方差分析的基本思想
第九章 方差分析
第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。
本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。
第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。
例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。
喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。
方差分析的基本思想
三组的所有人群之间存在变异（统计教材上称之为总变异(SS)），我们就需要分析一下，为什么会存在变异？当然，我们可以想到很多原因。至少有两类：第一是个体之间的差异（统计教材上称之为组内变异），每个人的体质不同，比如肥胖程度等肯定会有所影响。第二是药物的影响（统计教材上称之为组间变异），比如三种药物中，可能A药效果好，从而服但是我们如何确定到底哪部分影响更大呢？这就需要把总的变异进行分解也就是分解上上面所说的组间变异和组内变异。如果是完全随机设计，那组内变异也就是误差，它包含了个体的差异以及由于抽样所造成的变异（抽样误差总是存在的），这一种设计由于误差比较多，所以结果比较粗糙。所以人们想到了控制个体间的差异，这就是随机区组设计，即选择样本时有意识将各组人的体形等因素相同，这样就减少误差了。
以上就是方差分析的基本思想，我不是在给出标准答案，只求大家能看懂，所以写的比较罗嗦。
方差分析的基本思想对于学习方差分析是很重要的，不少研究生考试都会有这样的题目。而目前的教材中关于方差分析的基本思想都比较晦涩难懂。这里以本人的个人理解对此进行阐述。
这里通过举例来说明，三组人群，每组20人，服用三种降压药，比较用药后的血压值。
首先，这三组60人之间的血压值肯定各有不同，这种不同用专业术语称之为变异（variation），而方差则是体现变异的常用指标。如果你仔细看一下方差分析的英文analysis of variance，实际上就是对变异的分析，所以，有的统计教材也称之为变异数分析。
组间均方/组内均方就是通常所说的F值，实际上代表了这样一个含义：如果组间变异远远大于组内变异，那么组间均方除以组内均方的值肯定很大，反之，这一值就会很小。但是，到底大到什么程度才认为有统计学意义呢，那就得根据F分布了（你仔细看一下F分布的图形就会有所领悟）。由于我们所有的计算都是在一种假定（统计教材上称之为无效假设，即首先假定组间无差异）的基础上算出来的，从F分布图形来看，过大的值出现的概率是很小的，所以F值越大，表明你的结果在假定的条件下出现的概率越小（这句话需要仔细体会一下），或者说，在假定的条件下，不大可能出现太大的F值，而一旦出现，我们可能要怀疑，是不是假定的条件不对？如果这种概率小于0.05，我们更加怀疑了，这时候我们就有95%的把握认为，假定的条件是不对的。据此我们就得出了结论，推翻初始的假定，而认为假定的对立面是正确的。
方差分析简介
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
方差分析SPSS
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。 事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个 区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。 每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等， 分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素 某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间 组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内 组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系 总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在 专业上有特殊意义的均数是否相等。
方差分析的基本思想和应用
方差分析的基本思想和应用方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是统计学中的一种重要方法，主要用于研究多个样本之间的均值是否存在显著性差异。
方差分析将总的变异分解为几个部分，从而判断这些部分是否具有统计学意义。
本文将详细介绍方差分析的基本思想、类型及应用。
