空间向量
高考数学常考知识点之空间向量
空间向量1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a +=+=b a -=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB=+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++8 空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A aO B b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥. 9．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . 10．向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅ ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB。
高中数学：空间向量
空间向量一、向量的基本概念与运算1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0．3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ．4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a5.方向：有向线段的方向表示向量的方向．6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线．7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记为a b ∥．8.向量运算：与平面向量类似；二、空间向量的基本定理1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =．2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+．4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．三、向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ⋅=〈〉，空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ⋅=〈〉，；（2）0ab a b ⇔⋅=；（3）2||a a a =⋅；（4）a b a b ⋅||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律：1）()()a b a b λλ⋅=⋅；（2）a b b a ⋅=⋅；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．四、空间向量的直角坐标运算前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底．空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，，． 1.坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，．若123()a a a a =，，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，；123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．2. 空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =，，，123()b b b b =，，， a b ∥（0b ≠）a b λ⇔=112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；11223300ab a b a b a b a b ⇔⋅=⇔++=．两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：2212||a a a a a a =⋅=++21||b b b b =⋅=+ 21cos ||||a b a b a b a ⋅〈〉==，．五、位置向量定义：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =，则点A 在空间的位置就被向量a 所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量． 由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．1.给定一个定点A 和一个向量a ，O 为空间中任一确定的点，B 为直线l 上的点， 则P 在为过点A 且平行于向量a 的直线l 上 ⇔ AP ta = ① ⇔ OP OA ta =+ ② ⇔ (1)OP t OA tOB =-+ ③这三个式子都称为直线l 的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量． 2.设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔∥；12l l 12v v ⇔．若向量1v 和2v 是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v ，则l α∥或l 在α内⇔存在两个实数x y ，，使12v xv yv =+．六、异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点O 分别做异面直线a 与b 的平行线'a 与'b ，那么直线'a 与'b 所成的不大于90︒的角，叫做异面直线a 与b 所成的角．2.异面直线所成角的向量公式：两条异面直线a 与b 的方向向量m 与n ，当m 与n 的夹角不大于90︒，异面直线a b ，所成的角θ与m 和n 的夹角相等；当m 与n 的夹角大于90︒，异面直线a b ，所成的角与m 和n 的夹角互补．所以直线a b ，所成的角θ的余弦值为m n m n⋅．七、直线和平面所成的角1.定义：平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．2.直线与平面所成角的向量公式：直线a 的方向向量与平面α的法向量分别为m 和n ，若m 与n 的夹角不大于90︒，直线a 与平面α所成的角等于m 与n 夹角的余角，若m 与n 的夹角大于90︒，直线a 与平面所成的角等于m 与n 夹角的补角的余角，所以直线a 与平面α所成的角θ的正弦值为m n m n⋅．八、平面和平面所成的角1.定义：过二面角l αβ--棱上任意一点O 做垂直于棱l 的夹角与平面αβ，的交线分别为OA OB ，，那么AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角．2.平面与平面所成角的向量公式：平面α与β的法向量分别为m 和n ，则二面角与m n ，的夹角θ相等或互补．当二面角l αβ--大于90︒时，则二面角arccosm n m nθπ⋅=-；当二面角l αβ--不大于90︒时，则二面角arccos m n m nθ⋅=；一．选择题（共15小题）1．（2018•奉贤区二模）设直线l 的一个方向向量d →=（6，2，3），平面α的一个法向量n →=（﹣1，3，0），则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行2．（2018•梅州二模）过正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 作平面α，使棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面α所成角都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．（2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．3√34B ．2√33C ．3√24D ．√324．