第八章 系统状态变量分析.
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
信号与线性系统分析 第八章 系统状态变量分析
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一阶微分方程组。 构成的一阶微分方程组。 这是由三个内部变量 、 和 构成的一阶微分方程组 若初始值u 已知， 若初始值 C(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据 0时的给定激 、 和 已知 则根据t≥t 就可惟一地确定在t≥t 励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在 0时的解 C(t)、iL1(t)和iL2(t)。 和 就可惟一地确定在 时的解u 、 和 。
信号与系统 电子教案
第八章 系统状态变量分析
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写 由输入二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 8.4 8.5
离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解
信号与系统 电子教案 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 外部法 输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： 只适用于单输入单输出系统， （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； 系统，将增加复杂性； 只研究系统输出与输入的外部特性， （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 内部法——状态变量法是用 一阶微分或差分方程组（ 变量的一阶微分或差分方程组 状态方程） 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 优点有： 提供系统的内部特性以便研究。 统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。 便于分析多输入多输出系统； （2）便于分析多输入多输出系统； 一阶方程组便于计算机数值求解。 （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。 于时变系统和非线性系统。
信号与系统---第八章 系统的状态变量分析
f1 k c11 ... c1n x1 k d11 ... d1 p f 2 k ... ... ... ... ... ... ... ... ... c ... c x k d ... d nn n np n1 n1 f k y k p n
则：x1 t 0 c x2 t c f t
x2 t
1 R RL RC x1 t C x2 t f t L L L y1 t x1 t RC x2 t RC f t y2 t 0 x2 t f t
第八章 系统的状态变量分析
绪论 §8.1 状态方程 一、状态变量与状态方程 二、状态方程的一般形式 §8.2 状态方程的建立 一、电路状态方程的列写 二、连续系统状态方程的建立 三、离散系统状态方程的建立 §8.3 连续系统状态的解 一、状态方程的时域解 二、状态方程的变换解
§8.4 离散系统状态方程的解 一、离散系统方程的建立 二、状态方程的时域解 三、状态方程的变换解 四、可控性和可测性
输出方程：
y1 ic x2 x3
y2 u r is x3 x1 y1 0 1 1 0 0 u s x2 i y 0 0 1 0 r s 2 x 3
矩阵形式： x t
用电容上电压，电感上电流来描述系统的状态。即系统在某一时刻t 的状态可由必须数目的一组变量 x1t0 , x2 t0 ,......xn t0 上例中的电容电 压电感电流来描述。在 t 0 时在一定的输入下可唯一的确定 xn t ，并可由t时刻状态和输入确定该 的任意时刻状态 x1t , x2 t ,...... 时刻的输出。xi t i 1,2,...... n 是描述系统状态变化的一组变量，叫状 态变量 由状态变量组成的变量方程叫状态方程 动态方程或系统方程 由状态变量和输入表示输出解的方程叫输出方程
第八章 系统的状态变量分析法
x1
-an-1 -an-2
b0
-am
-a2
-a1
-a0
Y(s)
输出方程：
y ( t ) b 0 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 . . b n . 1 x n b n x n
状态方程不变。 输出方程：
y(t)(b0bna0)x1(b1bna1)x2(b2bna2)x3 ...(bn1bnan1)xnbne(t)
. . .
x n 1 a n 1 x 1 x n ( b 1 a 1 b n ) e ( t) x n a 0 x 1 (b 0 a 0 b n )e (t)
称为Kalman形式2。
Ex. 1 写出系统的状态方程。
H(s)s36ss241s15
...
1
xn1
0
... an1 xn 1
x1 A
B
y(t)b0,b1,b2..b.m0..0. ...
