第二章流体力学讲义

因为时间t极短，所以a1b1和a2b2是
两段极短的位移，在每段极短的位移中，
压强p、截面积S和流速υ都可看作不变。 a1b1
设p1、S1、υ1和p2、S2、υ2分别是
p21 v S1 1
a1b1与a2b2处流体的压强、截面积和流 速，则后面流体的作用力是p1S1，位移
h1
是υ1t，所作的正功是p1S1υ1 t ，而
想流体问题。 ★了解层流、湍流和雷诺数
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§2.1 理想流体的流动
2.1.1 流体力学的基本概念 1. 流体
流体是由许多彼此能够相对运动的流体元所组成的连 续介质，具有流动性。流体是液体和气体的总称。
2.理想流体
理想流体指不可压缩、完全没有粘滞性的流体， 它是实际流体的理想化模型。
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v2
v1 A A`
B B`
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如图中所示，设有理想流体做稳定流动，在流
管中A,B点做垂直截面S1,S2的流动，流管很细。
1v1tS1 2v2tS2 v1
v2
如果流体体积不可压缩， 2 1
v1 S1 v2 S2 （2-2）
A A`
B B`
v s 常量
连续性原理
v1，v2是A,B处的流体流速，S1,S2截面是任意选取。
前面流体作用力作的负功是-p2S2υ2t ，
因此，外力的总功是：
ab2 2 h2pv22
S2
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外力的总功是
W p1s11 - p2s22 t
因为流体被认为不可压缩。所以a1b1和a2b2两小段流 体的体积S1υ1t和S2υ2t必然相等，用V表示，则
上式可写成W P1 - P2 V
其次，计算这段流体在流动中能量的变化。对于稳定
流动来说，在a1a2间的流体的动能和势能是不改变的。 由此，就能量的变化来说，可以看成是原先在a1b1 处的流体，在时间t内移到了a2b2处，由此而引起 的能量增量是
E2
-
E1
(1 2
mv
2
2
mgh2 )
-
(1 2
mv12
mgh1 )
V [( 1
2
v2 2
p 1 v2 gh 常量 （2-5）
2
式中是流体的密度，g是重力加速度。
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p Leabharlann Baidu1 v2 gh 常量 （2-5）
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试用功能原理导出伯努利方程。
我们研究管道中一段 流体的运动。设在某 一时刻，这段流体在 a1b1位置，经过极短 时间t后，这段流体 达到a2b2位置
a1 b1
gh2 )
-
(1 2
v12
gh1 )]
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从功能原理得
( p1
-
p2 )V
V
[(
1 2
v
2
2
gh2
)
-
(
1 2
v12
gh1 )]
整理后得
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
v
2
2
gh2
(2-4)
p 1 v2 gh 常量
2
(2-5)
伯努利方程
它表明在同一管道中任何一点处，流体每单位体 积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。在 工程上，上式常写成
定常流动指流体的流动状态不随时间发生 变化的流动。流体做定常流动时，流体中各流 体元在流经空间任一点的流速不随时间发生变 化，但各点的流速可以不同。
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4. 流线 流线是分布在流体流经区域 中的许多假想曲线，曲线上每一 点的切线方向和该点流体元的速 度方向一致。
流体流过不同形状障碍物的流线 6
p2 S2
v
1
h1
a2 b2 v
h2p2 S2 2
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现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。假设流 体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁对这段流体的作 用力垂直于它的流动方向，因而不作功。所以流动过程中，除了 重力之外，只有在它前后的流体对它作功。在它后面的流体推它 前进，这个作用力作正功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作 用力作负功。
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第2章 流体力学
2.1 理想流体的流动 2.1.1 理想流体 2.1.2 连续性原理 2.1.3 伯努利方程 2.1.4 伯努利方程的应用
2.2 黏滞液体的运动规律 2.2.1 牛顿黏滞定律 2.2.3 层流、湍流 、雷诺数
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教学重点 ★ 综合运用连续性方程和伯努利方程分析求解理
p v2 h 常量
g 2g
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2.1.4 伯努利方程的应用
1. 压强与高度的关系 若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽略时, 伯努利方程可以直接写成：
v2
v1
S2
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2.1.3 伯努利方程 理想流体的伯努利方程
1738年伯努利(D. Bernoulli) 提出了著名的伯努利方程.
伯努利方程是流体动力学的基
本定律，它说明了理想流体在
管道中作稳定流动时，流体中
某点的压强p、流速υ和高度h
丹·伯努利(Daniel
三个量之间的关系为：
Bernoull, 17001782) 瑞士科学家.
体只能在流管里流动，而不能穿越流管。因此， 流管仿佛就是一条实际的水管。
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2.1.2 连续性原理
如果在流体内取一个截面积很小的细流管， 流管中任一个横截面S上各点的流速都相同。在
流管中A,B点做垂直截面S1,S2，速度分别为v1,v2,
在定常流动中，假定液体不可压缩，在很小的 △t时间内流进流管的流体质量应等于在相同时 间内流出流管的流体质量。连续性原理在物理实 质上是流体力学中关于质量守恒的定律。
2. 理想流体
不可压缩的没有黏滞性的流体称理想流体， 它是实际流体的理想化模型。
（1）不容易被压缩的液体，在不太精确的研究中 可以认为是理想流体。研究气体时，如果气 体的密度没有明显变化，可以认为是理想 流体。
（2）理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能 不会转化为内能。
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3.定常流动
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☆ 物理意义：单位时间内通过横截面S的液体体 积，故称体积流量，用qv表示
☆ 物理本质：同一流管在相同时间内流过任一截 面的体积流量都相同。因而截面大处流速小， 截面小处流速大。
☆ 当有多条支流时
v1S1＝v2S2 v3S3
☆ 适用范围：理想流体和不 可压缩的黏滞流体。
S1
S3 v3
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流线的几点性质 （1）流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点速 度的变化，速度大的地方流线密，反之则稀。 （2）对于定常流动，流线的形状和位置不随时间 而变化。 （3）流线不能相交，是一条光滑的曲线。
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5. 流管 流管是由一束流线围成的管状区域。 对于定常流动，由于流线不能相交，所以流