（2018•浙江模拟）在三棱锥O ﹣ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →=（ ） A ．12OA →+12OC →﹣OB →B ．12OA →+12OB →+OC →C ．12OB →+12OC →﹣OA →D ．12OB →+12OC →+OA →5．（2018•全国）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A．14B．13C．12D．236．（2018•城关区校级模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线A1D上的一点，过M且与平面A1ACC1平行的平面与对角线CD1交于点N，则|MN|的最小值为（）A．13B．√3C．√33D．2√337．（2018•金华模拟）如图，若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD 的距离与到点A的距离之比为正常数λ，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A ﹣BC﹣D平面角的余弦值为（）A ．λB ．√1−λ2C ．1λD ．√1−1λ28．（2018•西城区一模）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，BC=1，点P 在侧面A 1ABB 1上．满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ）A ．不存在B ．恰有1个C ．恰有2个D ．有无数个9．（2017秋•和平区期末）已知向量a →=（2，4，5），b →=（3，x ，y ），分别是直线l 1、l 2 的方向向量，若l 1∥l 2，则（ ） A ．x=6，y=15B ．x=3，y=15C ．x=83，y=103D ．x=6，y=15210．（2018•新疆一模）在空间中，与边长均为3cm 的△ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．811．（2018•淮南二模）在平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB=√6，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A′C与平面BCD所成角最大时的正弦值为（）A．√55B．√33C．12D．√2212．（2018•浙江模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD 所成角的余弦值是（）A．13B．√33C．23D．√6313．（2018•桃城区校级模拟）某四棱锥的三视图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A ．2√55B ．√52C ．83D ．3214．（2018•赣州二模）已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，SB ⊥BC ，且SA=SB=BC=1，Q 是三棱锥S ﹣ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离最大值为（ ） A ．√36B ．√32C ．2√33D ．√315．（2018•资阳模拟）如图，二面角α﹣BC ﹣β的大小为π6，AB ⊂α，CD ⊂β，且AB =√2，BC =CD =2，∠ABC =π4，∠BCD =π3，则AD 与β所成角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π6D ．π12。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。
下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。
2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。
(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。
(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。
(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。
3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。
(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。
(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。
(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。
4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。
(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。
(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。
5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。
(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。
(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。
6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。
(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。
(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。
7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。
(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。
(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。
数学空间向量
数学空间向量（原创版）目录一、引言二、空间向量的基本概念1.空间向量的定义2.空间向量的表示方法三、空间向量的运算1.向量加法2.向量减法3.向量数乘4.向量点积四、空间向量的应用1.几何学2.物理学3.计算机图形学五、总结正文一、引言数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的基础科学。
在数学中，空间向量是一个非常重要的概念，它在几何学、物理学以及计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的基本概念、运算及其应用，帮助大家更好地理解和掌握空间向量这一数学知识。
二、空间向量的基本概念1.空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的有向线段，它可以表示一个物体在空间中的位置和方向。
空间向量通常用一个有序的三元组 (a,b,c) 来表示，其中 a、b、c 分别代表线段在 x、y、z 三个方向上的分量。
2.空间向量的表示方法空间向量可以用坐标表示，即将向量的起点放在原点，然后将向量的三个分量作为坐标轴的坐标，这样就可以得到一个空间向量的坐标表示。
例如，一个向量在 x、y、z 三个方向上的分量分别为 3、4、5，那么它的坐标表示就是 (3, 4, 5)。
三、空间向量的运算空间向量的运算主要包括向量加法、向量减法、向量数乘和向量点积。
1.向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，从而得到一个新的向量。
例如，对于两个向量 A = (a1, a2, a3) 和 B = (b1, b2, b3)，它们的和向量 C = A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2.向量减法向量减法是指将两个向量的对应分量相减，从而得到一个新的向量。