一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是将总的变异分为两部分：组内变异和组间变异。
组内变异是指每个样本内部的变异，组间变异是指不同样本之间的变异。
通过比较组间变异和组内变异的大小，可以判断样本之间的均值是否存在显著性差异。
二、方差分析的类型根据实验设计的不同，方差分析可分为以下几种类型：1. 单因素方差分析（One-Way ANOVA）单因素方差分析是指只有一个因素（或称自变量）影响实验结果的情况。
在这种实验设计中，将样本分为若干个组别，每组只有一种水平的因素。
单因素方差分析的目的是检验这个因素的不同水平是否会导致实验结果的显著性差异。
2. 多因素方差分析（Multi-Way ANOVA）多因素方差分析是指有两个或两个上面所述的因素同时影响实验结果的情况。
在这种实验设计中，需要考虑多个因素之间的交互作用。
多因素方差分析的目的是检验这些因素及其交互作用是否会导致实验结果的显著性差异。
3. 重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）重复测量方差分析是指在同一组样本中，对同一因素进行多次测量的情况。
这种实验设计适用于研究因素对样本的影响随时间变化的情况。
重复测量方差分析的目的是检验这个因素在不同时间点上是否会导致实验结果的显著性差异。
三、方差分析的应用方差分析在实际应用中具有广泛性，以下列举几个常见领域的应用：1. 生物学领域在生物学研究中，方差分析常用于比较不同物种、品种或组织类型的生物学特性。
例如，研究不同植物品种的生长速度、不同动物种群的繁殖能力等。
2. 医学领域在医学研究中，方差分析可用于比较不同治疗方法的疗效。
方差分析
方差分析方差分析是一种用于比较多个样本之间差异的统计方法。
它通过比较各个样本之间的方差大小来推断它们是否具有显著的差异。
方差分析可以应用于各种领域的研究中，比如教育、医学、经济等。
方差分析的基本思想是将总体的方差分解为不同来源的方差，通过对比它们的大小来判断不同因素（组别）对总体的影响程度。
在进行方差分析之前，需要明确研究的目的和假设，然后选择相应的方差分析模型和计算方法。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（组别）的情况，它将数据按照不同的组别分组，然后计算各组之间的方差，并比较它们的大小。
如果各组之间的方差较大，那么可以认为它们之间存在显著差异。
多因素方差分析适用于有多个自变量（组别）的情况，它可以同时考虑多个因素对总体的影响。
方差分析的原假设是各组之间的均值相等，备择假设是各组之间的均值不等。
通过计算统计量F值，可以得到方差分析的结果。
若F值大于临界值，就能拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异；反之，无法拒绝原假设，认为各组之间的差异不显著。
在进行方差分析时，还需要注意一些前提条件。
首先，各个样本之间应独立，互不影响；其次，各个样本应满足正态性和方差齐性的假设；最后，应确认所用的统计方法是否适用于样本数据。
方差分析的结果可以为研究者提供一些重要的信息。
比如，研究者可以通过方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响；医学研究者可以通过方差分析来比较不同治疗方法对患者生存率的影响；市场营销研究者可以通过方差分析来比较不同广告策略的销售效果。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们比较多个样本之间的差异。
通过对各个样本之间方差的分析，可以判断它们是否具有显著的差异，从而得出相应的结论。
方差分析可以应用于各个领域的研究中，为我们提供有价值的信息。
当我们在进行方差分析时，应注意选择适当的方法和模型，并满足各个前提条件，以得到准确的结果。
F检验1
3.3
4.4
3.6
3.6
4.4
4.4
4.3
3.4
5.1
4.1
4.2
5.0
4.2
4.7
5.5
3.3
4.2
4.7
每次不犯第一类错误的概率为 （1-0.05）=0.95，
当这些检验独立进行时，则每次比较均 不犯错误的概率为0.95３=0.8574，相应犯第 一类错误的概率为1-0.8574=0.1426，远大 于设定的0.05，并且随着比较次数的增大， 犯第一类错误的总概率将不断增大并趋向于 1。
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为:
363.51
322.98
355.99
309.60
288.76
219.72
338.83
386.67
143.17
表3 大鼠肾组织液中NO水平（ca/μmol·L-1）
正常对照组 肾缺血60min组 肾缺血60min再灌流组 合计
437.98
322.75
284.04
…..
…..
