传热学第三章-非稳态导热-1
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传热学-第三章 非稳态热传导
(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
传热学_第三章
传
热
学
第三章 非稳态导热的分析与计算
§3-1 非稳态导热过程分析 §3-2 集总参数系统分析 (零维问题) 零维问题) §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解 §3-4 二维及三维非稳态导热问题的求解
2010-10-6
1
R
青岛科技大学热能与动力工程
§3-1 非稳态导热过程分析 一、非稳态导热过程及其特点
θ ＝e4.6 = 0.01 当τ=4τs时 θ0 工程上认为τ= 4τs时导热体已 达到热平衡状态
2010-10-6
θ ＝e1 = 0.386 θ0
θ/θ0 θ 1 0.386 0 1 τ/τs τ
11
R
青岛科技大学热能与动力工程
三、集总参数系统的判定
θ =e θ0
判定依据
τ hA ρcV
=e
t 2t =a 2 τ x
θ = t(x,τ ) t∞ —过余温度
θ 2θ =a 2 τ x
τ = 0, θ = t0-t∞ =θ0
x = 0, θ x = 0 x = δ , -λ θ x = hθ x=δ
2010-10-6 14
R
青岛科技大学热能与动力工程
采用分离变量法求解：取 采用分离变量法求解： θ 2θ =a 2 τ x
导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热 温度随时间变化，热流也随时间变化 也随时间变化。 温度随时间变化，热流也随时间变化。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态， 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ) 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖 或停暖过程中墙内与室内空气温度 非稳态导热的分类 非稳态导热的分类：周期性和非周期性 分类： 周期性非稳态导热： 周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）： ）：物体的温度随时间不 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， ），在经历相当 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度， 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到 热平衡
热
学
第三章 非稳态导热的分析与计算
§3-1 非稳态导热过程分析 §3-2 集总参数系统分析 (零维问题) 零维问题) §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解 §3-4 二维及三维非稳态导热问题的求解
2010-10-6
1
R
青岛科技大学热能与动力工程
§3-1 非稳态导热过程分析 一、非稳态导热过程及其特点
θ ＝e4.6 = 0.01 当τ=4τs时 θ0 工程上认为τ= 4τs时导热体已 达到热平衡状态
2010-10-6
θ ＝e1 = 0.386 θ0
θ/θ0 θ 1 0.386 0 1 τ/τs τ
11
R
青岛科技大学热能与动力工程
三、集总参数系统的判定
θ =e θ0
判定依据
τ hA ρcV
=e
t 2t =a 2 τ x
θ = t(x,τ ) t∞ —过余温度
θ 2θ =a 2 τ x
τ = 0, θ = t0-t∞ =θ0
x = 0, θ x = 0 x = δ , -λ θ x = hθ x=δ
2010-10-6 14
R
青岛科技大学热能与动力工程
采用分离变量法求解：取 采用分离变量法求解： θ 2θ =a 2 τ x
导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热 温度随时间变化，热流也随时间变化 也随时间变化。 温度随时间变化，热流也随时间变化。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态， 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ) 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖 或停暖过程中墙内与室内空气温度 非稳态导热的分类 非稳态导热的分类：周期性和非周期性 分类： 周期性非稳态导热： 周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）： ）：物体的温度随时间不 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， ），在经历相当 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度， 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到 热平衡
传热学第3章非稳态导热
•* - 30 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
第三章 非稳态导热问题的分析解
（b） （c）
T = T0 τ = 0，
T − T0 ，则方程简化为 T f − T0
ρ C pV d θ +θ =1 αS dτ
这是一个一阶线性非齐次方程，其所对应的齐次方程为
（d）
ρ C pV d θ +θ = 0 αS dτ
方程（d）的一般解应为（e）的一般解和（d）的特解之和。 （e）的一般解为
ρ C pV
初始条件为 令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a） （b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c） ，求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
1
αS ρ C pV
∫
∫
r
S
∂ ( ρ C pT ) ∂τ
v
dv =
∫ λ gradT
s
r ⋅ n ds + ∫ q v dv
v
（1—22）
其含义是，物体内任意一个区域 v，它的封闭表面 s，单位时间通过封闭表面 S 传入的热量
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
传热学第三章-非稳态导热-(1)
随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等,这一温度变 化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。
11
ln(/0)
Fo > 0.2时，任一点过余温度与
中心过余温度m之比为
正规状况阶段
x/=0
(x, ) m ( )
cos(1
)
x
（e）
x/=1
Fo
0.2
即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数) 有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布 如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入 正规状态或充分发展阶段。
将无穷个解叠加，得：
(x, ) ean2 [ An cos(n x)] n1
An可利用初始条件 0, 求t0-t取 0
An
0
n
2sin( n ) sin( )n cos(n )
7
于是，得到解的最后形式为：
(x,
)
0
n 1
n
2sin( n ) sin( n ) cos(n
)
cos(n x) exp(an2
1 0
这里:
1 V
V (t t )dV
是 时刻物体的平均过余温度。 9
3-3-2 非稳态导热的正规状况阶段