例如，对于两个向量 A = (a1, a2, a3) 和 B = (b1, b2, b3)，它们的差向量 C = A - B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)。
3.向量数乘向量数乘是指将一个向量与一个标量相乘，从而得到一个新的向量。
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
空间向量的基本性质
B1
A1
C1 D1
小结：证明空间两向量 a、b 垂直，可先选定
一组不共面的向量为基B 底，去表示这A两个向量，
再证明 abC 0
D
2、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，同 一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼 此的夹角都是60°，求对角线AC1的长
B1
A1
空间向量的基本性质
习题课
主要内容：
• 1、共线向量定理。 对空间任意两 a、 （ b个 b0向 ）a量 ， //b的
充要条件是存 ，在使 a＝ 实b。 数
•2、共面向量定理。
如果两个a,向 b不量 共线，则 p与向 向量 a量 ,b 共面的充要条实 件数 是x对 ， 存y， 在使 p＝xa＋yb。
3、向量的数量积
ababcosa,b
4、数量积的性质
（1） a b a b 0
（2） a2 aa
例题：
• 1、已知空间四边形ABCD中，
AB⊥CD， AC⊥BD, 用向量方法证明：AD⊥BC. B
A
D
C
2、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是 菱形,且∠C1CB = ∠C1CD = ∠BCD,
C1 D1
B C
A D
• 4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，的棱长等于 1，且M∈A1D, N∈AC ，求MN的长。
D1
C1
B1 A1
M D
N A
C B
D1
C1
A1
O
B1
D A
C B
空间向量的定义和基本定理
空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。
其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。
当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
空间向量的概念
C1
D
A O B
C
，使
与非零向量 （1） | a | | | | a |; （2）当 0 时， 与 的方向相同； a a （3）当 0 时， 与 的方向相反； a a
的乘积也是一个向量， a
记作： a ,
则存在唯一实数
|b | a 与 b同向 |a | 其中 b a. |b| a 与 b反向 |a |
（1）当 （2）当 （3）当
时，表示向量 0
时，表示向量
时，表示向量
2
与向量a 方向相同； b 与向量a 方向相反； b 与向量a 垂直； b
a // b
a b
2、向量的数量积：
一般地，两个非零向量 、 的夹角为 ， ) (0 a b 叫做向量 与向量 的数量积， 那么我们把 | a || b | cos a b 记作 a b , 即 a b | a || b | cos . a b cos . | a || b |
向量加法的平行四边形法则
b
C
A
（2）结合律：
A a b b a. 0 a a 0 a ( a b ) c a ( b c ).
向量加法的三角形法则
2. 向量的减法：
求向量
与 a
差的运算；记为 b
4、数量积的性质：
2 2 (1) a a a | a | ; ( 2) a b a b 0.
例1 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，指出：
空间向量的认识
空间向量的认识空间向量是三维几何中非常重要的概念之一。
它不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、计算机科学等多个领域中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍空间向量的定义、性质及其在实际问题中的应用，以增进读者对空间向量的认识。
1. 空间向量的定义在三维空间中，向量是由大小和方向共同决定的。
同样，空间向量也是具有大小和方向的向量。
空间向量可以表示为A = (a1, a2, a3)，其中a1、a2和a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴的分量。
2. 空间向量的性质空间向量有以下几个重要的性质：2.1 长度：空间向量的长度可以通过向量的分量计算得到。
向量A的长度可以表示为|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2.2 方向：空间向量的方向可以通过向量的分量计算得到。
向量A的方向可以表示为cosθ = a1/|A|，cosφ = a2/|A|，其中θ和φ分别表示向量与x轴和y轴的夹角。
2.3 加法：两个空间向量可以进行加法运算。
向量A和向量B的加法可以表示为A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2.4 数量积：空间向量还可以进行数量积运算。
向量A和向量B的数量积可以表示为A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3。
3. 空间向量的应用由于空间向量具有大小和方向，因此在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1 平面几何：在平面几何中，利用空间向量可以求解点的位置关系、线段的长度以及角的大小等问题。
3.2 力学：在力学中，利用空间向量可以描述物体的受力情况、力的合成与分解等问题。
例如，根据牛顿第二定律可以利用空间向量进行物体的受力分析。
3.3 计算机图形学：在计算机图形学中，空间向量被广泛应用于三维模型的表示与变换。
例如，通过平移、旋转和缩放等操作可以利用空间向量实现三维图形的变换效果。
3.4 电磁学：在电磁学中，空间向量被用于描述电场和磁场的分布情况。
空间向量的概念(解析版)
第44讲空间向量的概念和空间位置关系一、课程标准1、空间向量的线性运算2、共线、共面向量定理的应用3、空间向量数量积的应用4、利用空间向量证明平行或垂直二、基础知识回顾1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算：三、自主热身、归纳总结1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )A. 共线B. 共面C. 不共面D. 无法确定 【答案】 C【解析】 AB →＝(2，0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB →＝λAC →成立知，A ，B ，C 不共线，故A ，B ，C ，D 不共线；假设A ，B ，C ，D 共面，则可设AD →＝xAB →＋yAC →(x ，y 为实数)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －2y ，－3＝－3y ，－4＝－4x －5y ，由于该方程组无解，故A ，B ，C ，D 不共面，故选C.2、已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( )A. 32B. －2C. 0D. 32或－2 【答案】B【解析】 当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2. 故选B. 3、在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A . 垂直B . 平行C . 异面D . 相交但不垂直 【答案】B【解析】 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD. 故选B .4、如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则向量C 1M ―→可用a ，b ，c 表示为________．