圆的基本性质PPT课件
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圆的基本性质课件
圆与直线的位置关系
判定直线与圆的位置关系：直线与圆有三种可能的位置关系，相离（直线与 圆没有交点），相切（直线与圆有一个切点），相交（直线与圆有两个交 点）。
圆与圆的位置关系
判定两个圆的位置关系：两个圆之间有四种可能的位置关系，相离（两个圆 没有交点），外切（两个圆相切于外面的一点），相交（两个圆相交于两个 不重合的交点），内切（一个圆位于另一个圆的内部且相切于内面）。
切线和弧长
切线是与圆相切且只有一个交点的直线。 弧长是弧上的一段弧的长度，它与整个周长之间的关系为弧长 = 圆心角度数 / 360° × 周长。
圆的判定定理
判定两个圆是否相交：两个圆的半径之和大于它们的圆心之间的距离即可。 判定一点与圆的位置关系：如果点到圆心的距离小于半径，则该点在圆的内部；如果点到圆心的距离等于半径， 则该点在圆上；如果点到圆心的距离大于半径，则该点在圆的外部。
圆的基本性质
欢迎来到本次PPT课件，我们将介绍圆的基本性质。让我们一起探索圆的定 义、周长和面积公式，圆心角和圆周角，切线和弧长，圆的判定定理，以及 圆与直线、圆与圆的位置关系。
圆的定义和元素
圆由一组等距离于圆心的点组成，圆心为圆的中心点。 元素有半径（圆心到圆上任一点的距离）和直径（通过圆心而且两端落在圆上的线段）。
圆的周长和面积公式
圆的周长是圆上的一段弧的长度，它与圆的直径之间的关系为周长 = 直径 ×半径之间的关系为面积 = 半径²× π。
圆心角和圆周角
圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。 圆周角是以圆上两点和圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。
浙教版数学九年级上册3.1 圆的基本性质课件(共26张PPT)
3、以O为圆心，OB为半径
作圆。
所以⊙O就是所求作的
圆。
现在你知道了怎样要 将一个如图所示的破损的 圆盘复原了吗？
方法: 寻求圆弧所在圆的圆心,
在圆弧上任取三点,作其 连线段的垂直平分线,其 交点即为圆心.
已知△ABC，用直尺和圆 规作出过点A、B、C的圆
A
O C
B
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形。
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条
边的垂直平分线的交点
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
BC （图三）
1、比较这三个三角形外心的位置， 你有何发现？
练一练
1.下列命题不正确的是 A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆. C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画 圆. 2.三角形的外心具有的性质是 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形外. D.外心在三角形内.
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动 物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使 这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施 工图.（A、B、C不在同一直线上）
问题： 车间工人要将一个
如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？
第1部分第6章第1节圆的基本性质PPT课件
圆周角定理及其推论(必考) 4．(2019 安徽，13，5 分)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30 °，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长 为 2．
【解析】本题考查圆周角定理和三角函数等，体现了逻辑推理和 数学运算的核心素养．如图，连接 OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝60°. 又∵OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，∴BC＝OB＝2.又∵∠CDB ＝90°，∠CBD＝45°，CD＝BC·sin45°＝2× 22＝ 2.
弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为 r、弦长为 a、 弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于 四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出 其余两个量．
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见 的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了 解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的延长 线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位： cm)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO1 的长度为 61 cm.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的⑳____内__对__角____， 如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到 弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问 题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常 结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在 一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦_平__分___这条弦，并且平分弦所对 的两条弧．
第22讲 圆的基本性质PPT课件
2．圆的有关性质 (1)圆的对称性： ①圆是____轴__对__称__图形，其对称轴是___过__圆__心__的__任__意__一__条__直__线_． ②圆是____中__心__对__称_图形，对称中心是_____圆__心___． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与本来 的图形重合．
圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对 的弧_____相__等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是___直__角____；90°的圆周角所对的弦 是____直__径__． (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔_____d_＝__r__； ②点P在圆内⇔_____d_<_r___； ③点P在圆外⇔_____d_>_r___．
△APB和△ADC中， ∠∠AABPBP＝＝∠∠AACDPC，， ∴△APB≌△ADC(AAS)， AP＝AD，
∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP
(3)当点P为 A︵B 的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如
下，如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E.过点C作CF⊥AB，垂足为
F.∵S△APB＝
【例4】 矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，P点在边AB上，且BP ＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断 正确的是( C ) A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内 【点评】 本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心 之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断．
解： (1)在△AEB和△DEC中，∠A＝∠D，
AE＝ED，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝
圆的基本性质.PPT
探究二
圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中， 圆心角、 弧、 弦之间的关系．
︵ 例 2 如图， 已知 AB 是⊙O 的直径， BC ︵ ︵ ＝ CD ＝ DE . ∠ BOC ＝ 40 °，那么∠AOE ＝ ( B ) A．40° B．60° C．80° D．120°
考点聚焦
归类探究
如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三 直角 三角形 角形是________
考点聚焦
归类探究
考点5
圆内接多边形
圆内接多边形 圆内接四边形 的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫 做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆
互补 圆内接四边形的对角_________
圆的基本性质
考 点 聚 焦
考点1 圆的有关概念及性质
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的端 点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 定义 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
考点聚焦
归类探究
弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
相等 ， 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________ 圆周角定理 一半 都等于该弧所对的圆心角的________
推论 1 推论 2 推论 3
相等 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______ 直角 ；90°的圆周角所 半圆(或直径)所对的圆周角是______ 直径 对的弦是______
考点聚焦
归类探究
归 类 探 究
探究一 垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)
全效优等生
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
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1.知道圆的概念以及圆中的弦、优弧、劣弧、圆 心角、圆周角等概念 ,并在图形中能识别它们 .