……
338.83
386.67
1.4 f( F)
1.2
F 分布曲线
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2F
3
4
1.4 f( F)
1.2
1.0
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
方差分析的基本思想
H1： i （i=1，…，c）不全相等
作统计推断。
显然，组间离均差平方和的大小与自 由度有关。能够客观反映组间变异的 是组间均方
,
MSTR SSTR / TR （10.5）
数学上可以证明
SST SSTR SSe （10.6）
，
，,
T
TR
e （10.7）
F MS TR MS e
（10.8）
式（10.8）反映了组间变异与组内变 异的比值，可以应用式对检验假设
MSe SSe / e （10.3）
不同处理组样本均数之间的差异称 为组间变异。产生组间变异的原因 一方面是个体变异，另一方面是各 组总体均数之间可能存在的实质性 差异差别。用组间离均差平方和反 映组间变异。
c
SSTR ni (xi x)2 （10.4） i 1
相应的自由度为 TR c 1
c ni
SST
( X ij x)2
i1 j1
（10.1）
相应的自由度为νT=N-1。
处理组内每个观察值之间的差异来源 于同一总体内的个体变异，称为组内
变异，可用组内离均差平方和表示：
c ni
SSe
( X ij xi ) 2 （10.2）
i1 j1
相应的自由度νe=N-c。
由于的大小与自由度有关，能够客观 反映组内变异的是组内均方：
第一节 方差分析的基本思想
方差分析的基本思想是，首先将总 变异分解为几个部分，每部分与特 定的因素相联系。之后构造检验统 计量F，实现对总体均数的推断。 方差分析的应用条件是各组资料取 自正态分布，各总体方差齐同。
现以随机设计为例来说明方差分析基 本思想。
统计：完全随机设计资料的方差分析
单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。
方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。
完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。
其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。
下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。
例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组 24h切痂组 96h切痂组合计合计（∑X）（∑∑X ij）例数（n） 10 10 10 30（N）均数（X）平方和（∑X2） (∑∑X ij2)1.建立检验假设，确定检验水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H 1：u 1,u 2,u 3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP 含量值有差别； a=2.计算检验统计量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS ：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数 （∑X ij 2），由表得： ∑∑X ij = ∑X ij 2= N=30 总的离均数差平方和SS 总=∑X ij2－ (∑X ij )2 n= － 错误! =SS 组间=∑ (∑X ij )2 n i － (∑X ij )2n = 错误! + 错误! + 错误!－ 错误!=SS 组内=SS 总－ SS 组间 = － =②.计算均方MS ： MS 组间 =SS 组间k-1(k 为组数) = 错误!= MS 组内 =SS 组内N-k(N 为总例数) = 错误!= ③.求F 值F = MS 组间MS 组内= 错误!=将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源 平方和SS 自由度v 均方MS F 值 总变异 29组间变异 2 组内变异（误差) 27（注：自由度：v 总= N －1 = 30－1= 29；v 组间= k －1 = 3－1 = 2; v 组内=N －k = 30－3= 27）利用SPSS 作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：DescriptivesCONTest of Homogeneity of VariancesCONANOVACON3.查表确定P 值，并作出统计推断：V 组间= 2， v 组内=27, 得界限值F α（2,27）为（2,27）= , 则F= > （2,27），则P<，按水准，拒绝H，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。
方差分析的基本思路
方差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析的基本思想可以归纳为根据研究设计的类型，将全部测量值总的离均差平方和及其自由度分解为两个或多个部分，每个部分的变异都由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）引起。
通过比较不同变异来源的均方，借助F分布做出统计推断，从而推论各种处理因素对研究结果有无影响。
对样本均数进行比较的方差分析方法与研究设计类型有关。
方差分析中分析的数据是按照特定研究设计进行试验所得的数据，不同的研究设计其总变异的分解有所不同。
因此在应用方差分析时，要结合具体的研究设计方法来选择相应的方差分析方法。
常用的设计有：随机单位组设计/拉丁方设计/交叉设计/析因设计/正交设计/嵌套设计/裂区设计/重复测量数据/协方差分析等。
进行方差分析时同样要求资料满足正态分布且方差相等两个基本假设（与独立样本t检验的条件一样一样滴）。
即：各样本组内观察值相互独立，且服从正态分布。
各样本组内观察值总体方差相等，即方差齐性（homogeneity of variance）。
本节只涉及最基本的一种设计形式—完全随机设计。
完全随机设计（Completely Random Design）是指将受试单位随机地分配到各处理组中进行实验研究，或分别从互相独立的不同总体里随机抽取样本进行比较的一种设计方法。
例：某高原研究组将籍贯相同、年龄相同、身高体重接近的30名新战士随机分为3组，对照组按常规训练；锻炼组每天除常规训练外，还接受中速长跑与健身操锻炼；药物组除常规训练外，服用抗疲劳药物，1个月后测量第1秒用力肺活量（L），结果见表1所示。
试比较3组第1秒用力肺活量有无差别。
方差分析的基本思想
方差分析的基本思想
方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计方法。
它是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
方差分析的基本思想是根据研究目的和设计类型，将总变异中的离均差平方和SS及其自由度分别分解成相应的若干部分，然后求各相应部分的变异；再用各部分的变异与组内（或误差）变异进行比较，得出统计量F值；最后根据F值的大小确定P值，作出统计推断。
方差分析的检验假设H0为各样本来自均数相等的总体，H1为各总体均数不等或不全相等。
若不拒绝H0时，可认为各样本均数间的差异是由于抽样误差所致，而不是由于处理因素的作用所致。
理论上，此时的组间变异与组内变异应相等，两者的比值即统计量F为1；由于存在抽样误差，两者往往不恰好相等，但相差不会太大，统计量F应接近于1。
若拒绝H0，接受H1时，可认为各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。
此时的组间变异远大于组内变异，两者的比值即统计量F明显大于1。
在实际应用中，当统计量F值远大于1且大于某界值时，拒绝H0，接受H1，即意味着各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。
方差分析的基本思想
185
A2 A3
184 206
198 191
179 218
190 224
表中A1是强调运输方便性的广告，A2是强调节省燃料的经济 性的广告，A3是强调噪音低的优良性的广告. 试判断:新闻广 告的类型对该种机械的销售量是否有显著影响? 若影响显著, 哪一种广告内容为好?
