平面向量的坐标表示与运算

(2 , 2
x
)
3. 知 p ( 3, 1), 且 | p | 5, 已 则 4. 知 m (sin cos , sin cos ), 已 则 m的 长 度 为
思考：如果已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 若点P在第二象限内，则点t的取值范围是？ 解： O(0,0),A(1,2),B(4,5) O A =（1，2）， =（3，3）,而 OP OA t AB AB OP =（1，2）+t(3,3)=(3t+1,3t+2), P(3t+1,3t+2)，而点P在第二象限内
解（1） a +b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； （2） 3a-2b=3（2，1）- 2（-3，4）
=（6，3）-（-6，8）
=（12，-5） |3a-2b|=| （12，-5） |=13 所以与3a-2b共线的单位向量是
3a 2b 1 12 5 (12, 5) ( , ) 13 13 13 | 3a 2b |
3t+1<0, 解得 3t+2>0 ,
OP OA t AB

2 3
t
1 3
探究3：两个向量共线的坐标表示
向量平行的坐标表示：
a / / b x1 y 2 x 2 y1 0
若向量 a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), 则有
由 AB DC ，得
(1 , 2 ) ( 3 x , 4 y )
1 3 x 2 4 y
x 2 y 2
顶点 D 的坐标为（ 2，） 2
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P1P2上的一点，且P1P PP2 ( 1)，求点P的坐标。
例3 已知P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )，P是直线
２.３ 平面向量的坐标运算
２.３平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示 １．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？ ２．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？
３．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量AB y
j O i
x
4 1 1 （1）| i | _____, | j | ______, B j 5 | O C | ______; o i （2）若用 i , j 来表示 O C , O D ，则：
２.３ 平面向量的坐标运算
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标． 解：设顶点D的坐标为（x，y）
( 1 2）， 1） 1，） AB （ 3 （ 2 DC ( 3 x , 4 y )
２.３ 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
已知a ( x1 , y 1 ) ，b ( x 2 , y 2 ) ，求a+b，a-b． 解：a+b=( x1 i + y 1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) =（ x1 + x 2 )i+（ y 1+ y 2 )j 即 a + b ( x1 x 2 , y 1 y 2 )
3. a OA ( x , y )，则有： a
AB ( x 2 x1 , y 2 y1 )
OA
x y
2
2
4. 若A ( x1 , y1 )，B( x 2 , y 2 )，则
2 2 | AB | ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
已知
A ( x1 , y 1 )， B( x 2 ,． ) 求 AB y2
A ( x1 , y 1 )
y
B ( x2 , y2 )
解：AB OB OA
( x1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x 2 x1 , y 2 y 1 )
2 2
x 6 x 6 解得： 或 y 8 y 8
a ( 6 , 8 )或 a ( 6 ,8 )
练习
1.已 知 [0, 2 ), O P1 (cos , sin ) O P2 (3 cos , 4 sin ), 则 | P1 P2 | 的 取值范围是 2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k (4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且 |d-c|=1,求d.
4 向量坐标. 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 则 AB =(x - x , y – y ) 2 1 2 1
5、坐标形式下向量的模； 6、单位向量
7、向量共线
即：
两个向量共线等价于 交叉相乘，积相等
例 题 5、 已 知 a 10, b (3, 4) 且 a // b， 2 求 向 量 a.
解：设 a ( x , y ), 则 a 又 b ( 3, 4 ), a // b x y 10
2 2
x y 10 4 x 3 y 0
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
思考: 1．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
若a以原点为起点,两者相同
y
A(x, y) a
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
a j O i
x
2．用坐标表示两个向量相等 a b x1 x2 , y1 y 2
x
A
3
5
3 i 4 j OC ________, OD 5 i 7 j . _________
探索1:
以O为起点， P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
y a
o
P
x
向量的坐标表示
4 3
OP xi y j ( x , y )
例1 如图，已知
y D
A(-1,3),B(1,-3)，C(4,1)，A
AO,OD, 的坐标。 CO
D(3,4)，求向量OA,OB,
C O x

B
练习
已知o是坐标原点,点A在第一 象限,│OA│= 4, ∠XOA=60°, .
则向量 OA 的坐标为
4
练习1 1.已知o是坐标原点,点A在第二象限, │OA│=2, ∠XOA=150°,则向量 OA 的坐标为 . 2.已知a=(-1,2),b=(1,-2),则a + b= , a-b= ,y = . .
3.已知a=(x-2,3),b=(1,y+2),且a = b,则x =
4. 已知A(1,2),B(3,2),向量a=(x+3,x-3y-4)与 AB 相 等,求实数x的值. 5. 已知o是坐标原点, A(2,-1),B(-4,8), AB+3BC=0 求 OC 的坐标.
课堂小结:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
3 实数与向量积的运算法则：
λa =λ(x ,y )=(λx ,λy )
P（ x ， y ）
2
1
j
-2 2 4 6
O
-1 -2
i
向量 OP
一一对应 P（x ，y）
-3
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
练习2
1、下列向量中不是单位向量的有 ① a= (cos , sin ) ② b= ( ③ c=
x
个
lg 2 , lg 5 )
④ d=(1-x,x) 2、已知单位正方形ABCD，AB a , BC b , AC c , 求 2 a 3b c 的模 。
（3）向量 CD 能否由 i , j 表示出来？ CD 2 i 3 j
思考：如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). j 设 OA i , OB ，填空：
y
7
D
C
同理可得 a - b ( x1 x 2 , y 1 y 2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相对应坐标的和与差
a (x , y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
２.３ 平面向量的坐标运算
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求： (1) a+b，a-b的坐标;(2)与3a+2b共线的单位向量．