非稳态传热

2sin 1 ( x, ) x cos( 1 )e 0 1 sin 1 cos 1
两边取对数：
2 1 F0
(9 63)
Bi和位置x/δ 的函数
令 m 2 a 1 2

表明：Fo≥0.2时（τ*≥0.2δ2/a）平壁内所有各点过余温 度的对数都随时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都相等 对无限大平板，当 F0 0.2 取级数的首项，误差小于1%
解的应 用范围
A 书中的图仅适用恒温介质的第三类边界条件或第 一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2 B 对于F0小于0.2，仍然需要通过下式计算得到
a 2sin n x 2 ) ( x, ) 0 cos( n )exp( n n 1 sin cos 2 n n n
数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板 的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
上式化为：
( x, ) t ( x, ) t
大家好，我 们见过面了
2 a 2 0 x , 0 (9 58) x 0, t0 t 0 , 0 x x 0
h
1 2.59 Bi
8 15 . 7 10 1200 傅立叶数： Fo 1.204 2 2 (0.025/ 2)
a
查 得：
m 0.73 0
中心温度：
tm t0 0.70 250 0.7 (20 250) 89 ℃
3.集总参数法的简化分析
内、外表面穿过的热流 密度变化
瞬态非稳态导热特点
(a).各时间温度分布为一族曲线,各点温度变化也是一族曲线。 (b).靠近热源处升温最快,由近及远,升温幅度逐渐降低。 (c). 两个不同的阶段 非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 物体内温度变化速率不 同,温度分布主要受初始 温度分布控制 物体内温度变化速率相 同,温度分布主要取决于 边界条件及物性
可以忽略导热热阻
Bi→0 是一个极限情况，工程上把Bi<0.1看作是接近这种极限 的判据。Bi<0.1时，平壁中心温度与表面温度的差别≤5%，接 近均匀一致。——可用集总参数法求解
3、 正常情况阶段的温度实用计算方法－（诺谟图）
总是用级数计算有点烦，能不能来点简单的？ 可以，看我的
以无限大平板为例，Fo>0.2 时，取其级数首项即可
2sin 1 ( x, ) x x 12 F0 cos( 1 ) f ( Fo, Bi, ) (9 63) e 0 1 sin 1 cos 1
3、 正常情况阶段的温度实用计算方法－（诺谟图）
2sin 1 ( x, ) x x 12 F0 cos( 1 ) f ( Fo, Bi, ) (9 63) e 0 1 sin 1 cos 1
x 0
0
h
x
x
0
x
解的结果
a 2sin n ( x, ) x 2 ) cos( n )exp( n 2 n 1 sin cos 0 n n n
βn 为下面方程的根:
*
ctg n
是曲线族: 与直线:
(d). 各等温面上传导的热流密度不再相等 (即使是最简单 的平壁),为什么?
B. 周期性非稳态导热
在周期性变化的边界条件下,物体内温度及热流量随时间周期变化
室外空 气温度
某时刻 温度 特点： 1）同一时刻， 周期性波动； 2）不同时刻， 同一位置 周期性波动
夏季 空调 房间 墙体 温度
墙内最 高温度 平均 温度 室外墙 面温度 墙内最 低温度

t


t(x,τ)

2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n

2
-δ
0
δ x x x+dx
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
n
Bi

Bi
y1 ctg
y2
交点
曲线族与直线的交点有多少 个? 方程的根β n有多少个? 计算时取多少个?
解的结果
a 2sin n ( x, ) x 2 ) cos( n )exp( n 2 n 1 sin cos 0 n n n
和球体吸热或放热，它们内部将产生温度差，且温度分布曲
线将随着时间变化。内部发生非稳态导热过程，加热（冷却） 开始。 分别建立圆柱坐标系、球体坐标系，原点在柱体、球体中心。 圆柱体、球体中温度沿半径变化 ，是沿半径 r 的一维非稳态 导热。
令过余温度: (r , ) t (r , ) t f 类似于大平壁非稳态导热,同样有:
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi
零维问题。
，温度分布只与时间有 0.1 时，
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
内表面 外
内
外表面
各个时刻墙体内温度变化
墙内各个地点温度变化
内、外表面穿过的热流 密度变化
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程
内表面 外 二者的差值， 为墙本身温度的 升高提供的热量
内
外表面
各个时刻墙体内温度变化
墙内各个地点温度变化
采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变 采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并 稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内 墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢 升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等
第九章
导热
第三节 非稳态导热
0.非稳态导热的基本概念
(1) 非稳态导热的定义 .
t f ( x, y, z, )
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律wenku.baidu.com
非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
1. 一维非稳态导热问题的分析解
(1).无限大平壁冷却或加热的分析解简介
物理问题描述
厚度2δ 的无限大平壁， λ、a为已知常数,无内热源； τ=0时温度为t0;突然把两侧介 质温度降低为t ∞ 并保持不变,壁 中温度下降，冷却开始。壁表 面与介质之间的表面传热系数 为h。 建立坐标系，Ｘ轴垂直壁面，原点在壁面中心面上。壁左 右两表面坐标＋δ、－δ。因两边对称，只研究半块平壁。

