5.1.2垂线导学案
5.1.2垂线导学案
OD CB A课题：5.1.2 垂线学习过程： 一．自主学习1．如图，若∠1=60°，那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______ 2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形， 并求出此时∠2、∠3、∠4的大小 二．合作探究3的内容，回答上面所画图形中两条直线的关系是__________，知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况 2 用语言概括垂直定义两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____ 3．垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图 4垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90° （ ）∴AB ⊥CD （ ） （2）∵ AB ⊥CD （ ）∴ ∠AOD=90°（ ） 5．垂直的生活应用观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线思考这些给大家什么印象找一找：在你身边，还能发现哪些“垂直”的实例6．如果把小河看成是直线L ，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田P ，另一个端点就是直线L 上的某个点那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题 （提示：用数学眼光思考:在连接直线L 外一点P 与直线L 上各点的线段中,哪一条最短） 三．巩固运用1．用三角尺或量角器画已知直线L 的垂线1已知直线L ，画出直线L 的垂线，能画几条 L小组内交流,明确直线L 的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
2怎样才能确定直线L 的垂线位置呢在直线L 上取一点A,过点A 画L 的垂线, 能画几条再经过直线L 外一点B 画直线L 的垂线,这样的垂线能画出几条B ．A ． L LE(3)O D CBA (2)O D CBA (1)ODC BAED CBA 从中你能得出什么结论 ____________________________________________ 2．变式训练,请完成课本P 5练习第2题的画图画完图后，归纳总结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在______的垂线 四反思总结本节课你有那些收获还有什么疑难需要帮助解决 五达标检测 （一）判断题1两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等 2一条直线不可能与两条相交直线都垂直3两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直 4两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直 （二）填空题1如图1,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________2如图2,AO ⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________ 3如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________ （三）解答题1已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上1画直线DE ⊥OB 2画直线DF ⊥OA,垂足为F2已知:如图,直线AB,射线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠ 与OE 的位置关系3．判断对错，并说明理由：1直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离2如图,线段AE 是点A 到直线BC 的距离 3如图,线段CD 的长是点C 到直线AB 的距离E ODC BA。
5.1.2垂线(1)导学案
1、下列说法：①一条直线只有一条垂线；②画出点P到直线l的距离；③两条直线相交就是垂直；④线段和射线也有垂线。其中正确的有＿＿＿＿。
2、A为直线l外一点，B为直线l上一点， 点A到l距离为3cm，则AB＿＿＿＿3cm,根据是＿＿＿＿。
3、如图所示,下列说 法不正确的是( )毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;
B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;
D.线段BD是点B到 AD的垂线段
4、如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD,若∠COA=36°则∠DOB的大小为（）
A.36° B.54°C.64°D.72°
5、如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠A OE=70 °,求∠DOG的度数.
5.1.2垂线(1)导学提纲
设计时间3.5
设计人：
班级：九
姓名：
一、学习目标
1、理解垂线的概念。
2、掌握在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知 直线。
3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
二、自主学习
1、阅读课本第3页完成下列问题
当两条直线相交所成的四个角中有一个 角是90°时，这两条直线互相＿＿＿＿，其中一条直线叫做另一条直线的＿＿＿＿，两条直线的交点叫＿＿＿＿，垂直用符号＿＿ ＿＿来表示，读作＿＿＿＿，如直线AB垂直CD，就记作＿＿＿＿。
2、合作学习
（1）、用三角尺或量角器画出已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2）、经过直线l上一点A画出l的垂线，能画出几条？
（3）、经过直线l外一点B画出l的垂线，能画出几条？
由此我们得出如下结论：
1、一条直线的垂线有＿＿＿＿条。
初中数学人教新版七年级下册5.1.2垂线导学案
初中数学人教新版七年级下册实用资料七年级数学自学案5.1.2垂线一、自学范围（3页——6页练习）二、自学目标：1、知道垂线的定义、能过一点画出已经直线的垂线、会用符号表示垂直。