【答案】－12a －12b －c【解析】C 1M ―→＝C 1C ―→＋CM ―→＝－AA 1―→－12AC ―→＝－AA 1―→－12(AB ―→＋AD ―→)＝－12AB ―→－12AD ―→－AA 1―→＝－12a －12b －c .5、如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________． 【答案】垂直【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1，1,0)，N (2，1,2)，所以AM ―→＝(－2,0,1)，ON ―→＝(1,0,2)，AM ―→·ON ―→＝－2＋0＋2＝0，所以AM ⊥ON .6、O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋t OC ―→，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 【答案】18【解析】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以34＋18＋t ＝1，所以t ＝18.四、例题选讲考点一 空间向量的线性运算例1 (1) 向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)①a ∥b ，a ∥c; ②a ∥b ，a ⊥c ； ③a ∥c ，a ⊥b .(2) 已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P 的坐标是(x ，0，y)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是____________． 【答案】（1） ③ （2） (－1，0，2)【解析】（1） 因为c ＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .（2） PA →＝(－x ，1，－y)，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)．因为PA ⊥平面ABC ，所以PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，即PA →·AB →＝x ＋y －1＝0，PA →·AC →＝－2x －y ＝0，所以x ＝－1，y ＝2，故点P 的坐标是(－1，0，2)．变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c （2）已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE ―→＝AA 1―→＋x AB ―→＋y AD ―→，则x ，y 的值分别为( )A ．1,1B ．1，12C.12，121 D.12，1 【答案】（1）A （2）C【解析】（1） BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .（2）AE ―→＝AA 1―→＋A 1E ―→＝AA 1―→＋12A 1C 1―→＝AA 1―→＋12()AB ―→＋AD ―→，故x ＝12，y ＝12.变式2、 在三棱锥OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.【解析】 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.变式3、如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点．试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP ―→； (2)A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＋c ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝a ＋12c ，∴MP ―→＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 考点二 共线、共面向量定理的应用例2 如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC → (0≤k≤1). 判断向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面．【解析】 ∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k(C 1A →＋BC →)＋AB →＝k(C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k(AA 1→＋AB →)＝(1－k) AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．变式1、如图所示，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面．【解析】∵AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→，∴MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→＝k C 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→＝k B 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－k AB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→)＝(1－k )AB ―→－k AA 1―→，∴由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．变式2、（1）已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D.2,2（2）．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，则m ＋n ＝________. 【答案】（1） A （2）－3【解析】（1） ∵a ∥b ，∴b ＝k a (k ∈R )， 即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12，故选A.（2）∵AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)， 且A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→.即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.∴m ＋n ＝－3.方法总结：证明空间三点P ，A ，B 共线的方法有：①PA →＝λPB →(λ∈R)；②对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB → (x ＋y ＝1). 证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法有：①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB → (x ＋y ＋z ＝1)；③PM →∥AB → (或P A →∥MB →或PB →∥AM →). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．考点三 空间向量数量积的应用例3、如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .【解析】(1)设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1―→|＝|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝12＋12＋22＋20－1－1＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC 1―→，A 1D ―→〉|＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|.