C
xn
D0
当m=n时： bn
E(s) 1
S 1
xnS
1
xn-1
xm+1
x3
b2
S 1x2
b1 S
1
解：
x1 0 1 0 0
x20 0 1 x20e(t)
x3 5 116 x3 1
x1
y(t) 4
1
0
x2
x3
或：
x1 6 1 0 x1 0
C
xn
0 x1 0
0
x2
0
.. ...... e(t)
1
xn1
b1
信号与系统分析第八章 系统的状态变量分析
对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
第八章系统的状态变量分析
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
第5页/共47页
写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
第八章 系统的状态变量分析
二、由模拟框图建立状态方程
(1) 选取积分器的输出作为状态变量； 选取积分器的输出作为状态变量 积分器的输出作为状态变量； (2) 围绕加法器列写状态方程和输出方程。 围绕加法器列写状态方程 输出方程。 加法器列写状态方程和
三、由微分方程或系统函数建立状态方程
(1) 由微分方程或系统函数，画出相应的模拟框图。 由微分方程或系统函数，画出相应的模拟框图 模拟框图。 (2) 再由模拟框图建立系统的状态方程。 再由模拟框图建立系统的状态方程 模拟框图建立系统的状态方程。
b12 b 22 ⋅⋅⋅ bn2
d 12 d 22 ⋅⋅⋅ d p2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
b1 m b2m ⋅⋅⋅ b nm
d 1m d 2m ⋅⋅⋅ d pm
连续时间系统状态方程的建立
由电路建立状态方程 由模拟框图建立状态方程 由微分方程或系统函数建立状态方程 状态方程的规范型实现
b11 b 21 ⋅⋅⋅ bn1
b12 b22 ⋅⋅⋅ bn 2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
(n*m阶)
b1m x1 b2 m x 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ bnm xm
(m维)
一、连续时间系统状态方程的一般形式
& & q3 (t ) = 2.5q2 + q2 − 4q3 = 2q1 (t ) − 0.5q2 (t ) − 4q3 (t ) y (t ) = q3 (t )
例2 已知一个LTI系统的系统函数为 LTI系统
2s + 5 H (s) = 3 s + 9 s 2 + 26 s + 24
第八章 状态变量分析法
iL (t )
iL max
t 1
0
t 0
t
1
vc (t )
0
图8-5
0
1
R 10 时状态矢量 的轨迹图
8-2 连续时间系统状态方程的建立
8-2-1 连续时间系统状态方程的普遍形式
状 x1 (t ) g1 ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t )) 态 x2 (t ) g 2 ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t )) 方 程 xn (t ) g n ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t ))
些物理量可以用状态矢量的一个分量来表示。
(2) 这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于 描述多输入-多输出系统。 (3) 由于系统的状态方程都是一阶微分方程或一阶差 分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。
【例题8-2】如果在例题8-1中，取 L 2mH， 80pF ， C
vs (t ) (t ) 。并且 vc (0 ) 0 ，L (0 ) 0 。分析在 R 0 i
状态空间： 状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变
量来描述，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就
是n维空间。 状态轨迹： 在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称 为状态轨迹。
8-1-3 状态变量分析法的优点
用状态变量分析系统的优点在于： (1) 便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这
y (t ) C x (t ) D f (t )
第8章 系统的状态变量分析
+ annλn (t) + bn1x1(t) + bn2 x2 (t) +
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
第8章 系统的状态变量分析
x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
第八章_状态变量分析法
uC
( I 0 ,U 0 )
O
uC
( I 0 ,U 0 ) iL
uC
( I 0 ,U 0 )
O
iL
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。 （3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。
响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
1 ( t ) λ (t ) ( t ) 2
状态空间：
1 t t t 2 t n
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述
，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。 状态轨迹： 在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹 。
状态变量分析法定义： （1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。 （2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。 状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程 。由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于 计算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分 析，而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时 变电路的分析。
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)配套题库【名校考研真题】(下册)第8章 系统的状态变量分析【圣
第8章系统的状态变量分析一、分析计算题1．如图8-1（a）所示电路系统，R=1Ω，L=0.5H，C=8／5F。
（1）求电路的输入阻抗Z（s），并画出Z（s）的零极点分布图。
（2）在u c（0）=0，i L（0）=0的情况下，使用开关s接通电流源i s（t），且i s（t）=ε（t）A，用拉普拉斯变换求U c（t）。
（3）以电源i s（t）为输入，以u c（t）、i L（t）为状态变量建立方程，求A、B矩阵和状态转移矩阵e At。
[北京理工大学研]图8-1解：（1）画出零状态下的s域电路模型，如图8-1（b）所示。
Z（s）有一个零点两个极点其零极点分布图如图8-1（c）所示。
（2）取逆变换，得（3）列写状态方程由KCL得由KVL得代入数值并整理，得故矩阵求状态转移矩阵解得λ1=－1＋j0.5，λ2=－1－j0.5解上两式可得故2．下列是求系统响应y（n）的一段程序：列出相应的状态方程和输出方程。
