控制理论作业二答案

第三章

3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 36

936

2

++=

s s G B 。 试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？

解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。 )/(6

36秒弧度==n ω

（弧度）

秒（弧度72.041.411)

/97.3166

.0175.0292

1

2

2

=︒=-==-⋅==-==

-ζ

ζ

θζωωζ

ωζtg

n d n

上升时间 t r 秒61.097.372

.014.3=-=-=d r t ωθπ 峰值时间t m 秒79.097

.314.3===

d m t ωπ 过度过程时间t s %)2(89.06

75.04

4

秒=⨯=

=

n

s t ωζ

%)5(70.06

75.03

3

秒=⨯=

=n

s t ωζ

超调量δ％

%8.2%100%100%66

.075

.012

=⨯=⨯=-

--

πζ

π

ζδe

e

3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为 )

1(1

)(+=

s s s G K

试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。

解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。

根据题目给出条件可知闭环传递函数为 1

1

)()()(2++==

s s s X s Y s G B 与二阶系统传递函数标准形式2

222n

n n s s ωζωω++相比较可得12,12

==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。

故，单位阶跃响应的性能指标为

秒秒秒

61

5.03

3

%)5(815.04

4

%)2(%4.16%100%63.312

12

=⨯=

=

=⨯===⨯==-⋅=

--n

s n

s n m t t e

t ζωζωδζ

ωπζπζ

3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间

m t =0.5秒，试确定K 和τ的值。

图1

解：[题意分析]这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,n ω的关系；通过ζ,n ω把%δ,m t 与K,τ联系起来。 由系统结构图可得闭环传递函数为 K

s K s K

s K s s K s X s Y s G B +++=+++==

)1()1()1()()()(2ττ 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得

2

2

1

212;

n

n n n K K ωζωττζωω-=

+==或

由题目给定： %25%100%2

1=⨯=--ζζ

πδe

即 25.02

1=--ζζ

πe

两边取自然对数可得 3863.125.0ln 12

-==--ζ

πζ

4.03863

.13863

.12

2=+=

πζ

依据给定的峰值时间： 5.012

=-=

ζ

ωπn m t （秒）

所以 85.615.02

=-=ζ

π

ωn （弧度/秒）

故可得

4795.462

≈==n K ω

τ≈0.1

3-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ⨯= 时，试求：

(1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。

(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。

图2

解：[题意分析]这是一道二阶系统综合练习题。(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。关键是求出 n ω,ζ,θ。(2)的求法与例4－3－3相似。

(1) 由结构图可知闭环传递函数为 50

250

)()()(2++==

s s s X s Y s G B 可得 )/(07.750秒弧度==n ω

弧度43.195.811;14.0222

1

=︒=-===-ζ

ζ

θωζtg

n

由于s

s X 2

)(=

输出的拉氏变换为 22222)(n

n n

s s Y ωζωω++⋅=

则拉氏反变换为

[]

%)

2(71.307

.714.04

4

%)

5(78.207

.714.03

3

45.099

.007.714

.3124.099.007.743

.114.31%64%100%100%)

95.817sin(01.112)sin(112)(2

299

.044

.01995.02

2

秒秒秒

秒=⨯=

=

=⨯===⨯=

-==⨯-=-⋅-=

=⨯=⨯=︒+-=⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅--=-

--

--n

s n

s n m n r d t

t t t t e e

t e t e t y n ζωζωζ

ωπζ

ωθπδθωζζ

ζ

ωζ (2) 当τ≠0时，闭环传递函数

50

)5.02(50

)()()(2+++==

s s s X s Y s G B τ )/(07.750秒弧度==n ω

5

.0)

1(25.022-=

+=n n ζωττ

ζω得

由 %20%100%2

1=⨯=--

ζ

ζπ

δe

2.02

1=--

ζ

ζπ

e

两边取自然对数 61.12.0ln 12

-==--

ζ

ζπ

， 可得

46.061.161.12

2

=+=

π

ζ