高一数学不等式知识点总结

判 别 式 法
数 学 归 纳 法 构 造 函 数 法
不 等 式
反 放 证 缩 法 法
换 元 法
整式不等式 解不等式 可化为整式不等式的不等式 不等式的应用
不等式知识点
二.知识要点
1.两实数大小的比较 两实数大小的比较 2.不等式的性质 不等式的性质
a > b ⇔ a − b > 0 a = b ⇔ a − b = 0 a < b ⇔ a − b < 0
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(3)高次不等式： 高次不等式： 高次不等式
( x − a1 )( x − a 2 ) L ( x − a n ) > 0
a1 > a 2 > L > a n
表解法 ⇒ 数轴标根法
(4)分式不等式： f ( x ) 分式不等式： 分式不等式 g( x ) > 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) > 0 f ( x) f ( x ) ⋅ g ( x ) ≤ 0 ≤0⇔ g( x ) g( x ) ≠ 0
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11.不等式的分类（按所连接的解析式类型分类） 不等式的分类（按所连接的解析式类型分类） 不等式的分类
代数不等式 超越不等式 有理不等式 无理不等式 指数不等式 对数不等式 三角不等式 一次不等式 整式不等式 二次不等式 高次不等式 分式不等式 绝对值不等式
8.绝对值的性质 绝对值的性质
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9.绝对值的解法 绝对值的解法
x < a , (a > 0 ) ⇒ − a < x < a x > a, (a > 0) ⇒ x > a, 或x < −a f ( x) > g( x) ⇔ f ( x) > g( x), 或f ( x) < −g( x) 公式法 f ( x ) < g( x ) ⇔ − g( x ) < f ( x ) < g( x ) a − b ≤ a ± b ≤ a + b a1 + a 2 + L + a n ≤ a1 + a 2 + L + a n 平方法 f ( x) > g( x) ⇔ f 2 ( x) < g 2 ( x) 划分区域讨论法： 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式 利用绝对值的几何意义 :
不 等 式
不等式知识点
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（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 ）判别式法： 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 为一元二次函数 根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题. 求解问题 均置换元. （8）换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元 ）换元法：三角换元， 9）数学归纳法： （9）数学归纳法：
2
3. 基 本 不 等 式 定 理
整式形式
根式形式
分式形式
倒数形式
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4.公式 公式
a
2
+ b 2
2
a + b ≥ ≥ 2
ab ≥
a
−1
2 + b
−1
5.重要结论 重要结论
a + b + c ≥ 3 abc ( a , b , c , > 0 )
3 3 3
a + b + c ≥ 3 abc ( a , b , c , > 0 )
来自百度文库
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(5)无理不等式 无理不等式
f (x) > g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 f (x) > g(x) g(x) < 0 g(x) ≥ 0 或 f (x) > g(x) ⇔ f (x) ≥ 0 f (x) > g 2 (x) g(x) > 0 f (x) < g(x) ⇔ f (x) ≥ 0 f (x) < g 2 (x)
3
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6.证明不等式的主要方法 证明不等式的主要方法 •（1）比较法： （ ）比较法：
作差法 A − B ≥ 0 ⇔ A ≥ B 作商法 A > 1(B > 0) ⇒ A > B B
•（2）综合法：由因导果 （ ）综合法： •（3）分析法：执果索因 （ ）分析法： •（4）反证法：正难则反 （ ）反证法： •（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式 （ ）构造法： •（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的 （ ）放缩法：
对称性 a > b ⇔ b < a 传递性 a > b , b > c ⇒ a > b > c 移项法则 a + b > c ⇒ a > c − b 加法单调性 a > b ⇒ a + c > b + c 同向不等式相加 a > b ⇒ a + c > b + d c > d a > b > 0 ⇒ ac > bd > 0 同向正数不等式相乘 c > d > 0 a > b > 0 n n 乘方法则 ⇒a >b n ∈ N∗ 乘法单调性 a > b ⇒ ac > bc, c > o a>b>0 n n 开方法则 ⇒ a > b n ∈ N且n > 1 倒数法则 a > b > 0 ⇒ 1 < 1 , a < b < 0 ⇒ 1 > 1 a b a b
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7.绝对值的定义 绝对值的定义
a , (a > 0 ) a = 0, (a = 0) − a , (a < 0)
a ≥ 0 a⋅b = a ⋅ b a a = b b an = a n a − b ≤ a ± b ≤ a + b a + a + La ≤ a + a + L + a 2 n 1 2 n 1
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10.解不等式 解不等式 (1)一元一次不等式 一元一次不等式
x > ax > b(a ≠ 0) x < b (a > 0 ) a b (a < 0 ) a
(2)一元二次不等式： 一元二次不等式： 一元二次不等式
∆ > 0, x < x1 , x > x 2 (x1 > x 2 ) b 2 ax + bx + c > 0(a > 0) ⇒ ∆ = 0, x ≠ − 2a ∆ < 0, x ∈ R
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a 2 + b 2 ≥ 2 ab 1 a 2 + b 2 ≥ (a + b ) 2 2 a + b ab ≤ 2 2 a + b 2 ab ≤ 2 a + b ab ≥ 2 a + b ≤ 2 (a 2 + b 2 ) b a 同号） + ≥ 2 ( a , b 同号） a b 1 a > 0 ⇒ a + ≥ 2 a 1 a < 0 ⇒ a + ≤ − 2 a
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不等式知识要点
一.知识网络
不等式的基本性质 不等式性质 绝对值不等式的基本性质 重要不等式： 重要不等式：a 2 + b 2 ≥ 2ab a 定理： 定理： + b ≥ 2 ab (a > 0, b > 0) 证明不等式主要方法 比 综 分 较 合 析 法 法 法 其它重要方法
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(6)指数不等式 指数不等式： 指数不等式
a
f (x)
>a
g( x)
f ( x ) > g( x ), (a > 1) ⇔ f ( x) < g( x ), (0 < a < 1)
(7)对数不等式 对数不等式
loga
f (x)
> loga
g( x)
f (x) > 0 g(x) > 0 (a > 1) f (x) > g(x) ⇔ f (x) > 0 g(x) > 0 (0 < a < 1) f (x) < g(x)