2
由上式可知:
0
f ( Bi, Fo)
图9-31 P214
圆柱体、球体在第三类边界条件下非稳态导热
圆柱体、球体半径R ,λ=const, a=const,
0
τ =0,t=t0 ；τ ＞ 0，与流体tf 接触，壁面与流体间的表面 传热系数 h，t0 ≠t f ，外表面与流体间对流换热将使圆柱体
2）控制方程式改为：
d
hA d Vc
3）解方程
d
分离变量
hA d Vc
积分
hA 0 Vc 0 d

d

hA ln 0 Vc

t t e 0 t0 t

hA Vc
过余温度比
其中的指数：
以物体被冷却时（t0>t∞ ）为例,列能量守恒方程，为：
hA(t t )d - Vcdt
取物体内部和表面各 点温度均匀一致
dt hA(t t ) - Vc d
为什么 取负号?
1）引入过余温度: 则有:
( ) t ( ) t
控制方程 初始条件
d hA - Vc d 0 t0 t 0
hA hV A2 h(V A) a 2 cV A c V (V A)2
27
hA h(V A) h(V A) a cV c (V A)2 (V A)2
V 令 lc 则有： A
L―定型尺寸
h(V A)


hL

Bi
a a Fo 2 2 (V A) L
β取决于Bi。 傅里叶数—无量纲时间 无量纲距离 毕渥准则数 该公式是在第三类边界条件下无限大平壁冷却时得到的解， 保持过余温度的定义不变，该公式对于加热过程仍是正确的。 ---计算时，只要满足这种情况，可以直接代入使用 主要用来求解某物体突然进入某一高温或低温环境的问题
*
分析解的讨论
1、Fo≥0.2时无量纲温度可以表达为：
线算图
见图9-29
θ m-平壁中心过余温度
以上两式相比： ( x, ) cos( 1 x ) f ( Bi, x ) m ( ) 绘制其线算图 见图9-30 因此，平板中任一点的温度为
( x, ) ( x, ) m 0 m 0
可见P212和P213 的图9-29与9-30
θ -球、圆柱中心过余温度，
仍然令:
(r , ) r f ( Bi, Fo, ) 0 R
θm= θ（0，τ）
m
(r , ) (r , ) m , 0 m 0
m f ( Bi, Fo), 查图(9-32) 0 (r , ) r 但是: f ( Bi, ), 查图(9-33) m R
2、Bi数对温度分布的影响
当Bi→≦ 时，意味着表面传热系 数h→≦（Bi=hδ/λ），对流换热 热阻趋于0。平壁的表面温度几乎 从冷却过程一开始，就立刻降到流 体温度t≦。 可以忽略对流换热热阻
当Bi→0时，意味着物体的热导率 很大、导热热阻→0（Bi=hδ/λ ）。 物体内的温度分布趋于均匀一致。
(2) 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热 瞬态非稳态导热
A.
瞬态非稳态导热
瞬态非稳态导热：从某一初始状态起，物体内温度随时间不断升高（加热） 或降低（冷却），在经历了相当长时间后，物体内温度趋于稳定，重新与 外界达到热平衡。 瞬态非稳态导热就是指这一温度持续变化的导热过程。物体内温度重 新趋于稳定时，瞬态非稳态导热也结束。 采暖房屋外墙墙内温度变化过程
Φ τ 表示单位面积平壁在经过 小时所放出(或吸收)热量
c(t0 t ( x, ))dv (dv 1 dx) c(t0 t t ( x, ) t )dx c ( 0 ( x, )) dx
2 2sin 2 n ( n F0 ) 2 c 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
在温度为250℃烘箱内烤洋山芋，洋山芋可看成5㎝的球。初始温度
是20℃。其物性可取50℃水的值，试估算20min后洋山芋中心的温度。山
芋与环境间的表面传热系数20 W/(m2· K)。 解：查附录14：材料的导热系数0.648 W/(M2· K)，a=15.7×10-8(m2/s) 毕渥数：
20 0.025 / 2 Bi 0.385 0.648

2) 热量计算
2sin n x 2 a ) exp( ( x, ) 0 cos( n ) n 2 n 1 sin cos n n n

单位面积平壁非稳态导热所能传递的最大热量
0 cV (t0 t f ) 2 c0