2、理解垂线的两个性质三、自学重点理解垂线的性质四、自学过程：1、自学第一、二自然段：2、什么是垂直呢： 垂直是相交的一种 情况，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ．3、什么上垂直呢？如图一：直线AB 、CD 互相垂直，记作“AB ⊥CD ”或“CD ⊥AB ”，读作“AB 垂直于CD ”，如果垂足为O ，记作“AB ⊥CD ，垂足为O ”4、举出生活中垂直的例子：图一十字路口的两条道路 如下图，当∠AOC ＝90°时，∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 等于多少度？为什么？这种位置有几种？直线AB 与直线CD 的位置关系怎样？5、自学4页探究：用课本中的作图方法完成下面图形（1）过直线l 上一点A,作直线AB ⊥l 垂足为A（2）过直线AB 外一点C,作CD ⊥AB,垂足为D.(3)各能画几条，得到怎样的结论呢？6、自学5页的思考与探究。
P 相边的线段 l 的 关系是 ，点P 到直 线l 的距离是 的长度，五、学效测试7、下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图所示,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.9、过一点有且只有________直线与已知直线垂直. 10、画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.11、直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.12、完成6页练习l A C A 7A 12A 3A 45A 89OD C B A。
人教版七年级数学下册 第五章 5.1.2 垂线 导学案
5.1相交线5.1.2垂线第1课时垂线一、新课导入1.导入课题：观察周围的景物：墙与地面、桌腿与地面、公路两边的电线杆与地面的位置关系都给我们垂直的印象，导出课题——垂线.2.学习目标：（1）能说出垂线、垂线段的意义、会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.（2）记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理.3.学习重、难点：重点：正确理解垂线、垂线段的概念.难点：能利用垂线的性质进行简单的推理.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：课本P3至P4“探究”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：认真阅读教材，对重、难点内容做好标记.不清楚，不懂的地方可以小组讨论.（4）自学参考提纲：①垂线的定义：结合相交线模型和图5.1-4体会当∠α=90°时，a和b互相垂直，这说明：当两条直线相交成的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.②垂线的定义推理过程（如图1）：因为AB⊥CD（已知）,所以∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°(垂直定义).反之因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直定义).③如图2，直线a ⊥b，∠1 = 35°，则∠2 =55°.④当两条直线相交所成的四个角相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？互相垂直.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师在学生自学时巡视课堂，关注学生的学习进度和学习中存在的问题.②差异指导：对在自学中遇到疑难或认识有偏差的学生进行点拨引导.（2）生助生：学生通过小组交流探讨各自遇到的问题.4.强化：（1）垂线、垂线段的概念.（2）举例说明生活中的垂直现象.1.自学指导：（1）自学内容：课本P5练习之前的内容.（2）自学时间：3分钟.（3）自学要求：根据探究提纲动手操作画图；在动手过程中互助交流作图方法.（4）探究提纲：①如图,用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画几条?小组内交流,明确直线l的垂线有无数条,即垂线存在,但位置有不确定性.②如图1，在直线l上取一点A，过点A画直线l的垂线，能画几条?如图2，经过直线l外一点B画直线l的垂线，这样的垂线能画几条?③从②中你能得出什么结论?在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列表，是否理解表中的数据的意义以及画图中存在的问题.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化:（1）用三角尺过已知点画已知直线的垂线的方法：①一边靠线；②移动找点；③画垂线.（2）垂线的存在性和唯一性：在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）练习：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组长谈学习收获和存在的困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中表现出的态度、情感、方法和成效进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:在这堂课中，学生的主体地位突出了，真正亲历了知识形成的全过程.在自主学习、同桌合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明，在自由探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课实施中的每一个学习活动，都以学生个性思维、自我感悟为前提多次设计了让学生自主探索、合作交流的时间与空间.通过学生和谐有效地互动，强化了学生的自主学习意识.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）如图所示，若AB⊥CD于点O，则∠AOD=90°；若∠BOD=90°，则AB⊥CD.2.（10分）如图所示，已知AO⊥BC于点O，那么∠1与∠2的关系是∠1+∠2=90°.第1题图第2题图第3题图第4题图3.（10分）如图，OA⊥OB，OC是一条射线，若∠AOC=120°，则∠BOC=30°．4.（10分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（B）A.26°B.64°C.54°D.以上答案都不对5.（15分）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC ＝35°，求∠AOD和∠BOD的度数.