解 新闻广告是所要检验的因素，三种不同的内容可看作三 个水平，因而这是一个单因素三水平的试验.
第7.1节
方差分析的基本思想
实例 某食品集团的产品销售覆盖全国， 主要分布于25个省 份，是一个颇受消费者青睐的品牌．集团营业部根据其销售情 况， 将这25个省份划分为东北、华北、东南、西北和中部5个 销售区域，每个区域由一名销售经理负责．年末将近，各部门 经理都在准备年度报告．营业部总经理准备分析一下过去一年 里各区域的销售业绩．他从营业部专员手中得到了各省份销售 情况．总经理由此发现，东北地区今年对集团的收入贡献不大规模比其他地区小，消费习惯存在差异等．当然，这种差异也 可能是由于偶然因素．但如果各区域间具有显著差异，则应当 引起销售部门的注意，从而进一步研究不同区域的不同特征， 进一步进行市场细分，采取适当的营销策略． 在形成报告之前，总经理决定对各地区的销售量进行分析, 首先检验各区域间的差异是否由于偶然原因所致，确认各区域 销售量之间是否存在着明显的差异．
研究对象的特征值，即所考察的试验(其涵义包括调查, 收集等)结果（如产品质量、数量、销量、成本等）称为试 验指标，简称指标，常用x 表示.
在试验中对所关心的“指标”有影响的、 要加以考察
而改变状态的原因称为因素,用A、B、C等大写英文字母表 示. 因素在试验中所取的各种不同状态称为因素的水平. 因 素A的r个水平常用A1，A2，…，Ar 表示，其中r称为因素A的 水平数. 若在试验中考虑了因素的全部水平，则该因素称为固定 因素;若在试验中仅随机选择了因素的部分水平，则该因素称 为随机因素.
方差分析(ANOVA)
方差分析(ANOVA)一、方差分析的基本思想1. 方差分析的概念方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
我们要学习的主要内容包括单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析和两因素方差分析即配伍组设计的方差分析。
2. 方差分析的基本思想下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下，患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：（1）组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；（2）组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。
而且：SS总=SS组间+SS组内v总=v组间+v组内如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。
实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。
3. 方差分析的应用条件应用方差分析对资料进行统计推断之前应注意其使用条件，包括：（1）可比性，若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。
（2）正态性，即偏态分布资料不适用方差分析。
对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等变量变换方法变为正态或接近正态后再进行方差分析。
方差分析(ANOVA)
n4
n3 n2 n1
Y4
Y3 Y2
Y1
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指 数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试 者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按 照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不 同年龄组的体重指数有无差异。
项目
样本量 平均值 标准差
关于因素与水平
因素也称为处理因素（factor） 每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”
）。
完全随机设计：
将实验对象随机分配到不同处理组的单因素 设计方法。针对一个处理因素，通过比较该 因素不同水平组均值，推断该处理因素不同 水平组的均值是否存在统计学差异。
例 在评价某药物耐受性及安全性的I期临床试验 中，对符合纳入标准的30名健康自愿者随机分为 3组每组10名，各组注射剂量分别为0.5U、1U、 2U，观察48小时部分凝血活酶时间（s）试问不 同剂量的部分凝血活酶时间有无不同？
当各组样本含量不同，选择Scheffe法，得结果：
Dependent Variable: no Scheffe
Multiple Comparisons
M ea n
Di ffe re nce
(I) group (J) group
(I-J)
Std. Error
Si g.