∵AC 1―→＝a ＋b ＋c ，A 1D ―→＝b －c ， ∴AC 1―→·A 1D ―→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2，|A 1D ―→|＝b －c2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－2×－1＋22＝7.∴cos θ＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1―→＝c ，BD ―→＝b －a ，∴AA 1―→·BD ―→＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0，∴AA 1―→⊥BD ―→，即AA 1⊥BD .变式1、已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．【解析】 (1)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)(方法1)∵k a ＋b ＝(k －1，k ，2). k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.(方法2)由(1)知|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b)·(k a －2b)＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. ∴当k a ＋b 与k a －2b互相垂直时，实数k 的值为2或－52.变式2、如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求：(1)AC 1―→的长；(2)BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值．【解析】(1)记AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1―→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1―→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1―→＝b ＋c －a ，AC ―→＝a ＋b ， ∴|BD 1―→|＝2，|AC ―→|＝3， BD 1―→·AC ―→＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1―→，AC ―→〉＝BD 1―→·AC ―→|BD 1―→||AC ―→|＝66.即BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值为66.方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉. (2)坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 可以通过|a|＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想考点四 利用空间向量证明平行或垂直例4 如图所示的长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．求证：(1) BM ∥平面D 1AC ； (2) D 1O ⊥平面AB 1C.【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D 1(0，0，2)，所以OD 1→＝(－1，－1，2)． 又点B(2，2，0)，M(1，1，2)，所以BM →＝(－1，－1，2)， 所以OD 1→＝BM →.又因为OD 1与BM 不共线， 所以OD 1∥BM.又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， 所以BM ∥平面D 1AC.(2) 连结OB 1，点B 1(2，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)． 因为OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0， 所以OD 1→⊥OB 1→，OD 1→⊥AC →， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC.又OB 1∩AC ＝O ，OB 1，AC ⊂平面AB 1C ， 所以D 1O ⊥平面AB 1C.变式1、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证： (1) EF ∥平面PAD ； (2) 平面PAB ⊥平面PDC.【证明】 (1) 如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OF. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD. 又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB.又四边形ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD.因为PA ＝PD ＝22AD ， 所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面PAD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0. 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0， 所以EF ∥平面PAD.(2) 因为PA →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a ，0)， 所以PA →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a ，0)＝0， 所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD.又PA ⊥PD ，PD∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC.又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC.变式2、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点． 求证：(1)EF ∥平面P AD ；(2)平面P AB ⊥平面PDC .【证明】(1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD .因为P A ＝PD ＝22AD ，所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF ―→＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF ―→·EF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD ―→＝(0，－a,0)， 所以P A ―→·CD ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A ―→⊥CD ―→，所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC .方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．五、优化提升与真题演练1、已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．2、(多选)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )A ．AP ⊥ABB ．