解：因为EO⊥AB，所以∠EOB=∠EOA=90°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°.又因为∠AOD=∠BOC(对顶角相等)，所以∠AOD=125°.因为∠AOC=∠AOE-∠COE=55°,所以∠BOD=∠AOC=55°（对顶角相等）.二、综合应用（20分）6.如图，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上吗？为什么？解：A、B、C三点在同一直线上.∵AB⊥l，BC⊥l.且交点都为B.∴A、B、C三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.三、拓展延伸（20分）7.如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O.（1）若∠1=∠2,求∠NOD;（2）若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.解：（1）因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.（2）由已知条件∠BOC=4∠1，即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°，所以∠AOC=90°-30°=60°，所以由对顶角相等可得∠BOD=60°,所以∠MOD=90°+∠BOD=150°.5.1.2垂线第2课时垂线段一、新课导入1.导入课题：如图所示，在铁路旁边有一个村庄A，现要建一个火车站，为了使此村庄的人乘火车最方便（即距离最近），应怎样选择火车站的位置呢？学完这节课，相信你就会明白！2.学习目标：（1）能说出垂线段的意义和点到直线的距离的含义.（2）记住垂线段的性质，并能利用它进行简单的推理.3.学习重、难点：重点：正确理解垂线段的概念和点到直线的距离.难点：利用垂线段的性质进行简单的推理.4.自学指导（1）自学内容：课本P5的练习以下的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：认真阅读教材，联系生活实际体会并测量.（4）自学参考提纲：①什么叫垂线段？②在课本P5“探究”中，先通过目测估计最短的线段是PO，再通过度量或叠合法比较验证你的结论.③由②可得到：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.④点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如右图，PO的长度叫做点P到直线l的距离.PO、PA、PB、PC中最短的线段是PO.⑤在课本P5“思考”图中画出水渠开挖的路线，若图中比例尺为1∶100000，水渠大约要挖多长？二、自学同学们可结合自学指导进行自学.三、助学1.师助生：（1）明了学情：教师参与到学生自学过程中，了解学生的认知情况.（2）差异指导：对个别学习有困难和认识有偏差的学生进行点拨和指导.2.生助生：小组内相互交流、探讨.四、强化1.垂线段最短.2.点到直线的距离.3.练习：如右图，三角形ABC中，∠C＝90°.（1）分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段？ACBC （2）三条边AB、AC、BC中哪条边最长？为什么？AB五、评价1.学生学习的自我评价：各学习小组长谈本组学习方式和收效及存在的困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、成效以及存在的不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：在这堂课中，我们从学生熟悉的生活实例入手，探讨了有关垂线段的意义和点到直线的距离问题，让学生真正经历了知识形成的全过程.同时课堂强调了学生的动手操作，让学生经历大胆猜测，合作交流等学习过程，为后面的学习打下坚实的基础.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（60分）1.（10分）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（C）A.垂直的定义B.两点之间，线段最短C.垂线段最短D.两点确定一条直线2.（10分）点到直线的距离是指（D）A.直线外一点到这条直线上一点之间的距离B.直线外或直线上一点到直线的垂线段的长度C.直线外一点到这条直线的垂线的长度D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度3.(10分)P是直线AB外一点，过点P作PO⊥AB，垂足为O，若C为直线AB上任意一点，则线段PC与线段PO的大小关系是（C）A.PC＞POB.PC＜POC.PC≥POD.PC≤PO4.（10分）如图，三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,点P是BC边上一动点，则AP的长不可能是（B）A.3B.2.8C.3.5D.45.(20分)如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE;（2）过点P画直线CD的垂线，与AB相交于F点;（3）线段PE，PO，PF三者中最短的是PE，依据是垂线段最短.二、综合应用（20分）6.一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C、D是分别位于公路AB两侧的加油站.（1）设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中分别画出点M、N的位置；（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离C、D两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远？解：（1）如图.（2）在公路AB的AM段距离C、D两加油站都越来越近，在MN段距离加油站D越来越近，而加油站C却越来越远.三、拓展延伸（20分）7.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.解：（1）∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小.（2）过H作HG⊥EF，垂足为G.“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H 中开渠最短的根据.。
5.1.2垂线导学案
5.1.2垂 线（导学案）惠民县第二实验学校 郭 勇学习目标：1. 知道垂线的定义与表示，能用符号语言表达垂直。
2. 理解垂线的两条性质。
3. 一、 温故知新探究1：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 请同学们带着以下问题观察。
