微积分的发明历程
莱布尼兹和牛顿关于微积分的贡献
莱布尼兹和牛顿关于微积分的贡献：17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。
微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。
1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分思想的论著。
以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。
卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。
只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。
而这是微积分建立的关键所在。
只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。
并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。
因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。
然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。
实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。
莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。
这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。
牛顿在三年后，即1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。
他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。
微积分产生的背景
微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。
微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。
1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分1.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。
1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。
而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
1.2 莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。
1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。
这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。
牛顿与微积分的故事
牛顿与微积分的故事1664-1665年冬天，也就是牛顿研究幂级数期间，一场可怕的瘟疫席卷了整个欧洲，黑死病（鼠疫）如同海浪一般从地中海一直蔓延到荷兰。
1665年夏天，剑桥大学出于防护的目的暂时关闭了校园，牛顿因此回到了他在林肯郡的家。
接下来的两年里，是牛顿发明的全盛期，除了微积分，他还发现了引力平方反比律并将其应用于月球，他发明了反射望远镜，通过实验证明白光是由彩虹的七种颜色组成。
那时的牛顿，还不到25岁。
1667年，在瘟疫渐渐平息后，牛顿回到剑桥大学继续他一个人的研究。
到1671年，他已经把微积分的各个部分统一成一个无缝整体。
他建立了幂级数法，利用关于运动的思想极大地改进了既有的切线理论，发现并证明了解决面积问题的基本定理，编制了曲线及其面积函数的表格，并将所有这些成果融合为一部精细调谐的系统性计算器。
在剑桥三一学院之外，牛顿名不见经传。
而这正是他希望的，他深居简出，猜疑心重，对批评意见极为敏感，讨厌和他人争论，尤其不喜欢被那些对数学一无所知的人激怒。
一代天才之所以如此谨小慎微，其缘由是他利用的是代数方法，而不是几何工具，从而可能会在逻辑方面遭到攻击。
在那个“无穷”概念尚且还是微积分原罪的时代，沃利斯的《无穷算术》曾被政治哲学家兼二流数学家托马斯·霍布斯严厉抨击，因为对代数的依赖，被诋毁为“符号的疥疮”，因为对无穷的使用，被斥责为“无耻的著作”。
学生时代的牛顿深受沃利斯著作的影响，由此，迫于外在压力因素，牛顿贬称自己的无穷法“不值得公开发表”，多年后又说“尽管似是而非的代数”非常适用于取得的新发现，但完全不适合编撰成书流传后世。
出于这些及其他原因，牛顿隐藏了他的研究成果，但他仍渴望因此获得认可。
1668年，尼古拉斯·墨卡托出版了一本关于对数的小书，这让牛顿感到既痛苦又烦恼，因为这本书中讲到的自然对数的无穷级数，他早在3年前就发现了。
被人抢先一步的震惊和失望，促使牛顿在1669年写了一本关于幂级数的小册子——《运用无穷多项方程的分析学》，只在少数几位值得信赖的追随者中间私下传阅，直到1711年出版。
微积分的发展历史
微积分的发展历史1. 古希腊时期：微积分的起源可以追溯到古希腊时期，早在公元前5世纪，数学家祖克里斯特斯（Zeno of Elea）就提出了诸如阿基里斯赛跑等著名的悖论，引发了对无穷小和无穷大的思考。
2. 阿基米德和群测强微积分：在古希腊和古罗马时期，一些数学家如阿基米德和群测强（Archimedes）开始探索几何学和代数学的基本概念，在解决实际问题的过程中也涉及到了微积分的雏形。
3.牛顿和莱布尼兹的发现：17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时独立发现了微积分的基本原理。
牛顿将微积分用于机械学和物理学的研究，而莱布尼兹则用它来解决代数和几何方程。
这两位伟大的数学家将微积分作为一门独立的学科加以发展并系统化。
4. 微积分的形式化建立：18世纪，欧拉（Leonhard Euler）将微积分的概念进一步抽象化和形式化，构建了函数和级数的理论，为微积分的应用奠定了坚实的基础。
5. 国际象棋问题的解决：19世纪初，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）研究国际象棋中的一个问题，首次利用微积分的方法进行了解决。
这个问题不仅使微积分在数学界引起了重视，也增强了人们对微积分的研究兴趣。
6. 分析学的发展：19世纪，数学分析学迎来了一个又一个的里程碑。
来自法国的布尔巴基（Augustin-Louis Cauchy）和庞加莱（Henri Poincaré）等人对极限、连续性和导数等概念进行了严格的定义和证明，进一步完善了微积分的理论。