AP ⊥ADC.AP ―→是平面ABCD 的一个法向量D.AP ―→∥BD ―→【答案】ABC【解析】对于A ，AB ―→·AP ―→＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴AP ―→⊥AB ―→，即AP ⊥AB ，A 正确；对于B ，AP ―→·AD ―→＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ―→⊥AD ―→，即AP ⊥AD ，B 正确；对于C ，由AP ―→⊥AB ―→，且AP ―→⊥AD ―→，得出AP ―→是平面ABCD 的一个法向量，C 正确；对于D ，由AP ―→是平面ABCD 的法向量，得出AP ―→⊥BD ―→，则D 错误．故选A 、B 、C.3、(多选)已知ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是( )A ．(A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→)2＝3(A 1B 1―→)2B.A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0C ．向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是60°D ．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|【答案】AB【解析】由向量的加法得到：A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→＝A 1C ―→，∵A 1C 2＝3A 1B 21，∴(A 1C ―→)2＝3(A 1B 1―→)2，所以A 正确；∵A 1B 1―→－A 1A ―→＝AB 1―→，AB 1⊥A 1C ，∴A 1C ―→·AB 1―→＝0，故B 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的角为60°，但是向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是120°，故C 不正确；∵AB ⊥AA 1，∴AB ―→·AA 1―→＝0，故|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|＝0，因此D 不正确．故选A 、B.4、如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M.【解析】 (1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.第3题图(2)由题意得A 1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)，∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. (3)由题意得C 1(0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， ∴A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M. 5、【2020年北京卷】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅰ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【解析】Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =， 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ； （Ⅰ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 11142cos,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.。
空间向量基本知识点
空间向量基本知识点空间向量是三维空间中的一个概念，它能够表示位移、速度、加速度等物理量。
本文将介绍空间向量基本知识点，包括向量的定义、表示方法、向量的加法和减法、数量积与向量积等内容。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，它可以表示位移、速度、加速度等量。
在三维空间中，向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、向量的表示方法向量可以使用坐标表示法或者分量表示法来表示。
1. 坐标表示法：根据直角坐标系，将向量的起点放在坐标系原点，通过终点的坐标值来表示向量。
例如，向量A可以表示为A(ax, ay, az)，其中ax，ay，az分别表示向量A在x轴、y轴、z轴的分量。
2. 分量表示法：将向量在各个坐标轴上的分量表示出来。
例如，向量A可以表示为A = ax * i + ay * j + az * k，其中i，j，k分别表示x轴、y轴、z轴的单位向量，ax，ay，az分别表示向量A在x轴、y轴、z轴上的分量。
三、向量的加法和减法向量的加法和减法可以通过分量表示法来进行。
1. 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，向量A和向量B相加可以表示为A + B = (ax + bx) * i + (ay + by) *j + (az + bz) * k。
2. 向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，向量A和向量B相减可以表示为A - B = (ax - bx) * i + (ay - by) * j+ (az - bz) * k。
四、数量积与向量积数量积和向量积是两种常见的向量运算。
1. 数量积：数量积也称为点积或内积，是两个向量的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。
数量积的结果是一个标量值。
例如，向量A和向量B的数量积可以表示为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的大小，θ表示向量A和向量B的夹角。
数学空间向量公式大全
数学空间向量公式大全空间向量知识点空间向量与平面向量类似，只是在三维空间中表示。
若一个向量垂直于一个平面，则它是该平面的法向量。
表示向量OA可以表示为a=(x1,y1,z1)，向量OB可以表示为b=(x2,y2,z2)，向量AB可以表示为AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
AB=-BA。
运算a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)，a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)，λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R)，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2+z1z2.点P分有向线段AB的比为λ，则P的坐标为(x1+λx2)/(1+λ)，(y1+λy2)/(1+λ)，(z1+λz2)/(1+λ)（λ∈R且λ≠1）。
中点公式为(x1+x2)/2，(y1+y2)/2，(z1+z2)/2.三角形重心公式为(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3，(z1+z2+z3)/3.模设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则AB的模为|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²]。
向量a的模为|a|=√(x²+y²+z²)。
平行与垂直若向量a与向量b平行，则a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）。
若向量a与向量b垂直，则a·b=0，即x1x2+y1y2+z1z2=0.夹角若向量a与向量b夹角为θ，则cosθ=a·b/|a||b|。
建立空间直角坐标系的常用方法有四种。
首先，当底面是正方形时，通常以底面两条邻边为x轴和y轴。
其次，当底面是菱形时，常以底面两条对角线为x轴和y轴。
