实际问题与一元二次方程的几种常见模型

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一元二次方程实际问题类型讲解

一元二次方程实际问题类型讲解
一元二次方程是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

一元二次方程在实际问题中的应用非常广泛，下面将介绍几个常见的实际问题类型：
1. 抛物线运动问题：例如一个抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。

方程的解可以告诉我们物体的最高点、落地时间等信息。

2. 面积和周长问题：比如求解一个长方形的边长或者一个圆的半径，可以通过建立一元二次方程来求解。

例如，已知长方形的周长为20米，要求长方形的面积最大，可以建立面积的一元二次函数并求解其最值。

3. 时间与距离问题：例如两个行人相向而行，一个以每小时4公里的速度前进，另一个以每小时6公里的速度前进，问多长时间他们相遇。

可以通过建立两个行人的距离关系的一元二次方程来解决问题。

4. 投影问题：例如一个人在斜坡上投掷物体，已知斜坡的高度和水平距离，求物体的飞行时间和最远的落点。

可以通过建立一元二次方程来求解。

5. 金融问题：一元二次方程也可以应用于金融领域，例如计算贷款的利率、还款时间等。

可以通过建立一元二次方程模型来帮助分析和解决金融问题。

这些只是一元二次方程在实际问题中的几个常见应用，实际上，一元二次方程具有广泛的应用领域，可以涉及物理、经济、工程等多个领域。

通过建立方程模型并求解方程，我们可以更好地理解和解决实际问题。

一元二次方程与实际问题题型

一元二次方程与实际问题题型一元二次方程与实际问题题型是数学中常见的题目类型之一。

以下是一些实例，并给出了相应的答案：利率问题题目：小华将100元存入银行，年利率为2.25%，存期为2年。

请问小华到期后可以取出多少钱？设本金为P，年利率为r，存期为t年，到期后的总金额为A。

根据公式：A = P(1 + r)^t，代入数值解得：A = 104.5元。

投资问题题目：小李和小张分别投资了10万元和15万元，年回报率为5%，3年后的总资产为多少？设投资金额为P，年回报率为r，t年后总资产为A。

根据公式：A = P(1 + r)^t，代入数值解得：A = 16.4万元。

销售问题题目：某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，每次降价的百分比相同。

请问每次降价的百分比是多少？设每次降价的百分比为x。

根据公式：原价*(1-百分比)^次数=现价，代入数值解得：x = 10%。

相遇问题题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇时甲车比乙车多走了10公里。

已知甲车的速度为60公里/小时，乙车的速度为40公里/小时。

请问A、B两地之间的距离是多少？设相遇时的时间为t小时，A、B两地之间的距离为d公里。

根据公式：(60t + 40t) = d + 10，代入数值解得：d = 210公里。

追及问题题目：甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，相遇后甲车继续前行到达B地比乙车迟到了1小时。

已知甲车的速度为60公里/小时，乙车的速度为40公里/小时。

请问A、B两地之间的距离是多少？设相遇时的时间为t小时，A、B两地之间的距离为d公里。

根据公式：(60t - 40t) = d，代入数值解得：d = 20公里。

一元二次方程解决问题的各种形式

一元二次方程解决问题的各种形式一元二次方程解决问题的各种形式一元二次方程是中学数学学习中的重要内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，还能帮助我们解决实际生活中的问题。

