE ，AB ＝CD ＝6，∴AF ：EF ＝DF ：CF ，又∵EF ＝2AF ，∴DF ：CF ＝1：2，即DF＝13DC ＝2． 举一反三1.如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD = ．【答案】2:2．【解析】四边形ABCD 是矩形，//90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，．DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠． ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CD CD CE∴=． 设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：22CD a =，∴2::2:22CD AD a a ==． 2.（2020·上海市静安区实验中学）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 是DC 上一点，∠DAE=A B C DE∠BAC，则EC的长为________．【答案】3 2【解析】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=12，∴EC=DC﹣DE=32．3.（2020·上海市静安区实验中学）在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE=________．【答案】74或47【解析】解：（1）如图1，当△ADE∽△ABC时，AE AD AC AB=，即：1 74 AE=，∴74 AE=；（2）如图2，当△ADE∽△ACB时，AE AD AB AC=，即：1 47 AE=，∴47 AE=．故答案为：74或474.（2021·四川九年级一模）在Rt ABC中，9030C A∠=︒∠=︒，，点P为AC中点，经过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线共有______条．【答案】3【解析】解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CA B．过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△AC B．过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BC A．故满足条件的直线有3条，故答案为：3．5.（2019·上海浦东新区·）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．【答案】证明过程见解析【解析】证明：（1）∵OD=2OA ，OC=2OB ， 12OA OB OD OC ∴== , 又∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ．（2）由（1）得：△AOB ∽△DOC ．∴∠ABO=∠DCO ．∵AB ∥DE ，∴∠ABO=∠EDO ．∴∠DCO=∠EDO ．∵∠DOC=∠EOD ，∴△DOC ∽△EOD,∴OD OC OE OD = , 2·OD OE OC ∴=课后作业1．（2020·上海市静安区实验中学）如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE ∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．2.（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在四边形ABCD中，//AD BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（）A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D．DC AB AC BC=【答案】D【解析】解：A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为AC ADBC AC=，则△ABC∽△DCA；D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当DC ABAC BC=时，不能判断△ABC∽△DCA．故选择：D．3．（2019·上海九年级期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．AC ABAD AE=B．AC BCAD DE=C．AC ABAD DE=D．AC BCAD AE=【答案】C【解析】解：∵∠BAC=∠D，AC AB AD DE=∴△ABC∽△ADE．故选C．4．（2019·上海市嘉定区怀少学校）下列命题中，错误的结论是（）A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似【答案】B【解析】解：A．两个顶角为100°的等腰三角形是相似三角形，故正确，B．两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误，C．两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，D．有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，故选：B．5．（2019·上海九年级期末）如图，如果BAD CAE∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC和ADE相似的是（ ）．A ．B D ∠=∠B ．C AED ∠=∠ C ．AB DE AD BC = D ．AB AC AD AE= 【答案】C 【解析】∵BAD CAE ∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，∴A ，B 可由两角对应相等的三角形相似，判定ABC ∽ADE ，D 可据一角对应相等夹边成比例判定ABC ∽ADE ．选项C 中不是夹这两个角的边，所以不能判定相似．故选：C ．6.（2018·上海九年级期中）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，那么下列判断中，不正确的是（ ）A ．△ADE ∽△ABCB ．△CDE ∽△BCDC ．△ADE ∽△ACD D ．△ADE ∽△DBC【答案】D 【解析】∵点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴∠BCD=∠EDC ，∵∠B=∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故B 正确；∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴△ADE ∽△ACD ，故C 正确；△ADE 与△DBC 不一定相似，故D 不正确； 本题选择不正确的，故选D ．7.（2020·上海市静安区实验中学）已知一个三角形的两个内角分别是30，70，另一个三角形的两个内角分别是70，80，则这两个三角形（ ）A ．一定相似B ．不一定相似C ．一定不相似D ．不能确定【答案】A【解析】解：∵ 一个三角形的两个内角分别是30，70，∴ 另一个内角的度数是180307080--=，∴一个三角形的三个内角分别是30，70，80∴ 这两个三角形有两角对应相等∴ 这两个三角形一定相似．故选：A ．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图：在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且ACD B ∠=∠，过点A作AE∥CB交CD的延长线于点E，那么图中相似三角形共有( )A．6对B．5对C．4对D．3对【答案】C【解析】解：依题意得∠EAD＝∠ACD＝∠B，∵AE∥CB，∴△AED∽△BCD，∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∵∠AED＝∠CEA，∴△AED∽△CEA，由相似三角形的传递性，得△BCD∽△CEA．故有4对相似三角形．故答案为：C．9．（2018·上海黄浦区·中考模拟）如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l 绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【答案】B 【解析】因为旋转后得到△AMN 与△ABC 相似,则∠AMN =∠C =40°,因为旋转前∠AMN =80°,所以旋转角度为40°,故选B.10．（2020·上海九年级三模）如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与△BFD 相似的三角形是（ ）A ．△BFE ；B ．△BDC ； C ．△BDA ；D ．△AFD ．【答案】C 【详解】解： △ABC 与△BDE 都是等边三角形，60,A EDB ∴∠=∠=︒,DBF ABD ∠=∠,BFD BDA ∴∽故选C ．11．