上海中考数学压轴题解题策略-学生版

上海中考数学压轴题解题策略 宝龙教育中心整理(2017.3)

一、面积的存在性问题解题策略 专题攻略

面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：

第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

例题解析

例❶ 如图1-1，矩形ABCD 的顶点C 在y 轴右侧沿抛物线y ＝x 2－6x ＋10滑动，在滑动过程中CD //x 轴，CD ＝1，AB 在CD 的下方．当点D 在y 轴上时，AB 落在x 轴上．当矩形ABCD 在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C 的坐标．

图1-1

例❷ 如图2-1，二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点M 的坐标为(1,－4)，AM 与y 轴相交于点C ，在抛物线上是否还存在点P ，使得S △PMB =S △BCM ，如存在，求出点P 的坐标．

图2-1

例❸ 如图3-1，直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交于A 、B 两点，点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，四边形PAQB 是平行四边形，当四边形PAQB 的面积最大时，求点P 的坐标．

图3-1

例❹ 如图4-1，在平行四边形A BCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 方向匀速平移得到△PNM ，速度为每秒1个单位长度；同时点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度；当△PNM 停止运动时，点Q 也停止运动，如图4-2，设移动时间为t 秒（0＜t ＜4）．是否存在某一时刻t ，使S △QMC ∶S

四边形

ABQP ＝1∶4？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

图4-1 图4-2

例❺ 如图5-1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0, 1)，直线y ＝2x －4与抛物线2

14

y x

相交于点B ，

与y 轴交于点D ．将△ABD 沿直线BD 折叠后，点A 落在点C 处（如图5-2），问在抛物线上是否存在点P ，使得S △PCD ＝3S △PAB ？如果存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1 图2

例❻ 如图6-1，抛物线2

1

5

84

y x x =-+

经过点E (6, n )，与x 轴正半轴交于点A ，若点P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形的面积记作S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3个？

图6-1

例❼ 如图7-1，点P 是第二象限内抛物线21

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y x =-+上的一个动点，点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)．若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，请写出所有“好点”的个数．

例❽ 如图8-1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞

4），射线OA 与反比例函数12y x =

的图象交于点P ，点B 、C 分别在函数12

y x

=的图象上，且AB //x 轴，AC //y 轴．试说明

ABP

ACP

S S △△的值是否随a 的变化而变化？

图8-1

例❾ 如图9-1，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上的一个动点，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，求四边形ODCE 的面积的最大值．

图9-1

例❿ 如图10-1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝6，BC ＝8，设直线l 与斜边AB 交于点E ，与直角边交于点F ，设AE ＝x ，是否存在直线l 同时平分△ABC 的周长和面积？若存在直线l ，求出x 的值；若不存在直线l ，请说明理由．

图10-1

二、平行四边形的存在性问题解题策略 专题攻略

解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．

例题解析

例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．

图1-1

例❷ 如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．

图2-1

例❸ 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点D ，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．

图 3-1

例❹ 如图4-1，已知抛物线2416

33

y x x =

+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图4-1 例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的