上海中考数学压轴题解题策略-学生版

上海中考数学压轴题解题策略 宝龙教育中心整理(2017.3)一、面积的存在性问题解题策略 专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．例题解析例❶ 如图1-1，矩形ABCD 的顶点C 在y 轴右侧沿抛物线y ＝x 2－6x ＋10滑动，在滑动过程中CD //x 轴，CD ＝1，AB 在CD 的下方．当点D 在y 轴上时，AB 落在x 轴上．当矩形ABCD 在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C 的坐标．图1-1例❷ 如图2-1，二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点M 的坐标为(1,－4)，AM 与y 轴相交于点C ，在抛物线上是否还存在点P ，使得S △PMB =S △BCM ，如存在，求出点P 的坐标．图2-1例❸ 如图3-1，直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交于A 、B 两点，点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，四边形PAQB 是平行四边形，当四边形PAQB 的面积最大时，求点P 的坐标．图3-1例❹ 如图4-1，在平行四边形A BCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 方向匀速平移得到△PNM ，速度为每秒1个单位长度；同时点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度；当△PNM 停止运动时，点Q 也停止运动，如图4-2，设移动时间为t 秒（0＜t ＜4）．是否存在某一时刻t ，使S △QMC ∶S四边形ABQP ＝1∶4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．图4-1 图4-2例❺ 如图5-1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0, 1)，直线y ＝2x －4与抛物线214y x相交于点B ，与y 轴交于点D ．将△ABD 沿直线BD 折叠后，点A 落在点C 处（如图5-2），问在抛物线上是否存在点P ，使得S △PCD ＝3S △PAB ？如果存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1 图2例❻ 如图6-1，抛物线21584y x x =-+经过点E (6, n )，与x 轴正半轴交于点A ，若点P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形的面积记作S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3个？图6-1例❼ 如图7-1，点P 是第二象限内抛物线2188y x =-+上的一个动点，点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)．若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，请写出所有“好点”的个数．例❽ 如图8-1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图象交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图象上，且AB //x 轴，AC //y 轴．试说明ABPACPS S △△的值是否随a 的变化而变化？图8-1例❾ 如图9-1，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上的一个动点，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，求四边形ODCE 的面积的最大值．图9-1例❿ 如图10-1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝6，BC ＝8，设直线l 与斜边AB 交于点E ，与直角边交于点F ，设AE ＝x ，是否存在直线l 同时平分△ABC 的周长和面积？若存在直线l ，求出x 的值；若不存在直线l ，请说明理由．图10-1二、平行四边形的存在性问题解题策略 专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1例❷ 如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．图2-1例❸ 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点D ，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．图 3-1例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1 例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1例❻如图6-1，将抛物线c1：2=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2．33y x现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图6-1例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1三、梯形的存在性问题解题策略 专题攻略解梯形的存在性问题一般分三步： 第一步分类，第二步画图，第三步计算．一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．例题解析例❶ 如图1-1，四边形ABCD 是直角梯形，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝28cm ．点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？图1-1例❷ 如图2-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动；同时点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．当点P 到达点A 时停止运动，点Q 也随之停止．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，DE 交BC 于点E ．设P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0），在运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图2-1例❸如图，已知A 、B 是双曲线2y x=上的两个点，A 、B 的横坐标分别为2和－1，BC ⊥x 轴，垂足为C ．在双曲线上是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．图3-1例❹如图4-1，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1例❺如图5-1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．图5-1例❻如图6-1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE//DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为x秒，当x为何值时，四边形PQBE为梯形？图6-1四、线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3例题解析例❶ 如图1-1，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC 的周长最小，求点P 的坐标．图1-1例❷如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．图2-1例❸ 如图3-1，抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段PA与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标．图3-1例❹如图4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．图4-1例❺如图5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．图5-1例❻如图6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由．图6-1例❼如图7-1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A 在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．图7-1例❽如图8-1，已知A(－2,0)、B(4, 0)、(5,33)D ．设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？图8-1例❾ 如图9-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点E 是BC 边上的点，连结AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，求AF 的最小值．图9-1例❿ 如图10-1，已知点P 是抛物线214y x 上的一个点，点D 、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD 、PE ，求PD ＋PE 的最小值．图10-1五、相切的存在性问题解题策略 专题攻略一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R 、r 、d ，第二步分类列方程，第三步解方程并验根． 第一步在罗列三要素R 、r 、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x 的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R 和d ，第二步列方程，第三步解方程并验根． 第一步在罗列两要素R 和d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x 的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d ＝R 列方程．例题解析例❶ 如图1-1，已知抛物线y ＝x 2－1与x 轴相交于A 、B 两点． （1）有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值；（2）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？图1-1例❷ 如图2-1，△ABC 中，BC ＝AC ＝5，AB ＝8，CD 为AB 边上的高．如图2-1，A 在原点处，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限．若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动△ABC 在平面上滑动．如图2-2，设运动的时间为t 秒，当B 到达原点时停止运动．当以点C 为圆心、CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．图2-1 图2-2例❸ 如图3-1，A (－5,0)，B (－3,0)，C (0, 3)，四边形OADC 是矩形．点P 从点Q (4,0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t 的值．图3-1例❹ 如图4-1，已知抛物线y ＝mx 2＋bx ＋c (m ＞0)经过A (1, 0)、B (－3,0)两点，顶点为P ，与y 轴交于点D ．⊙C 的直径为A 、B ，当m 为何值时，直线PD 与⊙C 相切？图4-1例❺ 如图5-1，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝8，BC ＝18，54sin =∠BCD ，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果⊙P 的半径为6，⊙Q 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时⊙P 与⊙Q 外离、外切、相交？图5-1例❻ 如图6-1，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4厘米，BC ＝3厘米，⊙O 为△ABC 的内切圆． （1）求⊙O 的半径；（2）动点P 从点B 沿BA 向点A 以每秒1厘米的速度匀速运动，以P 为圆心，PB 为半径作圆．设点P 运动的时间为t 秒，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．图6-1例❼ 如图7-1，已知直线l ：443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，⊙O 的半径为1，点C 是y 轴正半轴上的一点，如果⊙C 既与⊙O 相切，也与直线l 相切，求圆心C 的坐标．图7-1例❽ 如图8-1，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 为BC 边上一动点（不与点B 重合），过点D 作射线DE 交AB 于点E ，∠BDE ＝∠A ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作⊙D ．设BD ＝x ．（1）当⊙D 与边AB 相切时，求x 的值；（2）如果⊙E 是以E 为圆心，AE 的长为半径的圆，当⊙D 与⊙E 相切时，求x 的值．图8-1例❾ 如图9-1，一个Rt △DEF 的直角边DE 落在AB 上，点D 与点B 重合，过A 点作射线AC 与斜边EF 平行，已知AB ＝12，DE ＝4，DF ＝3．如图9-2，点P 从A 点出发，沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动，Q 为AP 的中点．同时Rt △DEF 沿着BA 方向以每秒1个单位的速度运动，当点D 运动到点A 时，两个运动都停止．在运动过程中，是否存在以点Q 为圆心的圆与Rt △DEF 的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t ，若不存在，说明理由．图9-1 图9-2六、相似三角形的存在性问题解题策略 专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例❶ 如图1-1，抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC 相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．图1-1例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结O M，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图2-1 例❸如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1例❹如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．图4-1例❺如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；图5-1例❻如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．图6-1七、直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例❶如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝45．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1例❷如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN ，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1例❸ 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1例❹ 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1例❺ 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图5-1例❻ 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长； （3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1。