浅谈立体几何中的垂直问题

浅谈立体几何中的垂直问题

黎武兵湛江市太平中学交流QQ：306582633

关键词：立体几何，维数转化，非90度垂直，线线垂直

垂直问题在立体几何中占有重要的地位，是历年高考命题的热点.空间中的垂直关系有三种：线线垂直、线面垂直、面面垂直.而线线垂直是最基本、最重要的一种，它在三者转化过程中起着穿针引线、承前启后的作用.因此线线垂直的证明更是解决垂直问题的关键.

立体几何是平面几何的升级与综合.例如正方体的侧棱垂直形式就有45度角，90度角、135度角和异面垂直等四种形式.而学生对非90度垂直的理解，不是不透彻就是误解.因此，如何帮助学生透彻理解非90度垂直，便成了立体几何的重中之重.以下的三种可以帮助学生正确理解非90度垂直.

一是错误视觉分析.

这就要求老师从视觉角度分析和演示线、角、面的变化，教会学生理解视觉的误导性.通过实物演示，让学生明白“横看成岭侧成峰”的道理，从而达到培养学生建立发散思维习惯和锻炼空间想象力的目的.

二是维数转化思想.

从初中的平面几何到高中的立体几何，即是从二维思想过渡到三维思想，大部分学生的几何思考还停留在二维思想上，这就要求老师正确引导学生掌握用二维思想理解三维思想.让学生理解立体几何中的三维表示长、宽和高，而平面几何中的二维表示长和宽，但长、宽、高并没有确定的界限.例如把正方体的左侧面独立提取出来，它就是一个正方形，原先表示正方体的宽和高，都成了正方形的边长.再例如正方体A1B1C1D1-ABCD中的对角面A1ACC1是一个长方形，其长AC和A1C1分别为正方体上底面和下底面的对角线.

在垂直的证明过程中，常常要把立体几何拆分成几个平面图形分别证明，

再对证明结果加以综合，从二维回到三维，即可获得证明。

三是知识系统理解.

如何让学生正确理解垂直的传递性，便成了老师课堂教学的重点和难点.通过垂直传递性的理解分析，培养学生的逻辑推理能力和空间想像能力.从线线垂直到线面垂直，再到面面垂直，反之一样.这里就要求学生把其中的条件理解并熟记，在求解过程中可以信手拈来，在证明过程中可以一呼即出.在垂直传递过程中，要善于利用逆向思维思考问题.

例如，正方体A1B1C1D1-ABCD中，求证：A C⊥BD1.

分析：

显然，直线AC与BD1没有交点，是异面直线，不能利用平面几何中的勾股定理及高线性质来证明。因此，便要以垂直的传递性为突破口，加以证明。先证明AC与BD1所在的某一个平面垂直，再由线面垂直得到线线垂直即可.或者先证明BD1与AC所在的某一个平面垂直，再由线面垂直得到线线垂直即可.显然，前者容易后者难.

证明：

如图正方体A1B1C1D1-ABCD中，

正方形底面A1B1C1D1对角线相互垂直，

即A1C1⊥B1D1，又A1C1∥AC，故AC⊥B1D1，

而正方体侧棱BB1⊥面ABCD，故AC⊥BB1，

由线面垂直的判定定理可得：AC⊥面BB1D1，

再由线面垂直的性质定理即得：A C⊥BD1.

本题的证明过程用到了逆向思维，若要证A C⊥BD1，则需证AC⊥面BB1D1；若要证AC⊥面BB1D1，则需证AC与另外两条直线垂直.