在本文中，我们将从多个不同的角度探讨一元二次方程解决问题的各种形式，帮助读者更全面地理解这一重要的数学概念。

1. 一元二次方程的基本形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别是常数且a≠0。

解一元二次方程的方法有很多种，如配方法、公式法、完全平方公式等。

我们先来看一个简单的例子，通过配方法来解一元二次方程。

我们要解方程x²+6x+5=0，我们可以通过配方法将其写成(x+1)(x+5)=0，进而得出方程的解为x=-1或x=-5。

这是解一元二次方程的基本形式，但实际问题往往不止这一种形式。

2. 几何解法除了代数方法外，一元二次方程还可以通过几何方法来解决实际问题。

一条电线和一根铁管构成一个角，已知铁管的长度比电线的长度多5米，且电线和铁管的夹角是45度。

我们可以建立一个关于铁管长度的一元二次方程，并通过几何解法求出铁管的长度。

这种几何解法可以帮助我们更直观地理解一元二次方程在实际问题中的应用。

3. 时间、速度与距离的问题在物理和工程学科中，一元二次方程经常用于描述时间、速度与距离之间的关系。

一个运动员以8m/s的速度沿着一条笔直的跑道奔跑，30秒后他跑了240米的路程。

我们可以建立一个关于时间和距离的一元二次方程，通过分析这个方程来解决实际问题。

这种应用形式使得一元二次方程成为了解决实际问题的重要工具。

4. 经济与商业问题一元二次方程也被广泛地应用于经济学和商业领域。

某公司生产一种产品，生产成本和销售数量之间存在着一定的关系。

我们可以建立一个关于销售数量的一元二次方程，通过求解这个方程来找到最优的生产数量，使得利润最大化。

这种经济与商业问题的应用形式，让一元二次方程成为了决策分析中的有力工具。

一元二次方程与实际问题的公式

一元二次方程与实际问题的公式一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种经典的数学概念。

它在代数学和实际问题中有着重要的应用。

本文将深入探讨一元二次方程及其在实际问题中的应用，帮助读者更加全面地理解这一数学概念。

二、一元二次方程的基本形式和求解方法一元二次方程通常写作ax²+bx+c=0的形式，其中a、b和c是已知的常数，而x是未知数。

解一元二次方程可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。

这些方法能够帮助我们找到方程的根，进而解决各种实际问题。

三、一元二次方程在几何中的应用以一元二次方程为基础的二次函数能够描述抛物线的形状。

抛物线在现实生活和几何中都有广泛的应用，比如天文学中的行星运动轨迹、物理学中的抛体运动等。

一元二次方程在几何中有着重要的地位。

四、一元二次方程在经济学中的应用在经济学中，成本、收益和利润往往是与生产量或销售量相关的。

这些关系通常可以用一元二次方程来描述。

通过求解一元二次方程，我们可以找到最大化利润或最小化成本的最优解，这对企业经营和管理有着重要的指导意义。

五、一元二次方程在物理学中的应用在物理学中，一元二次方程经常出现在描述运动、力学和波动等方面。

比如自由落体运动、弹簧振动系统的频率等问题，都可以用一元二次方程来建模和求解。

六、总结与展望通过对一元二次方程的深入探讨，我们可以看到它在数学、几何、经济学和物理学中都有着广泛的应用。

它不仅是一种抽象的数学概念，更是解决实际问题的有力工具。

希望本文能够帮助读者更好地理解一元二次方程及其在实际问题中的应用，让数学变得更加具体和生动。

七、个人观点在我看来，数学中的一元二次方程不仅是一种工具，更是一种思维方式。

通过对实际问题的抽象和建模，我们可以运用数学的知识和方法来解决各种复杂的问题。

我认为掌握一元二次方程及其应用是非常重要的。

希望读者能够通过本文的阅读，对一元二次方程有更深入的理解和应用。

通过本文对一元二次方程的探讨，我们可以深刻地理解这一数学概念所蕴含的丰富内涵。

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。

本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。

其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。

具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

一元二次方程实际问题常见题型

一元二次方程实际问题常见题型1. 概述一元二次方程是高中数学中常见的一个重要知识点。

它不仅是数学理论的重要组成部分，更是解决实际问题的有效工具。

本文将围绕一元二次方程实际问题常见题型展开探讨，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

2. 垂直抛物线问题垂直抛物线问题是一元二次方程实际问题中的常见题型之一。

一架飞机从高空垂直向下抛出一个物体，根据物体运动的时间和速度等因素，可以建立相应的一元二次方程模型。

通过解方程，可以求解物体的运动轨迹、最大高度、落点坐标等相关问题。

3. 开口方向问题开口方向问题也是一元二次方程实际问题中的重要内容。

在现实生活中，有许多与开口方向相关的问题，如抛物线运动、水流喷射等。

通过构建一元二次方程模型，并结合相关的条件和约束条件，可以有效地解决这类问题。

