第2章 插值法2

差商为零。
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若 f ( x)是 x 的n次多项式，则 P(x) f (x) f (xi )
也是n次多项式，且 P(xi ) 0。于是 P(x)可分
解为
P(x) (x xi )Pn1(x)
其中 Pn1(x) 为n-1次多项式。所以
f [x, xi ]
f (x) f (xi ) x xi
0.0344 0.196 0.046 (0.054) (0.204) 3.4 106
故 N4(x) 0.6319145 0.0000034 0.6319179 。
R4 (x) f [x, x0,L , x4 ]5 (0.596)
截断误差：
f [x0 ,L , x4 , x5 ]5 (0.596) 9.05820109
f [x0, x1]
Baidu Nhomakorabea
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f0 x0 x1
f1 x1 x0
f [x0, x1, x2 ]
f [x0, x2 ] f [x0, x1] x2 x1
f0
f1
f2
(x0 x1)(x0 x2) (x1 x0)(x1 x2) (x2 x0)(x2 x15)
其中 a0 , a1,L , an 为待定系数，可由插值条件
Pn (x j ) f j
( j 0,1,L , n) 确定。
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1)
当
L an (x x0 )L (x xn1)
Pn (x0 ) a0 f0
Pn
• 例:已知
xi
1
0
f (xi )
347 2 15 12
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解:在上例中,我们已计算出
f (x0 ) 0, f [x 0 , x1] 1, f [x 0 , x1, x2 ] 4,
f [x 0 , x1, x2, x3] 1.25;
则牛顿三次插值多项式为
32
1
4 15
13
4
7 12
-1
-3.5
-1.25 10
3.2 牛顿插值公式 根据差商定义，把 x 看成 [a,b] 上的一点，可得
f (x) f (x0) f [x, x0](x x0),
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)，
f [x, x0, x1] f [x0, x1, x2] f [x, x0, x1, x2](x x2)，
┅
f [x, x0,L , xn1] f [x0, x1,L , xn ] f [x, x0,L , xn ](x xn )
只要把后一式代入前一式，得:
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f (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) L f [x0, x1,L , xn ](x x0 )(x x1)L (x xn1) f [x, x0, x1,L , xn ](x x0 )(x x1)L (x xn )
N3(x) 0 (x 1) 4 (x 1)(x 3)
1.25 (x 1)(x 3)(x 4)
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• 例3:已知 f ( x)在六个点的函数值如下表，运 用牛顿型插值多项式求 f (0.596) 的近似值。
一阶
xk f (xk ) 0.40 0.41075
0.55 0.57815 0.65 0.69675
N3(x) N2 (x) f [x0, x1, x2, x3](x x0 )(x x1)(x x2 )
N3(0.596) 0.632010 0.1970 0.196 0.046 (0.054) 0.6319145
欲求 N 4 ( x),只需在 N 3 ( x)之后再加一项: f [x0, x1, x2, x3, x4 ](x x0 )(x x1)(x x2 )(x x3)
(x xi )Pn1(x) x xi
Pn1(x)
为n-1次多项式
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三.利用差商表计算差商
利用差商的递推定义,可以用递推来计算差商。如下表：
xi
f (xi) 一阶差商
二阶差商
三阶差商
x0 f (x0 )
x1
f (x1)
x2 f (x2)
x3 f (x3)
┇┇
f x0, x1
f x1, x2 f x2, x3
这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关(差商的对 称性)。即
f [x0, x1,L , xk ] f [x1, x0, x2,L , xk ] L f [x1, x2,L , xk , x0]
• 性质2：
f [x0 , x1,L
, xk ]
f [x1,L
, xk ] f [x0,L xk x0
的一般表达式，现引入差商（均差）定义。
定义：称
f [x0, xk ]
f (xk ) f (x0 ) xk x0
为函数
f (x)
关于节点 x0 , xk 的一阶差商，记为 f [x0, xk ] 。
一阶差商 f [x0, x1]、f [x0, xk ] 的差商
f [x0, x1, xk ]
f [x0, xk ] f [x0, x1] xk x1
(
x2
)
a0
a1(x2
Pn (x1) a0 a1(x1 x0 ) x0 ) a2 (x2 x0 )(x2 x1)
f1 f2
LL
a0 f0
a2
a1
f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0
x2 x1
LL
2
依次可得到 a3, a4 ,L , an。为写出系数
式直线方程。
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• 当n=2时,
f (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2 ](x x0 )(x x1) f [x, x0, x1, x2 ](x x0 )(x x1)(x x2 )
N2 (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, x2](x x0)(x x1)
, xk 2, x0 ]
再将各差商中的节点按原来次序排列。
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• 性质3:若f ( x) 是x 的n次多项式,则一阶差商 f [x , x0] 是x 的n-1次多项式,二阶差商f [x , x0, x1]