7.微积分的应用：20世纪初期，微积分得到了广泛应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
爱因斯坦的相对论理论、量子力学的发展以及现代金融学等都离不开微积分的支持。
8.持续发展和改进：自20世纪起，微积分一直在不断发展和改进。
函数论、复分析及它们与微积分的关系等新理论的出现，使微积分的应用更加广泛，对更加复杂的问题提供了更加深入的分析。
论述微积分发展简史
论述微积分发展简史1一、微积分的萌芽微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。
这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。
公元前五世纪，希腊的德谟克利特提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。
在中国，《庄子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，万世不竭，亦指零是无穷小量。
这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
二、微积分的创立微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。
最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。
前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。
中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。
中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。
在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。
而伽利略的学生卡瓦列里即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。
这些想法都是积分法的前驱。
在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。
费马在一封给罗贝瓦的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。
另外，巴罗亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。
由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。
微积分的发展历史
微积分的发展历史微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究一些连续变化的函数之间的关系，以及这些函数的一些量的变化规律。
微积分的历史可以追溯到古希腊时期，但是直到17世纪初期，微积分才真正成为独立的数学分支。
以下是微积分的发展历史。
1. 古希腊时期古希腊数学家阿基米德（287 BC - 212 BC）就是微积分的先驱之一。
他发明了一种称为“方法论”的技术，这种技术可以用来求解一些几何问题，例如圆的面积和球体的体积。
这种技术可以用来求解一些连续变化的函数的面积或体积问题。
2. 17世纪初期17世纪初期，数学家牛顿（1643-1727）和莱布尼茨（1646-1716）几乎同时发明了微积分。
他们的发现彻底改变了数学的面貌。
牛顿的微积分是基于几何直觉的发现，而莱布尼茨的微积分则是基于代数记号的发现。
3. 18世纪在18世纪，微积分的研究得到了进一步发展。
法国数学家欧拉（1707-1783）和拉格朗日（1736-1813）在微积分的研究中做出了重要的贡献。
欧拉在微积分中引入了复数，这对微积分的发展具有重要的意义。
拉格朗日发现了微积分中的一些基本定理，例如拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
4. 19世纪19世纪是微积分的发展中最重要的一个世纪。
数学家高斯（1777-1855）和魏尔斯特拉斯（1815-1897）在微积分的研究中做出了重要的贡献。
高斯发现了极值问题的解法，魏尔斯特拉斯则首次使用了极限的概念来解决微积分中的一些问题。
5. 20世纪20世纪是微积分发展的最后一个世纪。
在这个世纪里，微积分的研究得到了深入的发展。
数学家费曼（1918-1988）提出了路径积分理论，这个理论对微积分的研究有着重要的意义。
同时，微积分还应用于物理学、工程学和经济学等领域，在这些领域中发挥着至关重要的作用。
微积分的发展历史可以追溯到古希腊时期，但是直到17世纪初期，微积分才真正成为独立的数学分支。
在18世纪和19世纪，微积分得到了进一步的发展，20世纪中期，微积分已经成为了一个重要的数学分支，并被广泛应用于各个领域。
牛顿发明微积分的故事
牛顿发明微积分的故事众所周知，牛顿是一位具有卓越才华的科学家和数学家。
他在数学领域的杰出成就之一就是发明了微积分。
微积分是现代数学和物理学的基石，对于我们理解自然界和解决实际问题有着重要的作用。
本文将向您讲述牛顿发明微积分的故事。
1. 牛顿的求导理论牛顿发明微积分的起点是他对变化率的研究。
在物理学中，变化率指的是物体运动的速度、物质的流动速度等概念。
牛顿深入研究了这一问题，并提出了求导的理论。
他首次引入了“流量”的概念，即单位时间内通过一定面积的流体量。
通过求解流量的极限，牛顿定义了导数的概念，并成功地解释了物体运动的加速度和速度之间的关系。
2. 牛顿的积分理论在对变化率进行深入研究后，牛顿对积分进行了探索。
他观察到许多实际问题可以通过累积过程的描述来解决。
他引入了“累计量”的概念，即通过对连续变量的数量进行累积得到的总量。
牛顿通过求解累积量的极限，提出了积分的概念。
他成功地将积分应用于实际问题的求解，为后来的科学研究奠定了基础。
3. 牛顿的微积分基本定理牛顿发现了微积分的基本定理，即导数与积分之间的关系。
他指出，如果一个函数在某一区间内的导数存在，那么该函数在该区间内的积分也存在，并且两者之间存在着简单的关系。
这一发现揭示了微积分的内在联系，使得微积分在数学领域的地位更加巩固。
4. 牛顿对微积分应用的贡献牛顿对微积分的发明不仅仅停留在理论层面，他还将微积分应用于实际问题的解决中。
例如，他利用微积分的方法解决了行星运动的问题，提出了著名的万有引力定律。
牛顿的这一贡献不仅在当时引起了轰动，也为后来的科学家提供了重要的启示和研究方向。
5. 牛顿与莱布尼茨的争议在牛顿发明微积分的同时，德国数学家莱布尼茨也独立地发明了微积分。