1
2
13.61250 26.51068
方差分析步骤 ：
（1）提出检验假设，确定检验水准
H0:μ1=μ2=μ3 H1:μ1，μ2，μ3不全相同 a=0.05
（2）计算检验统计量F 值
（3）确定P值，做出推断结论
F0.05(2，26) =2.52，F>F0.05(2，26) ，P<0.05，拒绝 H0。 三种不同剂量48小时部分凝血活酶时间 不全相同。
方差分析的基本思想和应用条件
方差分析的基本思想和应用条件方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较三个或三个以上总体均值差异的统计方法。
它是根据样本数据推断总体均值是否存在显著差异的一种有效工具。
方差分析的基本思想是通过比较不同来源引起的变异与同一来源引起的变异之间的差异来判断总体均值是否相等。
本文将介绍方差分析的基本思想和应用条件。
一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是通过比较组内变异与组间变异的大小来判断总体均值是否相等。
组内变异是同一组内个体数据与组内均值之间的离散程度，组间变异是不同组之间的均值差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间存在均值差异，总体均值不相等；反之，组间变异小于组内变异，说明各组之间差异主要来自于随机因素，总体均值相等。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是指只考虑一个因素对总体均值的影响；而多因素方差分析则是考虑多个因素对总体均值的影响。
二、方差分析的应用条件方差分析有以下几个应用条件：1. 样本独立性：方差分析要求样本之间相互独立，即一个样本的观测值与其他样本的观测值没有相关关系。
当样本独立性不满足时，方差分析结果可能失真。
2. 方差齐性：方差分析要求各组之间的方差齐性，即不同组的样本方差应该相等。
方差齐性的检验常用的方法有Bartlett检验和Levene检验。
3. 数据正态性：方差分析要求各组的数据服从正态分布。
如果数据不服从正态分布，可以通过变换数据或者使用非参数方法来进行方差分析。
4. 误差项的独立性和正态性：方差分析假设误差项满足独立同分布的假设，并且符合正态分布。
如果误差项不满足这些假设，则方差分析的推断结果可能不准确。
除了上述基本条件外，方差分析还需要注意以下几点：样本容量应该足够大，以保证结果的可靠性；在进行方差分析前，应该进行数据的清洗和预处理，排除异常值和缺失数据的影响；根据研究的具体要求，选择合适的方差分析模型。
方差分析
区组
k(x
j
b
j
x)
2
或
( xij ) 2 k
C*
b–1 N–k–b+1 或 （k–1） （b–1） N–1
误差
SS总 SS处理 SS区组
( x ) 2 x N
2
总
或
x
2
C
*
SS 总 N 1
*C
( xij ) 2
i j
k
b
N
( x ) 2
N
三、随机区组设计的方差分析
变异来源 SS v MS F P
组间 组内
总
2384.03 5497.84
7811.87
2 1192.01 27
29
203.62
5.8540
＜0.01 (0.0077)
（3）确定P值和作出统计推断：
P＜0.01，拒绝原假设，接受备择假设,可认 为三种人群的载脂蛋白不同。
三、随机区组设计的方差分析
例2. 对小白鼠喂以A、B、C三种不同的营养 素，目的是了解不同营养素增重的效 果。采用随机区组设计方法，以窝别 作为划分区组的特征，以消除遗传因 素对体重增长的影响。现将同品系、 同体重的 24只小白鼠分为8个区组，每 个区组3只小白鼠。三周后体重增加结 果（克）列于表3。问小白鼠经三种不 同营养素喂养后所增体重有无差别？
随机区组设计方差分析的计算公式 变异来源 离均差平方和（SS） 自由度（df） 均方（MS）
k i
F
处理组
n (x
i i
k
i
x)
2
或
b j
( xij ) 2
j
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第一节方差分析的基本思想
1、方差分析的意义
前述的t检验和u检验适用于两个样本均数的比较，对于k个样本均数的比较，如果仍用t检验或u检验，
需比较次，如四个样本均数需比较次。
假设每次比较所确定的
检验水准=0.05，则每次检验拒绝H0不犯第一类错误的概率为1-0.05=0.95；那么6次检验都不犯第一类错误的概率为(1-0.05)6=0.7351，而犯第一类错误的概率为0.2649，因而t检验和u检验不适用于多个样本均数的比较。
用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。
方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。
2、方差分析的基本思想
下面通过表5.1资料介绍方差分析的基本思想。
