第4讲 三角形相似条件判定

三角形相似的条件

1. 如图，在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，EC交AD于点F，则图中相似三角形有( )

A．1对B．2对

C．3对D．4对

2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )

A．4对B．3对

C．2对D．1对

3. 下列各组图形中有可能不相似的是( )

A．有一个锐角相等的两直角三角形

B．各有一个角是60°的两个等腰三角形

C．有一个角相等的两等腰三角形

D．两个等腰直角三角形

4. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线等于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )

A．0个B．1个

C．2个D．3个

5. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是( )

A.1

2

B.

3

2

C.5

2

D.

7

2

6. 在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠D＝40°，∠E＝80°，则△ABC∽△DEF，这两个三角形相似的根据是_____________________

__________.

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E.若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为___.

8. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____.

9. 如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形______________.

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝1，则AD的长是 .

11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD

∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为_____.

12. 如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.求证：△ABC∽△DEF.

13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.

14. 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD.

15. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB. (1) 求证：AB AE ＝AC

AD

；

(2) 若AB ⊥AC ，AE ∶EC ＝1∶2，F 是BC 的中点，求证：四边形ABFD 是菱形．

参考答案： 1. C 2. B 3. C 4. C 5. C

6. 两角对应相等的两个三角形相似

7. 5

8. 5

9. 答案不唯一，如：△DCF ∽△EBF 10. 4 11. 258

12. 证明：在△ABC 中，∠B ＝180°－∠A －∠C ＝79°，在△ABC 和△DEF 中，⎩

⎪⎨

⎪⎧

∠B ＝∠E

∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽

△DEF.

13. 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE.

14. 证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED ，∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°，∴∠AFB ＝∠D ＝90°，∴△ABF ∽△EAD.

15. 证明：(1) ∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE ，∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB ，又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB ，又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC

AD

；

(2)设AE ＝x ，∵AE ∶EC ＝1∶2，∴EC ＝2x ，由(1)得AB 2

＝AE ·AC ，∴AB ＝3x ，又∵BA ⊥AC ，∴BC ＝23x ，∴∠ACB ＝30°，又∵F 是BC 的中点，∴BF ＝3x ，∴BF ＝AB ＝AD ，又∵∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABD ，∴∠ADB ＝∠CBD ＝30°，∴AD ∥BF ，∴四边形ABFD 是平行四边形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABFD 是菱形．