由于两人在发明过程中使用的符号和术语略有不同，因此引发了争议。
不过，历史学家普遍认为牛顿和莱布尼茨都在微积分的发展中做出了不可磨灭的贡献，并将其共同归功于微积分的发明。
总结：通过对牛顿发明微积分的故事的讲述，我们可以看到牛顿的天才和创造力。
微积分的发明历程
微积分的发明历程如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。
微积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。
圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。
意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。
这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
解析几何为微积分的创立奠定了基础由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。
到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。
笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。
微积分的发展历程
微积分的发展历程微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。
在数学史上，18世纪可以说是分析研究的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
1）微积分的发展无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。
不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor）、麦克劳林（C.Maclaurin）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J.Stirling）等。
泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。
他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理其中v为独立变量z的增量，和为流数。
泰勒假定z随时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：。
泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。
但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。
泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。
麦克劳林（1698_1746）是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。
《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。
麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。
微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。
微积分的创立数学史
科学的巨人——牛顿
17世纪中叶，剑桥大学的教育制度还渗透着浓厚的中世纪 经院哲学的气味。当牛顿进入剑桥大学时，那里还在传授 一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等 等。
科学的巨人——牛顿
两年之后三一学院出现了新气象。H. 卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座， 规定讲授自然科学知识如地理、物理、 天文和数学课程。讲座的第一任教授 就是巴罗。在巴罗的指导下，牛顿掌 握了算术、三角，学习了欧几里得的 《几何原本》。并阅读了开普勒的 《光学》、笛卡儿的《几何学》和 《哲学原理》、伽利略的《关于托勒 密和哥白尼两大世界体系的对话》、 R.胡克的《显微图集》和华莱士的 《无穷算术》等著作，特别是笛卡儿 的《几何学》和华莱士的《无穷算术》 对他数学思想的形成尤为重要。
科学的巨人——牛顿
1676年，牛顿完成了他的第4篇论文《曲线 求积论》（1704年发表），这是他最成熟 的一部微积分论著。在这部著作中，他改 变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做 法，认为“数学的量不是由非常小的部分 组成的，而是用连续的运动来描述的。” 为此他引入了最初比和最后比的概念，并 借助于几何解释把流数理解为增量消逝时 的最后比。
先驱们的探索
17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对 机械运动规律的探求，许多实际问题摆到 了数学家们的面前。 几乎所有的科学大师都把自己的注意力集 中到寻求解决这些难题的新的数学工具上 来。 他们在解决问题的过程中，逐步形成了微 积分学的一些基本方法，这些问题可以分 为以下四类：
先驱们的探索
科学的巨人——牛顿
1665年8月，剑桥大学 因为瘟疫流行而停课放 假，牛顿回到故乡乌尔 斯索普，在家乡躲避瘟 疫的这两年间，牛顿思 考了自然科学领域中的 一些前人从未思考过的 问题，踏进前人没有涉 及的领域，创建了前所 未有的惊人业绩。
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
二组历史上的微积分的创立和发展
其中最著名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题。这个 曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分 学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
微积分的产生
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也 就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要 类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速 度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题 是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、 曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积 相当大的物体作用于另一物体上的引力。
