关于曲面积分对称性的研究

题目：关于曲面积分对称性的研究专业：数学与应用数学

系班：数学与信息科学系

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指导教师：

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关

摘 要：在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念，研究了在积分曲面是对称的情况下，曲面积分的若干性质。利用这些性质，可以简化曲面积分的计算，给出相应的计算公式，并利用对称性计算曲面积分，这种积分方法使曲面积分更为简捷。

关键词：曲面积分；对称性；奇函数；偶函数

1 预备知识

大学课本上，我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分，并且学习了他们的一些性质，但是这些性质在一些问题中应用麻烦， 比如一些关于曲面积分计算的问题，我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。在这里，我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理，为我们在以后的计算提供了方便

以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续，积分曲面是分片光滑的

]

2[。

定义]5[1：设函数),,(),,(z y x f z y x f -=，则称),,(z y x f 关于x 为偶函数；若定义),,(),,(z y x f z y x f --=，则称),,(z y x f 关于x 为奇函数；类似可以定义函数),,(z y x f 关于z y ,变量的奇函数，偶函数。

定义]7[2：设空间曲面11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，若1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，且D y x ∈∀),(有),(),(21y x z y x z -=，1∑与2∑异侧，则称曲面1∑与2∑关于xoy 面对称。类似可以定义曲面1∑与2∑关于yoz 面对称；曲面1∑与2∑关于zox 面对称。

命题]6][4[1： 若曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，则：

1

2

(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （1）

1

2

(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--⎰⎰⎰⎰ （2）

1

2

(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （3）

1

2

(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （4）

证明：因曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，所以1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，

设11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，则),(1y x z =),(2y x z -； 所以

12z z x x ∂∂=-∂∂ 12z z y y

∂∂=-∂∂ 先证明（1

）式2

2(,,)(,,(,D

f x y z ds f x y z x y ∑-=-⎰⎰⎰⎰ =⎰⎰∂∂+∂∂+D

dxdy y

z

x z y x z y x f 21211)()(

1)),(,,( =1

(,,)f x y z ds ∑⎰⎰

在证明（2）式：因为1∑与2∑异侧，不妨令1∑取上侧，2∑取下侧，则

1

(,,)f x y z d x d y ∑⎰⎰=⎰⎰D

dxdy y x z y x f )),(,,(1

2

2

1

(,,)(,,(,))(,,(,))D

D

f x y z dxdy f x y z x y dxdy f x y z x y dxdy ∑-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰

所以1

2

(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--⎰⎰⎰⎰

下面证明（3）式：

1

1

1

11(,,)(,,)()(,,)()z z

f x y z dydz f x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∑∂∂=--

=-∂∂⎰⎰

⎰⎰⎰⎰ 2

2

2

21(,,)(,,)()(,,)()z z

f x y z dydz f x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∑∂∂-=---

=--∂∂⎰⎰

⎰⎰⎰⎰ 根据（2）式1

2

11(,,)()(,,)()z z

f x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∂∂-

=--∂∂⎰⎰⎰⎰ 故1

2

(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰

同理可证明（4）式。

仿照命题1，可得下列命题。

命题2：若曲面1∑与2∑关于yoz 面对称，则：

1

2

(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 1

2

(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=-⎰⎰⎰⎰

1

2

(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=--⎰⎰⎰⎰ 1

2

(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=-⎰⎰⎰⎰

命题3：若曲面1∑与2∑关于zox 面对称，则：

1

2

(,,) (,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 1

2

(,,) (,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=-⎰⎰⎰⎰

1

2

(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 1

2

(,,) (,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=--⎰⎰⎰⎰

以上命题的证明可仿命题1 。

2 重要结论

考虑到函数),,(z y x f 的奇偶性，可得下列结论：

推论1：设空间曲面12 ∑=∑+∑，12∑∑与关于xoy 面对称，若函数),,(z y x f 关于z 为奇函数，则

(,,)f x y z ds ∑

⎰⎰=0 ； (,,)0f x y z dxdy ∑

=⎰⎰

1

(,,) 2(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑

∑=⎰⎰⎰⎰；1

(,,) 2 (,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑

∑=⎰⎰⎰⎰；

证明： 先证明函数),,(z y x f 关于z 为奇函数的情形，此时有：

),,(z y x f =),,(z y x f --，

(,,)f x y z ds ∑

⎰⎰=ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰∑∑+2

1),,(),,(

=ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰∑∑-+2

1

)],,([),,(

=1

2

(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑--=⎰⎰⎰⎰0

1

2

(,,)(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy f x y z dxdy ∑

∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

= dxdy z y x f dxdy z y x f ]),,([),,(2

1

⎰⎰⎰⎰∑∑-+

= 1

2(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰

dydz z y x f dydz z y x f dydz z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑

+=2

1

),,(),,(),,(

=1

2

(,,)[(,,)]0f x y z dydz f x y z dydz ∑∑+--=⎰⎰⎰⎰