是x 的n-2次多项式;
一般地,函数f (x) 的k阶差商f [x , x0,L , xk1]
是x 的n-k次多项式(k n) ,而k n 时,k阶
N2 (x2 )
f (x0 )
f
(
x0 ) x0
f( x1
x1)
(
x2
x0 )
x0
1
x2
f (x0) f (x1) x0 x1
f
(
x1) x1
f( x2
x2
)
(
x2
x0 )(x2
x1)
f (x2 )
即 N2 (x)满足二次插值条件。
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• 若f (x) 是[a,b] 上n次连续可微函数， 并且x0, x1,L , xn 是[a,b] 中不同的点，则在 (a,b) 中存在一点 ，使得
1.1160
1.1860
0.80 0.88811 1.2757 0.90 1.02652 1.3841
1.05 1.25386 1.5156
二阶 三阶
0.2800
0.3588
0.4336
0.5260
0.1970
0.2137
0.2310
四阶
0.0344
0.0346
五阶 x xk
0.196 0.046
§3.牛顿(Newton)插值
3.1差商及其性质 一.差商（均差）定义
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的 推广，若从直线方程点斜式
P1 ( x)
f0
f1 x1
f0 x0
(x
x0 )
( fi f (xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可
把插值多项式表示为
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1) L an (x x0 )L (x xn1) 1
最后一项中, 差商部分含有 x ,为余项部分,记作
Rn (x) f [x, x0, x1,L , xn ](x x0 )(x x1)L (x xn )
而前面n+1项中, 差商部分都不含有 x ,因而前面n+1项 是关于 x 的n次多项式,记作
Nn (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) L f [x0, x1,L , xn ](x x0)(x x1)L (x x ) 1n2 1
f [x0, x1,L
, xn ]
1 n!
f
(n) ( )
设p 是函数f 在节点x0, x1,L , xn1 至多为n-1次的插值多项式，则
上次数
f
(xn )
p(xn )
1 n!
f
(n) ( )(xn
x0 )L
( xn
xn 1 )
f (xn ) p(xn ) f [x0, x1,L , xn ](xn x0 )L (xn xn1) 17
┇
f x0, x1, x2
f x1, x2, x3 ┇
f x0, x1, x2, x3
┇
如要计算四阶差商,再增加一个节点,表中
还要增加一行。
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• 例:已知如下,计算三阶差商 f [1,3, 4,7] 。
xi 1 3 4 7
0
f (xi )
2 15 12
解：列表计算
xi f (xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 10
3
称为 f (x)关于节点 x0 , x1, xk的二阶差商，记
为 f [x0, x1, xk ]。
递归地用k-1阶差商来定义k阶差商，
f [x0, x1,L
, xk ]
f [x0,L
, xk 2, xk ] f [x0, x1,L xk xk 1
, xk 1]
称为 f (x)关于k+1个节点 x0 , x1,K , xk 的k阶
算法：
1.输入数据x, xi , yi (i 0,1,, n) 2.置fk yk (k 0,1,, n) 3. 计算各阶差商。对i 0,1,, n
f k i xk i
fk xk
fk (k
n, n 1,,i)
n
k 1
4.p f0 fk[ x xj ]
, xk1]
k阶差商定义:
f [x0, x1,L
, xk ]
f [x0,L
, xk2, xk ] f [x0, x1,L xk xk1
, xk1]
依对称性，对调定义公式左端k阶差商中 x与0 xk 1
的位置，
f [xk1, x1,L
, xk2, x0, xk ]
f [xk1, x1,L
, xk 2, xk ] f [xk 1, x1,L xk x0
这就是牛顿二次插值多项式。
显然, N2 (x0 ) f (x0 )
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N2 (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2 ](x x0 )(x x1)
N2 (x1)
f (x0 )
f
(x0 ) x0
f (x1) x1
(
x1
x0
)
f (x1)
差商。
4
二. 差商（均差）的性质
• 性质1:k阶差商可以表示成k+1个函数值
f (x0 ), f (x1),L , f (xk ) 的线性组合,即
f [x0, x1,L
, xk ]
k
j0 (xj
x0)L
(xj
f (xj) x j1)(x j
x j1)L
(xj
xn )
可用归纳法证明。
例:
0.054 0.204 0.304
0.0003
19
解： N2 (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2 ](x x0 )(x x1)
N2(0.596) 0.41075 1.1160 0.196 0.28 0.196 0.046 0.632010
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• 例如:当n=1时，
f (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x, x0, x1](x x0 )(x x1)
其中,
N1 ( x)
f (x0 )
f [x0, x1](x x0 )
f0
f0 x0
f1 x1
(
x
x0
)
这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜
这就是牛顿插值公式。于是,上式记为
f ( x) N n ( x) Rn ( x)
由牛顿插值公式与
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1)
L an (x x0 )L (x xn1) 比较知：
ak f [x0, x1,L , xk ] (k 0,1,L , n).