第三，当底面是等腰三角形时，通常以底边及底边上的高为x轴和y轴。
最后，当底面为平行四边形时，常以一条边为x轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为y轴。
第一个空间向量的应用方法是求平面的法向量。
空间向量的所有公式。
空间向量的所有公式。
空间向量的所有公式1. 向量的定义公式如果 A 和 B 是两个点，则向量 A B 可以用坐标表示为AB = (Bx - Ax)i + (By - Ay)j + (Bz - Az)k2. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，可以使用以下公式计算|AB| = sqrt((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2 + (Bz - Az)^2)3. 向量的加法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A + B 的结果可以表示为A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k4. 向量的减法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A - B 的结果可以表示为A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k5. 向量的数量积公式向量的数量积可以使用以下公式计算A ·B = |A| |B| cosθ其中 |A| 和 |B| 分别表示 A 和 B 的模长，θ 表示两个向量之间的夹角6. 向量的向量积公式向量的向量积可以使用以下公式计算A ×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k7. 向量的投影公式向量的投影表示一个向量沿着另一个向量的方向的分量，可以使用以下公式计算projAB = (A · B) / |B|其中 A 表示被投影向量，B 表示投影方向8. 向量的夹角公式向量的夹角可以使用以下公式计算cosθ = (A · B) / (|A| |B|)θ = acos((A · B) / (|A| |B|))其中 A 和 B 表示两个向量，θ 表示两个向量之间的夹角这些是空间向量的基本公式。
根据这些公式，可以进行向量的计算、分解等操作。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
数学空间向量
数学空间向量空间向量是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
空间向量可以用来描述物体在三维空间中的位置、方向和运动等信息。
本文将介绍空间向量的定义、性质以及其在实际应用中的应用。
一、空间向量的定义和表示方法空间向量是指具有大小和方向的有序数对或有序数组。
在三维空间中，一个向量可以由其起点和终点确定，也可以由其坐标表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：在直角坐标系中，空间向量可以用其终点坐标减去起点坐标来表示。
例如，向量AB可以表示为向量OA减去向量OB，记作AB=OA-OB。
2. 分量表示：在三维空间中，一个向量可以用其在x、y、z轴上的分量来表示。
例如，向量A的分量表示为(Ax, Ay, Az)。
二、空间向量的运算空间向量可以进行加法和数乘运算，其运算法则与二维向量类似。
具体地：1. 加法运算：两个向量相加的结果是一个新的向量，其起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 数乘运算：一个向量与一个实数相乘的结果是一个新的向量，其大小是原向量大小的绝对值倍，方向与原向量相同（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。
三、空间向量的性质空间向量具有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指大小为零的向量，其所有分量都为零。
零向量是唯一的。
2. 单位向量：单位向量是指大小为1的向量，可以用一个非零向量除以它的模长得到。
3. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。
平行向量可以用一个向量乘以一个实数得到。
4. 相等向量：若两个向量的大小和方向都相同，它们被称为相等向量。
相等向量具有相同的分量。
四、空间向量的应用空间向量在几何学、物理学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用：1. 位置描述：空间向量可以用来描述物体在三维空间中的位置。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用向量来表示一个点的位置，通过对向量进行加法和数乘运算，可以得到两点间的距离、中点等信息。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3. 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
4. 共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。
空间向量知识点总结图
空间向量知识点总结图一、空间向量的概念1.1 空间向量的定义空间中具有大小和方向的量称为空间向量，通常用有向线段表示。
1.2 空间向量的表示空间向量通常用坐标表示，如果空间中有两点A(X1, Y1, Z1)和B(X2, Y2, Z2)，则向量AB 可以表示为AB = (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)。
1.3 空间向量的运算空间向量之间可以进行加法和数量乘法运算。
1.3.1 加法两个空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的和为A+B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
1.3.2 数量乘法一个空间向量A(x, y, z)和一个实数k的乘积为kA = (kx, ky, kz)。
二、空间向量的性质2.1 零向量的性质零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和都是它自身。
2.2 相等向量的性质如果两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的对应坐标相等，则它们是相等向量。
2.3 空间向量的线性运算性质空间向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。
2.4 向量共线的性质如果两个非零向量A和B共线，则存在一个非零实数k，使得A = kB。
2.5 向量共面的性质如果三个向量A、B、C共线，则它们共面。
三、空间向量的应用3.1 向量的数量积向量的数量积又称为点积，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为向量A和B的夹角。
数量积的性质有交换律、分配律和数量积的几何意义。
3.2 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别为向量A和B 的模，θ为向量A和B的夹角，n为垂直于A和B的单位向量。
向量积的性质有反交换律、分配律和向量积的几何意义。
3.3 应用举例空间向量在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，如力的合成、面积计算、三维坐标系中的投影等。
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5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
课后作业
1.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子：
新知：
1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量 ，在空间一点 ，作 ，则 叫做向量 与 的夹角，记作.