让我们一起来了解微积分
› 微积分创立的历史过程 › 微积分创立的历史意义 › 微积分的发展及其价值
微积分的早期历史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产 生了。
公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等 问题的研究就含有微积分思想。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著 作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下 的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含 着近代积分的思想。
微积分创立历史中的“争斗”
› 前面已经提到，一门学科的创立并不是某一个人的业绩，而是经过多少人的 努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的， 微积分也是这样。
牛顿发明微积分的过程
牛顿发明微积分的过程
牛顿发明微积分的过程可以追溯到17世纪。
他是根据自己的研究和理论逐步发展出微积分的。
1. 无穷小法：牛顿首先引入了“无穷小”的概念。
他将变化量视为无穷小的数量，这样就可以计算出变化量的极限，并将其称为“微分”。
2. 导数：通过研究曲线的斜率，牛顿引入了“导数”的概念。
他发现，导数可以用来描述曲线在某一点的变化率。
这是微积分中的重要概念之一。
3. 积分：牛顿还发展了积分的概念。
他认识到，积分可以用来计算曲线下的面积或者描述曲线的总变化量。
这就是微积分中的另一个重要概念。
4. 牛顿定理：牛顿还提出了牛顿定理，即通过求微分和积分可以得到一个函数的原函数。
这个定理为后来的微积分研究提供了重要的理论基础。
5. 基本定理：牛顿还提出了微积分中的基本定理。
这个定理描述了导数和积分之间的关系，可以用来计算函数的积分。
总的来说，牛顿发明微积分的过程是一个逐步的发展过程。
他通过研究变化量和曲线的性质，引入了微积分中的重要概念，并提出了微积分中的基本定理。
这些成果对于后来的微积分研究和应用具有重要的意义。
微积分的发现过程
微积分的发现过程
（原创版）
目录
1.微积分的起源与背景
2.微积分的发展过程
3.微积分的实际应用
正文
1.微积分的起源与背景
微积分是数学中一个重要的分支，主要研究函数的极限、连续性、微分、积分等性质。
它的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们研究几何学、力学等领域的问题，逐渐发现了一些与微积分相关的概念。
2.微积分的发展过程
微积分的发展经历了漫长的过程。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立发现了微积分的基本原理，牛顿提出了牛顿 - 莱布尼茨公式，莱布尼茨则创立了微积分的符号表示法。
从此，微积分开始被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等。
3.微积分的实际应用
微积分在现实生活中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，它可以帮助我们求解物体的加速度、速度和位移等；在工程学中，它可以用于建筑结构的强度分析、机器设备的设计与优化等；在经济学中，它可以用于成本分析、需求预测等。
总之，微积分的发现和发展经历了漫长的历史，它是数学领域的一个重要分支。
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微积分发展史
微积分发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。
天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。
意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。
微积分发展简史
微积分发展简史微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分.- 冯·诺依曼287 年: 阿基米德的"逼近法""给我一个支点，我可以撬动地球."对数学和物理学的影响极为深远，被视为古希腊最杰出的科学家. 他与牛顿和高斯被西方世界评价为有史以来最伟大的三位数学家.他利用“逼近法”算出球表面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这种方法加以发展成近代的“微积分”.1620年费地的布面油画《沉思的阿基米德》263 年: 刘徽注释《九章算术》东方古代数学泰斗用割圆术计算圆周率, "割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".求得圆周率的近似值为3.14, 这种极限思想和无穷可分甚至是古希腊数学不能比拟的.1088 年: 沈括著《梦溪笔谈》中国科学史上的重要文献北宋的沈括所著百科全书式的著作, 因为写于润州（今镇江）梦溪园而得名，收录了沈括一生的所见所闻和见解. 内容涉及天文、数学、物理、化学、生物、地质、地理、气象、医学、工程技术、文学、史事、美术及音乐等学科. 书中开创了“垛积术”(高阶等差级数求和), “会圆术”(求出弧长的方法). "棋局都数"的研究则暗用了组合方法和指数定律.1629 年: 费马“我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来.”皮埃尔·德·费马法国律师和业余数学家(不过在数学上的成就不比职业数学家差). 费马引理给出了一个求出. 可微函数的最大值和最小值的方法。