例如，有4组进食高脂饮食的家兔，接受不同处理后，测定其血清肾素血管紧张素转化酶（ACE）浓度（表5.1），试比较四组家兔的血清ACE浓度。
表5.1对照组及各实验组家兔血清ACE浓度（u/ml）
对照组
实验组
A降脂药B降脂药C降脂药
61.24 82.35 26.23 25.46
58.65 56.47 46.87 38.79
46.79 61.57 24.36 13.55
37.43 48.79 38.54 19.45
66.54 62.54 42.16 34.56
59.27 60.87 30.33 10.96
20.68 48.23
329.92 372.59 229.17 191.00 1122.68 () 6 6 7 7 26 （N ）54.99 62.10 32.74 27.29 43.18 （）18720.97 23758.12 8088.59 6355.43 56923.11 ()
由表5.1可见，26只家兔的血清ACE浓度各不相同，称为总变异；四组家兔的血清ACE浓度均数也各不相同，称为组间变异；即使同一组内部的家兔血清ACE 浓度相互间也不相同，称为组内变异。
该例的总变异包括组间变异和组内变异两部分，或者说可把总变异分解为组间变异和组内变异。
组内变异是由于家兔间的个体差异所致。
组间变异可能由两种原因所致，一是抽样误差；二是由于各组家兔所接受的处理不同。
正如第四章所述，在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因是否存在，需通过假设检验作出推断。
假设检验的方法很多，由于该例为多个样本均数的比较，应选用方差分析。
方差分析的检验假设H0为各样本来自均数相等的总体，H1为各总体均数不等或不全相等。
若不拒绝H0时，可认为各样本均数间的差异是由于抽样误差所致，而不是由于处理因素的作用所致。
理论上，此时的组间变异与组内变异应相等，两者的比值即统计量F为1；由于存在抽样误差，两者往往不恰好相等，但相差不会太大，统计量F应接近于1。
若拒绝H0，接受H1时，可认为各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。
此时的组间变异远大于组内变异，两者的比值即统计量F明显大于1。
在实际应用中，当统计量F值远大于1且大于某界值时，拒绝H0，接受H1，即意味着各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。
（5.1）
方差分析的基本思想是根据研究目的和设计类型，将总变异中的离均差平方和SS及其自由度分别分解成相应的若干部分，然后求各相应部分的变异；再用各部分的变异与组内（或误差）变异进行比较，得出统计量F值；最后根据F值的大小确定P值，作出统计推断。
例如，完全随机设计的方差分析，是将总变异中的离均差平方和SS及其自由度
分别分解成组间和组内两部分，SS组间/组间和SS组内/组内分别为组间变异（MS组间）和组内变异（MS组内），两者之比即为统计量F（MS组间/MS组内）。
又如，随机区组设计的方差分析，是将总变异中的离均差平方和SS及其自由度
分别分解成处理间、区组间和误差3部分，然后分别求得以上各部分的变异（MS 处理、MS
区组和MS误差），进而得出统计量F值（MS处理/MS误差、MS区组/MS误差）。
3、方差分析的计算方法
下面以完全随机设计资料为例，说明各部分变异的计算方法。
将N个受试对象随机分为k组，分别接受不同的处理。
归纳整理数据的格式、符号见下表：
处理组（i）
1 2 3 …k
…
…
……………
…
合计…
…
1）总离均差平方和（sum of squares,SS）及自由度（freedom,ν）
总变异的离均差平方和为各变量值与总均数（）差值的平方和，离均差平方和和自由度分别为：
（5.2）
=N-1（5.3）2）组间离均差平方和、自由度和均方
组间离均差平方和为各组样本均数()与总均数()差值的平方和
（5.4）
（5.5）
（5.6）
3）组内离均差平方和、自由度和均方
组内离均差平方和为各处理组内部观察值与其均数（）差值的平方和之和，。
数理统计证明，总离均差平方和等于各部分离均差平方和之和，因此，（5.7）
（5.8）
（5.9）4）三种变异的关系：
= N-1= (k-1)+(N-k) =
可见，完全随机设计的单因素方差分析时，总的离均差平方和（SS总）可分解为组间离均差平方和（SS组间）与组内离均差平方和（SS组内）两部分；相应的总自由度（）也分解为组间自由度（）和组内自由度（）两部分。
5）方差分析的统计量：
（5.10）
4、方差分析的应用条件与用途
方差分析的应用条件为①各样本须是相互独立的随机样本；②各样本来自正态分布总体；③各总体方差相等，即方差齐。
方差分析的用途①两个或多个样本均数间的比较；②分析两个或多个因素间的交互作用；③回归方程的线性假设检验；④多元线性回归分析中偏回归系数的假设检验；⑤两样本的方差齐性检验等。