4. 面积最大最小值问题求取一元二次方程的最值是解决实际问题的重要应用之一。

在求解面积最大最小值的问题中，一元二次方程的应用十分广泛。

求解围墙围成的最大面积、矩形花坛的最大面积等问题，都可以通过建立一元二次方程模型，并求解其最值来得到最优解。

5. 个人观点和理解一元二次方程实际问题常见题型是数学与实际问题相结合的典型案例，深入理解和掌握这些题型对于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

通过这些题型的学习和实践，学生可以更好地理解数学知识与实际问题的联系，培养批判性思维和创新能力。

6. 总结通过以上的讨论，我们对一元二次方程实际问题常见题型有了更加全面、深入的理解。

这些题型的学习不仅有助于提高学生的数学水平，更能够培养学生解决实际问题的能力，从而更好地应对未来的学习和工作挑战。

文章总结大致如上，希望对您有所帮助。

一元二次方程实际问题常见题型涉及各个领域，从物理学到经济学，从工程学到生物学，都有着广泛的应用。

在实际问题中，一元二次方程常常用来描述抛物线运动、最大最小值、面积和体积等问题。

下面将围绕这些内容展开更具体的讨论。

实际问题与一元二次方程的几种常见模型及知识点

1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？单（双）循环问题1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?数字问题1．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？2．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

增长率问题1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2.某厂一月份产值为10万元，第一季度产值共33.1万元。

若每个月比上月的增长百分数相同，求这个百分数。

销售问题1．将进价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？2．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，已知这种衬衫每件降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场要想平均每天盈利1200元，那么每件衬衫应降价多少元？围圈问题1．借助一面长6米的墙，用一根13米长的铁丝围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的两边？2.如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC边各应是多少？ A E DB F C边框问题在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？面积问题1．要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？2．在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为多少？工程问题1.甲、乙两建筑队完成一项工程，若两队同时开工，12天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天，问单独完成该工程，甲、乙各需多少天？行程问题汽车需行驶108km的距离，当行驶到36km处时发生故障，以后每小时的速度减慢9km，到达时比预定时间晚24min，求汽车原来的速度。

实际问题与一元二次方程(握手、面积问题)

01
02
03
建立数学模型
通过实际问题抽象出一元二次方程，将实际问题转化为数学问题。
解方程
根据一元二次方程的解法，求解方程得到最优解。
解释结果
将求解结果代入实际问题中，解释其意义和影响。
实际问题中一元二次方程的应用案例分析
投资收益问题
假设某投资者有一定资金，需要选择不同的投资方式，通过一元二次方程可以计算出最优投资方案。
02
面积问题
面积问题的背景
面积问题在日常生活和生产实践中广泛存在，如土地测量、建筑规划、经济活动等。
面积问题涉及到空间形态的定量描述，需要运用数学工具进行计算和表达。
面积问题具有多种表现形式，如平面图形、立体图形等，需要根据具体情况选择合适的数学模型进行解决。
面积问题的数学模型
平面图形的面积计算
计算利润最大化问题
一元二次方程可以用来解决利润最大化问题，例如通过设定成本、售价和销量之间的关系来求解最大利润。
求解最优化问题
一元二次方程可以用来解决最优化问题，例如在一定资源限制下，通过调整资源配置来达到最优效果。
计算几何图形问题
一元二次方程可以用来解决几何图形问题，例如计算面积、周长等。
一元二次方程的解法与实际问题解决步骤的对应关系
一元二次方程在日常生活中的应用
建筑和设计
在建筑和设计领域，一元二次方程可以用于计算物体的面积、体积和周长等参数，例如计算矩形、圆形、三角形等基本几何形状的面积和周长。
日常生活问题
一元二次方程还可以用于解决一些日常生活中的问题，如路程、时间、速度问题，以及工资、税收、保险等问题。
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握手问题的数学模型

