第三讲 ARMA模型

c 1 2 0.5 = 3.414和 0 = =1 2 1- 1- 5 1- 1-0.5
但是，发现模拟数据的均值和方差与理论上的均值 和方差不等。但是，n越大越接近，为什么？
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程序为： smpl @first @first：选取序列的第一个值 series x=1：令第一个值为1 smpl @first+1 @last：选取第二个值到最后一个值 series x=1+0.5^0.5*x(-1)+0.5*nrnd： 令第二个值到最后一个值为服从正态分布的随机数，
动态乘数定义为：
y t +j t = j
当 j=0时，也叫影响乘数。 脉冲响应函数：由动态乘数的定义，对应每一个时间 跨度 j，有一个对应的动态乘数，那么如果将不同时间跨度 j 的动态乘数按 j 从小到大的顺序摆放一起，形成一个路径， 就成为脉冲响应函数。应用很广！ 例如，可用之刻画通货膨胀或经济产出等在受到一个 正向或负向的货币政策冲击后形成的动态路径和持续时间 情况。
（ 1- L)-1 1 L 2 L2
上式成立条件：|α|<1
（2）
5
（一）ARMA模型的引进
AR：Yt 0 1Yt 1 kYt k t
0 可以不写） 注意：如果假设均值为零， 如果序列在其均值附近波动： Y
t
Y1 Y2 ... YT 可用 FT Y 来预测 FT 1 ， T
下面分别是α=0.9和α=0.5（经过大约8期就降至0）时 AR(1)过程的自相关函数图。
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假定AR(1)为：yt c 0.9yt 1 t
j (-0.9) , j=0,1,2, 相应的自相关函数为 j
其自相关图为：
30
以下四个图描述了AR(1)在α取0、0.6、0.9和1的情况：
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yt c yt 1 t 例如：AR(1)：
（1）
yt c （c yt 2 t -1） t = c c 2 yt 2 t t -1 =(1+ + 2 + + n )c+ n +1yt n -1 t t -1 + 2 t -2 + + n t -n
4
三、高阶差分方程 高阶差分方程是学习AR(p)的基础。
p阶差分方程一般式：
yt 1yt 1 2 yt 2
+ p yt p t
滞后期增加，就复杂化。因为每个滞后项系数都会影 响差分方程所刻画的序列变量的动态特征。尤其是在求解 高阶差分方程和脉冲响应分析等问题，仅从原始方程入手 很困难和繁琐。需矩阵知识，把高阶化为一阶来处理。 滞后算子的一个重要而常用的性质(L是算子)
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以下是常见的AR和MA模型的ACF和PACF的表现形式：
图 9.2.2 ACF 模型 1： ARMA(p,q)模型的 ACF 与 PACF 理论模式 PACF
X t 0.7 X t 1 t
0.8
0.8
ACF1
0.6
0.6
PACF 1
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
27
（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
36
模型 2：
0.6 0.4 0.2 0.0
X t 0.7 X t 1 t
0.0 ACF2 -0.2 PACF2
-0.4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.6
)2Fra Baidu bibliotek
2 = 1- 2
可见，只要|α|<1，则yt方差保持恒定不变。
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为了对AR(1)的均值和方差有更感性的认识，可模拟 AR(1)数据生成过程，使用的AR(1)过程为
yt 1 0.5 yt t , t ~N (0, 2 ), 2 =0.5
分别生成两组观测值，容量n=30和n=1000，二序列 （模拟图如下）均值和方差分别为：
yt +j j +1yt 1 jt j -1t +1 +
+t +j -1 +t +j
2
二、动态乘数与脉冲响应函数
yt yt 1 t
（1）
动态乘数：在方程（1）中，一般假设 t 是服从某种 分布的随机扰动项，在实践中，需要知道 t 对 yt 的动态 影响路径怎样。
300 200 100 0 -100 -200 -300 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
可见，即去除了趋势也去除了季节。
21
再看sy的自相关图，如下：
22
注意： （1）很多递增序列，如GDP，一阶差分难平稳。可先取对数再差分。 （2）用自相关函数可判断序列完全随机。
（三）ARMA模型及其改进
例4：季度数据文件：1979:1~1999:2，调入book8中1个数据y。 同样，输入序列名y，滞后期取20。可得自相关图：
可见：自相关程度缓慢减弱。而偏自相关相邻两项相关程度很高。
14
例5：建月度文件：1972:01~1982:12，调入book18 的y（汗衫背心零售 量），滞后期36。自相关图为： 从自相关函数看： 12、24、36很大，即相 同月份有很强季节性，无明 显趋势。 从偏自相关函数看， k=1时一样，k=2时“自”和 “偏”自相关差距很大。
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例6：建季度文件：1979:1-1999:2，导入book8的y。 第一：看图 Y
9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000 0 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
可见，趋势很强。
下面从自相关图也可得出此结论。
3
累计脉冲响应函数：
y t +j t
+
y t +j t +1
+