1.当b 的位置变化时,a 、b 所成的角α是否也会发生变化？2.转动木条b 时，他和木条a 互相垂直的位置有几个？通过探究你的结论是：1.2.二、探求新知（一）垂线的定义及表示 1.当∠α =90°时,a 与b 垂直（垂直是相交的特殊情况）.此时称直线a 是直线b 的垂线（也可以称直线b 是直线a 的垂线）.记作：a ⊥ b （符号“⊥”表示垂直）若直线a 与直线b 垂直时，交点为O ，此时交点为O 叫做垂足，记作：a ⊥ b,垂足为O 或a ⊥ b 于O.2. 以上推理过程“如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°，那么 AB⊥CD”.用符号语言表达为：因为∠AOC=90°（已知）所以 AB⊥CD （垂直的定义）．反过来因为 AB⊥CD（已知），所以∠AOC＝90°（垂直的定义）．在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。
例如：方格本的横线和竖线，铅垂线和水平线等，你还能举出其他例子吗？例如： .(二)探究2：(1)画已知直线l的垂线能画几条?(2)过直线l上的一点A画直线l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)过直线l外的一点B画直线l的垂线,这样的垂线能画几条?通过作图和思考你的结论：1.2.3.垂线的性质1：PA B C l D （三）探究3：1. 以上实际问题，转化为数学问题是：2.连接的所有线段中，是否存在相互垂直的情况？3.请测量你所连线段的长度，并进行比较？那条是最短的呢？ （定义：若PB ⊥l ,我们称PB 为点P 到直线l 的垂线段）4. 你能得到什么结论？垂线性质2：（四）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
人教版七年级下数学5.1.2《垂线》导学案
5.1.2垂线导学案【学习目标】掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念；理解垂线的性质；会用三角板或量角器画一条直线的垂线.【学习重点】垂线、垂线段、点到直线的距离等概念、垂线的性质【学习难点】垂线的画法【学习内容】教材第3页～5页学习过程【活动一】（认真思考，独立完成，2分钟）1、如图（1），直线AB与CD相交，图中的对顶角有___________________；图中的邻补角有______________；图中相等的角有B_________________；图中的互补角有CA1243D________________________________________________.（图1）2、在图（1）中，若∠1＝90°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝______°，【活动二】（认真阅读教材，尝试独立完成，10分钟）3、在相交线的模型（如图2）中，固定木条a，转动木条b，当a、b的位置变化时，a、b所成的角α也会随之变化，当∠α＝90°时（如图3），我们就说a与b___________（英文：_____________），记作__________.bba a（图2）（图3）CMFA OB PEND（图4）B4、如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于 90°，那么这两条直线________.5、垂直是________的一种特殊形式，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 _____ （ 英 文 ： ___________________ ）， 它 们 的 交 点 叫 做 ________ （ 英 文 ：_______________）6 、 如 图 （ 4 ）， 直 线 AB 与 直 线 CD 的 关 系 可 以 用 符 号 表 示 为____________________________________；直线 MN 与直线 EF 的关系可以用符号表示为_____________________________________.7、如果两条直线相交成的四个角等都相等，那么这两条直线________.8、如图（5）（1）如果 AB ⊥CD ，垂足为 O ，那么∠AOC ＝_____°这个推理过程可以写成下面的形式：∵AB ⊥CD∴∠AOC ＝_____°.（垂直定义）（2）如果∠BOC ＝90°，那么直线 AB 与直线 CD 的关系是______.这个推理过程可以写成下面的形式：∵∠BOC ＝90°ACO BD（图5）∴AB_____CD （垂直定义）【活动三】（认真阅读教材，尝试独立尝试操作，10 分钟）9、（1）如图（6），用量角器或三角板能画出已知直线 m 的垂线，这样的垂线能画______条.m（图 6）m A m （图 8）（图 7）（2）如图（7），经直线 m 上一点 A 画直线 m 的垂线，这样的垂线能画_______条.（3）如图（8），经直线 m 外一点 A 画直线 m 的垂线，这样的垂线能画_______条.归纳：经过一点（已知直线____或直线____），能画出已知直线的_____条垂线，并且_____画出一条垂线.即垂线性质 1：在同一平面内，过________________________________________与已知直线垂直.10、如图（9），请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线（注：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线）P PBA AB AP B（图9）(1)(2)(3)【活动四】（认真阅读教材，尝试独立尝试操作，13分钟）11、如图（10），直线m外一点P，过点P画直线m的垂线，垂足为点O.归纳：（1）垂线段：线段PO是点P到直线m的_________；（2）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_________________.12、如图（10），在直线m上任取点A，A，A，…，连结P A，P A，P A，…,比较123123线段PO，P A，P A，P A，…的长短，这些线段中，最短的线段是______.123P（图10）m归纳：垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_________最短. 13、如图（11），三角形ABC中，∠C＝90°.（1）点A到直线BC的距离是____________；点B到直线AC的距离是____________；（2）画出点C到直线AB的垂线段CD.AC图（11）14、如图（12），用量角器画∠AOB的平分线OC，在OC上取一点P，比较P到OA，OB的距离的大小.AO（图12）B15、如图（13），直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°.求∠AOD的度数.ECBOAD（图13）※16、教材第9页第12、13题.【学后反思】____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___垂线课堂检测（总分100分，时间10分钟）1、（30分）如图（2），画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F.2、（15分）如图（3），l代表水渠，P代表农田，欲引水到农田P使路线最短，请你帮忙画出出水口Q.P（图3）l3、（15分）如图（4），点O是直线AB上一点，CO⊥AB于点O，OD是∠BOC的平分线，求∠AOD的度数.CD A O B（图4）。