试试：
⑴范围:
=0时, ; =π时,
⑵ 成立吗？
⑶ ，则称 与 互相垂直，记作.
2)向量的数量积：
已知向量 ，则叫做 的数量积，记作 ，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
学习过程
一、课前准备
（预习教材P90~P92，找出疑惑之处）
复习1：什么是平面向量 与 的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求 .
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？
反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式 ,且点P与A,B,C共面，则 .
※典型例题
例1下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ）
①
②
③
④ .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量
则P,A,B,C四点共面的条件是
例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使
例3如图，在平行四边形ABCD-A B C D 中， , , , =
=60°,求 的长.
※动手试试
练1. 已知向量 满足 ， ， ，则 ____.
练2. , 则 的夹角大小为_____.
三、总结提升
※学习小结
1..向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
※知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.
⑴ ;
⑵
⑶
变式2：如图，已知 不共线，从平面 外任一点 ，作出点 ,使得：
⑴
⑵
⑶
⑷ .
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量 与非零向量 共线， 与 共线，则 与 共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量 ， 若 是非零向量，则 与 平行的充要条件是
复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若 ，试判断A,B,P三点是否共线？
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：空间向量的共面
问题：空间任意两个向量不共线的两个向量 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？
(1)|λa|＝.
(2)当λ＞0时，λa与A.；
当λ＜0时，λa与A.；
当λ＝0时，λa＝.
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
二、知识点讲解
探究任务一：空间向量的相关概念
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
B. 若 与 是相反向量，则∣ ∣=∣ ∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中，一定有 .
2. 长方体 中，化简 =
3. 已知向量 ， 是两个非零向量， 是与 ， 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. B. 或
C. D. ∣ ∣=∣ ∣
4. 在四边形ABCD中，若 ,则四边形是（ ）
学习小结
1. 空间向量基本概念；
2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律
知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
当堂检测
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣ ∣=∣ ∣，则 ， 的长度相同，方向相反或相同;
C. 任意两个共线向量相等；
D. 若向量 与 共线，则 .
2. 已知 ， ，若 ，求实数
三、总结提升
※学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
4. 平行六面体 ,O为A C与B D的交点,则 .
5. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.
复习1：平面向量基本概念：
具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量， 的相反向量记着.叫相等向量. 向量的表示方法有，，
和共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：
求证：E,F,G,H四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※动手试试
练1. 已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件 ，试判断：点 与 是否一定共面？
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量 （ ）， 的充要条件是存在唯一实数 ，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
试试：已知
，求证:A,B,C三点共线.
反思：充分理解两个向量 共线向量的充要条件中的 ，注意零向量与任何向量共线.
典型例题
例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若 ，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？
变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若 ，那么t＝
例2已知平行六面体 ，点M是棱AA 的中点，点G在对角线A C上，且CG:GA =2:1,设 = ， ，试用向量 表示向量 .
变式1：已知长方体 ，M是对角线AC 中点，化简下列表达式：
※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 、 、 是（ ）
A. 有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量.
2. 正方体 中，点E是上底面 的中心，若 ,
则x＝，y＝，z＝.
3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .
练2. 已知 ， ，若 ，求实数
三、总结提升
※学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
⑶数乘分配律：λ(A.+b)=λA.+λb．
典型例题
例1 已知平行六面体 （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
变式：在上图中，用 表示 和 .
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑴ + ⑵ － +
2. 如图，平行六面体 中，点 为 与的 的交点， ， ， ，
则下列向量中与 相等的是（ ）
A.
B.
C.
D.
空间向量的数乘运算（一）
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
5. 已知平行六面体 ，M是AC与BD交点，若 ，则与 相等的向量是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. .
课后作业：
空间向量的数乘运算（二）
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
新知：共面向量：同一平面的向量.
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量 ，向量 与向量 共面的充要条件是存在， 使得.
推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：