2.掌握弧、弦、圆心角的关系 ,能灵活运用有关特征 解决问题 .
3.掌握圆周角与圆心角的关系以及直径所对圆周角 的特征 .
4.理解圆的轴对称性和旋转对称性 ,并能用这个性质 解决有关问题 .
知识回顾
按图填空：
C
2. B
3. A
D
4
90 ° 72 °
360?
∠MON＝
n
6.（2005年湖北省宜昌市）如图，AB是⊙O的直径 ,BD是 ⊙O的弦，延长 BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与 点F.
（1）AB与AC的大小有什么关系 ?为什么?
（2）按角的大小分类 , 请你判断△ ABC属于哪一类三 角形，并说明理由 .
A
O
F
B DC
本单元主要应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周 角关系进行计算或证明，重点要掌握半径、弦心距及 弦的一半构成的直角三角形进行计算 ,要注意本单元有 关性质在解题中的灵活运用 ,还要注意分类思想在解题 中的运用 ,
1.(2005年河南省3分)如图，在⊙ O中，弦 AB＝
AC＝5cm， BC＝8cm，则⊙ O的半径等于
(1) 如果CD⊥AB,AB为直径, A 那么 CH=DH,A?C=A?D,B?C=B?D
（2）如果 CH=DH ，AB为直径， 那么 AB⊥CD,AC? =A?D,B?C=B?D
（3）如果AB ⊥ CD,CH=DH ，那 么 AB过圆心O,A?C=A?D,?BC=?BD （4）如果A? C=A?D,AB 为直径， 那么 AB⊥CD,CH=DH,B?C=B?D
25
____6____cm.
20．(2005年河南省7分)空投物资用的某种降落伞的轴截面如 图所示， ? ABG 是等边三角形， C、D 是以AB 为直径的 半圆O 的两个三等分点， CG 、DG 分别交 AB于点 E、 F ，试判断点 E 、F 分别位于所在线段的什么位置？并 证明你的结论（证明一种情况即可）
C
. HB
O
D
知识回顾
按图填空：
D
(1).∠AOB=__2_ ∠ACB
A
_1 _
(2).∠ACB=__2___ ∠AOB
(3).延长BO，则∠DCB=_9_0___ °
(4). 若∠DCB=90°，则BD为直__径___
C
.
O
B
C
图1
15
2
3.6
A
B
?
O C
D
B
A
E
O
P
F
C
D
B A
O
Pபைடு நூலகம்
C
D
1. B
2.掌握弧、弦、圆心角的关系 ,能灵活运用有关特征 解决问题 .
3.掌握圆周角与圆心角的关系以及直径所对圆周角 的特征 .
4.理解圆的轴对称性和旋转对称性 ,并能用这个性质 解决有关问题 .
知识回顾
按图填空：
C
2. B
3. A
D
4
90 ° 72 °
360?
∠MON＝
n
6.（2005年湖北省宜昌市）如图，AB是⊙O的直径 ,BD是 ⊙O的弦，延长 BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与 点F.
（1）AB与AC的大小有什么关系 ?为什么?
（2）按角的大小分类 , 请你判断△ ABC属于哪一类三 角形，并说明理由 .
A
O
F
B DC
本单元主要应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周 角关系进行计算或证明，重点要掌握半径、弦心距及 弦的一半构成的直角三角形进行计算 ,要注意本单元有 关性质在解题中的灵活运用 ,还要注意分类思想在解题 中的运用 ,
1.(2005年河南省3分)如图，在⊙ O中，弦 AB＝
AC＝5cm， BC＝8cm，则⊙ O的半径等于
(1) 如果CD⊥AB,AB为直径, A 那么 CH=DH,A?C=A?D,B?C=B?D
（2）如果 CH=DH ，AB为直径， 那么 AB⊥CD,AC? =A?D,B?C=B?D
（3）如果AB ⊥ CD,CH=DH ，那 么 AB过圆心O,A?C=A?D,?BC=?BD （4）如果A? C=A?D,AB 为直径， 那么 AB⊥CD,CH=DH,B?C=B?D
25
____6____cm.
20．(2005年河南省7分)空投物资用的某种降落伞的轴截面如 图所示， ? ABG 是等边三角形， C、D 是以AB 为直径的 半圆O 的两个三等分点， CG 、DG 分别交 AB于点 E、 F ，试判断点 E 、F 分别位于所在线段的什么位置？并 证明你的结论（证明一种情况即可）
C
. HB
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知识回顾
按图填空：
D
(1).∠AOB=__2_ ∠ACB
A
_1 _
(2).∠ACB=__2___ ∠AOB
(3).延长BO，则∠DCB=_9_0___ °
(4). 若∠DCB=90°，则BD为直__径___
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图1
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