当Fo > 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故 当Fo > 0.2时,由:
(x, 0
)
n 1
n
2sin(n ) sin n cos n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
围环境温度，所以 D 必须为负值，否则物体温度将无
穷增大。
令
D 2
则有
1 aT
dd以T 及 2
11
ln(/0)
Fo > 0.2时，任一点过余温度与
中心过余温度m之比为
正规状况阶段
x/=0
(x, ) m ( )
cos(1
)
x
（e）
x/=1
Fo
0.2
即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数) 有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布 如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入 正规状态或充分发展阶段。
将无穷个解叠加，得：
(x, ) ean2 [ An cos(n x)] n1
An可利用初始条件 0, 求t0-t取 0
An
0
n
2sin( n ) sin( )n cos(n )
7
于是，得到解的最后形式为：
(x,
)
0
n 1
n
2sin( n ) sin( n ) cos(n
)
cos(n x) exp(an2
1 0
这里:
1 V
V (t t )dV
是 时刻物体的平均过余温度。 9
3-3-2 非稳态导热的正规状况阶段
当Fo > 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故 当Fo > 0.2时,由:
(x, 0
)
n 1
n
2sin(n ) sin n cos n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
围环境温度，所以 D 必须为负值，否则物体温度将无
穷增大。
令
D 2
则有
1 aT
dd以T 及 2
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
传热学课件 第3章-非稳态导热分析解法
2
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡。 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值． 着重讨论瞬态非稳态导热。
不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物
性，此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。 环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即 物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶 段。可以用初等函数描述。 二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别 的两个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
V 特征长度 lc A
exp( Bi, Fo) 0
0
Bi Fo
应用集中参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数
1、导热量计算
瞬态热流量：
dt hA Φ cV cV (t0 t ) e d cV (t0 t )hAe
1968s 32.8min
§3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解 3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化 3.3.3 非稳态导热正规状况阶段工程计算方法 3.3.4 分析解应用范围的推广
对厚为2δ的
无限大平板 对半径为R的无 限长圆柱 对半径为R的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
Biv Bi Bi Biv 2 Bi Biv 3
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
传热学-第三章
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制 温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则 物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
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的温度。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
t1
t1
t1
t1
t0
t0
t0
t0
ABCD ABCD ABCD ABCD
(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
3-1-2 两个阶段：
包括非正规状况阶段（初始状况阶段）和正 t1
规状况阶段。
非正规状况阶段（初始状况阶段）：在 = t0 3时刻之前的阶段，物体内的温度分布受初
始温度分布的影响较大。必须用无穷级数描
第三章 非稳态导热
内容包括： • §3-1 非稳态导热过程 • §3-2 集总参数法 • §3-3 一维非稳态导热的分析解
§3-1 非稳态导热的基本概念
定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳 态导热。 特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
述
=3
正规状况阶段：在 = 3 时刻之后，初始温度分布的
影响已经消失，物体内的温度分布主要受边界条件的
影响，可以用初等函数描述。
3-1-3 热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温度变化,要积聚或消 耗热量，同一时刻流过不同界面的热流量是不同的。通 过截面A的热流量是从最高值不断减小，在其它各截面 的温度开始升高之前通过此截面的热流量是零，温度开 始升高之后，热流量才开始增加。见下图说明。
0
x
远大于平板内的导热热阻 / , 即 1/ h /
从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物 体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们 称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统 或物体）。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻 1/ h
远大于平板内的导热热阻 / , 即
1/ h /
(b) (c) t
从曲线上看，物体内部的温度几 t∞
乎是均匀的，这也就说物体的温
(a)
度场仅仅是时间的函数，而与空
间坐标无关。我们称这样的非稳 态导热系统为集总参数系统（一
x
0
x
个等温系统或物体）。
曲线（b）表示平板外环境的换热热阻 1/ h 相当于平
板内的导热热阻 / , 即 1/ h /
下图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三 种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）
(b) (c) t t∞
(a)
x
0
x
此图的实质，是表明在第三类边界条
(b) (c) t
件下可能的三种温度分布。
t∞
按照传热关系式 q t tw tw t (a)
1h
可作一近似的分析。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻1/ h x