（2019·上海市育才初级中学九年级月考）已知ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，能推断ADE 与ABC 相似的有( )个①∠BDE +∠C =180°；②AD AB AE AC ⋅=⋅；③AD BC AB DE ⋅=⋅；④∠A =90°，且AD AB DE BC = A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由图可知，∠A 是△ADE 与△ACB 的公共角，①∵∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，∴∠ADE=∠C ，利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到△ADE 与△ACB 相似；②由AD•AB=AE•AC 得到AD AC AE AB =，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE 与△ACB 相似；③由AD•BC=AB•DE 可得到AD AB DE BC=，公共角不是夹角，不能得到△ADE 与△ACB 相似； ④∵AD AB DE BC =，∠A=90°， 利用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”得到△ADE 与△ACB 相似，综上所述，能判断△ADE 与△ACB 相似的是①②④，共3个．故选：C ．12．（2021·天津九年级期末）下列条件中可以判定ABC A B C '''∽△△的是（ ） A ．AB A B AC A C ''=''，A A '∠=∠ B ．AB A B AC A C ''=''，B B '∠=∠ C ．AB A B AC A C ''='' D ．AB AC A B A C =''''【答案】A【解析】A 、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定ABC A B C '''∽△△相似，故选项正确； B 、对应边成比例，但B 不是AB 、AC 的夹角，不能判定ABC A B C '''∽△△相似故选项错误； C 、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定ABC A B C '''∽△△相似故选项错误；D 、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定ABC A B C '''∽△△相似故选项错误；故选：A ．13．（2021·河北九年级一模）已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）A ．只有（1）相似B ．只有（2）相似C ．都相似D ．都不相似【答案】C 【解析】解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；对于（2）图：由于43OA OD =，84=63OC OB =，OA OC OD OB =，∠AOC ＝∠DOB ，所以△AOC ∽△DOB ． 故选：C ．14．如图，D 是ABC 的AB 边上的一点，在直线AC 上找一点E ，使得ADE 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D 【解析】解：情况（1）：如图，当AB AC ≠时，根据题意得：当//DE BC 时，ADE ABC △△∽；当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ABC △△∽．所以当AB AC ≠时，满足这条件的E 点有2个．情况（2）：当AB AC =时，情况（1）中两点重合，此时满足这条件的E 点只有1个． 综上所述：使得ADE 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点有1个或2个． 故选：D ．15．（2021·北京九年级期末）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上．只需添加一个条件即可证明△ADE ∽△ACB ，这个条件可以是_____．(写出一个即可)【答案】∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB = 【解析】∵∠A=∠A ，∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时，ADE ∽△ACB ；当AD AE AC AB =时，ADE ∽△ACB ； 故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB =．16．（2020·上海市静安区实验中学）点D在ABC的边AB上，且2AC AD AB=⋅，则ABC ACD，理由是_______．【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB=⋅，即AB AC AC AD=，又A A∠=∠，ABC ACD~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．17.（2021·上海九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】5 3【解析】解：如图，∵BP ＝5，BC ＝4，∴CP ＝1，∵PQ ⊥AP ，∴∠APQ ＝90°＝∠ABC ，∴∠APB +∠BAP ＝90°＝∠APB +∠BPQ ，∴∠BAP ＝∠BPQ ，又∵∠ABP ＝∠PCQ ＝90°，∴△ABP ∽△PCQ ， ∴AB BP CP CQ =， ∴351CQ= ∴CQ ＝53， 故答案为：53． 18.（2019·上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）ABC ∆中，10AB =，6AC =，点D 在AC 上，且3AD =，若要在AB 上找一个点E ，使ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =__．【答案】5或95【解析】A ∠是公共角，∴当AE AD AB AC =，即3106AE =时，ADE ACB ∆∆∽ 解得：5AE =当AE AD AC AB =，即3610AE =时，ADE ABC ∆∆∽ 解得：95AE = 故答案为：5或9519．（2021·吴江市实验初级中学八年级月考）如图，四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是正方形．请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由．【答案】AEF CEA △∽△，理由见详解【解析】解：AEF CEA △∽△，理由如下：∵四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是正方形，∴45,AEB BE EF CF ∠=︒==，∴22,2AE BE EF CE EF ===，∴222,2222AE EF EF EF EC EF AE EF====， ∴AE EF EC AE=， ∵AEF CEA ∠=∠，∴AEF CEA△∽△．20．（2020·上海市静安区实验中学）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．【答案】△ADE∽△BDA【解析】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，∴AD=2CD，BD=2CD，∴12 ED ADAD BD==，∵∠ADB=∠ADB，∴△ADE∽△BDA．21．（2017·上海九年级期中）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】解：（1）∵∠ABE =∠ACD ，且∠A 是公共角， ∴△ABE ∽△ACD ． ∴AE AB AD AC =，即AE AD AB AC =， 又∵∠A 是公共角，∴△AED ∽△ABC ．（2）在BC 上截取BF=BD ，连接EF ，在△BDE 与△BFE 中，BD=BF,∠DBE=∠FBE ，BE=BE ， ∴△BDE ≌△BFE ，∴DE=FE ，∠BDE=∠BFE ，∴∠ADE=∠EFC ，∵△AED ∽△ABC ，∴∠ADE=∠ACB ，∴∠EFC=∠ACB ，∴EF=EC ，∴DE =CE ．22.如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒． 求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆；（2）22BC BE CD =．AB C D E【答案】证明过程见解析【解析】证明：（1）90AB AC BAC =∠=︒，，45B C ∴∠=∠=︒．45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆， ∴ABE ∆∽DCA ∆．（2）ABE ∆∽DCA ∆，AB BE CD AC ∴=，即CD BE AB AC ⋅=⋅．90AB AC BAC =∠=︒，， 22222BC AB AC AB AC CD BE ∴=+=⋅=⋅．23.如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆． 求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．【答案】证明过程见解析【解析】证明：（1）EDC ∆∽ABC ∆，EC DC AC BC∴=，DCE ACB ∠=∠， 即EC AC DC BC =，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆．（2）AB AC =，B ACB ∴∠=∠．A B C DEACE∆∽BCD∆，CAE B∴∠=∠．CAE ACB∴∠=∠，∴AE//BC．24.如图，在ABC∆中，AB AC=，AD AB⊥于点A，交BC边于点E，DC BC⊥于点C，与AD交于点D．（1）求证：ACE∆∽ADC∆；（2）如果1CE =，2CD=，求AC的长．【答案】（1）略；（2）253AC=．【解析】（1）证明：AD AB⊥，DC BC⊥，AEB CED∠=∠，∴AEB∆∽CED∆，B D∴∠=∠．AB AC=，B ACE∴∠=∠，D ACE∴∠=∠．CAE CAD∠=∠，∴ACE∆∽ADC∆．（2）解：由（1）可知AEB∆∽CED∆，AB CDEAE ABCE CD∴=．1CE=，2CD=，25 AB AE AC DE∴===，．ACE∆∽ADC∆，AC CEAD CD∴=．即11252ACAC=+、解得：253AC=．。
