中考数学二次函数综合练习题附答案

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴ ，解得 ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝ ，S的最大值是 ，此时动点M的坐标是（ ， ）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是 秒．
【解析】
【分析】
（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;
（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
2．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；
（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线的解析式为 ；
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2） ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝ x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.
【详解】
解：(1)在y＝﹣ x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，
即点A的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2+x﹣3；
∴点C的坐标为（3，0），
∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，
∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，
∴点A的坐标（1，0），
∵△ABM的面积为S，
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝ ，
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵ C（-3,0），且A（-2， ），
∴线段AC的中点坐标为（-2.5， ），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t= ，
∴x= -4，y= -t，
-t=- ×（-4）+ ，解得t= ，
∴E（-1， ），F（-4， ）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，- ）、（0， ）或E（-1， ），F（-4， ）
【解析】
【分析】
（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m， m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣ m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
【详解】
（1）∵ ，a= ，则抛物线的“衍生直线”的解析式为 ；
联立两解析式求交点 ，解得 或 ，
∴A（-2， ），B（1,0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在 中，令y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2， ），
∴AC=
由翻折的性质可知AN=AC= ，
∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．
【答案】(1)y＝ x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣ (m+3)2+ ；△ADC的面积最大值为 ；此时D(﹣3，﹣ )；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
(2)设点D的坐标为：(m， m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣ m﹣3)，
设DE与AC的交点为点F.
∴DF＝﹣ m﹣3﹣( m2+m﹣3)＝﹣ m2﹣ m，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC
＝ DF•AE+ •DF•OE
＝ DF•OA
＝ ×(﹣ m2﹣ m)×6
＝﹣ m2﹣ m
＝﹣ (m+3)2+ ，
【答案】（1） ；（-2， ）；（1,0）；
（2）N点的坐标为（0， ），（0， ）；
（3）E（-1，- ）、F（0， ）或E（-1， ），F（-4， ）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则 ，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 时，线段PD的长度有最大值 ；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线 与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
∵A′H+A′C≥HC＝ ，
∴t≥ ，
即点M在整个运动过程中用时最少是 秒．
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.
4．如图，直线y＝- x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．
（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.
【详解】
（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴3＝a+4，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
化简，得
S＝ Байду номын сангаас ，
∴当m＝ 时，S取得最大值，此时S＝ ，此时点M的坐标为（ ， ），
即S与m的函数表达式是S＝ ，S的最大值是 ，此时动点M的坐标是（ ， ）；
（3）如右图所示，取点H的坐标为（0， ），连接HA′、OA′，
∵∠HOA′＝∠A′OB， ， ，
∴△OHA′∽△OA′B，
∴ ，
即 ，
点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．
3．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．
∴△ ACK≌△ EFH，
∴FH=CK=1，HE=AK= ，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F点的横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点的横坐标为0时，则F（0， ），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴的距离为EH-OF= - = ，即E的纵坐标为- ，
∴ E（-1，- ）；
当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点A、B，抛物线 经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；
∵a＝﹣ ＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值 ，
又∵当m＝﹣3时， m2+m﹣3＝﹣ ，
∴存在点D(﹣3，﹣ )，使得△ADC的面积最大，最大值为 ；
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，
直线AD′的解析式为y＝ x+9，
由 ，解得 或 ，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，
综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
DN= ，
∵OD= ，
∴ON= 或ON= ，
∴N点的坐标为（0， ），（0， ）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ ACK=∠ EFH，
在△ ACK和△ EFH中