实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结

实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结典型题型归纳1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？2、平均增长率问题：M=a(1±x)n， n为增长或降低次数 ,M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例1、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

练习：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？3、商品销售问题例1、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？练习：1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。

当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。

该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。

经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。

综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。

一元二次方程应用题8种类型

一元二次方程应用题8种类型
一元二次方程是一种常见的数学工具，在应用题中有许多不同的类型。

以下是
其中的八种常见类型：
1. 高度和距离问题：例如，一个物体从特定高度下落，求解它落地所需的时间
或者它的最大高度。

2. 面积和体积问题：例如，给定一个矩形区域的周长，求解该矩形的最大面积。

3. 费用和利润问题：例如，一家公司生产某种产品，求解最大利润对应的生产
数量。

4. 时间和速度问题：例如，一个人以特定的速度行走，求解他到达目的地所需
的时间。

5. 抛物线问题：例如，一个抛物线的顶点坐标已知，求解抛物线的方程。

6. 碰撞问题：例如，两个物体相互碰撞后的速度和方向如何变化。

7. 最大最小值问题：例如，给定一个函数的表达式，求解其最大或最小值对应
的自变量值。

8. 经济模型问题：例如，根据一个经济模型，求解平衡价格和数量。

以上仅是一元二次方程应用题的一些常见类型，实际应用中还有许多其他类型。

在解决这些问题时，需要将问题转化为数学表达式，建立相应的方程，并使用
一元二次方程的求解方法来得到答案。

一元二次方程与实际问题题型归纳

一元二次方程与实际问题题型归纳在我们的数学学习中，一元二次方程是一个非常重要的知识点，它不仅在理论上有着重要的地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

接下来，让我们一起来归纳一下一元二次方程在实际问题中的常见题型。

一、增长率问题增长率问题是一元二次方程在实际生活中常见的应用之一。

例如，某公司去年的利润为 100 万元，今年的利润比去年增长了 20%，明年预计在今年的基础上再增长 10%，求明年的利润。

设明年的利润为 x 万元，今年的利润为 100×（1 ＋ 20%）＝ 120 万元，明年的利润为 120×（1 ＋ 10%）＝ x 万元，整理可得方程：＼＼begin{align}120×（1 ＋ 10%）＆＝x\＼120×11&＝x\＼132&＝x＼end{align}＼在这类问题中，通常设原来的量为 a，平均增长率为 x，增长后的量为 b，经过 n 次增长后的公式为：＼（b ＝ a(1 ＋ x)＾n\）；若为平均降低率，则公式为：＼（b ＝ a(1 x)＾n\）。

二、面积问题面积问题也是常见的题型之一。

比如，要在一块长方形的土地上建造一个花园，已知长方形的长比宽多 10 米，面积为 2400 平方米，求长方形的长和宽。

设长方形的宽为 x 米，则长为(x ＋ 10)米，根据长方形面积公式可得方程：＼＼begin{align}x(x ＋ 10)＆＝2400\＼x^2 ＋ 10x 2400&＝0\＼（x 40)（x ＋ 60)＆＝0＼end{align}＼解得＼（x ＝ 40\）或＼（x ＝－60\）（舍去），所以长方形的宽为 40 米，长为 50 米。

解决面积问题时，关键是要根据图形的形状和面积公式，找出等量关系，列出方程。

三、销售利润问题销售利润问题常常涉及到商品的进价、售价、销售量和利润等因素。

例如，某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每天可卖出 100 件。

九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳

实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。

二、典型题型1.数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25或36D. -25或-362.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M 为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1). 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4.平均增长率问题：b=a(1±x)n， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

二、典型题型1、数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-362、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题212n(n-3) 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例

