第八章_时间序列计量模型

若T为离散集合，则{Yt}为离散型随 机过程。
离散型时间指标集的随机过程通常 称为随机型时间序列，简称为时间序 列。
经济分析中常用的时间序列数据都 是经济变量随机序列的一个实现。
时间序列的平稳性（stationary process）是时间序列经济计量分析中的 非常重要问题。时间序列的平稳性是指 时间序列的统计规律不会随着时间的推 移而发生变化。就是说产生变量时间序 列数据的随机过程的特征不随时间变化 而变化。
第八章_时间序列计量模 型
2020年7月10日星期五
第一节 时间序列的基本概念
一、时间序列数据的平稳性
随机变量是刻画随机现象的有力工具。 随机变量的动态变化过程称为随机过程。 一般地，对于每一特定的t（t∈T），Yt为 一随机变量，称这一族随机变量{Yt}为一个 随机过程。若T为一连续区间，则{Yt}为连 续型随机过程。
在时间序列计量分析实践中，时间序列
的平稳性是根本性前提，因此，在进经 济计量分析前，必须对时间序列数据进 行平稳性检验。
二、平稳性的单位根检验
时间序列的平稳性可通过图形和自相关函数 进行检验。在现代，单位根检验方法为时间 序列平稳性检验的最常用方法。
1.单位根检验（unit root test）
平稳性的特征就是要求所有时间相邻
项之间的相关关系具有相同的性质。判 断一个时间序列数据是否产生于一个平 稳过程是很困难的。通常而言，时间序 列数据是弱平稳的就足够了。因此，弱 平稳是时间序列分析中的常用平稳性概 念。
弱平稳也称为协方差平稳过程。
弱平稳是指随机过程{Yt}的均值和方差 不随时间的推移而变化，并且任何两时 期之间的协方差仅依赖于该两时期的间 隔，而与t无关。即随机过程{Yt}满足
检 验验 一一阶个自时回间归序 模列 型中Yt的的平参稳数性ρ是，否可小通于过1检。 或者检验另一种表达形式 （8.10）
中参数γ是否小于0。 式非（平8稳.9的）。中式的（参8数.1ρ0）=1中时，，γ时=间0时序，列时Y间t是 序列Yt是非平稳的。
2.DF检验 要检验时间序列的平稳性，可通过t检验 完成假设检验。即对于下式
该方法采用OLS法估计式（8.11），计算 t 统计量的值，与DF分布表中给定显著 性水平下的临界值比较。如果 t 统计量
的值小于临界值（左尾单侧检验），就 意味着ρ足够小，拒绝原假设:ρ=1，判别 时间序列Yt不存在单位根，是平稳的。
Dickey和Fuller研究认为DF检验的临 界值与数据序列的生成过程以及回归 模型的类型有关。因此，他们针对以 下三种模型编制了DF分布表。
一个平稳的时间序列过程的概率分布
与时间的位移无关。如果从序列中任意 取一组随机变量并把这个序列向前移动h 个时间，其联合概率分布保持不变。这 就是严格平稳的含义，其严格定义如下:
平稳随机过程：对一个随过程
{Yt:t=1,2,…}, h为整数，如
的联合分布与
的联合分
布相同，那么随机过程{Yt}就是平稳的。
用平稳时间序列进行计量分析，估 计方法和假设检验才有效。
GDP的时间序列
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8
18547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6
(8.6) 引入滞后算子L，
（8.7）
则式(8.6) 变换为
记为 则称多项式方程
（8.8）
为AR（m）的特征方程。可以证明，如果 该特征方程的所有根在单位圆外（根的模 大于1），则AR（m）模型是平稳的。
对于AR（1）过程。
（8.9）
vt为经典误差项，如果ρ＝1，则Yt有一 个单位根，称Yt为单位根过程，序列 Yt是非平稳的。因此，要判断某时间 序列是否平稳可通过判断它是否存在 单位根，这就是时间序列平稳性的单 位根检验。
(1)均值 。
，μ为与时间t 无关的常数
(2)方差
为与时间t无关的常数。
(3)协方差
，只与时间间隔h有
关，与时间t无关。
则称{Yt}为弱平稳过程。在时间序列计量 分析中，平稳过程通常指的是弱平稳。
如果一个时间序列是不平稳的，就称它
为非平稳时间序列。也就是说，时间序 列的统计规律随时间的推动而发生变化 。此时，要通过回归分析研究某个变量 在跨时间区域的对一个或多变量的依赖 关系就是困难的，也就是说当时间序列 为非平稳时，就无法知道一个变量的变 化如何影响另一个变量。
（8.11） 要检验该序列是否含有单位根。设定原假 设为:ρ=1，则 t 统计量为
（8.12）
但是，在原假设下（序列非平稳），t 不服从传统的 t 分布，因此 t 检验方法 就不再适用。Dickey和Fuller于1976年 提出了这一情况下 t 统计量服从的分布 （此时表示为τ统计量），即DF分布， 因此该检验方法称为DF检验。
时间序列中往往存在滞后效应，即前后 变量彼此相关。对于时间序列Yt而言，最 典型的状况就是一阶自回归形式AR（1） ，即Yt与Yt-1 相关，而与Yt-2 , Yt-3 ，…无 关。其表达式为
（8.1）
其中，vt为经典误差项，也称之为白噪声。
如果式（8.1）中ρ=1，则
（8.2）
式（8.2）中Yt称为随机游走序列。随机 游走序列的特征为: Yt以前一期的Yt-1为 基础，加上一个均值为零且独立于Yt-1的 随机变量。随机游走的名字正是来源于它 的这个特征。
对式（8.2）进行反复迭代，可得 （8.3）
对式（8.3）取期望可得 （8.4）
随机游走时间序列的期望值与t无关。
假定Y0非随机，则
，因此 （8.5）
式（8.5）表明随机游走序列的方差是时 间 t 的线性函数，说明随机游走过程是非 平稳的。
表达时间序列前源自文库期关系的最一般模型为m 阶自回归模型AR（m）。
(1)一阶自回归模型 （8.13）
（2）包含常数项的模型 （8.14）
（3）包含常数项和时间趋势项的模型 （8.15）
DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，即
DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，