y t +j t +2
+
+
y t +j t +j
= j + j -1 + j -2 +
+ +1
以此衡量随机扰动因素如果出现永久性变化后，即 t，t +1， ，t +j 都变化一个单位，对yt 造成的影响和冲击。 练习：建立年度（1951~1983）数据文件，导入book1 中数据x。利用Eviews创建一个程序，尝试生成不同的yt序 列，还可尝试绘制出脉冲响应函数图： smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正态分布） 该程序是用一阶差分方程生成一个x序列，初始值设定 为0，扰动项设定为服从均值为0，标准差为0.8的正态分布。
第三讲
ARMA模型
1
预备知识
差分方程：滞后算子与动态模型
一、一阶差分方程 例如：
yt yt 1 t
（1）
一个差分方程——指将一个变量的当期值定义为它的 前一期和一个档期的随机扰动因素的函数。 求解差分方程——就是想要得到以随机扰动项 t 表示 的 yt 表达式，方法是不断迭代。 一般地，一阶差分方程可以写为：
n =0，则上式变为： 在|α|<1条件下，则有 lim n
c yt t t -1 + 2 t -2 + 1-
即无穷阶移动平均过程，即MA(∞)。 即当|α|<1时，AR(1)中的yt可写成扰动项的和。
实际上，在一般条件都满足的情况下，|α|<1是AR(1)平 稳的充要条件。
3
2
1 55 60 65 70 75 80 85 90 95
12
（1）数据量不大时，如70或80数据，取M=[n/4]。 （2）数据量较大时，如300个数据，可取M=[n/10]。 （3）数据量很大时，如成千上万，可取M=根号n 此例有45个数据，最大滞后期取12即可。可得相关图如下：
从偏自相关函数来看，相邻两项的相关性很强（指的是滞后一期）。 13 而自相关函数则不同。
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偏自相关函数的定义: 设{zt}为零均值平稳序列， zt+1 ， zt+2，…， zt+k-1对zt 和 zt+k 的线性估计为：
ˆt 1zt 1 2 zt 2 k 1zt k 1 z ˆt k 1zt 1 2 zt 2 k 1zt k 1 z
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注意：用自相关研究时间序列季节性时，得先消除趋势性。 对于季节性，也可采用差分，此时叫季节差分。 对于季度数据，就用genr sy=y-y(-4)，对月度数据，就用genr iy=yy(-12) 第三，对逐期差分后的数据iy再做一阶季节差分 输入：genr sy=iy-iy(-4)， SY 先看sy的图形： 400
模型 3：
0.0
X t t 0.7 t 1
15
下面从自相关和偏相关来研究序列特性： （二）时序特性分析 1. 平稳性分析 （1）平稳时序定义与特点 描述性定义：序列的统计特征不随时间而变化，均值恒 为常数；自相关系数只与时间间隔有关，与时间起始点无关。 平稳序列自相关的特点：自相关系数在k较小值时就迅速 趋于零。 （2）消除趋势方法 若其非平稳是趋势，可逐期差分或短期差分（也叫短差）。
31
α =1时，序列似乎有永远偏离均值的态势。
32
再看一下AR(2)的几种情况：
33
34
注意：AR(1)和AR(2)的自相关函数不太一样， AR(1)的自相关函数 绝对值一定单调递减，而AR(2)的则依赖于α1和α2的大小，不一定总是单 调递减的（如下图）。 但是，对平稳AR过程，无论各回归系数如何变化，总趋势是：自相 关函数绝对值总体趋势是逐渐衰减到0。
6
7
8
注意：平稳指弱平稳，即方差、均值不随时间变化，这样yt永远不会 “过分”偏离其均值水平。换言之，平稳序列表现出一种向均值水平恢复 的特征，在金融时序分析中常称为“均值回复”，英文是mean reverting， 许多文献却译为“均值反转”，使读者一头雾水！
9
具体讲： 偏自相关函数(PACF)用来考察扣除zt 和zt+k之间zt+1 ， zt+2，… zt+k-1影响 之后的zt 和zt+k之间的相关性。
用φkk表示偏自相关函数，则：
ˆt ), ( zt k z ˆt k )] cov[(zt z kk ˆt ) var(zt k z ˆt k ) var(zt z
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例3：建文件：1952到1996（年度），调入book12的y。 第一步：看图。y的时序图：
Y
6
5
4
偏相关截 尾
由AR(1)的稳定性知||<1，当k时，呈指数形衰减。 该现象叫拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinite memory）。 注意：<0时，呈振荡衰减状。
自相关 拖尾
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（3）一阶自回归系数α的影响
例如： yt c 0.9yt 1 t
其自相关函数为
k =0.9k , k =0,1,2,
24
c , (即Eyt ) ，则有 如果令： = 1-
yt - t t -1 + 2 t -2 +
yt的方差为
0 =E (yt - ) 2 E ( t t -1 + 2 t -2 +
=E ( t ) 2 2 E ( t -1 ) 2 + 4 E ( t -2 ) 2 + =(1+ 2 + 4 + ) 2
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趋势看自相
18
第二，做差分 输入：genr iy=y-y(-1)，序列图：
IY
1,600
1,200
800
400
0
-400
-800 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
可见，无趋势但有季节性，还可从iy自相关图可见。如下：
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4,8,12等地方，有 季节性，
易见，趋势基本消除，但有明显季节性。月度数据类似。