5.1.2垂线导学案
5.1.2 垂线【学习目标】１.掌握两条直线垂直的定义会用符号表示．（重点）２.掌握点到直线的距离的定义．（难点）３.理解垂线的两条性质并会运用. （难点）【复习回顾】1、点与直线的位置关系有几种？你能画出相应的图形吗？2、相交线角的名称位置关系性质相同点不同点对顶角邻补角【自主学习我能行】一、垂线的定义阅读课本P3—4探究上面的内容，完成下列填空。
1、木条a、b在转动的过程中，存在一个直线a与直线b的夹角为度的位置，这时直线a与b_________.2、垂线定义：___________________________________________________.垂直用符号“____”来表示，读作“_______”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“_________”.交点O叫做_______.3、符号语言：（根据课件第8页内容，尝试写出符号语言）①判定：②性质：跟踪练习：(见课件)【例1】【例1】如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度数.二、垂线的画法：1、已知直线l,作l的垂线.（用直尺和三角尺）能画几条？l2、已知直线l和l上的一点A ,作l的垂线.能画几条？（参考课件）A l4、已知直线l和l外的一点A ,作l的垂线.能画几条？l[总结归纳]垂线性质：_____________________________________. 跟踪练习：(见课件)三、垂线段及点到直线的距离：根据课件第20页内容，回答：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_____________.简单说成：_______________.特别规定：_______________________________叫点到直线的距离。
【跟踪练习】（见课件）四、小结（参看课件）五、课外作业（可参看课件）。
5.1.2垂线导学案人教版七年级数学下册
5.1.2垂线教学目标：1．利用生活实例，理解垂线的定义；2．掌握垂线的性质并会应用；3．通过生活中的实例，更好的体会垂线的画法；教学重点、难点：1.重点：掌握垂线的性质并会应用；2.难点：会过一点画已知直线的垂线．教学过程：一、课堂引入如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝90°，求其他三个角．教师出示问题，学生独立解决问题，并在练习本上书写解答过程．在这一过程中，教师应当关注学生是否能够独立完成问题，并且能否较规范地写出解答过程．二、探究新知教师指出，若两条直线相交，当它们的交角中有一个角是90°时，这两条直线互相垂直，它是直线相交的一种特殊情形，其交点叫垂足．如图，记作：AB⊥CD，垂足为O.“⊥”是垂直符号．师生共同总结画垂线的方法：用三角尺：贴直线——过定点——画垂线．用三角尺的两条直角边“一贴”，贴住已知直线；“二靠”，靠住已知点；“三画”，画垂线．垂线段：垂线上一点到垂足的线段．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度．三、课堂总结学习指导:一、自主预习1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做．2．过一点有且只有直线与已知直线垂直．3．如果直线AB⊥CD于O，那么∠AOC＝．4．用“⊥”和直线字母表示垂直.5．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中最短，简单说成6．直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离．认真专注独立思考7．如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则B到AC的距离是，点A到BC 的距离是，点C到AB的距离是．二、导入新课图片导入三、互动教学知识点一：垂线的概念1、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD于O，∠AOE：∠COE＝1∶3，求∠BOD的度数．知识点二：垂线的性质2、如图，小河北边有一个村庄A，计划用水管将小河的水引进A村，请你帮助设计从小河的哪点处引水能使所用的水管最节省？班级小组姓名使用时间年月日编号：02导学案内容学生笔记知识点三：点到直线的距离3、点P为直线l外一点，A、B、C为直线l上三点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则点P到直线l的距离为( )A．2 B．3 C．4 D．不大于2四、训练展示1.下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直A. 4B. 3C. 2D. 12．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．3．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是________，点A到BC的距离是_______，点C到AB•的距离是_______，•AC>CD•的依据是_________．4．在下列语句中，正确的是（）．A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离5．如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．熟练掌握自信展示突破自我大胆发言五、本课小结，本节课你收获了什么？还有什么疑问？板书设计：5.1.2垂线教学反思：。
人教版数学七年级下册5.1.2垂线导学案