初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，学习和掌握它对于解决实际生活中的问题具有重要意义。

以下将介绍几个一元二次方程在实际应用中的案例。

例一：抛物线的应用 - 抛物线喷泉在公园中，常常可以看到美丽的喷泉景观。

这些喷泉往往呈现出一个高高上升的水柱然后再逐渐下落，形成一个美丽的抛物线形状。

喷泉的高度和时间之间的关系可以由一元二次方程来表示。

设喷泉的高度为h（单位：米），时间为t（单位：秒）。

研究显示，喷泉的高度随时间的变化关系可以用以下一元二次方程表示：h = -5t^2 + 20t在这个方程中，-5t^2代表了喷泉高度随时间的递减，并且t^2项的系数-5表示了递减的速率。

喷泉的初始高度是20米，因为方程的常数项20表示了t=0时的高度。

通过对这个方程进行求解，我们可以得到喷泉的高度在不同时间点的具体数值，以及它在不同时间点的高低变化趋势。

这样的分析有助于公园管理者进行喷泉景观的设计和维护。

例二：运动轨迹的预测 - 投掷运动一元二次方程也可以在物体的投掷运动中应用。

当我们投掷物体时，它的运动轨迹往往呈现出一个抛物线形状。

通过建立一元二次方程，我们可以预测物体的运动轨迹和到达目标所需的时间。

假设有个人以初速度v（单位：米/秒）将一个物体投掷出去，物体的运动轨迹可以由方程h = -5t^2 + vt + h0表示，其中h代表物体的高度，t代表时间，h0代表投掷时的高度。