初二数学相似三角形讲义
1．相似三角形相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别。
为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例。
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
另外，相似三角形具有传递性（性质）。
注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
思考问题：（1）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？（2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？2．相似比的概念相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）。
注：①两个相似三角形的相似比具有顺序性。
②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。
教材通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合5．2节例6定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：（1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的。
（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，除教材中两种情况外还有如左图所示的情形，它可以看成 BC截△ADE 两边所得，其中BC//DE，本质上与右图是一致的。
（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，作题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现的错误，如出现错误，教师要及时予以纠正。
（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置。
相似三角形的判定与性质讲义一、比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.A此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
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三角形相似的条件
1. 如图，在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，EC交AD于点F，则图中相似三角形有( )
A．1对B．2对
C．3对D．4对
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．4对B．3对
C．2对D．1对
3. 下列各组图形中有可能不相似的是( )
A．有一个锐角相等的两直角三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．有一个角相等的两等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
4. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线等于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
5. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是( )
A.1
2
B.
3
2
C.5
2
D.
7
2
6. 在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠D＝40°，∠E＝80°，则△ABC∽△DEF，这两个三角形相似的根据是_____________________
__________.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E.若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为___.
8. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____.
9. 如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形______________.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝1，则AD的长是 .
11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD
∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为_____.
12. 如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.求证：△ABC∽△DEF.
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
14. 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD.
15. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB. (1) 求证：AB AE ＝AC
AD
；
(2) 若AB ⊥AC ，AE ∶EC ＝1∶2，F 是BC 的中点，求证：四边形ABFD 是菱形．
参考答案： 1. C 2. B 3. C 4. C 5. C
6. 两角对应相等的两个三角形相似
7. 5
8. 5
9. 答案不唯一，如：△DCF ∽△EBF 10. 4 11. 258
12. 证明：在△ABC 中，∠B ＝180°－∠A －∠C ＝79°，在△ABC 和△DEF 中，⎩
⎪⎨
⎪⎧
∠B ＝∠E
∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽
△DEF.
13. 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE.
14. 证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED ，∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°，∴∠AFB ＝∠D ＝90°，∴△ABF ∽△EAD.
15. 证明：(1) ∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE ，∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB ，又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB ，又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC
AD
；
(2)设AE ＝x ，∵AE ∶EC ＝1∶2，∴EC ＝2x ，由(1)得AB 2
＝AE ·AC ，∴AB ＝3x ，又∵BA ⊥AC ，∴BC ＝23x ，∴∠ACB ＝30°，又∵F 是BC 的中点，∴BF ＝3x ，∴BF ＝AB ＝AD ，又∵∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABD ，∴∠ADB ＝∠CBD ＝30°，∴AD ∥BF ，∴四边形ABFD 是平行四边形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABFD 是菱形．。