5.1.2 垂线学习目标：1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．2.理解点到直线的距离的概念，能度量点到直线的距离，掌握垂线的性质．3.通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线的概念和性质，并利用所学知识进行说理，体会从一般到特殊的方法，提高逻辑思维能力．通过利用垂线的性质解决简单的实际问题，提高应用意识．一、学前准备1.直线AB与CD相交于点O，（1）如图①，若∠1=35°，则其余的角分别为多少度？图①（2）如图②，若∠1=90°，则其余的角分别为多少度？图②二、预习导航（一）预习指导活动1垂线的概念及表示（阅读教材第3～4页）2.垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有 _ 个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做．如图③，记作：，垂足为O．图③3.几何符号语言：∵，∴.反之，∵，∴.活动2垂线的画法（阅读教材第4页探究）4.用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条？5.经过一点A画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条？6.如图⑥，你能过点P画线段AB的垂线吗？图⑥注意：射线或线段互相垂直，指的是射线或线段所在垂直.活动3垂线的性质及点到直线的距离的概念（阅读教材第5页“思考”与“探究”）7.如图所示，村庄A、村庄B分别要从河流l引水入庄，各需修筑一水渠，要使水渠最短，请你画出修筑水渠的路线图.预习疑惑：（二）预习检测8.能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有3种：相交，平行，垂直？三、课堂互动问题1 垂线的概念9.如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，∠AOB=150°，求∠COD的度数.方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图1，OA⊥OB，OD⊥OC，O为垂足，若∠AOC=35°，则∠BOD=________.2.如图2，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD=2∠AOC，则∠BOD=________.3.如图3，直线AB、CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是_________.4.如图，AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC= 6，那么点C到AB的距离是_______，点A到BC的距离是________，点B到CD的距离是_____，A、B两点的距离是_________.5.已知钝角∠AOB，点D在射线OB上.(1)画直线DE⊥OB； (2)画直线DF⊥OA，垂足为F.6.已知:如图，直线AB，射线OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.《5.1.2 垂线》参考答案一、学前准备1.解：（1）由图①可知，和互为对顶角，分别和，互为邻补角，所以得：，，，又因为，所以，.（2）由图②可知，和互为对顶角，分别和，互为邻补角，所以得：，，，又因为，所以，.二、预习导航2.一；垂线；垂足；3.∵，∴（垂直的定义）.反之，∵，∴.4.解：画直线的垂线可以画无数条.如图所示，直线都是直线的垂线.5.解：经过一点画直线的垂线能画一条.如图所示，过直线上一点有一条垂线直线，过直线外一点有一条垂线.6.解：能.如图所示，过线段AB外一点P有一条垂线.【解析】过一点作已知线段的垂线实质是画线段所在直线的垂线.7.解:如图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的路线图.【解析】根据点到直线的所有线中，垂线段最短，分别过点A、B作河流的垂线即可.8.解：不能.因为在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种，垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．三、课堂互动9.解：∵OA⊥OC，OB⊥OD∴∠AOC=∠BOD=90°又∵∠AOB=150°∴∠BOC=∠AOB－∠AOC=150°－90°=60°∴∠COD=∠BOD－∠BOC=90°－60°=30°【解析】首先仔细读题，理解题意，关键是先由垂直得到90°的角，从而求出∠BOC的度数，再根据∠DOC与∠BOC互余即可求出∠COD的度数.五、达标检测1.答案：145°【解析】根据垂直的定义得到∠AOB=∠COD=90°，而∠AOC=35°，根据互余得∠AOD=∠COD－∠AOC=90°－35°=55°，所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=90°+55°=145°.2.答案：60°【解析】根据垂直的定义以及平角的定义解答，由，可得到，再根据平角的定义，得到∠AOC＋∠AOB＋∠BOD=180°，又因为∠BOD=2∠AOC，即可求出∠AOC=30°，进而求出∠BOD的度数.3.垂直【解析】∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∴∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°，∴OE⊥AB，即OE与AB的位置关系是垂直.4.答案：4.8；6；6.4；10【解析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度.5.解:(1)（2）如图所示：【解析】根据题意过点D画垂直于射线OB的直线DE，垂足为点D；过点D画直线OA的垂线段DF，垂足为点F.6.解:OD⊥OE.理由:∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴×180°=90°∴OD⊥OE.【解析】结合图形，根据垂直的定义，只要证明90°即可得OD⊥OE.。
5.1.2垂线导学案
1(1)ODCBA E(3)O D CBA 5.1.2 垂线 【课前预习案】1、当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，他们的交点叫做 。
2、过一点有且只有 直线与已知直线垂直。
3、如右图，AB 、CD 相交于O ，若∠AOC=90°，则AB 与CD 的位置关系是 ，反过来，若AB ⊥CD ，则∠AOC= 。
探究点一：垂直、垂线的定义1、两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________，其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。