通过解方程，我们可以计算出物体到达地面时所需的时间以及它的落点坐标等信息。

这对于进行远程投掷比赛、预测投掷物下落位置等都非常有用。

例三：经济学中的应用 - 成本与利润一元二次方程在经济学中也有应用，特别是在成本、利润等方面的分析中。

假设某公司的生产成本与产量之间的关系可以用一元二次方程进行表示。

设生产成本为C（单位：元），产量为x（单位：个），则可以用方程C = 2x^2 - 10x + 100来表示。

一元二次方程的实际问题

一元二次方程的实际问题一元二次方程是解决实际问题中常用的数学模型，它具有广泛的应用。

本文将为您介绍一些与一元二次方程相关的实际问题，并探讨如何解决和应用这些问题。

1. 炮弹的射程问题在物理学中，炮弹的射程可以通过一元二次方程来计算。

假设一颗炮弹以初始速度v0以角度θ发射，重力加速度为g。

炮弹的水平射程由以下公式给出：R = (v0²sin2θ) / g其中R表示射程的距离。

通过解这个一元二次方程，我们可以计算出炮弹的射程。

这对于军事战略和工程设计都是重要的考虑因素。

2. 物体自由落体问题当一个物体从高处自由落体时，其下落的距离可以通过一元二次方程来描述。

考虑一个物体从高度h开始自由落体的情况，下落时间为t，重力加速度为g。

物体的下落距离可以由以下方程给出：h = (1/2)gt²解这个一元二次方程可以得到物体下落的时间和距离。

这个问题在力学和日常生活中都有着重要的应用，例如在建筑和运动中。

3. 计算机图形学中的二维变换在计算机图形学中，二元二次方程广泛应用于二维图形的变换。

例如，我们可以通过一元二次方程来描述平移、旋转和缩放等变换。

这些变换可以通过矩阵运算表示为一元二次方程，并且可以利用求解方程来实现对图像的几何变换。

4. 数字游戏中的解谜问题一元二次方程也常出现在数字游戏中的解谜问题中。

这些问题要求我们通过给定的线索和条件来确定未知数的值。

通过列出并解决一元二次方程，我们可以找到解决这些解谜问题的答案，从而推进游戏的进程。

总结：一元二次方程不仅在数学中具有重要的地位，而且在实际问题解决和应用中也有广泛的用途。

本文介绍了炮弹的射程、物体自由落体问题、计算机图形学中的二维变换以及数字游戏中的解谜问题等与一元二次方程相关的实际应用。

通过理解并解决这些问题，我们可以更好地应用数学知识解决实际生活和工作中的难题。

实际问题与一元二次方程

检验：当x1＝55时长为80－2x＝-30cm 宽为60－2x＝-50cm．
想想，这符合题意吗？不符合．舍去．
当x2＝15时长为80－2x＝50cm 宽为60－2x＝30cm．
符合题意
所以只能取x＝15．
答：截取的小正方形的边长是15cm
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
如图所示，用一块长80cm，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为 1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长
解：设截去的小正方形的边长xcm.
则长和宽分别为(80－2x)cm、 (60－2x)cm
(80－2x)(60－2x)＝15001.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 2.解方程
(80－2x)(60－2x)＝1500
(80－2x)(60－2x)＝1500
解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式 x2－70x＋825＝0．
(2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825 (3)判断b2－4ac的值 b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0， (4)代入求根公式
设…..x亩…….y千克。
①实际施肥（6x) = 克②实际施肥（5x) =
库存化肥 + 库存化肥 -
缺少化肥200千剩余300千克
练习：一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．

九年级数学上册21.3 用一元二次方程解决实际问题

（6）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．
2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与一般性的增加和减少相混淆．
（二）几何中面积、长度问题
例2 如图所示，一架长为10 m的梯子斜
靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离 A
为8 m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2 m，A’ 那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？
答：梯子的底端在地面上滑动的距离是 2 m．
B
B’
例 3 在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540 m 2，道路的宽应为多少？
分析：如图所示，此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于 540元二次方程
用一元二次方程解决实际问题人教版·九年级上册
【常见类型】
列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种（1）增长率问题（2）几何中面积、长度问题（3）假设存在问题（4）排列组合问题（5）销售问题
（一）增长率问题
例1 某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）．（以下步骤同解法一）
20米
32米
小结 1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20 m、长为32 m”这个条件，从而进行正确取舍．

专题：一元二次方程的实际应用九种常考模型(后附答案)导学案【精品】

专题：一元二次方程实际问题的常见应用应用1：传播问题1.某校研学活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31.若设主干长出x个支干，则可列方程是( ) A．(1＋x)2＝31 B．1＋x＋x2＝31C．(1＋x)x＝31 D．1＋x＋2x＝312．九年级(1)班部分学生去春游时，每人都和同行的其他人合照1张双人照，共照了36张双人照片，则同去春游的人数是( )A．9 B．8C．7 D．63．某种电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析：(1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，经过三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？4．已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为( )A．25 B．25或36 C．36 D．－25或－365．两个数的积为12，和为7.设其中一个数为x，则依题意可列方程为____________________________________.6．一个直角三角形三边长是三个连续整数，则它的周长为_______，面积为_______.7.一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方．已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，求这个三位数．8. 某月的日历表如图所示，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )A．x(x＋8)＝225 B．x(x＋16)＝225C．x(x－16)＝225 D．(x＋8)(x－8)＝2259．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为( )A．8 B．20 C．36 D．18 10．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？应用4：销售问题11．某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间为一次函数关系，如图所示．(1)求y与x的函数表达式；(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？12．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量、增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1)若每件童装降价x元，每天可售出_________件，每件盈利_________元(用含x的代数式表示)；(2)每件童装降价多少元时，能更大限度地让利于顾客且商家平均每天能盈利1 200元？(3)要想平均每天盈利2 000元，可能吗？请说明理由．13．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？应用5：几何问题14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，则 s后，△DPQ的面积等于28 cm2.15．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?16．某市政府出台了一系列惠民举措，其中西京街道绿化景观带正在如火如荼地进行当中．如图，施工过程中，在一块长为30米，宽为20米的矩形地面上，要修建两条同样宽度且互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为551平方米．(1)道路宽度应为多少？(2)已知施工过程中草坪每平方米的成本为50元，道路每平方米的成本为30元，则完成这一处景观所要花费的金额是多少？应用6：动点问题17.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动,与此同时,点Q从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB边向点B移动,如果P,Q同时出发,经过几秒,△PBQ的面积等于8 cm2?。