[清华大学研]解：由程序可见，F和G为状态变量，分别设为λ1（n）和λ2（n），z为输入，Y为输出，分别表示为z（n）和y（n）。
则由程序得将式（1）代入式（3）得将式（1）代人式（2）得由式（5）（4）（1）可写出如下矩阵形式的状态方程和输出方程：3．如图8-2所示线性时不变离散因果系统的信号流图，f（k）为输入，y（k）为输出。
（1）判断该离散系统是否稳定?并说明理由。
（2）设状态变量x1、x2、x3如图中所标，试列出该系统的状态方程与输出方程。
[西安电子科技大学]图8-2解：（1）视原信号流图为两个子系统并联，设上半部分流图的系统函数为H 1（z），下半部分流图的系统函数为H 2（z）。
应用梅森公式得令H（z）分母多项式为A（z）＝z 3－3z 2＋7z－5，因1(1)()0z A A z ===，不大于零，由朱里准则判定该系统不稳定。
（2）观察流图，状态方程与输出方程分别为4．写出如图8-3所示系统的方程与输出方程。
信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析
其特征根 1 2 2 是二重根。
齐次解的函数表达式为：
yh (k) (C1k C2 )(2)k， k 0
在特征根是共轭复根的情况下，齐次解的形式可以是等 幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
假设 1, 2 e j 是一对共轭复根，则在齐次解中，相
应部分齐次解为： C1 cos(k) C2 sin(k) k
k
例3.2-5
信号与系统 第三章例题
例3.2-5 已知某线性时不变离散系统的差分方程如下式所示，
试写出其齐次解的函数形式。
y(k) 4y(k 1) 4y(k 2) e(k) 3e(k 1)
解
此差分方程所对应的特征方程为
2 4 4 0 ( 2)2 0
法。
离散系统的数学模型为差分方程，所谓离散系统的时域 分析，就是在时间域（简称时域）中求解差分方程，以及求 解系统的单位序列响应、阶跃响应等。
求解差分方程与求解微分方程有许多相似之处，其经典 解法的全解也可分为齐次解和特解。
离散系统按照响应的不同来源也可分为零输入响应和零 状态响应；求零状态响应也可利用卷积计算求解。
其特征根为： 1 2，2 3 则其齐次解可写为： yh (k) C1(2)k C2 (3)k， k 0
将 y(0) = 1， y(1) = 0，代入上式，可得
C1 C2 1 2C1 3C2
0
C1 C2
3 2
所以
yh (k) 3(2)k 2(3)k， k 0
解
此齐次差分方程所对应的特征方程为
4 23 22 2 1 0 ( 1)2 (2 1) 0
第八章系统的状态变量分析-
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压 v c (t ) 之间的关系列输入输出
模型
iRL(Lit)(t)CLdddvcdLi(tt()tt)vc(t)e(t)
(1) (2)
Ld C 2 d vc 2 (tt)Rd C d c(v t)tvc(t)e(t)
2. iL(t)vc(t)在 e(t)的作用下，是一些随时间变化的量，若知道
部特性。 2.适于单输入单输出系统。 3.经典线性理论的系统函数概念不能用来处理非线性，时变系统。 二.现代理论的优点 1.引入描述系统内部特性的状态变量，建立状态方程，可以揭示系统的内部
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1 (t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
x (t)
x1 (t)
x
2
(t
)
...
x n ( t )
= x1(t)...x.n.(t.).T
Байду номын сангаас
每两个状态都为状态向量的一个分量，或称坐标。
4、状态空间：以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状 态空间。任意状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。
例：若有两个状态 x1 (t) , x2 (t ) ，则状态向量
x(t)
x1 x2
(t) (t)
状态空间是由 x1 (t) , x2 (t) 为轴构成的二维空间。 5、状态轨迹：在状态空间中状态矢量随时间变化而描出的路径。
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d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R1 1 uC iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC u
8.1 状态变量与状态方程 一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程
R1 iL1 L1
a a
uC
iL2 L2 iC
R2
us1
u
us2
du C C iL 2 iL1 0 dt d iL1 R1iL1 L1 uC u S 1 0 dt d iL 2 L2 R2iL 2 u S 2 uC 0 dt
第八 章
8.1
系统状态变量分析
状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2
状态方程的建立
一、电路状态方程的列写 二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 8.4 8.5
离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解
第八章
系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
8.2 连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程
首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。
y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
写成矩阵形式： 状态方程
(t ) Ax(t ) Bf (t ) x 输出方程 y(t ) Cx(t Байду номын сангаас Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 对离散系统，类似
状态方程
x(k 1) Ax(k ) Bf (k ) 输出方程 y(k ) Cx(k ) Df (k )
R2
us1
uC
us2
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 u (t ) R 2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 系统的输出容易地由 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t ) 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程
状态与状态变量的定义
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。 在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及 输入的线性组合；（2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
对于一般的n阶多输入-多 输出LTI连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为
f1(t) f2(t) ┇ fp(t)
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇
yq(t)
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x