因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题.费马及费马最后定理1637 年: 笛卡尔"我思故我在. "勒内·笛卡尔, 法国著名哲学家、数学家、物理学家. 对数学最重要的贡献是创立了解析几何. 笛卡尔成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起, 他向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质, 为后人在微积分上的工作提供了坚实的基础.约 1150 : 婆什迦罗印度数学的最高成就婆什迦罗, 印度古代和中世纪最伟大的数学家, 天文学家. 对数学主要贡献: 比牛顿和莱布尼茨早五个世纪就构想了微积分; 采用缩写文字和符号来表示未知数和运算; 他广泛使用了无理数, 并在运算时和有理数不加区别.婆什迦罗及他设计的永动机1665 年: 牛顿与《广义二项式定义》"如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩上. "艾萨克·牛顿, 英格兰物理学家, 数学家, 天文学家, 在老师巴罗的指导下, 1665年发表广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学, 牛顿称之为"流数术".1670 年: 伊萨克·巴罗《几何学讲义》"一个爱书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友，一个良好的老师，一个可爱的伴侣，一个优婉的安慰者."英国著名数学家, 1670 年发布的《几何学讲义》包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”，十分接近微积分基本定理，微积分的最终制定后来由其学生艾萨克·牛顿完成.伊萨克·巴罗（1630年－1677年）1684 年: 莱布尼茨关于微分学的第一篇论文"世界上没有两片完全相同的树叶."戈特弗里德·威廉·莱布尼茨, 德意志哲学家、数学家, 获誉为十七世纪的亚里士多德.在数学上，他从几何角度和牛顿先后独立发明了微积分，1684年发表了第一篇微分学论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法, 它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》 , 他所发明了微积分的数学符号 dx, dy 和∫ 被更广泛的使用.莱布尼茨 1646~17161691 年: 约翰.伯努利著世界上第一本关于微积分的教科书瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的数学世家雅各布和弟弟约翰·伯努利是莱布尼茨的朋友，他们不但迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大, 而且是最先应用微积分于各种问题的数学家.洛必达法则纠纷有一段时间，伯努利被洛必达聘请为私人数学老师。
微积分学发展简史
附录I 微积分学简史概念：微积分学分为微分学和积分学，是专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问.发展简史：1、荫芽阶段：(1)古希腊，欧多克斯(前408~前355)提出了穷竭法：一个量如减去大于其一半的量，再从余下的量中减去大于余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余下的量小于已知的任何量.(2)阿里士多德(前384~332)严格区分实无限和潜无限，且只承认潜无限.(3)庄子(前355~前275)《天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
(4)阿基米德(前287~212)在《抛物求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积。
即，逐次作出与该弓形同底等高的三角形(如图)，然后将这些三角形面积加起来. 第n 步时，这些三角形面积之和为： A(1+41+241+…+1-n 41)，A 为第一个三角形的面积. 又指出：A(1+41+241+…+1-n 41+1-n 4131 )=34A. 最后用穷竭法和反证法证明，抛物线弓形面积不能大于或小于34A. 标志着积分学的萌芽.(5)263年，刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”用正多边形逼近圆周。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合作而无所失矣”。
(6)1328年英国大主教布兰德瓦丁在牛津发表的著作中提到类似于均匀变化率和非均匀变化率的概念.2、酝酿阶段：(1)1615年开普勒在出版《新空间几何》中发展了阿基米德求面积和体积的方法，给出了92个阿基米德未讨论过的体积问题，并研究了酒桶的最佳比例。
在天文学研究中得到公式：⎰θinθs dθ=1-cosθ.(2)1635年卡伐列利出版了《不可分量几何学》，将面积的不可分量比作织成一块布的线，体积的不可分量比作一册书的各页，而不可分量的个数为无穷多，且没有厚薄和宽窄，已到达了积分学的边缘，且发现公式：⎰anx dx=1na1n++，n为正整数.(3)法国数学家帕斯卡(1623~1662)借助了略去高次项(即略去高阶无穷小)的方未能证明体积公式，并且注意到很小的弧和切线是可以相互代替的.(4)法国数学家费马(1601~1665)在求极大极小值上取得了非凡的成功，为微积分开辟了道路。
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微积分的发明历程
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
从 世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。
整个 世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。
微积分的思想
从微积分成为一门学科来说，是在 世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前 世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前 前 ）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
他在 年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。
圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。
意大利数学家卡瓦列利在 年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。
这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
解析几何为微积分的创立奠定了基础
由于 世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。
到了 世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。
笛卡尔 年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。