2、垂直的符号表示：(垂直用符号“⊥”来表示) （1）若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB ⊥CD ，垂足为O 。
（2）○1由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直，记为：∵∠AOD=90°（ 已知 ）∴AB ⊥CD （ 垂直的定义 ）○2由两条直线垂直，可知四个角为直角，记为：∵ AB ⊥CD （ 已知 ）∴ ∠AOD=90° （ 垂直的意义 ） 问题1：判断题.（1）两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )（2）一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )（3）两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )（4）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ).问题2：（1）如图1,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.（2）如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________. 问题3：如图直线AB 与直线CD 相交于点O ，OE ⊥AB 。
已知∠BOD=45°，求∠COE 的度数。
探究点二：画已知直线l 的垂线1、经过直线l 上一点A 画垂线，这样的垂线能画几条？2、经过直线l 外一点B 画垂线，这样的垂线能画几条？问题4：已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上. ①画直线DE ⊥OB; ②画直线DF ⊥OA,垂足为F.问题5：分别画出点A 、B 、C 到BC 、AC 、AB 的垂线段.2总结：垂直的性质1过一点______________ ________直线与已知直线垂直。
人教版七年级数学下册 5.1.2 垂线 导学案
第五章 相交线与平行线5.1.2 垂 线.. .. 当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 . O ，用字母表示为 .相交于点O ，若∠AOC=90°，则AB 与CD 的位置关系是 ；AOC= . O ，图中∠1与∠2的关系是（ ） ∠1+∠2=90° 无法确定一、要点探究探究点1：垂线的概念问题1：问题2：你能借助下图写出问题1例1.(1)如图1，若直线m 、n (2)若直线AB 、CD 相交于点 (3)如图2，BO ⊥AO ，∠∠BOC 的补角为______.例2 如图，直线BC 与MN 求∠AOM 和∠NOC 的度数．探究点2问题3：（1）画已知直线l (2)过直线l 上的一点A 画l (3)过直线l 外的一点B 画l垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.探究点3：点到直线的距离问题4：如图，从A 点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. （1）线段AB, AC, AD , AE 谁最短？ （2）你能用一句话表示这个结论吗？知识要点：（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短.（2）线段AD 的长度叫做点A 到直线l 的距离. 【做一做】在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.1.下图中过点P向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）2.如图，下列说法正确的是（ ） A.线段AB 叫做点B 到直线AC 的距离B.线段AB 的长度叫作点A 到直线AC 的距离C.线段BD 的长度叫作点D 到直线BC 的距离D.线段BD 的长度叫作点B 到直线AC 的距离第2题图 第4题图 第5题图3.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( ) A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角4.如图, AC ⊥BC, ∠C=90° ,线段AC 、BC 、CD 中最短的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定5.如图，直线AB 、CD 相交于点E ，EF ⊥AB 于E ，若∠CEF=58°，则∠BED 的度数为 .6.如图，AO ⊥FD ，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB =40°，求∠EOF 、∠COE 的度数．。
【大单元教学】人教版数学七年级下册 5.1.2 垂线 学案
5.1.2 垂线学案[学习目标]1、理解邻补角、对顶角的概念，并能灵活运用邻补角和对顶角的性质解决问题；2、通过观察和动手操作，总结解决问题的方法和经验；3、激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣。
[重点]邻补角和对顶角的概念及性质。
[难点]利用邻补角和对顶角的定义和性质求角的大小或找角的关系。
导学流程暨内容 一、课前预习 1、旧知回顾（1）两个角互余的概念是什么？ （2）两个角互补的概念是什么？ (3)余角与补角的性质是什么？同角或等角的余角；同角或等角的补角2、如下图用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小?____________________________如果将图1转化成几何图形得到图2，那么∠1与∠2的位置有什么关系？ ∠1与∠3呢？二、自主探究 1.画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类? 例如:(1).∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为，称这两个角互为.用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是(2).∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD 两边的，称这两个角互为.用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是.两直线相交所形成的角有对顶角有 邻补角有 数量关系式有4321ODC BAA COD图图ADBCO 1 2 3 4B12OA CD3、邻补角、对顶角概念：4.注意：对顶角和邻补角都是指两个角之间的关系，即互为对顶角、互为邻补角。