ΔΕ
Qc
cV d hA d
ρ, c, V, t0
h, t
初始条件为：
(0) t0 t 0
分离变量，得：
d hA d cV
A
ΔΕ
ρ, c, V, t0
Qc α, t0
积分得：
非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热
过程，物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低 （冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于 周围介质温度，最终达到热平衡。瞬态导热过程中物体温度 分布的变化可划分为三个阶段： 起始阶段：特点是物体内各处温度随时间的变化率一样，温度 变化逐渐从边界面逐渐深入到物体内部； 正常阶段：物体内各处温度随时间的变化率具有一定的规律； 稳态阶段：物体各处的温度已近似地达到了新的稳态。
§3-2 集总参数法
3若-2忽-1 略定义物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有关，
即 t f ( )，与空间位置无关，因此，也称为零维问
题。
Bi / h
1/ h
以下几种情况Bi很小，可用集总参数法求解：
（1）导热系数相当大；
（2）几何尺寸很小；
例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅 炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热可分为
周期性非稳态导热 非周期性非稳态导热（瞬态导热）
周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过
程，物体温度按一定的周期发生变化。在周期性非稳态导热 的物体中，一方面，物体内各处的温度按一定的振幅随时间 周期性地波动；另一方面，同一时刻物体内的温度分布也是 周期性波动。
t1
t1
t1
t1
t0
t0
t0
t0
ABCD ABCD ABCD ABCD
(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4
t1
tA
tB
t2
tC
t0
tD
3
A
BC D
3
边界条件对系统温度分布的影响是很显著的,这里以一维 非3稳-1-态4 导边热界过条程件（对也温度就分是布大的平影板响的加热或冷却过程）为例 来加以说明。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
t1
t1
t1
t1
t0
t0
t0
t0
ABCD ABCD ABCD ABCD
(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
3-1-2 两个阶段：
包括非正规状况阶段（初始状况阶段）和正 t1
规状况阶段。
非正规状况阶段（初始状况阶段）：在 = t0 3时刻之前的阶段，物体内的温度分布受初
始温度分布的影响较大。必须用无穷级数描
第三章 非稳态导热
内容包括： • §3-1 非稳态导热过程 • §3-2 集总参数法 • §3-3 一维非稳态导热的分析解
§3-1 非稳态导热的基本概念
定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳 态导热。 特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
述
=3
正规状况阶段：在 = 3 时刻之后，初始温度分布的
影响已经消失，物体内的温度分布主要受边界条件的
影响，可以用初等函数描述。
3-1-3 热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温度变化,要积聚或消 耗热量，同一时刻流过不同界面的热流量是不同的。通 过截面A的热流量是从最高值不断减小，在其它各截面 的温度开始升高之前通过此截面的热流量是零，温度开 始升高之后，热流量才开始增加。见下图说明。
0
x
远大于平板内的导热热阻 / , 即 1/ h /
从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物 体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们 称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统 或物体）。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻 1/ h
远大于平板内的导热热阻 / , 即
1/ h /
(b) (c) t
从曲线上看，物体内部的温度几 t∞
乎是均匀的，这也就说物体的温
(a)
度场仅仅是时间的函数，而与空
间坐标无关。我们称这样的非稳 态导热系统为集总参数系统（一
x
0
x
个等温系统或物体）。
曲线（b）表示平板外环境的换热热阻 1/ h 相当于平
板内的导热热阻 / , 即 1/ h /
下图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三 种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）
(b) (c) t t∞
(a)
x
0
x
此图的实质，是表明在第三类边界条
(b) (c) t
件下可能的三种温度分布。
t∞
按照传热关系式 q t tw tw t (a)
1h
可作一近似的分析。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻1/ h x
ΔΕ
Qc
cV d hA d
ρ, c, V, t0
h, t
初始条件为：
(0) t0 t 0
分离变量，得：
d hA d cV
A
ΔΕ
ρ, c, V, t0
Qc α, t0
积分得：
非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热
过程，物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低 （冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于 周围介质温度，最终达到热平衡。瞬态导热过程中物体温度 分布的变化可划分为三个阶段： 起始阶段：特点是物体内各处温度随时间的变化率一样，温度 变化逐渐从边界面逐渐深入到物体内部； 正常阶段：物体内各处温度随时间的变化率具有一定的规律； 稳态阶段：物体各处的温度已近似地达到了新的稳态。
§3-2 集总参数法
3若-2忽-1 略定义物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有关，
即 t f ( )，与空间位置无关，因此，也称为零维问
题。
Bi / h
1/ h
以下几种情况Bi很小，可用集总参数法求解：
（1）导热系数相当大；
（2）几何尺寸很小；
例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅 炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热可分为
周期性非稳态导热 非周期性非稳态导热（瞬态导热）
周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过
程，物体温度按一定的周期发生变化。在周期性非稳态导热 的物体中，一方面，物体内各处的温度按一定的振幅随时间 周期性地波动；另一方面，同一时刻物体内的温度分布也是 周期性波动。
t1
t1
t1
t1
t0
t0
t0
t0
ABCD ABCD ABCD ABCD
(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4
t1
tA
tB
t2
tC
t0
tD
3
A
BC D
3
边界条件对系统温度分布的影响是很显著的,这里以一维 非3稳-1-态4 导边热界过条程件（对也温度就分是布大的平影板响的加热或冷却过程）为例 来加以说明。