他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。
他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。
此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。
于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。
笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。
牛顿的“流数术”
数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化。
世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化
着的量的一般性和它们之间的依赖关系。
到了 世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克 牛顿（ ）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。
牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。
这些概念是力不概念的数学反映。
牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。
因而，一切变量都是流量。
牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。
（ ）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。
（ ）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。
这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。
（ ）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。
牛顿已完全清楚上述（ ）与（ ）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。
牛顿在 年 月 日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。
莱布尼茨使微积分更加简洁和准确
而德国数学家莱布尼茨（ ）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。
但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。
莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。
莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。
牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。
莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展。
莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。
牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。
莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。
留给后人的思考
从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早 年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。
牛顿系统论述“流数术”的重要著作《流数术和无穷极数》是 年写成的，但因 年伦敦大火殃及印刷厂，致使该书 年才发表，这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。
另外也有书中记载：牛顿于 年 月，用拉丁文发表了他的巨著《自然哲学的数学原理》，在此文中提出了微积分的思想。
他用“ ”表示无限小增量，求出瞬时变化率，后来他把变量 称为流量， 的瞬时变化率称为流
数，整个微积分学称为“流数学”，事实上，他们二人是各自独立地建立了微积分。
最后还应当指出的是，牛顿的“流数术”，在概念上是不够清晰的，理论上也不够严密，在运算步骤中具有神秘的色彩，还没有形成无穷小及极限概念。
牛顿和莱布尼茨的特殊功绩在于，他们站在更高的角度，分析和综合了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技巧，统一为两类普通的算法――微分与积分，并发现了微分和积分互为逆运算，建立了所谓的微积分基本定理（现今称为牛顿――莱布尼茨公式），从而完成了微积分发明中最关键的一步，并为其深入发展和广泛应用铺平了道路。
由于受当时历史条件的限制，牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念比较模糊，因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨。
经过 、 世纪一大批数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证明了微积分基本定理即牛顿―莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。
不幸的是牛顿和莱布尼茨各自创立了微积分之后，历史上发生了优先权的争论，从而使数学家分为两派，欧洲大陆数学家两派，欧洲大陆的数学家，尤其是瑞士数学家雅科布 贝努利（ ）和约翰 贝努利（ ）兄弟支持莱布尼茨，而英国数学家捍卫牛顿，两派争吵激烈，甚至尖锐到互相敌对、嘲笑。
牛顿死后，经过调查核实，事实上，他们各自独立地创立了微积分。
这件事的结果致使英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交流，使英国人在数学上落后了一百多年，因为牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用的是几何方法，英国人差不多在一百多年中照旧使用几何工具，而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法，并使微积分更加完善，在这
年中英国甚至连大陆通用的微积分都不认识。
虽然如此，科学家对待科学谨慎和刻苦的精神还是值得我们学习的。