5、练习一：(1)如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线。
1）∠AOC 的邻补角：____ _ ； 2）∠COE 的邻补角：；3）∠BOC 的邻补角：____ _ ； 4）∠BOD 的对顶角：____。
（2）下列每对角是互为邻补角吗？（ ）a.∠AOB 与∠COBb.∠AOB 与∠COAc. ∠ABC 与∠BCDd. ∠ABC 与∠BCD （3）如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）6、探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由。
SX-7-003第五章5.1.2垂线第二课时导学案附教学反思
到特殊的思想。其学习方式和研究方法，对今后认识图形、形成空间观念起
到奠基的作用，特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆都有举足轻
重的作用，也是培养学生观察、动手、分析、归纳能力的重要内容，对学生
的探究精神、学习兴趣的培养都具有重要意义。了解垂线的概念和垂线段最
短的性质，体会点到直线距离的意义是本节课的重点；学生对“点到直线的
距离”从概念字面上的理解比较模糊，它指的是垂线段的长度，是一个数量，
而非垂线段本身，这对学生来说是难点。
导学案设计
题 目 学 校 设计 来源
学习 目标
重点 难点 学习 方法
学 习 过 程
5.1.2 垂线（2）
课时
1
星火 一中
教 者 刘占国 年 级 七年 学 科
数学
自我设计
教学 时间
2013 年 3 月 6 日
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念, 培 养学生用几何语言准确表达的能力。
L 上各点的线段中,哪一条最短?）
2.学具感受
自制学具：在硬纸板上固定木条 L， L 外有一点 P，另一根可以转动的木条 a 一端固定在点 P，使木条 a 与 L 相交， 左右摆动木条 a，会发现它们的交点 A _a
_P
_A
_l
随之变化,线段 PA 长度也随之变化.观
察：当 PA 最短时,直线 a 与 L 的位置关系如何?用三角尺检
3.自学课本 P5-6 页的内容后，你能解决 2 中提出的问题
吗？若不能，有哪方面的困惑？
【合作探究】
1．问题转化
如果把小河看成是直线 L，把要挖的渠道看成是一条线
段，则该线段的一个端点自然是农田 P，另一个端点就是
5.1.2 垂线(1)导学案
2.用语言概括垂直定义
两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。
1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )
2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )
3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )
4.两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ).
（二）、填空题.
1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
【画图实践】
1．用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L，画出直线L的垂线，能画几条?
小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
L
(2)怎样才能确定直线L的垂线位置呢?
在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,能画几条?再经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?
初级中学课堂导学案（续）
从中你能得出什么结论?____________
2、变式训练,请完成课本P5练习第2题的画图。
画完图后，归纳总结:画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在______的垂线.
【反思总结】
本节课你你有那些收获？还有什么疑难需老师或同学帮助解决？
【自我检测】（有困难同学可以选做）
（一）、判断题.
2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
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第五章相交线和平行线
5.1.2垂线
学习目标
1.理解垂线、垂线段的概念,掌握点到直线的距离的概念和垂线的性质.
2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线;会度量点到直线的距离;会利用所学知识进行简单的
推理.
自主探索
问题1:如下图,
(1)∠AOC的对顶角是哪个角?这两个角的关系怎样?
(2)∠AOC的邻补角有几个?是哪几个角?
问题2:如下图,当∠AOC=90°时,∠BOD,∠AOD,∠BOC等于多少度?为什么?
自主练习
1.两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直的是()
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对邻补角
2.下面四种判定两条直线的垂直的方法,正确的有()
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,则这两条直线互相垂直
(2)两条直线相交,只要有一组邻补角相等,则这两条直线互相垂直
(3)两条直线相交,所成的四个角相等,这两条直线互相垂直
(4)两条直线相交,有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠1=125°.求∠COE的度数.
4.如图所示,在铁路旁边有一张庄,现在要建一火车站,为了使张庄人乘火车最方便(即距离最近),请你在铁路上选一点来建火车站,并说明理由.
5.如图所示,∠ABC=90°,∠1=60°,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.
6.如图所示,若直线m,n相交于点O,∠1=90°,则.
7.若直线AB,CD相交于点O,且AB⊥CD,那么∠BOD=.
8.如图所示,BO⊥AO,∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5,那么∠COA=,∠BOC的补角为.
达标检测
点O是直线AB上的一点,OC是射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,试确定OE与OF的位置关系.并说明理由.。